十年高中数学联赛试题一试解析几何含解析

LastupdatedontheafternoonofJanuary3,2021十年高中数学联赛试题一试解析几何含解析十年全国高中数学联赛试题一试解析几何圆锥曲线部分解答题2000、已知C0:x2+y2=1和C1:(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并你的结论。2002．已知点A(0，2)和抛物线y2=x＋4上两点B，C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．2006.给定整数，设是抛物线与直线的一个交点.试证明对于任意正整数，必存在整数，使为抛物线与直线的一个交点.2008．如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．2000.：所求条件为+=1.证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心.假设论成立,则对点(a,0),有(a,0)为项点的菱形与C1内接,与Co外切.(a,0)的相对顶点为(-a,0),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上,为(0,b)和(0,-b).菱形一条边的方程为+=1,即bx+ay=ab.由于菱形与CO外切,故必有=1,整理得+=1.必要性得证.充分性:设+=1,P是C1上任意一点,过P、O作C1的弦PR，再过O作与PR垂直的弦QS，则PQRS为与C1内接菱形.设OP=r1,OQ=r2,则点O的坐标为(r1cos,r1sin),点Q的坐标为(r2cos(+),r2sin(+)),代入椭圆方程,得+=1,+=1,于是,+==()+[+]=+=1.又在Rt△POQ中，设点O到PQ的距离为h，则=+=1,故得h=1同理，点O到QR，RS，SP的距离也为1，故菱形PQRS与C0外切.充分性得证.[注]对于给出，=1等条件者，应同样给分.2002.解：设B(y02－4，y0)，C(y12－4，y1)．则kAB=eq\f(y0－2,y\a\ac(2,0)－4)=eq\f(1,y0+2)．kBC=eq\f(y1－y0,y\a\ac(2,1)－y\a\ac(2,0))=eq\f(1,y1+y0)．由kAB·kBC=－1，得(y1+y0)(y0+2)=－1．∴y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0．∴△=(y1+2)2－4(2y1+1)=y12－4y1≥0，∴y1≤0，y1≥4．当y1=0时，得B(－3，－1)，当y1=4时，得B(5，－3)均满足，故点C的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．2005.过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点.………………5分设、、、，则由知，得∴EF所在直线方程为：化简得…①…………10分当时，直线CD的方程为：…②联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为：………15分当时，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴∴所求轨迹方程为………………………………………………20分解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点.……5分令则因为CD为的中线，而是的重心.………………………………………………………………………10分设因点C异于A，则故重心P的坐标为消去得故所求轨迹方程为………………………………………………20分2006.【证明】因为与的交点为.显然有。…（5分）若为抛物线与直线的一个交点，则.…（10分）记，则，　　（）由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过（）式可证明对于一切正整数，是正整数.现在对于任意正整数，取，使得与的交点为.……………（20分）2008.[解]设，不妨设．直线的方程:，化简得．又圆心到的距离为1，，…5分故，易知，上式化简得，同理有．　　　　　　　　　　　　　…10分所以，，则．因是抛物线上的点，有，则，．　　　　　　…15分所以　　．当时，上式取等号，此时．因此的最小值为8．…20分