弦长公式(高二版椭圆)

圆锥曲线综合问题直线方程的办理：若直线方程未给出，应先假定。（1）若已知直线过点(x0,y0)，则假定方程为yy0k(xx0)；（2）若已知直线的斜率k，则假定方程为ykxm；（3）若只是知道是直线，则假定方程为ykxm【注】以上三种假定方式都要注意斜率能否存在的议论；4）若已知直线恒过x轴上一点(t,0)，且水平线不知足条件（斜率为0（），能够假定直线为xmyt。【反斜截式，m1】不含垂直于y轴的状况（水平线）k2.l:ykxm与椭圆x2y21(ab0)订交于P,Q两点，求弦长弦长公式：若直线a2b2|PQ|的步骤：设P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：ykxm,2消去y整理成对于x的一元二次方程：Ax2BxC0，22222bxayab,则x1,x2是上式的两个根，B24AC0；由韦达定理得：x1x2B,x1x2C,AA又P,Q两点在直线l上，故y1kx1m,y2kx2m，则y2y1k(x2x1)，进而|PQ|(x2x1)2(y2y1)2(x2x1)2k2(x2x1)2(1k2)(x2x1)2(1k2)[(xx)24xx](1k2)A21212【注意：假如联立方程组消去x整理成对于y的一元二次方程：Ay2ByC0，则|PQ|(112)(y2y1)2(112)2反斜截式(1m2)A2】kkA3、其余常有问题办理1）等腰（使用垂直均分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法例或许对角线中点重合）2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于1），其次考虑能否需要求圆的方程。3）锐角和钝角使用数目积正负求解；波及到其余角的问题使用正切值，转变为斜率求解；（4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：Srp,(这里pabc)；（5）圆的弦长用垂径定理；（6）波及到焦点要联想到定义；2（7）三点共线，长度之比尽量使用相像三角形转变为坐标之比，利用韦达定理。1例1．（2007山东卷）已知椭圆的中心在座标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所构成的四边形为正方形，两准线(注：左右准线方程为xa2)间的距离为4c(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆订交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程.例1.解：(1)x2y21.2（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)ykx2，消去y得对于x的方程：(12k2)x28kx60由2y2x22由直线l与椭圆订交于A、B两点，64k224(12k2)8(2k23)0解得k232x1x28k,x1x26|AB|(1k28(2k23)又由韦达定理得12k212k2,)(12k2)2点O到直线l的距离d2，SAOB1|AB|d8(2k23)222k231212k212k2.k2令m2k23(m0)，则2k2m23，S22m222m24m42m当且仅当4m2Smax2k14142y40.m即时，此时2所求直线为m2解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)，则直线l与x轴的交点D(2,0)，k由解法一知k23且x1x218k2,x1x2162，22k2k解法1：SAOB1|OD||yy|1|2||kx2kx22|=|x1x2|2122k1(x2x2)24x1x216k224222k23.下同解法一.12k212k2解法2：SSS1|xx|=222k23。AOBPOBPOA2||x2||x1||22112k22例2：已知椭圆x2y21的左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线交椭圆于B，D两点，32过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，垂足为P．（Ⅰ）设Px02y02ABCD的面积的最小值．(x0，y0)，证明：21；（Ⅱ）求四边形3例2：解：（Ⅰ）椭圆的半焦距c321，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故221，所以(办理方法一)x22y02x02y0211．x0y03≤2222（办理方法二）x22y02x021x02112323226x01（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k0时，BD的方程为yk(x1)，代入椭圆方程x2y21，并化简得(3k22)x26k2x3k260．48(k21)032设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x26k2，x1x23k263k23k222BD(k21)48(k21)43(k21)；因为AC与BC订交于点P，且AC的斜率(3k22)23k2243112为1ACk243(k1)，同理可得12k23（这里AC和BD都过P与椭圆订交）k32k2故四边形ABCD的面积,注意k20S1BDAC24(k21)23)4(6k412k26)4(1k2)．2(3k22)(2k26k413k266k413k264(11)4(11)96,当k21时，上式取等号．6(k2162k211325k2)13k2（ⅱ）当BD的斜率k0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S4．四边形ABCD的面积的最小值为96．【也能够令tk211，或许对分母用基本不等式】253221，左、右焦点例3、[2014·陕西文]已知椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)经过点(0，3)，离心率为ab2分别为F1，F2．1(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为－2的直线l与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于|AB|＝53，求直线l的方程．C，D两点，且知足|CD|4例3．解：(1)椭圆的方程为x2＋y2＝1.43由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心(0，0)到直线l的距离d＝2|m|.5由d<1，得|m|<5，(*)∴|CD|＝21－d2＝21－4m2＝25－4m2.（垂径定理）2551设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝－2x＋m，得x2－mx＋m2－3＝0，3(4m2)>0x2y24＋3＝1x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3，∴|AB|＝(11)3(4m2)＝154－m2.4122由|AB|＝53，得4－m2＝1，解得m＝±3，知足(*)．∴直线l的为y＝－1x3|CD|45－4m2323223，F是例4、(2014全国I卷理)已知点A(0，－2)，椭圆E：x2＋y2＝1(a>b>0)的离心率为ab2椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为23，O为坐标原点．3求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E订交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．例4．解：(1)x2＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．4将y＝kx－2代入x2＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，43216(4k23)4k2＋1·4k2－3当＝16(4k2－3)>0，即k2>时，进而|PQ|＝(1k)1)2=4k21.4(4k2＋又点O到直线l的距离d＝2，所以△OPQ的面积S△OPQ＝1d·|PQ|＝44k2－34k2＋1.k2＋12设4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝24t＝4.因为t＋4≥4，当且仅当t＝2，即k＝±7时等t＋44t2t＋t4号成立，知足>0，所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±7，l的方程为y＝7222例5、（2007浙江文）如图，直线y＝kx＋b与椭圆x2y21交于A、B两点，记△AOB4的面积为S．求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．例5、解：(I)设点A的坐标为((x1,b)，点B的坐标为(x2,b)，由x2y21，4得x1,221b2故S1x2|2b1b2b21b2法一：基本不等式)b|x11(2当且仅当b2时，．S取到最大值1．2法二：S2b2(1b2（)看作b2的二次函数）法三：令bcos,由0b1,则(0,)，S2b1b22cossinsin212ykxb（Ⅱ）由x2得(4k21)x28kbx4b240，16(4k2b21)①y214｜AB｜＝(1k2)16(4k2b21)2②(4k21)2又因为O到AB的距离d|b|2S1所以b2k21③1k2|AB|③代入②消去b得4k44k210解得，k21,b23，代入①式查验，△＞0，22故直线AB是y2x6或y2x6或y2x6或y2x6．22222222例6、（2007陕西文）已知椭圆C:x2y2=1(a＞b＞0)的离心率为6,短轴一个端点到右a2b23焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、O到直线l的距离为B两点，坐标原点，求△AOB面积的最大值.25例6、解：（Ⅰ）椭圆方程为x2y21．3（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．（1）当AB⊥x轴时，AB3．2AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm．（）当把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3(m21)0，12(3k221),x1x26km，x1x23(m21)m221．3k13k由已知mk23，得m23(k21)．①124因为S1ABmax3，△AOB面积取最大值只要|AB|最大,22|AB|12(k21)(3k21m2)3(k21)(9k21)312k2（离分）(3k21)2(3k21)29k46k21当k0时，AB3【也能够令t3k211，或许用基本不等式】当k0时|AB|312≤321262．当且仅当9k21，9k2163k2k2即k3时等号成立．综上所述ABmax2．3当AB最大时，△AOB面积取最大值S1ABmax33．222例7、【2015江苏文理】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2y21ab0a2b2的离心率为2，且右焦点F到左准线l的距离为3.21）求椭圆的方程；2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直均分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.6例7、分析：（1）x2y21．2（2）办理一：当x轴时，2，又C3，不合题意．当与x轴不垂直时，设直线的方程为ykx1，x1,y1，x2,y2，将的方程代入椭圆方程，得12k2x24k2x2k210，8(1k2)>0则x1x24k2，AB的中点C的坐标为2k2,k221k212k12k22，且||12k2．212k若k0，则线段的垂直均分线为y轴，与左准线平行，不合题意．进而k0，故直线PC的方程为yk1(x2k22),故P(5k22)12k2k12k2,2k(12k)进而（用两点间距离公式）|PC|=2(3k21)1k2，因为|PC|=2|AB|，所以|k|(12k2)2(3k21)1k2421k2，解得k1，所以直线AB方程为yx1或yx1|k|(12k2)12k2办理二：明显AB不行能水平，且过F(1,0)，故设AB直线为xmy1，联立xmy1m2)y22my10，8(m21)0x22y2，得(22设x1,y1，x2,y2，C(x0,y0)则y0y1y2m2,x0my0122，22mm2故C(22,m2)，|AB|2m2m故PC直线方程为my2m228(m21)22(1m2)(1m)(2m2)22m2m(x2)，故P(2,2m35m)，点P到直线AB的2m22m22m45m2距离（用点到直线的距离公式）|PC|=|32m2|2(m21)(m23)1m2(2m2)1m22(m21)(m23)42(1m2)42m210，即m21,m1故m22m2解得m(2m2)17例8、【2015浙江理】椭圆x2y21上两个不一样的点A，B对于直线ymx1对称．22（1）务实数m的取值范围；（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）．811：由题意知m0，可设直线AB的方程为y1xb，即xm(by)，例（、）解法mx22y22，消去x，得(m22)y22bm2ym2b220，由m(by)x12∵直线yxb与椭圆xy21有两个不一样的交点，m2∴8(m2m2b22)0，设x1,y1，x2,y2，y1y22bm2m22212故AB中点M(2mb,mb)代入直线方程ymxm2，代入鉴别式解得bm22m2222m2中得2(3m44m24)2(3m22)(m22)0，得m6或m6；m2m233解法二：（点差法）设x1,y1，x2,y2，AB中点M(x0,y0)，故x122y122，x222y222，两式相减得x12x222(y12y22)0，即(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0，变形为(x1x2)2y1y2(y1y2)02x1x22故x020..①y0m111,1)在椭圆又C在直线ymx上，故y0mx0..②，联立①②得C(22m2内，所以1211解得m22，故m6或m6；2m433322|mb||m(m22)|（2）|AB|(1m2)2(3m2)(m2)，点O到AB距离d1m2，m2(m22)22m21m21d|AB|1|m(m22)|(122(3m22)(m22)2(3m22)(m22)S22m21m2m)m2(m22)24m222(3m22)(m22)2(3m22)(m22)2(32)(12=m44m224m2m2)换元法4m8∴t2(0,3)，S2(3t)(1t)(0,2]当且仅当t=1时，Smax2.m2422(或许S23m44m242344，令t1化为二次函数办理。)4m44m2m4m2例9、【2015山东，文理】平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C:x2y21ab0的a2b2离心率为3，左、右焦点分别是F1,F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以12为半径的圆订交，且交点在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E:x2y21，P为椭圆C上随意一点，过点P的4a24b2直线ykxm交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.OQ的值；（ii）求ABQ面积的最大值.(i)求OP例9.分析：（I）椭圆C的标准方程为x2y21.4（II）由（I）知椭圆E的方程为x2y21,164（i）设Px,y，OQ，由题意知Qx,y因为x02y021,00OP004222x02OQ又x0y021,所以2，即2.41，即4y0OP164（ii）设Ax1,y1,Bx2,y2将ykxm代入椭圆E的方程，可得14k2x28kmx4m2160由16(16k24m2)0，（预计你算晕了吧，记着：系数太大体提取公因数减少计算），可得m2416k2①则有x1x28km2,x1x24m216，因为直线ykxm与轴交点的坐标为0,m14k14k29所以OAB的面积S1mx2x2216k24m2m14k222(16k24m2)m224m2m214k24k214k21令m2t，【这换元太有难度了,最好当作对于m2的张口向下的二次函数，看对称轴】14k2将ykxm代入椭圆C的方程可得14k2x28kmx4m240由0，可得m214k2②由①②可知0t1所以S24tt2t24t,故S23当且仅当t1，即m214k2时获得最大值23由（i）知，ABQ面积为3S,ABQ面积的最大值为63.所以例10、（2011天津理）已知椭圆x2y21ab0的离心率e3a2b2．连结椭圆的四2个极点获得的菱形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆订交于不一样的两点A,B．已知点A的坐标为a,0．(ⅰ)若AB42,求直线l的倾斜角;5(ⅱ)点Q0,y0在线段AB的垂直均分线上，且QAQB4．求y0的值．例10、【解】（Ⅰ）椭圆的方程x2y21．4（Ⅱ）(ⅰ)由（Ⅰ）得A2,0.设点B的坐标为x1,y1，由题意直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx2。于是A,B两点的坐标知足方程组ykx2,y并整理得x2y2由方程组消去1,414k2x216k2x16k240，10办理方法一：(直接求解点的坐标)因为x2是方程的一个根，则由韦达定理有2x116k24（领会这类方法），所以x128k14k214k24k，进而y1kx12．14k2228k224k241k2AB2(两点间距离公式)。14k214k214k2办理方法二：16>0，|AB|(1k2)1641k2。由AB42，(14k2)214k25得41k242，整理得32k49k2230，k2132k2230，14k25所以k1．所以直线l的倾斜角为或3．44(ⅱ)线段AB的中点为M，则M的坐标为8k2,2k．14k24k21下边分状况议论：(1)当k0时，点B的坐标为2,0，线段AB的垂直均分线为y轴．于是QA2,y0，QB2,y0，由QAQB4得y022．当k0时，线段AB的垂直均分线方程为y2k1x8k2．令x0得y06k14k2k14k214k2由QA2,y0，QBx,yy，110QAQB2x1y0y1y0228k26k4k6k14k214k214k214k2416k415k214．整理得7k22．k14．214k27所以y06k214．综上，y022或y0214．14k255例11、（2007山东理）已知椭圆C的中心在座标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l:ykxm与椭圆C订交于A，B两点（A，B不是左右极点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右极点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．11例11、解(I)由题意设椭圆的标准方程为x2y21(ab0)a2b2ac3,ac1，a2,c1,b23，x2y21.43ykxm(II)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由x2y21得(34k2)x28mkx4(m23)0，4364m2k216(34k2)(m23)48(4k2m23)0，得34k2m20.x1x28mk2,x1x24(m23)34k34k2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)23(m24k2).m34k2以AB为直径的圆过椭圆的右极点D(2,0),kADkBD1，y1y21，y1y2x1x22(x1x2)40，x12x223(m24k2)4(m23)16mk40，7m216mk4k20，解得34k234k234k2m12k,m22k，且知足34k2m20.7当m2k时，l:yk(x2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当m2k时，l:yk(x2)，直线过定点(2,0).7727综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).72例12、(2005全国卷II)已知P、Q、M、N四点都在椭圆x2y1上，F为椭圆在y轴2正半轴上的焦点．已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PFMF0．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．例12、解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，订交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中起码有一条存在斜率，不如设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx－1=0设P、Q两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则8(k21)，进而|PQ|22(1k2)2k2121，(－1取代k)同理可得|MN|22(1(1)2)(1)当k≠0时，MN的斜率为－kkk2(1)211k22S14(1k)(1k2)4(2kk2)故四边形面积2|PQ||MN|2122，(2k)(252kk2)k214(2u)11令u=k2得S2(15)，∵u=k2≥2k252u2uk2当k=±1时u=2，S=16且S是以u为自变量的增函数，∴16S299②当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=22，|PQ|=2。∴S=1|PQ||MN|=22综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为16。9年浙江理）如图,点P(0,x2y21(ab0)的一个极点,C1例13（、20131)是椭圆C1:2b2a的长轴是圆C2:x2y24的直径.l1,l2是过点P且相互垂直的两条直线,此中l1交圆C2于两点,l2交椭圆C1于另一点D(1)求椭圆C1的方程;(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.例13、解:(Ⅰ)x2y21;4(Ⅱ)l1l2,都过点P(0,1),设直线l1:ykx1kxy10,k存在不为0，直线l2:y1x1xkyk0,所以圆心(0,0)到直线l1:kxy10的距离为kd1k2,直线l1被圆x2y24所截的弦AB24d2234k211k2xkyk0222(k4)x8kx0,所以2由xy264k>014|DP|(1164k28k21k2)(k24)2k2,所以4SABD1|AB||DP|1234k28k2184k23484k23221k2k24k244k231313323232164k23131321313,4k23134k24k24k2333当4k23133k25k10时等号成立,直线l1:y10x14k2222例14、已知椭圆的焦点坐标为F1(-1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不一样的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积能否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明原因.x2y2例14、解：（1）椭圆方程为=143（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2),设△F1MN的内切圆的径R，则△SF1MN1（MN+F1M+F1N）R=4R，所以SF1MN最大，R就最2大，法一：利用面积公式SF1MN1|F1F2||y1y2|2(水平宽与铅垂高乘积的一半，三角形被水平线或竖直线切割成同底的两个三角形)由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，（灵巧使用反斜截式）F1MN的周长为4a=8，yMxF1OF2Nxmy1由x2y2得(3m24)y2+6my-9=0，144(m21)431则SFMN1|F1F2||y1y2|=12m21，（这里使用了|y1y2|=）123m24A2令t=m21,则t≥1,则SAMN12m24112t112,3m23t213t1212t3，SAMN=4R，∴Rmax=SAMN≤3=3,即当t=1,m=0时，SAMN≤3=3,4这时所求内切圆面积的最大值为9π.故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为9π1616法二、更拥有一般性SFMN1|MN|d，(此中d是F1到直线MN的距离）12由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，（灵巧使用反斜截式）点F1到直线MN的距离d21m214xmy1由x2y2得(3m24)y2+6my-9=0，144(m21)431|MN|(1m2)144(m21)12(m21)，SAMN12m2112t1121(3m24)2(3m24)3m243t23ttSAMN≤1212SAMN=4R，∴Rmax=3，3=3,即当t=1,m=0时，SAMN≤3=3,4这时所求内切圆面积的最大值为9π.故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为9π1616例15、[2014·四川文]已知椭圆x2y2F(－2，0)，离心率为6C：2＋b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为3.a求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．例15、解：(1)x2y2＋＝1.62m－0＝－m.(2)设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝－3－（－2）当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝m1，直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也切合x＝my－2的形式．x＝my－2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得x22＋y＝1，消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其鉴别式＝16m2＋8(m2＋3)＞0.62所以y1＋y2＝4m2，y1y2＝－2－12.2＋，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝2m＋3m3m＋3→→因为四边形OPTQ是平行四边形，所以OP＝QT，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2)．12x1＋x2＝m2＋3＝－3，所以4m解得m＝±1.y1＋y2＝m2＋3＝m.方法2：利用平行四边形对角线OT和PQ的中点重合.OT的中点(3,m)，PQ的中点22(6,2m)，故63且2mm，解得m＝±1.故四边形OPTQ的面积m23m23m232m232S四边形OPTQ＝2S△OPQ＝21·|OF|·|y1－y2|＝224(m21)＝23.2(m23)22例16、[2014·四川卷]已知椭圆C：x2＋y2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴ab的一个端点构成正三角形．求椭圆C的标准方程．(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上随意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT均分线段PQ(此中O为坐