2006—数一真题、标准答案及解析

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、填空题 （1） 0 ln(1 )lim 1 cosx x x x→ + =− . （2）微分方程 (1 )y xy x −′ = 的通解是 . （3）设Σ 是锥面 2 2z x y= + （0 1z≤ ≤ ）的下侧，则 2 3( 1)xdydz ydzdx z dxdy Σ + + − =∫∫ . （4）点 (2,1, 0)到平面3 4 5 0x y z+ + = 的距离 z = . （5）设矩阵 2 1 1 2 A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 2BA B E= + ，则 B = . （ 6 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间 [0, 3] 上的均匀分布，则 { }max{ , } 1P X Y ≤ = . 二、选择题 （7）设函数 ( )y f x= 具有二阶导数，且 ( ) 0, ( ) 0f x f x′ ′′> > ， xΔ 为自变量 x在 0x 处的 增量， yΔ 与dy分别为 ( )f x 在点 0x 处对应的增量与微分，若 0xΔ > ，则 （A）0 .dx y< < Δ （B）0 .y dy< Δ < （C） 0.y dyΔ < < （D） 0.dy y< Δ < 【 】 （8）设 ( , )f x y 为连续函数，则 1 4 0 0 ( cos , sin )d f r r rdr π θ θ θ∫ ∫ 等于 （A） 22 1 2 0 ( , ) . x x dx f x y dy −∫ ∫ （B） 22 120 0 ( , ) .xdx f x y dy−∫ ∫ （C） 22 1 2 0 ( , ) . y y dy f x y dx −∫ ∫ （C） 22 120 0 ( , ) .ydy f x y dx−∫ ∫ 【 】 （9）若级数 1 n n a ∞ = ∑ 收敛，则级数 （A） 1 n n a ∞ = ∑ 收敛. （B） 1 ( 1)n n n a ∞ = −∑ 收敛. flag 新建图章 （C） 1 1 n n n a a ∞ + = ∑ 收敛. （D） 1 1 2 n n n a a∞ + = +∑ 收敛. 【 】 （10）设 ( , )f x y 与 ( , )x yϕ 均为可微函数，且 1 ( , ) 0y x yϕ ≠ . 已知 0 0( , )x y 是 ( , )f x y 在约 束条件 ( , ) 0x yϕ = 下的一个极值点，下列选项正确的是 （A）若 0 0( , ) 0xf x y′ = ，则 0 0( , ) 0yf x y′ = . （B）若 0 0( , ) 0xf x y′ = ，则 0 0( , ) 0yf x y′ ≠ . （C）若 0 0( , ) 0xf x y′ ≠ ，则 0 0( , ) 0yf x y′ = . （D）若 0 0( , ) 0xf x y′ ≠ ，则 0 0( , ) 0yf x y′ ≠ . 【 】 （11）设 1 2, , , ,a a aL 均为 n维列向量， A是m n× 矩阵，下列选项正确的是 （A）若 1 2, , , ,a a aL 线性相关，则 1 2, , , ,Aa Aa AaL 线性相关. （B）若 1 2, , , ,a a aL 线性相关，则 1 2, , , ,Aa Aa AaL 线性无关. （C）若 1 2, , , ,a a aL 线性无关，则 1 2, , , ,Aa Aa AaL 线性相关. （D）若 1 2, , , ,a a aL 线性无关，则 1 2, , , ,Aa Aa AaL 线性无关. 【 】 （12）设 A为 3 阶矩阵，将 A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C，记 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ，则 （A） 1 .C P AP−= （B） 1.C PAP−= （C） .TC P AP= （D） .TC PAP= 【 】 （13）设 ,A B为随机事件，且 ( ) 0, ( | ) 1P B P A B> = ，则必有 （A） ( ) ( ).P A B P A∪ > （B） ( ) ( ).P A B P B∪ > （C） ( ) ( ).P A B P A∪ = （D） ( ) ( ).P A B P B∪ = 【 】 （14）设随机变量 X 服从正态分布 21 1( , )N μ σ ，Y 服从正态分布 22 2( , )N μ σ ，且 1 2{| | 1} {| | 1},P X P Yμ μ− < > − < （A） 1 2.σ σ< （B） 1 2.σ σ> （C） 1 2.μ μ< （D） 1 2.μ μ> 【 】 三 解答题 15 设区域 D= ( ){ }2 2, 1, 0x y x y x+ ≤ ≥ ,计算二重积分 2 211D xyI dxdyx y+= + +∫∫ . 16 设数列{ }nx 满足 ( )1 10 , sin 1, 2,...nx x x nππ +< < = = . 求: (Ⅰ)证明 lim nx x→∞ 存在,并求之 . (Ⅱ)计算 2 1 1lim nxn x n x x + →∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . 17 将函数 ( ) 22 xf x x x = + − 展开成 x 的幂级数. 18 设 函 数 ( ) ( )0, ,f u +∞在 内具有二阶导数 且 ( )2 2z f x y= + 满 足 等 式 2 2 2 2 0 z z x y ∂ ∂+ =∂ ∂ . (Ⅰ)验证 ( ) ( ) 0f uf u u ′′′ + = . (Ⅱ)若 ( ) ( ) ( )1 0, 1 1,f f f u′= = 求函数 的达式 . 19 设在上半平面 D= ( ){ }, 0x y y > 内,数 ( ),f x y 是有连续偏导数,且对任意的 t>0 都有 ( ) ( )2, ,f tx ty t f x y= . 证明: 对 L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L,都有 0),(),( =−∫ dyyxxfdxyxyf L . 20 已知非齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 5 1 3 3 1 x x x x x x x x ax x x bx + + + = −⎧⎪ + + − = −⎨⎪ + + − =⎩ 有 个线性无关的解 Ⅰ证明方程组系数矩阵 A 的秩 ( ) 2r A = Ⅱ求 ,a b的值及方程组的通解 21 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 ( ) ( )1 21, 2, 1 , 0, 1,1T Tα α= − − = − 是线 性方程组 A x =0 的两个解, (Ⅰ)求 A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得 TQ AQ A= . 22 随机变量 x 的概率密度为 ( ) ( )2 1 , 1 0 2 1 ,0 2 , , 4 0, x x f x x y x F x y ⎧ − < <⎪⎪⎪= ≤ < =⎨⎪⎪⎪⎩ 令 其他 为二维随机变量 (X,Y)的分布函数. (Ⅰ)求 Y 的概率密度 ( )Yf y (Ⅱ) 1 , 4 2 F ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 23 设总体 X 的概率密度为 ( ) ( ) 0 1 ,0 1 1 2 0 1 0 x F X x θ θ θ θ < <⎧⎪= − ≤ < < <⎨⎪⎩ 其中 是未知参数 其它 , 1 2 n, ...,X X X 为来自总体 X 的简单随机样本,记 N 为样本值 1 2, ..., 1nx x x中小于的个数 ,求θ 的最大似然估计. 2006 年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析 一、填空题 （1） 0 ln(1 )lim 1 cosx x x x→ + − = 2 . 2 2 1cos1,)1ln( xxxx −+Θ （ 0x →当 时） （2）微分方程 (1 )y xy x −′ = 的通解是 ( 0)xy cxe x−= ≠ ，这是变量可分离方程. （3）设Σ 是锥面 2 2 (0 1)x y Z+ ≤ ≤Z= 的下侧，则 2 3( 1) 2xdydz ydzdx z dxdy π Σ + + − =∫∫ 补一个曲面 2 2 1 : 1 x y z ⎧ + ≤Σ ⎨ =⎩1 上侧 , 2 , 3( 1)P x Q y R z= = = − 1 2 3 6P Q R x y z ∂ ∂ ∂+ + = + + =∂ ∂ ∂ ∴ 1 6dxdydz Σ Σ Ω + =∫∫ ∫∫ ∫∫∫ （Ω 为锥面Σ 和平面 1Σ 所围区域） 6V= （V 为上述圆锥体体积） 6 2 3 π π= × = 而 1 2 3( 1) 0dydz ydzdx z dxdy Σ × + + − =∫∫ （∵在 1Σ 上： 1, 0z dz= = ） （4） ,1,0, 4 5 0 2x y z d+ + = =点(2 )到平面3 的距离 2 2 2 3 2 4 1 10 2 2 50 23 4 5 d × + ×= = = =+ + (5)设 A= 2 1 ,2 阶矩阵 B 满足 BA=B +2E,则|B|= . -1 2 解:由 BA=B +2E 化得 B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B||A-E|=|2E|=4, 计算出|A-E|=2,因此|B|=2. （6） 9 1 二、选择题 （7）设函数 ( )y f x= 具有二阶导数，且 ( ) 0f x′ > ， ( ) 0f x′′ > ， xΔ 为自变量 x在 0x 处的 增量， yΔ 与dy分别为 ( )f x 在点 0x 处对应的增量与微分.若 0>Δx ，则[A] 0)(0)(0)(0)( <Δ<<<Δ<Δ<Δ<< ydyDdyyCdyyBydyA ( ) 0, ( )f x f x′ >因为 则 严格单调增加 ( ) 0, ( )f x f x′′ > 则 是凹的 ydyx Δ<<>Δ 0,0 故又 2 2 1 0 2 21 1 2 2 0 0 0 (8) ( , ) ( cos , sin ) [C] (A) ( , ) (B) ( , ) x x x f x y d f r r rdr dx f x y dy dx f x y dy π θ θ θ − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 0 设 为连续函数,则 等于 2 22 21 1 2 2 0 0 0 (C) ( , ) (D) ( , ) y y y dy f x y dx dy f x y dx − −∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (9) [D] ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a aC a a D a ∞ = ∞ ∞ = = ∞ ∞ ∞ + + + = = = − + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑Q 若级数 收敛,则级数 收敛 收敛 收敛 收敛 也收敛 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (10) ( , ) ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) 0 y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕ ϕ ϕ ′ ≠ = ′ ′ ′ ′ ≠ ′ ′ ′ ′≠ ≠ 设 与 均为可微函数,且 已知( , )是 在约束条件 下的一个极值点,下列选项正确的是[D] (A)若 ( , )=0,则 ( , )=0 (B)若 ( , )=0,则 ( , ) 0 (C)若 ( , ) 0,则 ( , )=0 (D)若 ( , ) 0,则 ( , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 (1) ( , ) ( , ) 0 (2) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 x x x y y y y y x y x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λ λϕ λϕ λϕ ϕ ϕϕ λ ϕ ϕ ≠ + ′ ′ ′⎧ + =⎪ ′ ′ ′+ =⎨⎪ ′ =⎩ ′ ′ ′′ ′≠ ∴ = − =′ ′ ′ ≠ ) 0 构造格朗日乘子法函数F= F = F = F = 今 代入(1)得 今 0 0, ( , ) 0 [ ]yf x y D′ ≠则 故选 (11)设α1,α2,…,αs 都是 n 维向量，A 是 m×n 矩阵，则（ ）成立. (A) 若α1,α2,…,αs线性相关,则 Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs线性相关,则 Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs线性无关,则 Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs线性无关,则 Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关. 解: (A) 本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解. 若α1,α2,…,αs线性相关,则存在不全为 0 的数 c1,c2,…,cs使得 c1α1+c2α2+…+csαs=0, 用 A 左乘等式两边,得 c1Aα1+c2Aα2+…+csAαs=0, 于是 Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关. 如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB)≤ r(B). 矩阵(Aα1,Aα2,…,Aαs)=A( α1, α2,…,αs ),因此 r(Aα1,Aα2,…,Aαs)≤ r(α1, α2,…,αs ). 由此马上可判断应该为(A). (12)设 A是 3阶矩阵,将 A的第 2列加到第 1列上得 B,将 B的第 1列的-1倍加到第 2列上 得 C.记 1 1 0 P= 0 1 0 ,则 0 0 1 (A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B) 用初等矩阵在乘法中的作用得出 B=PA , 1 -1 0 C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1. 0 0 1 （13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B) P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选 C （14）依题： ).1,0(~),10(~ 2 2 1 1 NYNx σ μ σ μ −− ， ,1}1{ 11 1 1 ⎭⎬ ⎫< ⎩⎨ ⎧ −=<− σσ μμ XPXP .1}1{ 22 2 2 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ <−=<− σσ μμ YPYP 因 },1{}1{ 21 <−><− μμ YPXP 即 .11 22 2 11 1 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ <−> ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ <− σσ μ σσ μ YPXp 所以 .,11 21 21 σσσσ <> 应选 A 三、解答题 { }2 2 2 2 2 2 1 2 12 02 2 20 2 1(15) ( , ) 1, 0 , 1 : 0 1 1 ln(1 ) ln 2 1 1 2 2 D D D xyD x y x y x I dxdy x y xy dxdy x y rI dxdy d dr r x y r π π π πθ − += + ≤ ≥ = + + =+ + = = = + =+ + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ Q 设区域 计算二重积分 解 { } { } { } 2 1 1 1 1 2 1 2 1 (16) 0 , sin ( 1,2, ) (1) lim (2) lim( ) : (1) sin , 0 1, 2 sin , 0, lim , n n n n nn xn n n n n n n n n nn x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π + →∞ + →∞ + →∞ < < = = = ∴ < ≤ ≥ = ≤ ≥ ∴ = L Q 设数列 满足 求 证明 存在,并求之 计算 解 因此当 时 单调减少 又 有下界，根据准则1, 存在 递推公式两边取极限得 sin , 0A A A= ∴ = 2 1 sin(2) lim( ) ,nxn n n x x ∞ →∞原式= 为"1 "型 Q离散型不能直接用洛必达法则 2 20 1 1 sinlim ln( ) 0 sinlim( ) t t tt t t t e t → → =先考虑 2 3 2 3 20 3 30 0 1 1 ( cos sin ) 1 11 0( ) 0( )lim 2 6cos sinsin 12 6 2lim lim 2 2 62 t t t t tt t t t t t t t t ttt t t t te e e e e → → → ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −= = = = = g g 2(17) ( ) 2 xf x x x x = + −将函数 展开成 的幂极数 ( ) (2 )(1 ) 2 1 x A Bf x x x x x = = +− + − +解: 2(1 ) (2 ) 2, 3 2, 3 A x B x x x A A+ + − = = = =令 11, 3 1, 3 x B B= − = − = −令 )](1[ 1 3 1 ) 2 1( 1 3 1 )1( 1 3 1 )2( 1 3 2)( xxxx xf −−×−− ×=+×−−×= 1 0 0 0 1 1 1 1( ) ( 1) ( 1) , 1 3 2 3 3 2 n n n n n n n n n x x x x ∞ ∞ ∞ + = = = ⎡ ⎤= − − = + − <⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ （18）设函数 ( ) (0, )f u +∞在 内具有二阶导数，且 ( )2 2Z f x y= + 满足等式 2 2 2 2 0 z z x y ∂ ∂+ =∂ ∂ （I）验证 ( )( ) 0f uf u u ′′′ + = （II）若 (1) 0, (1) 1f f ′= = 求函数 ( )f u 的表达式 证：（I） ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2;z x z yf x y f x yx yx y x y∂ ∂′ ′= + = +∂ ∂+ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xx y x yz xf x y f x y x x y x y + − +∂ ′′ ′= + + +∂ + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 22 2 2 2 x yf x y f x y x y x y ′′ ′= + + ++ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 22 2 2 2 2 z y xf x y f x y y x y x y ∂ ′′ ′= + + +∂ + + 同理 ( ) 2 22 2 2 22 2 2 2( )0 0 ( )( ) 0 f x yz z f x y x y x y f uf u u ′ +∂ ∂ ′′+ = + + =∂ ∂ + ′′′∴ + = 代入 得 成立 （II）令 ( ) , ;dp p dp duf u p c du u p u ′ = = − = − +∫ ∫则 ln ln , ( ) cp u c f u p u ′= − + ∴ = = 2 2(1) 1, 1, ( ) ln | | , (1) 0, 0 ( ) ln | |f c f u u c f c f u u′ = = = + = = =Q 由 得 于是 （19）设在上半平面 { }( , ) | 0D x y y= > 内，函数 ( , )f x y 具有连续偏导数，且对任意 0t > 都有 2( , ) ( , )f tx ty t f x y−= 证明：对 D内任意分段光滑的有向简单闭曲线 L， 都有 0),(),( =−∫ dyyxxfdxyxyf L . 证：把 2( , ) ( , )f tx ty t f x y t−= 两边对 求导 得： ( , ) ( , ) 2 ( , )x yxf tx ty yf tx ty tf x y′ ′+ = − 令 1t = ，则 ( , ) ( , ) 2 ( , )x yxf x y yf x y f x y′ ′+ = − 再令 ( , ), ( , )P yf x y Q xf x y= = − 所给曲线积分等于 0 的充分必要条件为 Q P x y ∂ ∂=∂ ∂ 今 ( , ) ( , )x Q f x y xf x y x ∂ ′= − −∂ ( , ) ( , )y P f x y yf x y y ∂ ′= +∂ 要求 Q P x y ∂ ∂=∂ ∂ 成立，只要 ( , ) ( , ) 2 ( , )x yxf x y yf x y f x y′ ′+ = − 我们已经证明， Q P x y ∂ ∂∴ =∂ ∂ ，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1, 4x1+3x2+5x3-x4=-1， ax1+x2+3x3+bx4=1 有 3 个线性无关的解. ① 证明此方程组的系数矩阵 A 的秩为 2. ② 求 a,b 的值和方程组的通解. 解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX=0的两个线性无关 的解.于是 AX=0 的基础解系中解的个数不少于 2,即 4-r(A)≥2,从而 r(A)≤2. 又因为 A 的行向量是两两线性无关的,所以 r(A)≥2. 两个不等式说明 r(A)=2. ② 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A|β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由 r(A)=2,得出 a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组 x1=2-2x3+4x4， x2=-3+x3-5x4， 求出一个特解(2,-3,0,0)T和 AX=0 的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意. (21) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是 齐次线性方程组 AX=0 的解. ① 求 A 的特征值和特征向量. ② 求作正交矩阵 Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ=Λ. 解:① 条件说明 A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 α0=(1,1,1)T是 A 的特征向量,特征值为 3.又 α1,α2都是 AX=0 的解说明它们也都是 A 的特征向量,特征值为 0.由于α1,α2线性无关, 特征 值 0 的重数大于 1.于是 A 的特征值为 3,0,0. 属于 3 的特征向量:cα0, c≠0. 属于 0 的特征向量:c1α1+c2α2, c1,c2不都为 0. ② 将α0单位化,得η0=( 3 3 , 3 3 , 3 3 )T. 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,- 2 2 , 2 2 )T, η2=(- 3 6 , 6 6 , 6 6 )T. 作 Q=(η0,η1,η2),则 Q 是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 . 0 0 0 （22）随机变量 X 的概率密度为 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <≤ <<− = 其他,0 20, 4 1 01, 2 1 )( x x xf X ，令 2XY = ， ),( yxF 为二维随 机变量 ）（ YX , 的分布函数. （Ⅰ）求Y 的概率密度；（Ⅱ） )4, 2 1(−F 解： （Ⅰ） ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤ <≤ <≤ < =≤=≤= y y y y yXPyYPyFY 4,1 41,)2( 10,)1( 0,0 )()()( 2 式 式 ∫∫ =+=≤≤−= − y y ydxdxyXyP 0 0 4 3 4 1 2 1)()1( 式 ； ∫∫ +=+=≤≤−= − y ydxdxyXyP 0 0 1 4 1 2 1 4 1 2 1)()2( 式 . 所以： ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <≤ << == 其他,0 41, 8 1 10, 8 3 )()( ' y y y y yFyf YY 这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对 y 进行适当的讨论即可，在新东方 的辅导班里我也经常讲到，是基本题型. （Ⅱ） )4, 2 1(−F ) 2 12()22, 2 1()4, 2 1()4, 2 1( 2 −≤≤−=≤≤−−≤=≤−≤=≤−≤= XPXXPXXPYXP 4 1 2 12 1 1 == ∫ − − dx . （23）设总体 X 的概率密度为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤≤− << = 其他,0 21,1 10, ),( x x xf θ θ θ ，其中θ 是未知参数（0<θ <1）. nXXX Λ,, 21 为来自总体的简单随机样本，记 N 为样本值 nxxx Λ,, 21 中小于 1 的个数.求θ 的最大似然估计. 解：对样本 nxxx Λ,, 21 按照 <1 或者≥1 进行分类： pNpp xxx Λ,, 21 <1， pnpNpN xxx Λ,, 21 ++ ≥1. 似然函数 ⎩⎨ ⎧ ≥<−= ++ − 其他 ， ,0 1,,,1,,)1( )( 2121 pnpNpNpNpp NnN xxxxxx L ΛΛθθθ ， 在 pNpp xxx Λ,, 21 <1， pnpNpN xxx Λ,, 21 ++ ≥1 时， )1ln()(ln)(ln θθθ −−+= NnNL ， 0 1 )(ln =− −−= θθθ θ NnN d Ld ，所以 n N=最大θ .