电磁场与电磁波答案谢处方

：如果Ab(AB)c(A_B)|_Cc|=-14.43=AjC和AB=AC，解由AB=AC，则有A(AB)=A(AC)，即(A[B)A—(A_A)B=(AC)A—(AA)C由于A_B=AC，于是得到(AA)B=(A_A)C故B=C如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设a为—已知矢量，p=AJX而p=aX，P和p已知，试求x°解由p=AX，有AP=A(AX)=(A肢)A-(A_A)X=pA-(A_A)X故得X=2AAZ.aLa在圆柱坐标中，一点的位置由(4,互,3)定出，求该点在：(1)直角坐标中的坐标;3(2)球坐标中的坐标。解("在直角坐标系中x=4cos(2—3)=-2、y=4sin(2：：3)^2.3、z=3故该点的直角坐标为(_22^33)°(2)在球坐标系中「》：；4232=5、…tan」(4⑶=53.1、，2X3=120'故该点的球坐标为(5531D120、1.9用球坐标表示的场(1)求在直角坐标中点求在直角坐标中点(2)解(1)在直角坐标中点25E=e「右，r(—3,4,—5)处的E和Ex；(-3,4,-5)处E与矢量B(-3,4,-5)处，25r2二ex2-ey2-ez构成的夹角。r2=(一3)242(-5)2=50，故Ex(2)在直角坐标中点-33.2=—X=5近20(-3,4,-5)处，r=ex3ey4-ez5，所以2525r-ex345yezrexLIE|Ecos丁rx故E与B构成的夹角为1.10球坐标中两个点间夹角的余弦为10、2勺ELB、七19(1崛、“c』二cos()=cos()=153.6、|E口32(H,弓，1)和(r2,鮎2)定出两个位置矢量R和R2。证明R1和R2EBcos二cos4cos1sin4sin1cos(1」：2)解由R二ex^sin^1cos1ey^sin^1sin1ezhcos冃R2二exr2sin-2cos2eyr2sin二2sin2QDcos^得到1.11R1LR2_R1R2「二sintcos1sinj2cos2sinysin1sinv2sin2cosycos*=sintsinv2(cos]cos2'1sin\sin2)cosycosy二sin3sin丁2cos(]-2)cos^cos丁2一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：Q(er3sin"LdS的值。兀cos1.12理。□er3sin力忖S二](er3sinF_erdS二3sinr52sinrd==75二2SS00在由r=5、z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量A=err2+ez2z验证散度定所以在圆柱坐标系中；|_A=丄一(rr2)■厶(2z)=3r•2r:丁；z42兀5、i_Ad.=dzd^i(3r2)rdr=1200；QaBS000二(err2ez2z)」erdSredS.ezdSz)二■S42二52二525ddz24rdrd=1200二00故有00QAdS：2■eyx2y2ez24x2y2z3的散度；（2）求ij_A对中心在原点的Lad.=1200二二T求(1)矢量A=exX(3)求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。解(1)、La二型£1也工4沁=2x2x2y72x2y2z:x:y;zI出对中心在原点的一个单位立方体的积分为1..'2121,；2\|_Ad二(2x2x2y72x2y2z2)dxdydz二—:,;-12J2」224a对此立方体表面的积分121212121212!.!.()dydz!.!.()dydz.12421212HYPERLINK\l"bookmark253"\o"CurrentDocument"IIi!2x()dxdz!i2x()dxdz42422424212121212fJ24x2y2(2)3dxdy-JJ24x2y2(-*3dxdy=士-42^22-12422241.13一个单位立方体的积分;lAds=s」2□2212122424故有1.14分。解S=rjerdS■S解又所以故有1.16积分。2222UAdI二xdx「「xdx亠i22dy「0dy=8ey§■y2xezcz2yz22=ex2yzez2xf^xA[dS=JJ(ex2yz+ez2x)|_ezdxdy=8S00\=8八AdSS求矢量A=exx+eyxy2沿圆周x2+y2=a2的线积分，再计算〒：a对此圆面积的-J-c—I2=Jxdx+xydy=C2二(「a2cossinoa4cos2sin2)d4'、AdS=Sez(S-：Ay-：X:A-IjBzdS-y2dsysa2i422木+兀a=rsinrddr:oo4i|_Ad.=—=QAdS计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求'卄对球体积的积2二二=d：'!aa2sinvdv-4二a3oo又在球坐标系中，qr二g二（r2r）=3，所以r2&2兀兀a■i_rd.二3r2sinvdrdvd=4二a3X0001.15求矢量A-exxex2-'ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求iA对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。1.17证明：(1)|_R=3；(2)R=0；(3)(Ar)=A。其中R二exX•eyyezZ,A为一常矢量。解(1)、Lr二——=3oxdyCZ(2)ey：:y(3)设A=exAxeyAyezAz，贝UAR=A.xAyyAzz，故'、、(AR)=ex—(AxXAyyAzZ)ey—(AxXAyyAzZ)excy—(AxXAyyAzZ)二exAxeyAyezAz二A:z=erf(r)表示，如果=0，那么函数f(r)会有什么特点呢?1d'Lf[rf(r)]=0rdrez1.18一径向矢量场解在圆柱坐标系中,可得到在球坐标系中，由可得到f(r)=Cc为任意常数。r"Fl=[r2f(r)]=0rdrf(r)二r给定矢量函数E=exy+eyx,试求从点R(2,1,—1)到点P2(8,2-1的线积分E[dl:(1)沿抛物线x=y2；(2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？E|_dl=ExdxEydy二ydxxdy二CCCHYPERLINK\l"bookmark317"\o"CurrentDocument"22yd(2y2)2y2dy二6y2dy=14HYPERLINK\l"bookmark104"\o"CurrentDocument"11(2)连接点P(2,1,—1)到点F2(8,2,-1)直线方程为x_2x-8y-1y-2解(1)22E_dl=ExdxEydy二yd(6y-4)(6y-4)dy二(12y-4)dy=14CC11由此可见积分与路径无关，故是保守场。求标量函数•=x2yz的梯度及？在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量ex—=+ey—红+ez「H定出；求(2,3,1)点的方向导数值。、50.50.50W「ex「(x2yz)ey'(x2yz)ez'(x2yz)二:x:y:zex2xyzeyx2zezx2y345e二exeyez的方向导数为_..|e_6xyz4x2z.5x2y丁「「'5050-50故沿方向点(2,3,1)处沿e的方向导数值为a1.21试采用与推导直角坐标中361660112++=-50-50.50.50li_A=弐玉理相似的方法推导圆柱坐标下的公dxdycz□A二1上(rAJ兰△。rdrredcz解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场a沿er方向穿出该六面体的表面的通量为':;7：；Z『z:z^-'z普r=JJArrp(r+M)drd©-/JArrrdrd©[(r■ir)Ar(rtr,,z)_rAr(r,,z)]「二z-(rAr).：r=tz=1-(rAr).■:.Brrcr同理r—rz亠2r—rZ^z!!A.drdz!!A：」Vrdrzrz[A(r,：：=:,z)「A(r,,z)]r：z—'Lr^Lz=仝-■:■-r；:?zJJAzz地rdrd©-JfAzz-r[Az(r,,z：z)_Az(r,,z)]rr二Vz：一zczcz因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为丄込+也+坐L、.L、HYPERLINK\l"bookmark478"\o"CurrentDocument"r；rr「.z仁(rAJ:A.?AzA=lim-一‘r「rr::z故得到圆柱坐标下的散度表达式1.22方程u222xy—给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。22bca2解由于▽u=e空+e创+e2zabc%=2j(-y)故椭球表面上任意点的单位法向矢量为X)2a(f)2cu「u巩咋嗨ez自1.23现有三个矢量a、b、c为A=ersin^cos：；亠e寸cosvcos_esinB=erz2sinez2cosez2rzsin22C=ex(3y-2x)eyXez2z哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？求出这些矢量的源分布。解(1)在球坐标系中rcr(r2A)-(sin込)--rsin「rsinv:-1^2131Q(rsinvcos)'(sinvcosvcos)'(—sin)=.:rrsin「rsinv「rrsin日rrsin日erre日rsin日eg1L、ccr2sineArAersinerre日rsin日e©12・rsinec0sin日cosrcos&cos©-rsin日sincos2sin^coscos=0=0*故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示;在圆柱坐标系中lA2sin^cos代1&L1cB^丄£Bz■■-LB=(rBr)上rarczl—(rz2sin)-r:rr，中(z2cos)'—(2rzsin)=z2sin■z2sin'..2rsinerre日ezerre日ez-1=—-czrcrc*czBrrB日Bzz2sin巾rz2cos°2rzsin©=2rsinrr1IB=r故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示;直角在坐标系中\'[C=仝•主.£Cz=excyczc2c-2x)——(X2)—(2z)=0dydzey-:y2xdx3y2-2x故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。(2)这些矢量的源分布为cz2z=ez(2x-6y)A=0，'、、、A=0；B=2rsin，iB=0；C=0，'•C=ez(2x-6y)1.24利用直角坐标，证明(fA)=fl_AA解在直角坐标中lIl:ASy：：Az汗；：f：：ff\LaA_\f=f(--(Ax—Ay—Az—r；:f；x:y:z:x:y:zTOC\o"1-5"\h\z(f△△兰)(f迅*)(^Az注exexdyeycz厂1L、L、fl—(fAx)—(fAy)—(fAz)「丄(fA)x:y:z1.25证明(AH)=H_'A-A」H解根据、算子的微分运算性质，有L(AH)八A」AH)"hL[AH)式中lA表示只对矢量A作微分运算，\H表示只对矢量H作微分运算。由aljbc)二c_(ab)，可得4AH)=H毕aA)二Hl_0A)同理、山AH)=-aL(IhH产一Af、H)故有(AH)=H」A-AdH1.26利用直角坐标，证明'、(fG)=f、G」fG解在直角坐标中口cGz八G=f[ex(zey汗z-:Gx—)]：yc—c—ez(Gy—Gx—)]exey■Gy:：Gx：G；Gy-)ey(x-)ez(-TOC\o"1-5"\h\z:z:-:-:xff：—、fG-[e-(GzGy—)ey(Gx—-Gz—)eyczczex所以MGifG=ex[(Gz-ey[(Gxf養ez[(Gyffdxe八(fGz)ex[-r：：(fGy)ez[-txf£(Gyilft—,)L、:y:z旦)-(Gz兰f:z：：x:Gy:fy)-(Gx丄f-X:y-Gy—)]:z旦)]:x旦)]=-：(fGy)].e「g)：g)].:zy；z；x.:(fGx)1x]八(fG)=0及1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明i(I⑴1^6：A)=0，试证明之。解(1)对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有pvu^dS=['u_dI=一彳dl和du=0由于曲面s是任意的，故有▽汉(九)=0(2)对于任意闭合曲面S为边界的体积.，由散度定理有A)_dS二CA)_dSCA)JdSSS2,LCA)d•=[]CTS其中S和S＞如题1.27图所示。由斯托克斯定理，-(A_u^-s)LdA)(2AUdS=]A_JdlS2C2由题1.27图可知C和C是方向相反的同一回路，则有C1和c2所以得到A)dE=gAjdl+]T由于体积.是任意的，故有C1C2辻A)=02.1JAdl=-JA_dlCic2MLd1+7|a出lc；=0C2二章习题解答个平行板真空二极管内的电荷体密度为1题1.27图『=_4pU^d鼻3x经3，式中阴极板位于x=0，阳极板位于9xd，极间电压为U0。如果U0=40V、d=1cm、横截面s=10cm2，求：(1)x=0和x=d区域内的总电荷量Q；(2)x=d.：2和X二d区域内的总电荷量Qod4二(-：；0UocH3x’3)Sdx4；0U0S=-4.7210『Co93d(2)2.2质子束，解dQ=",(-\9Fd29一个体密度为2.32102C质子束内的电荷均匀分布，束直径为质子的质量m=1.71027kg、12mv2单；0U0d°3x'3)Sdx4(1-丄)；0U0S--O.9710氏八3d32m3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。电量q=1.610J9C。由v二.2mqU=1.37106msJ二Tv=0.318Am2I=J^(d/2)2=10上一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为2.3旋转，求球内的电流密度。解以球心为坐标原点，转轴(一直径)为z轴的夹角为二，则p点的线速度为AQ的电荷，球体以匀角速度•■绕一个直径z轴。设球内任一点p的位置矢量为r，且r与球内的电荷体密度为4二a33Q3Q'J=v=e,3rsin^-e3rsin^屮4兀a'/3屮4兀a32.4一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度••绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解以球心为坐标原点，转轴(一直径)为z轴。设球面上任一点p的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为二，则p点的线速度为v=r=e^asin球面的上电荷面密度为asinJ-e—sin-q2--4C位于y轴上y=4处，求(4,0,0)处QS=V=e24兀a2.5两点电荷q=8C位于z轴上z=4处，的电场强度。解电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为E14二;°qr-11r一r12ex4-ez4二；0(4、2)3电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为Eq2r—1ex4—ey424^0r_r；3阳0(4J2)3故(4,0,0)处的电场为ex+e—ez2E=Ei+E2=——吉——32(2聴02.6—个半圆环上均匀分布线电荷「|，求垂直于圆平面的轴线上z=a处的电场强度E(0,0,a)，设半圆环的半径也为a，如题2.6图所示。解半圆环上的电荷兀「1dl=-ad'在轴线上z=a处的电场强度为dE=「「丁3d=4聴°(J2a)Rez—(excos©"+eysin°")d収8i2二；0a在半圆环上对上式积分，得到轴线上z二a处的电场强度为E(0,0,a)=dE-二2......订(ez二-ex2)一[ez-(excoseysin)]d0a-二22.7三根长度均为L,均匀带电荷密度分别为讣、”2和地线电荷构成等边三角形。设「14=2『|2=2嘉,计算三角形中心处的电场强度。解建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为d=Ltan30'3LE4二ey111(cos30‘「cos150)=ey311y4二;0dy2二;0LE^-(excos30eysin30)2^(盼3ey)2j丄2胧0L盹0LE3=(excos30-e,si(ex3-ej^^2瓏°L8瓏°L故等边三角形中心处的电场强度为E=EiE2E3=ey3"($3'ey)'(e^-3-ey)HYPERLINK\l"bookmark94"\o"CurrentDocument"2二；0L8二；0Lp.题2.7图?ii263一18二；0L3印=ey_y4叭L2.8—点电荷+q位于(—a,0,0)处，另一点电荷—2q位于(a,0,0)处，空间有没有电场强度E=0的点？解电荷+q在(x,y,z)处产生的电场为qex(xa)eyyezZ1_4昭。[(x+a)2+y2+z2]32电荷_2q在(x,y,z)处产生的电场为(x,y,z)处的电场则为E2二E=E1-E2_2qex(x-a)e『yezZ4阳0[(x—a)2+y2+z2]32。令E-0，则有ex(xa)eyy雪2[ex(x-a)eyyezZ][(x+a)2+y2+z2]32[(x_a)2+y2+z2]32由上式两端对应分量相等，可得到TOC\o"1-5"\h\z(x+a)[(x—a)2+y2+z2]3'2=2(x—a)[(x+a)2+y2+z2]32①y[(x—a)2y2z2]32=2y[(xa)2y2z2]32②z[(x—a)2+y2+z2]3''2=2z[(x+a)2+y2+z2]3'2③当y=0或z=0时，将式②或式③代入式①，得a=0。所以，当y=0或z=0时无解；当y=0且z=0时，由式①，有HYPERLINK\l"bookmark110"\o"CurrentDocument"33(x+a)(x_a)=2(x_a)(x+a)解得x=(-3一2、一2)a但x=-3a・2-一2a不合题意，故仅在(-3a-2■■一2a,0,0)处电场强度E=0。2.9一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为匚。证明：垂直于平面的z轴上z=z0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。解半径为电荷线密度为-；「dr的带电细圆环在z轴上z=z0处的电场强度为rqdrdE=ez2.(r2z?)32故整个导电带电面在z轴上Z=z°处的电场强度为oO./-_公式

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