复合材料与粘弹性力学 第2版 教学课件 作者 张少实 第2章 各向异性材料的弹性应力－应变关系

第2章　各向异性材料的弹性应力－应变关系2.1　引言2.2　各向异性材料的应力－应变关系2.3　正交各向异性材料的应力－应变关系2.4　横观各向同性材料与各向同性材料2.5　正交各向异性材料弹性常数的物理意义2.6　正交各向异性材料工程常数的取值范围2.7　单向板的应力－应变关系2.8　广义正交各向异性单向板的表观工程常数2.9　结论与讨论平衡方程注：以上关系与各向同性体相同2.1　引言几何关系方程物理方程(本构关系)Hooke定理：记作{}=[C]{}，[C]—刚度矩阵，可以证明，[C]是对称矩阵，因此它只有21个独立变量。同样，[S]也是对称矩阵，它也有21个独立变量。同样，可用应力分量表示应变分量：[S]＝[C]-1—柔度矩阵。2.2　各向异性材料的应力－应变关系2.2.1　应力－应变关系、刚度矩阵2.2.2　刚度矩阵的对称性2.2.3　柔度矩阵2.2.4　各向异性材料的耦合效应　　　式（２）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应变的一般关系式．2.2.1　应力－应变关系、刚度矩阵　　　由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力时，必产生同样的应变，反之亦然．因此　为常数，其数值由弹性体材料的性质而定．　　　式（２）推导过程未引用各向同性假设，故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、二维各向同性体以及各向同性体等．式(3)可用简写为称为弹性矩阵.式（２）可用矩阵表示如在均匀体内,任意一点都存在着一个对称面,在任意两个与此面对称的方向上,材料的弹性性质都相同。称为具有一个弹性对称面的各向异性体。该对称面称为弹性对称面,垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。具有一个弹性对称面的各向异性体,弹性常数有13个。单斜晶体(如正长石)具有这类弹性对称。2.2.2　刚度矩阵的对称性 如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对称面,这种物体称为正交各向异性体。如:煤块、均匀的木材、叠层胶木、复合材料等正交各向异性体有9个弹性常数。其弹性矩阵为(本构关系)Hooke定理：记作{}=[C]{}，[C]—刚度矩阵，可以证明，[C]是对称矩阵，因此它只有21个独立变量。2.2.3　柔度矩阵同样，[S]也是对称矩阵，它也有21个独立变量。同样，可用应力分量表示应变分量：[S]＝[C]-1—柔度矩阵。2.2.4　各向异性材料的耦合效应(1)正应力不仅要引起线应变，同时还要引起切应变；而切应力不仅引起切应变，还要引起线应变。(2)一个平面内的切应力不仅引起本平面内的切应变，同时还要引起与其垂直的另外平面内的切应变。2.3　正交各向异性材料的应力－应变关系2.3.1　具有一个弹性性能对称面材料的应力－应变关系应变势能密度为：如取xoy坐标面与弹性对称面平行，取A与A’为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z轴转到z’轴时，应力应变关系不变。此时：z=-z’，w=-w’，为保证W值不变,将含有xz和yz(4与5)一次项的Cij置为零，只剩下13个独立变量。同理：2.3.2正交各向异性材料如果具有三个正交弹性对称面，则：只有九个独立系数2.4.1横观各向同性材料各向同性面—在该平面内，各点的弹性性能在各方向上相同。假定：1，2，3都是弹性主轴，1－2面是各向同性面。则：S11=S22，S13=S23，S44=S55，C11=C22，C13=C23，C44=C552.4　横观各向同性材料与各向同性材料又设某点应力状态：1=，2=－，4=5＝6，有将1、2坐标轴在面内转450到1’、2’，则1’=2’＝3’＝0，6’＝1’2’＝－，2’3’＝3’1’＝0：则：S66＝2(S11–S12)只有五个独立系数2.4.2各向同性材料如果材料任一点、任一方向弹性特性都相同。有：C11=C22=C33，C12=C13=C23，S11=S22=S33，S12=S13=S23，只有三个独立参数，可以用E、、G表示。实际上只有两个，因为E、、G之间有关系。2.5正交各向异性材料的工程弹性常数的物理意义单独在j方向有正应力时i方向上应变与j方向应变之比的负值工程常数是指弹性模量Ei,泊松比ij和剪切模量Gij，这些常数由实验测定。分别在各弹性主方向有作用力时的应力应变之比对正交各向异性材料：2.5.1　单轴拉伸试验图2-3　单轴拉伸试验因为[S]是对称的，所以对于各向同性材料：E>0，G>0,-1<<1/2对于各向异性材料，考虑到应变能W>0，所以[C]和[S]必须正定。一般EiEj，所以，ijji。因此共有九个参数。矩阵正定的定义：特征值都大于零的实对称矩阵。充分必要条件：所有主子式都大于零Ai>0(i=1,26)主子式：在[S]（或[C]）中任意取第i1,i2,i3,ik行和i1,i2,i3,ik列交点处的元素构成的行列式称为矩阵[S]（或[C]）的主子式。2.5.2　纯剪切试验图2-4　纯剪切试验1∘2∘同理可得：3∘上（2-42）式就是通过组合上述公式得到的。这些关系式可用于检验材料实验数据。为保证E和G为正值，即正应力或剪应力乘以正应变或剪应变产生正功对于各向同性体承受静压力P的作用，体积应变可定义为：如果K为负，静压力将引起体积膨胀2.6.1　各向同性材料2.6　正交各向异性材料工程常数的取值范围情况很复杂，从热力学角度来讲，所有应力做功的和应为正值，联系应力应变的矩阵应该是正定的正定矩阵的行列式为正C为正也可得到2.6.2　正交各向异性材料为了用另外两个泊松比表达21的界限，继续转化对3213可得相似的表达式图2-5　纤维增强复合材料单向板2.7　单向板的应力－应变关系2.7.1　材料主方向的应力－应变关系123只有三个应力分量1212不为零柔度矩阵可简化为：如果想求3的话，还必须知道1323工程常数12引起的推导利用叠加原理：4个独立的常数，E1,E2,12和G12对于各向同性材料 上述的时定义在正交各向异性材料的主方向上的，但材料的主方向往往和几何上适应解题要求的坐标轴方向不一致 斜铺或缠绕12yx+2.7.2　非材料主方向的应力－应变关系用1-2坐标系中的应力来表示x-y坐标系中的应力的转换方程为转换的只是应力，而与材料的性质无关，同样：很麻烦！我们引入Router矩阵方便！对于材料主轴和坐标系一致的特殊的正交各向异性简单层板不一致时可简写[Q]的转换矩阵九个非零分量，四个独立常数，但是广义的正交各向异性层板剪应变和正应力，剪应力和正应变存在耦合我们也可以用应力来表示应变对各向异性简单层板，同广义正交各向同性简单层板相类似新的工程常数——相互影响系数第一类相互影响系数：表示由ij平面内的剪切引起i方向上的伸长第二类相互影响系数：表示由i方向上的正应力引起ij平面内的剪切复合材料的偏轴向（非材料主方向）拉伸引起轴向伸长和剪切变形其他的各向异性弹性关系可以用来定义钦卓夫系数，其定义为：系数满足互等关系：该系数是对剪应力和剪应变的，而泊松比是对正应力和正应变的，在平面应力情况下，钦卓夫系数不影响简单层板的面内性能。非主方向的xy坐标系下受力的正交各向异性简单层板的表观工程常数为： 通过上述分析可见： 正交各向异性简单层板在与材料主方向成一定角度方向上受力时，表观各向异性弹性模量是随角度变化的 琼斯法则：材料性能的极值（最大值或最小值）并不一定发生在材料主方向 设计材料 刚度矩阵分量是四个独立常数和角度的复杂函数 Tsai&Pagano利用三角恒等式对刚度变换进行了有创造性的改造利用三角恒等式：在绕垂直于简单层板的轴旋转时，其刚度分量的部分值是不变的，U1U2U5为常数项，不随角度变化，有一定的含义，如拉伸模量，剪切模量等2.8　广义正交各向异性单向板的表观工程常数(1)ηxy,x=γxy／εx。(2)ηxy,y=γxy／εy。(3)ηx,xy=εx／γxy。(4)ηy,xy=εy／γxy。图2-7　玻璃／环氧树脂单向板表观工程常数图2-8　硼／环氧树脂单向板表观工程常数2.9　结论与讨论本章采用宏观力学分析方法，在研究复合材料性能时，将其视为均质的各向异性线性弹性体，于是弹性理论中的平衡方程、几何方程仍然成立，只是本构方程需要重新建立。