八年级三角形的奥数题及其答案

例1:ADEF,BC相交于。点，且AO=ODBO=OCEO=OF.求证：△AE主△DFC例题2:P为正方形ABCD寸角线BD上任一点，PF±DCPE±BC.求证：APIEF.例题3:△ABC的高AD与BE相交于H,且BHkAC.求证：/BCHk/ABC例题4:在正方形ABCM,P,Q分别为BC,CDi上的点，/PAQ=45°.求证：PQ=PB+DQ例题5:过△ABC的顶点A分别作两底角/B和/C的角平分线的垂线，AD±BDTD,AE±CE于E.求证：ED//BC例题6:如图，P是等边三角形ABC内部的一点，PA=2,PB=2V3,PC=4,求AABC的边长.例题7:如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足/APD=/APB="。且/BPC=/CPD=3,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.(l)在图(3)正方形ABCD内画一个半等角点P,且满足aW3。(2)在图(4)四边形ABCD中画出一个半等角点P,保留画图痕迹(不需写出画法).(3)若四边形ABCD有两个半等角点Pi、P2(如图(2)),证明线段PiP2上任一点也是它的半等角点。例题8:已知：点。到△ABC的两边ABAC所在直线的距离相等，且OB=OC(1)如图1,若点O在BC上，求证：AB=AC;(2)如图2,若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC;(3)若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图示。：1.如图，在△ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O,过点O作EF//BC交AB于E,交AC于F,过点。作ODAC于D.下列四个结论：①BOC90。1A；2②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;③设ODm,AEAF心则S.AEFmn;④EF不能成为z\ABC的中位线.其中正确的结论是.(把你认为正确结论的序号都填上)2.如图1,ARCD是两条线段，M是AB的中点，SDMC、SDAC和SDBC分别表示^DNCDIVICDACDBC.一...SS2c△DAG△DBC勺面积。当AB//CD时，有SDMC=—DACDBC(1)2(1)如图2,若图1中AB与CD不平行时，(1)式是否成立？请说明理由。(2)如图3,若图1中AB与CD相交于点。时，SDMC、SDAC和SDBC有何种相等关系？试证明你的结论。.如图，设^ABC^^CDE都是正三角形，且/EBD=62°,则/AEB的度数是1】(A)124°(B)122°(C)120°(D)118°.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角/BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且/MDN=60°.试探究MBMNCN之间的数量关系，并给出证明..如图，在^ABC中，/ABC=60°,点P是4ABC内的一点，使得/APB=/BPC=/CPA且PA=8,PC=6,贝UPB=.如图所示，在^ABC中，AB=AC,ADAE,BAD60,则EDC.（1）如图7,点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OA街口等边三角形OCD连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求/AEB的大小；（2）如图8,AOAB固定不动，保持AOCD勺形状和大小不变，将AOC噬着点。旋转（AOAB^AOCD^能重叠）,求/AEB的大小.．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE．.如图，AD是4ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出^ABC是等腰三角形的是。（把所有正确的序号都填写在横线上）①/BAD=/ACD②/BAD=/CAD③AB+BD=AC+CD④AB-BD=AC-CDAE=DF例题1、证明：八OAEAODF因为：二边及夹角（对等角）相等，得：同理证得：△OB厚△OCFAOAB^AOCD得：EB=CFAB=CD因为：AE=DFEB=CFAB=CD三边相等。所以：AAEB^ADFC例2F于点G延长EP交AB于M,延长FP交AD于N.「P为正方形ABCD寸角线BD上任一点.PM=PF,PN=PE又AMPN/夕!形.an=pm=pf・./EPF=/BAC=90..△PE售AANP./NAP=/PFE又/NPA=FPG附顶角）/NAP+/NPA=90./PFE吆FPG=90./PGF=180-（/PFE吆FPG）=90APIEF例3「BkAC/BDhk/ADC=90°,/HB氏/CAD（这个知道的吧）..△BD庠△ADC・H5CDBD=AD•.△HDCW△AB/等腰直角三角形・/BC用/ABD=45例4:在CB的延长线上取点G使BG=DQ连接AG・•.正方形ABCDAB=AD,/BA氏/AB岸/D=90vB氏DQ..△AB®AADQ（SAS•・A岸AG/BAG/DAQ•/PAO45./BAP+ZDAO/BAD-/PA①45「•/PA岸/BAP+/BAG/BAP+ZDA会45「•/PA岸/PAQvAP=AP•.△AP箪AAPG（SAS・P岸PG.・P氏PB+B&PB+DQ.PB+D@PQ例5、例6例7（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点.因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于“W3,所以不是AC的中点.（2）画点B关于AC的对称点B',延长DB交AC于点P,点P为所求.（因为对称的两个图形完全重合）（3）先连P1AP1DP1RP1C和P20P2B,根据题意/AP1D:^AP1R/DPIChBP1C1./AP1B+ZBP1C=180度.P1在AC上，同理，P2也在AC上，再禾U用ASA证明4DP1P冬aBPIPZ而，那么△P1DP2和△P1BP2关于P1P2对称,P是对称轴上的点，所以/DPA=/BPAZDPC=zBPC即点P是四边形的半等角点.解答：解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）.（2）画点B关于AC的对称点B',延长DB交AC于点P,点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）．（说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）（3）连P1AP1DP1RP1C和P20P2B,根据题意，ZAP1D=/AP1RZDP1C=zBP1C・./AP1B吆BP1C=180度.••.P1在AC上，同理，P2也在AC上.（9分）在△DP1P涮△BP1P2中，ZDP2P1=ZBP2P1,/DP1P2=ZBP1P2,P1P2公共，△DP1P华△BP1P2（11分）所以DP1=BP1DP2=BP1DP2=BP2于是B、D关于AC对称.设P是P1P2上任一点，连接PRPB,由对称T得/DPAWBPA/DPChBPC所以点P是四边形的半等角点.例8证明：(1)过点O分别作O吐AB,OF,AC,E、F分别是垂足，由题意知，OE=OFOB=OC•••RtAOEB^RtAOFC.•.ZB=ZC,从而AB=AC(2)过点O分别作OELAB,OF±AC,EF分别是垂足，由题意知，OE=OF在Rt△OEMRt△OFC中，,.OE=OFOB=OC•••RtAOEB^RtAOFE•••/OBEhOCFB=OC知/OBCWOCB/ABCWACDAB=AC(3)解：不一定成立。注：当/A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC否则，AB^AC,如示例图练习13解：.•.等边△ABC等边乙CDEAC=BCCE=CD/BAG=/ABG=/ACB=ECD=60vZACE=ACB-ZBCE/BCD=ECD上BCE・./BCD=ACE..△AC图ABCD(SAS・./CBDWCAE・•/EBD=62「•/CB&/EBD上CB氏62-/CBE./CAE=62-/CBE/BAE=/BAC上CAE=60-62+/CBE=-2+/CBE「•/ABE吆BAE=60-/CBE-2^CBE=58./AEB=180-(/ABE吆BAE=1224CMBM=MN证明：延长AC至M1,使CMhBM连结DM1由已知条件知：/ABC=/ACB=60°,/DBC=/DC氏300./ABD=/AC氏90°vBD=CD「.Rt^BD阵RtACDMI.♦/MD&/M1DC而DM=DM1・•/MDM1(120°—/MDB+/MID©120°又「/MD仲60；/M1D仲/MD仲60°△MDGM1DN；MN=NMhNOCMhCWBM即CWBM=MN5(1)证明：•/APBWBPCNCPA三角之和是360o./APBWBPC=120./PAB吆PBA=180-120o=60o/ABCWPBC+/PBA=60「•/PABWPBC・.，PAB^，PBC【/APBWBPC/PAB=PBC(2)解：.ZPAB^，PBCPA/PB=PB/PC推出PB2=PA・PC=6<8=48PB=Z48=4,36设/EDC=x,ZB=ZC=y/AED=EDC+C=x+y又因为AD=AE,所以/ADE=AED=x+y贝U/ADC=ADE+EDC=2x+y又因为/ADC=B+ZBAD所以2x+y=y+30解得x=15所以/EDC勺度数是15度71)如图3,•・•△OCDF口△ABOtB是等边三角形，且点O是线段AD的中点,•.OD=OC=OB=QAL1=72=60°,/4=/5.又/4+Z5=72=60°,.,-74=30°.同理/6=30°.•/AEB^4+/6,，/AEB=60.(2)如图4,.「△OCDF口△ABOtB是等边三角形，•.OD=OCOB=OA/1=72=60°.又「OD=OA.•.OD=OBOA=OC4=/5,/6=/7../DOB=1+/3,ZAOC=/2+Z3,・./DOBhAOC,•/4+/5+/DOB=180,/6+/7+/AOC=180,•.2/5=2/6,/5=/6.又.•/AEB之8-/5,/8=Z2+Z6,・•/AEB"+/5-/5=/2,，/AEB=60.8①可以找出△BA珞△CAD条彳^是AB=ACDA=EA/BAE=ZDAC=90+/CAEABC△②由①可得出/DCAhABC=45,贝U/BCD=90,所以DCLBE.解答：解：①,「△DA弱等腰直角三角形，.•.AB=ACAD=AE/BACWDAE=90./BAE=ZDAC=90+/CAE在△8人£和4DAC中..△BA段ACAD(SAS.②由①得^BAEi^△CAD•••ZDCAhB=45.•••ZBCDhBCA4/DCA=90,DdBE9