工程数学(校本部2013)含答案及评分标准电子科大

工程数学(校本部2013)含答案及评分电子科大 电子科技大学在职攻读硕士学位研究生试卷 (考试时间: 至 ，共3小时) 课程名称 工程数学 学时 60 学分 3 考试方式 闭卷 教师 覃思义 考核日期2013年 6 月 题一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十十十十十总号 一 二 三 四 五 分 成 绩 nn，nA,(a)||A||,max(|a|)一(6分)设。证明:是矩阵范数。 ij,R,1ijj,1i n ||A||,max(|a|),0解:显然，， ,1ijji,1 nn ||A||,max(|a|),0,,j,有|a|,0,,i,j,有a,0,A,0 (2分) 1,,ijijijj,1,1ii ,,,R对， nnn ||,A||,max(,|a|),max(|,||a|),|,|max(|a|),|,|,||A|| (2分) 1,,,ijijijjjj,1,1,1iii n对， ,A,B,R nnnn||A，B||,max(|a，b|),max(|a|，|b|),max(|a|，|b|),,,,1ijijijijijijjjj,,,,1111iiii nn ,max(|a|)，max(|b|),||A||，||B||,,11ijijjj,,11ii (2分) n ||A||,max(|a|)所以，是向量范数。 ,1ijj,1i 122,,学 号 姓 名 学 院 ,,A,212二(6分). 求矩阵的特征值。 ,, ,,131,, A解:矩阵的特征多项式为 第 1 页 共 7 页 „„„„„„„„密„„„„„封„„„„„线„„„„„以„„„„„内„„„„„答„„„„„题„„„„„无„„„„„效„„„„„„„„ ,,1,2,2 32,,, (2分) f(),|I,A|,A,,2,1,2,x,3x,9x,5 ,,1,3,1 2 (2分) ,(x,5)(x，1)A所以矩阵的特征值为-5，1 (2分) 102,,,,A,110三(8分). 求三阶矩阵的QR分解 ,, ,,101,, A,,,(),,,对使用正交化得,,,,,:Schmidt解: , (2分) 122123 (,)11,,T21T,,,,,(-1,2,-1),,,,,,,,,(1,1,1), 2212111(,)33,,11 (,)(,),,,,311T3231,,,,，，,(1,0,-1),,,,,,, (2分) 3311321(,)(,)232,,,,2211 ,,1,2TT31T2,,,,2(1,0,-1)(1,1,1),,,,(-1,2,-1)单位化:, , ,312||||||||,,3||||,3312 (2分) 11,,1,,,33,,3,,A,,(,,)(,,)01,,,,,, 123123,,2,,001,,,,,, 1111,,,,11,,00,,,,,1,,,33333333,,,,,,,,,,2323,,,,,,,(,,)00010 (2分) ,,,,123,,2332,,,,,,001,,,,002002,,,,,,,,,,,,,, 1，，100,,,2,,131,,,i0,,A,222四(6分). 用盖尔圆盘定理估计矩阵的特征值的分布范围并画出图形。 ,,i,,05,,i,,2,,,,15iii，， 第 2 页 共 7 页 1解: Sz:|1|;,,12 3 (2分) Sz:||1;,,22 3Sz:|5|;,, 32 Szi:|5|3,, (2分) 4 (2分) AAAA,,,五(6分). 某车间有三台磨碎机，工作量的定额都是每天不超过900斤。每天要1234 BB磨制和两种工业原料各不多于1000斤和1200斤。 又已知各台机器磨碎各工业原料21 的加工费(元/百斤)，如下所示: 机器 AAAA 4 321 原料 0.50 0.60 0.70 0.40 B1 0.70 0.50 0.40 0.90 B2 问如何安排工作任务可使加工费最省? 试建立数学模型(不求解)。 xj,1,2,3,4i,1,2解: 设第j台机器磨碎第i种原料的数量为斤, , . (2分) j，4(i,1)则数学模型为 min 0.50.60.70.40.70.50.40.9zxxxxxxxx,，，，，，，，12345668 stxxxx.. 1000，，，,1234 1200xxxx，，，,5668 900xx，,15 (2分) 900xx，,26 900xx，,37 900xx，,48 0,1,...,8xi,,i (2分) 六(6分).用图解法求解下面线性规划:min22zxx,,,12 xx，,24,12 ,stxx..25，,,12 ,xx,0,,12 解:(1)画出可行解的范围。 (3分) (2)利用等值线平移的方法求极值点。 第 3 页 共 7 页 以为参数，则方程zzxx,,,2212 表示一族等值平行线。 (3分) ？极小值点为顶点。B 七(6分).将下面线性规划化为标准形. max(23);Zxxx,,，,123,stxx.. 270,,?13,, 32xx，?0, ,12, 5xxx，，,123,, ,xxx?0,任意.,123 解: 引入松驰变量, 使 x?04 . 270xxx,，,134 引入剩余变量, 使 x?05 (2分) 320.xxx,,,125消除自由变量, 令 x3 (2分) xxxxx,,,0,0,??36767 则原规划的标准形式为 ,max(233);Zxxxx,,，,1237,stxyxx.. 20,,，,134,, (2分) 320,xxx，,,,125, 5,xxxx，，,,1267, , 0,1,2,,7.xj?,？j, *x八(6分). 设=0.0002701112是某数经“四舍五入”所得，求的绝对误差限。 xx 1mmn,xx,,，xaaa,,，10(0.),,,*10解:若，则绝对误差限为， (2分) 12n2 ,3x,0.0002701112100.2701112,， (2分) 11,,,3710,,，,，xx*1010所以有的绝对误差限为 (2分) x22 ,3224x,,,,,,1,,,,,,3305,,x九(8分). 用列主元消元法解方程组:. 2,,,,,,,,,,,,0356,x,,,,3,,解 首先写出方程组的增广矩阵 ，，,,,3224,3224,3224,3224，，，，，，,,,,,,,,,,0356,,0129,,0356[]3305Ab,,. (2分) ,,,,,,,,,,,,,,,,10356,0129,0356,，，，，，，007,,3，， 对应的方程组为 第 4 页 共 7 页 ,,,，，,3224,xxx123,,，,356,xx (2分) ,23,1, 7x,33, 回代求解, 得 76. (2分) xxx,,,,19,211233 3十(6分). 给出用 Newton 迭代法求的迭代公式。 10 33解:设， 则。 (2分) x,10x,10 f(x)3令，则有公式 (2分) x,x,,(n,0,1,2,？)f(x),x,10n，1n,f(x) 3x10,xx即是 ,,n，n123x 110即x,(2x，),(n,0,1,2,？) (2分) n，n123x 十一(6分)由6种不同颜色的珠子各一颗，做成一个项链。可以做成多少种不同的项链, 解:项链是环形，所以这是圆排列的问题，所有圆排列数为 (8,8)8!P(8,8),,,5040 (2分) K88 因为项链是可以翻转的，所以实际可以做成的不同项链种数为 (2分) K(8,8),2520 (2分) 2 十二(6分).设有2个红球，3个白球，1个黑球和1个黄球.求从这些球中取出4个球的不同数。 解:设从所给球中取出i个的不同方案数为a,则由题设可得{a}的母函数为 (2分) ii 2232fxxxxxxx()(1)(1)(1),，，，，，， (2分) 234567,，，，，，，，148111184xxxxxxx 所以取出4个球的不同方案数为11种。 (2分) aaa,，22,nnn,,12 十三(8分). 试求递推关系的解. ,aa,,1,212,2 解:解: 原方程的特征方程为 x–2x –2 = 0, 其特征根为 (2分) (2分) xx,，,,13,1312 得通解 nnnn. (2分) acxcxcc,，,，，,(13)(13)112212n a,0由式初始条件反推得. 将a= 0, a=1代入a得 0 1n 0 第 5 页 共 7 页 cc，,0,,12, ,cc(13)(13)1.，，,,,12, 解得 11,c= , c=, (2分) 122323 1nn，,,(13)(13)? a=. n23 十四(8分).已知无向图中，， GVE,,,,Vabcde,{,,,,}Eabac,{(,),(,), (c,d)，. (,),bc(,),be(,)ddde(,),} (1) 画出G的图形,求出各点的度(该图是否简单图? (2) 求出G的关联矩阵和邻接矩阵. 解:该图不是简单图,因为有环存在. (2分) , , , deg()2a,deg()3b,deg(c),3 , . (2分) deg()4d,deg()2e, 1100000，， ,,1011000,, ,,GMG(),0110100的关联矩阵为 ,,0000121,, ,,0001001，， (2分) 01100，， ,,10101,, ,,GAG(),11010的邻接矩阵为。 (2分) ,,00111,, ,,01010，， 十五(8分). 求下图的最小生成树，求v、v之间的最短路及15 其长度。 解:最小生成树 将各边权按从小到大顺序排列 1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7 依次取边，不构成圈，直到取6条边为止 (2分) 即得最小生成树 第 6 页 共 7 页 (2分) 其权值为16。 v、v之间的最短路的长度为9 (2分) 15 其中一条最短路为图中红色的边构成。 (2分) 第 7 页 共 7 页