抽象代数复习题及

《抽象代数》试及答案本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分)1.设Q是有理数集，规定f(x)=x+2；g(x)=x2+1,则（fg）(x)等于（B）A.x22x1B.x23C.x24x5D.x2x32.设f是A到B的单射，g是B到C的单射，则gf是A到C的（A）A.单射B.满射C.双射D.可逆映射3.设S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，则S3中与元素（132）不能交换的元的个数是(C)。A.1B.2C.3D.44.在整数环Z中，可逆元的个数是(B)。A.1个B.2个C.4个D.无限个5.剩余类环Z10的子环有(B)。A.3个B.4个C.5个D.6个6.设G是有限群，aG,且a的阶|a|=12,则G中元素a8的阶为(B)A．2B.3C.6D.97．设G是有限群，对任意a,bG，以下结论正确的是(A)A.(ab)1b1a1B.b的阶不一定整除G的阶C.G的单位元不唯一D.G中消去律不成立设G是循环群，则以下结论不正确的是(A)．．．A.G的商群不是循环群B.G的任何子群都是正规子群9.设集合C.G是交换群A={a,b,c},D.G的任何子群都是循环群以下AA的子集为等价关系的是(C)R1={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}R2={(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}R3={(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}R4={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10.设f是A到B的满射，g是B到C的满射，则gf是A到C的（B）A.单射B.满射C.双射D.可逆映射11.设S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，则S3中与元素（12）能交换的元的个数是(B)。A.1B.2C.3D.412.在剩余类环Z8中，其可逆元的个数是(D)。A.1个B.2个C.3个D.4个13.设（R，+，·）是环，则下面结论不正确的有(C)。A.R的零元惟一B.若xa0，则xaC.对aR，a的负元不惟一D.若abac，则bc14.设G是群，aG,且a的阶|a|=12,则G中元素a32的阶为(B)A．2B.3C.6D.915．设G是有限群，对任意a,bG，以下结论正确的是(A)A.|a||G|B.|b|=∞C.G的单位元不唯一D.方程axb在G中无解设G是交换群，则以下结论正确的是(B)．．A.G的商群不是交换群B.G的任何子群都是正规子群C.G是循环群D.G的任何子群都是循环群17.设A={1，-1,i，-i}，B={1,-1},:A→B,aa2,a∈A，则是从A到B的(A)。A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射18.设A=R（实数域），B=R（正实数集），:a→10a，a∈A，则是从A到B的(C)。A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射19.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是(C)。A.x→10xB.x→2xC.x→|x|D.x→-x20.数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法(C)A.构成一个交换群B.构成一个循环群C.构成一个群D.构成一个交换环21.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为（D）A.1个B.2个C.3个D.4个22.剩余类加群Z8的子群有(B)。A.3个B.4个C.5个D.6个23.下列含有零因子的环是（B）A.高斯整数环Z[i]B.数域P上的n阶全矩阵环C.偶数环2ZD.剩余类环Z524．设(R,+,·)是一个环，则下列结论正确的是（D）A.R中的每个元素都可逆B.R的子环一定是理想C.R一定含有单位元D.R的理想一定是子环25．设群G是6阶循环群，则群G的子群个数为（A）A．4个B.5个C.6个D.7个26.设A={a,b,c}，B={1,2,3},则从集合A到集合B的满射的个数为(D)。A.1B.2C.3D.627.设集合A={a,b,c},则以下集合是集合A的分类的是(C)A.P1={{a,b},{a,c}}B.P2={{a},{b,c},{b,a}}C.P3={{a},{b,c}}D.P4={{a,b},{b,c},{c}}28.设R=a0a,bZ，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是(A)。0bA.有单位元的交换环B.无单位元的交换环C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环29.设S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，则S3的子群的个数是(D)。A.1B.2C.3D.630.在高斯整数环Z[i]中，单位元是(B)。A.0B.1C.iD.i31..设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是(B)。A.任意两个子群的乘积还是子群B.任意两个子群的交还是子群C.任意两个子群的并还是子群D.任意子群一定是正规子群32.7阶循环群的生成元个数是(C)。A.1B.2C.6D.733.设A={a,b,c}，B={1,2,3},则从集合A到集合B的映射有(D)。A.1B.6C.18D.2734.设G,为群，其中G是实数集，而乘法:ababk，这里k为G中固定的常数。那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是（D）A.0和x；B.1和0；C.k和x2k；D.k和(x2k)}35.设a,b,c和x都是群G中的元素，且x2abxc1,acxxac，那么x（A）A.bc1a1；B.c1a1；C.a1bc1；D.b1ca。下列正确的命题是（A）A.欧氏环一定是唯一分解环；C.唯一分解环必是主理想环；B.主理想环必是欧氏环；D.唯一分解环必是欧氏环。37．设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果|H|6，那么G的阶G（B）A.6；B.24；C.10；D.12。设G是有限群，则以下结论正确的是（A）．．A.GC.G的子群的阶整除是交换群G的阶D.GB.G的任何子群都是正规子群的任何子群都是循环群39．设f:G1G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（D）A.f的同态核是G1的正规子群；B.G2的正规子群的原象是G1的正规子群；C.G1的子群的象是G2的子群；D.G1的正规子群的象是G2的正规子群。关于半群，下列说法正确的是：（A）A.半群可以有无穷多个右单位元B.C.半群如果有右单位元则一定有左单位元半群一定有一个右单位元D.半群一定至少有一个左单位元二、填空题(每空3分)1.设A是m元集，B是n元集，那么A到B的映射共有（nm）个.2.n次对称群Sn的阶是（n！）.3.一个有限非交换群至少含有（6）个元素.4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有（p1)个.5.除环的理想共有（2）个.6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是（［4］）.7.在i+3,2,e-3中，（i3）是有理数域Q上的代数元.8.2在有理数域2Q上的极小多项式是（x2）.设集合A={a,b}，B={1,2,3}，则AB=（{(a,1）（,b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}.）10.设R是交换环，则主理想(a)=（Ra{rama|rR,mZ}.）11．设(5431),则1(1345).12.设F是9阶有限域，则F的特征是（3）.（（134213．设1(351),2(2154)是两个循环置换，则21））14.设F是125阶有限整环，则F的特征是（5）.15.设集合A含有3个元素，则AA的元素共有（9）个.16.设群G的阶是2n,子群H是G的正规子群，其阶是n,则G关于H的商群所含元素的个数是（2）.17.设a、b是群G的两个元，则(ab)1=（b1a1）.18.环Z10的可逆元是（[1],[3],[7],[9]）.19.欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环，但欧式环一定是主理想环）.20．如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa(a)。21.设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为（m整除n）。22．设(31425)是一个5-循环置换，那么1((52413)).。23．有限群G的阶是素数p，则G是（循环）群。24．若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为（{有限和xiayi|xi,yiR}）。i25．群(Z12,)的子群有（6）个。26．由凯莱定理，任一个抽象群G都同一个（群G的变换群）同构。27．设A、B分别是m、n个元组成的集合，则|AB|=（mn）。28．设A={a,b,c}，则可定义A的（5）个不同的等价关系。A的分类M={{a,c},{b}}确定的等价关系是R({(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)}）。29.设G是6阶循环群，则G的生成元有（2）个。30.非零复数乘群C*中由-i生成的子群是（{i,i,1,1}）。31.剩余类环Z7的零因子个数等于（0）。32.素数阶有限群G的子群个数等于（2）。33.剩余类环Z6的子环S={［0］,［3］},则S的单位元是（[3]）。34．群:G~~G，e是G的单位元，则(e)是（G的单位元）。35.复数域的特征是（0）.36.在剩余类环(Z12,,)中，[6][7]=（[6]）.37.在3-次对称群S3中，元素(123)的阶为：（3）.38.设Z和Zm分别表示整数环和模m剩余类环，则环同态f:ZZm,n[n]的同态核为（mZ{mr|rZ}）39.32在有理数域上的极小多项式为（x32）40.无限循环群一定和（整数加群(Z,)）同构.三、判断题(判断下列说法是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“”，每小题3分)1.设G是群，则群G的任意两个子群的并仍是群G的子群。（）2.群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G的运算之下，仍在该非空子集之中。（√）3.设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。f:G→G是一个映射，且f(x)xG.则f是G到G的=7,x同态映射。（）4.一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。（）5.设G是群，则群G的任意两个正规子群的交仍是群G的正规子群。（√）6.设G是n阶有限循环群，则G同构于模n剩余类加群Zn。（√）7.设:GG是群同态，则将G的单位元不一定映射为G的单位元。（）8.设R是环，A，B是R的任意两个理想，则AB也是环R的理想。（√）9.域的特征可以为任何自然数.（）10.群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群.（√）11.4次交错群A4在4次对称群S4中的指数为4.（）12.复数域是实数域的单代数扩张。（√）13.除环一定是域.（）14.3-次对称群S3的中心是(1).（√）15.整数环的商域是有理数域.（√）16.无限循环群和整数加群同构.（√）17.多项式x23在有理数域上可约。（）18.在特征为p的域F中始终有(ab)papbp,a,bF.（√）19.高斯整数环Z[i]是唯一分解环.（√）20．有限集合到有限集合的单射不一定是满射。（）21.有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。（√）22.设:G1G2是群G1到群G2的同态，则同态核Ker()是G1的正规子群.（√）23.素数阶群不一定是循环群。（）24.设(Z,,)为整数环，p为素数，则(pZ,,)是(Z,,)的极大理想。（√）四、证明题1.设Q为有理数域，设T{ab2|a,bQ}，则T按数的乘法和加法构成一个域.（6分）证明：T非空，且T是实数域的一个子集。T关于数的加法、乘法封闭是显然的，而且0ab2T,(ab2)1T,这样我们就得T关于加法、乘法构成实数域的一个子域.，因此T按数的乘法和加法构成一个域.。设E是F的扩域，且（E：F）=1，则E=F.（6分）证明：用反证法：若EF，则存在xE,xF，这样(E:F)2，矛盾！证明：交换群的商群是交换群.（8分）证明：设G为交换群，且HG，则GG关于正规子群H的商群，且对H任意aH,bHG,有,H(aH)(bH)(ab)H(ba)H(bH)(aH)故GH是交换群.4.设A{1,1,i,i},B{1,1}，“·”是数的乘法，证明：（A，·）～（B，·）。（这里“～”表示（A，·）与（B，·）是满同态）（8分）证明：构造映射：f:AB,11,11,i1,i1，则容易验证f是(A,)到（B,)的同态映射.5.a0|aR，则G关于矩阵乘法构成（R22,）的子半群.（6分）证明：设G=00a0b0a0b0ab0G关于矩阵乘法构证明：对任意的,00G,0000G，故由子半群的判定知，0000成（R22,）的子半群，得证.6.设a是群G的任一元素，若a的阶|a|=2，求证：aa1.（6分）证明：由题设我们知道：a2e,对这个式子的两边同时乘以a1得a1a2a1e,(a1a)aa1利用群G中逆元和单位元的性质，即得，aa1.7.设ε=13i，即31=1，G=1,,2，证明：有如下的群同构：（Z3，）≌（G，·），这里σ（[0]）=1，2σ（[1]）=ε，σ（[2]）=2。（8分）证明：容易验证下述映射：Z3G,[0]1,[1],[2]2是双射，且保持运算，即：([i][j])([i])([j]),[i],[j]Z3.由同构映射的定义，即得（Z3，）≌（G，·）.设G是R2×2中所有可逆矩阵组成的集合，i）.证明G关于矩阵的乘法成群。（6分）01(ii).的阶是多少？（4分）1011(iii).的阶是多少？（4分）01(iv).证明G不是交换群.（6分）解：（i）注意到由线性代数知识有：方阵可逆当且仅当它的行列式不为零，而且两个方阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积，由此A,BG,A1G,ABG,故G关于矩阵的乘法成群.1001(ii).注意到此时群G的单位元是：，经过简单计算，我们可知-1的阶是3.01011(iii).的阶是.01(iv).通过简单计算，得0111110110010110，故G是非交换群。解答题：设Q是有理数集，“+”是数的加法，找（Q，+）的所有不同的自同构映射。（8分）解：对任意xQ，定义fx:QQ,aax,对aQ,则集合{fx|xQ,但x0}为(Q,)的所有自同构映射.A1,A2,,A8中A1101010２．设G=，其=,A20,A30,01-11A410i0i0i0,A8i0=,A5,A6A7=0i0-10i0-i0-i列出G的乘法（矩阵乘法）运算表。解：运算表如下：·A1A2A3A4A5A6A7A8A1A1A2A3A4A5A6A7A8A2A2A1A4A3A6A5A8A7A3A3A4A2A8A7A6A6A5A4A4A3A2A1A7A8A5A6A5A5A6A8A7A2A1A3A4A6A6A5A7A8A1A2A4A3A7A7A8A6A5A3A4A2A1A8A8A7A5A6A4A3A1A2３．（１）写出３－次对称群S3的所有元素；（４分）（２）求出S3中所有元素的阶；（６分）（３）求出S3中所有元素的逆元.（６分）解：(１)S3的全部元素为：123，123，123，123，101231132221332314323，123．215312（２）各元素的阶为：|1||2||4|2,|3||5|3,|0|1.（３）0，1，2，3，4，5的逆元分别为：0，1，2，5，4，3．４．找出Z12中的所有零因子．（６分）解：[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]为所有的零因子．５．在有理数域的扩域Q（32）中，求1+32的逆。（１０分）解：由于32在Q上的最小多项式是p(x)=x3-2，因此由定理，得到Q(32){a0a132a224a0,a1,a2Q}由于1+32在3的逆元仍然是Q32)中的元素，故可设1+32在3的逆元为33则Q(2)(Q(2)a0a12a24,（1+32）（a0a132a234）=1将p(32)=(32)3-2=0代于上式，并经过简单计算，得到(132)1=1341321333６．设H{[0],[3],[6],[9]}≤Z12，写出Z12关于H陪集分解式。（８分）解：Z12关于H的陪集分解式为Z12=03691471025811７．列出整数模6剩余类环Z6中元素的加法和乘法运算表.（１２分）解：Z6={[0][1][2][3][4][5]}Z6中元素的加法和乘法运算表如下:+[0][1][2][3][4][5][0][0][1][2][3][4][5][1][1][2][3][4][5][0][2][2][3][4][5][0][1][3][3][4][5][0][1][2][4][4][5][0][1][2][3][5][5][0][1][2][3][4][0][1][2][3][4][5][0][0][0][0][0][0][0][1][0][1][2][3][4][5][2][0][2][4][0][2][4][3][0][3][0][3][0][3][4][0][4][2][0][4][2][5][0][5][4][3][2][1]８．写出Z4中每个元所含整数。（８分）解[0]{4q|qZ},[1]{4q1|qZ},[2]{4q2|qZ},[3]{4q3|qZ}９．在S3中，计算(12)(23)与(23)(12)。（６分）解：(12)(23)=(123)，(23)(12)=(132)。１０．求出S3的所有正规子群。（１０分）解：S3的所有正规子群为：H1{(1)},H2A3{(1),(123),(132)},H3S3．１１．设A=1,2，写出A的所有双变换的集合G，关于变换的乘法列出G的运算表。（１２分）解：所有双变换为：f:11,22,g:12,21，则G{f,g}，其运算表如下：·fgffgggf１２．求模8的剩余类环Z8的所有子环。（８分）解：Z8的所有子环为：Z8；{[0]}；{[0],[4]}；，，，．{[0][2][4][6]}