随机变量的特征函数

4.1第四章大数定律与中心极限定理4.1特征函数内容提要1.特征函数的定义设X是一个随机变量,称为X的)()(itXeEt特征函数,其达式如下(),()().(),在离散场合，在连续场合，itxiiitXitxxePXxtEetepxdx由于,所以随机变量X的特征函数总是1sincos22txtxeitx)(t存在的.2.特征函数的性质(1);1)0()(t(2)其中表示的共轭;),()(tt)(t)(t(3)若Y=aX+b,其中a,b是常数.则);()(atetXibtY(4)若X与Y是相互独立的随机变量,则);()()(tttYXYX(5)若存在,则可次求导,且对,有()lEX)(tXllk1);()0()(kkkXEi(6)一致连续性特征函数在上一致连续)(t),(4.2(7)非负定性特征函数是非负定的,即对任意正整数n,及n)(t个实数和n个复数,有nttt,,,21nzzz,,21;0)(11jkjnknjkzztt(8)逆转公式设F(x)和分别为X的分布函数和特征函数,则)(t对F(x)的任意两个点,有21xx2)0()(2)0()(1122xFxFxFxF;)(21lim21dttiteeTTitxitxT特别对F(x)的任意两个连续点,有21xx;)(21lim)()(2112dttiteexFxFTTitxitxT(9)唯一性定理随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；(10)若连续随机变量X的密度函数为p(x),特征函数为如果).(t,dtt)(则dttexpitx)(21)(3.常用的分布函数特征表分布特征函数退化分布P(X=a)=1itaet)(二项分布pqpeqtnit1,)()(几何分布pqtititqepe1,)(1正态分布222exp)(ttit4.3标准正态分布22)(tet均匀分布U(a,b)itabeeitaitbt)(均匀分布U(-a,b)atattsin)(指数分布1)1()(itt伽玛分布Ga(,)()(1)itt分布22)21()(nitt泊松分布)1(exp)(itet习题与解答4.11.设离散随机变量X的分布列如下,试求X的特征函数.X0123P0.40.30.20.1解titiitxeeet321.02.03.04.0)(2.设离散变量X服从几何分布.,2,1,)1()(1kppkXPk试求X的特征函数,并以此求E(X)和Var(x).解记q=1-p,则,ititKititkkitkitxqepeqepepqeeEt1)()()(111,2'1)(ititqeipet,42'')1()1(2)1()(ititititititqeqeqepeqepet4.4,pqpiXE1)1()0(1)(2',242''21)1()1(2)1()0(1)(pqqqpqqpiXE22222)1(1)]([)()(pqppqXEXEXVar3．设离散随机变量X服从巴斯卡分布　　试求X的特征函数.,)1(11)(rkrpprkkXP,1,,krr解设是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数rXXX,,,21为p的几何分布Ge(p),则由上一题知的特征函数为jX,1)(Xititqepetj其中q=1-p.又因为,所以X的特征函数为rXXXX21.rjrititxXqepettj1)1()()(4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.(1)(a>0);(2)(a>0).dteaxFxta2)(1dtataxFx2221)(解(1)因为此分布的密度函数为,2)(1xaeaxp.x所以此分布的特征函数为4.5010()22itxaxitxaxaateedxeedx00(cossin)(cossin)22axaxaatxitxedxtxitxedx=.cos2220taadxtxeaax又因为,)(2)(2222'1tatat,0)0('1,)()3(2)(322222''1taatat,2)0(2''1a所以Var(X)=0,(0)1)('1iXE.a2(0)1)(2''122iXE(2)因为此分布的密度函数为,1)(222axaxp.x所以此分布的特征函数为,cos2)(022222dxaxtxadxaxeaxitx又因为当t>0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表).2cos022ateadxaxtx所以当t>0时,有.22)(2atateeaat而当t<0时,有所以,)()(22taett.22)(2taateeaat4.6又因为在t=0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不)(2t存在.注：也可利用复变函数中的留数理论来计算,dxaxeaxitx222)(如下：t>0时,aizazeiadxaxeaxitzitx,Res2)(22222tataitzaizeaieaiaizeia22lim25.设试用特征函数的方法求X的3阶及4阶中心矩.),,(~2NX解　因为正态分布的特征函数为所以),(2N,)(2/22ttiet　　,)0('i,)0()('iXE　　,)0(22'',)0()(222''2iXE　,3)0(23'''ii,3)0()(333'''3iXE　,36)0(4224''''.36)0()(42244''''4iXE由此得X的3阶及4阶中心矩为,0)(3)(3)())((2233XEXEXEXEXE.3)(4)(6)(4)())((44343344XEXEXEXEXEXE6.试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X~b(n,p),Y~b(m,p),且X与Y独立,则X+Y~b(n+m,p).证记q=1-p,因为,,nitXqpet)()(mitYqpet)()(4.7所以由X与Y的独立性得,()()()()itnmXYXYtttpeq这正是二项分布b(n+m,p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P).7.试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X~P(1),Y~P(2),且X与Y独立,则X+Y~P(1+2).证：因为所以由X与Y独立性得,)(,)()1()1(21ititeYeXetet,)()()()1)2(iteetttYXYX这正是泊松分布P(1+2).的特征函数,由唯一性定理知X+Y~P(1+2)..8.试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若,且X与Y独立,则.),,(~1aGaX),(~2aGaY),(~21aaGaYX证因为,,所以由X与Y的独立性1)1()(aXitt2)1()(aYitt得,)(21)1()()()(aaYXYXitttt这正是伽玛分布的特征函数,由唯一性定理知),(21aaGa.),(~21aaGaYX4.89.试用特征函数的方法证明分布的可加性：若,2)(~2nX,且X与Y独立,则)(~2mY).(~2mnYX证因为,,所以由X与Y的独立性2)21()(nXitt2)21()(mYitt得,2)()21()()()(mnYXYXitttt这正是分布(n+m)的特征函数,由唯一性定理知22).(~2mnYX10.设独立同分布,且.试用特征函数的方iXniExpXi,,2,1),(~法证明:.niinnGaXY1),(~证因为,所以由诸的相互独立性得的特征函1)1()(ittiXiXnY数为,nYittn)1()(这正是伽玛分布的特征函数,由唯一性定理知.),(nGa),(~nGaYn11.设连续随机变量X服从柯西分布,其密度函数如下：,xxxp,)(1)(224.9其中参数,常记为,,0),(~ChX(1)试证X的特征函数为,且利用此结果证明柯西分布ttiexp的可加性；(2)当时,记Y=X,试证,但是X与不独1,0)()()(tttYXYX立；(3)若相互独立,且服从同一柯西分布,试证：nXXX,,,21)(121nXXXn与Xi同分布.证(1)因为的密度函数为,XYxyxp,1)(22由本节第4题(2)知Y的特征函数为.由此得()exp||YttYX的特征函数.ttittittYYXexp)(exp)()(下证柯西分布的可加性:设服从参数为的柯西分布,)2,1(iXiii,其密度函数为:.若与相2,1,,)(1)(22ixxxpii1X2X互独立,则,ttitttXXXX)(exp)()()(212121214.10这正是参数为柯西分布的特征函数.所以由唯一性2121,定理知,服从参数为的柯西分布.21XX2121,(2)当时有,,所以1,0ttXexp)(ttYexp)()2()()(2tttXXYX.tttexpexp2exp)()(ttYX由于Y=X,当然X与Y不独立.此题说明,由不能推得X与Y独立.)()()(tttYXYX(3)设都服从参数为的柯西分布,则特征函数为iX,.由相互独立性得,的特征函数为ttitexp)(niiXn11,即与X1具有相同的特征函数,由唯一性ttintnexp)/(niiXn11定理知它们具有相同的分布.12.设连续随机变量X的密度函数为p(x),试证：p(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.证：记X的特征函数为)(tX.先证充分性,若是实的偶函数,)(tX则或,这表明X与-X有相同的特征函数,从)()(ttXX)()(ttXX而X与-X有相同的密度函数,而-X的密度函数为p(-x),所以得p(x)=p(-x),即p(x)关于原点是对称的.4.11再证必要性.若p(x)=p(-x),则X与-X有相同的密度函数,所以X与-X有相同的特征函数.由于-X的特征函数为)(tX,所以=)()(ttXX,故是实的偶函数.________)(tX)(tX13.设独立同分布,且都服从N()分布,试求nXXX,,,212,的分布.niiXnX1___1解：因为Xj的特征函数为,所以由诸Xi互相独立得2/22)(ttijet的特征函数为这是正态分布N()___X)2/(22))/(()(nttiniXenttn/,2的特征函数,所以由唯一性定理知~N()niiXnX1___1n/,2