向量法求空间角例析
专题突破
向量法 求
空间角
例析
四川 邹丽琼
高 中立 体 几何 中 的空 间 角 ,主要 有 3种 :两 异 面 直 线
所 成 的角 ,斜线 与 平 面 所 成 角 ,以及 两 相交 平 面 所 成 角 .
求 这些 角 ,常 规方 法 是“一 作 二 证 三计 算 ”,其 中作 图 求 角
有时比较 困难 ,若采 用向量法 ,则 可有 效解决这一 困难.
下面就向量法求空 间角 ,逐一分析 ,供读者商榷.
王固 辫 冀 慧
,
∞例 1 在 正 方 体 ABCfTA1B1C D1中...
专
突破
向量法 求
空间角
例析
四川 邹丽琼
高 中立 体 几何 中 的空 间 角 ,主要 有 3种 :两 异 面 直 线
所 成 的角 ,斜线 与 平 面 所 成 角 ,以及 两 相交 平 面 所 成 角 .
求 这些 角 ,常 规方 法 是“一 作 二 证 三计 算 ”,其 中作 图 求 角
有时比较 困难 ,若采 用向量法 ,则 可有 效解决这一 困难.
下面就向量法求空 间角 ,逐一分析 ,供读者商榷.
王固 辫 冀 慧
,
∞例 1 在 正 方 体 ABCfTA1B1C D1中 ,M 是 AB
的 中点 ,求 对 角 线 B D 与 CM 所 成 角 大 小 .
如 图 1,以 DA,Dc,
/}薛析 DD。所 在 直 线分 别
为 z轴 , 轴 ,z轴 ,建 立空 问直
角 坐 标 系 D~xyz,设 正 方 体 棱
长 为 1,贝U D (0,0,0),B (1,1,
1),M(1,去 ,0),C(0,1,0),故
厶
和 一(一1,一1,一1), 一
(1,一 1
,0),cOS<百 , >一
图 1
设 正 方 体 棱 长 为 2,建
析 立 如 图 2所 示 的 空 问
直 角 坐 标 系 D-xyz,则 B (2,2,
O),B1(2,2,2),E (0,2,1),故
商 一(一2,一2,o), 一(o,0,
2),蘸 一 (~2,0,1),设 平 面
, ,-
,二. 例 3 如 图 3,在 a—l-卢的棱
上 有 2个 点 A、B,AC、BD 分 别 是
在 这 个 二 面 角 的 2个 面 内 ,且 垂
直 于 AB 的 线 段 ,又 知 AB 一
4 cm ,A C==:6 CITI。BD 一 8 cm 。CD 一
: :: 车 一 直线 丽阿 一 再一。_ ~
J ^/1十 —
与 CM 所成角 的余 弦值 为 ,故 2直线 所 成角 大 小
为 .arc c。s 15 .
毒 线意 :
历成角为:arc c。s ;
(2)2异 面 直 线 所 成 角 与 对 应 2向 量 的 夹 角 ,可
能相等 或互补 .但 2异面 直线夹 角 为(。, ].
矿 1—’
8例 2 正 方 体 ABCD-A B C D 中 ,E 是 CC
的 中 点 ,求 BE 与 平 面 B BDD 所 成 角 的 大 小 .
搽 代 -
i
2~/17cm,求 二面角 a—z 的大小· 图 3
》 已知CA上AB,AB上 一
, 解 析 BD,所 以c---D=== + +百 ,(c--~)。一
( + 十商 )z,所 以 l CD l z— l l z-t-l l z+
1商 l z-t-2 .商 ,即 (2 )z一6 2-t-4。-t-8。-t-
2 l l· 1商 l·COS< ,蔚 >,所 以 一 48—
96cos< ,商 >,所 以 cos< ,商 >一 一 1,
< ,商 >一120。,所求二面角大小为 60。.
毒 、 垂
总之 ,利用 向量 求解 空 间 角 的基 本 思 路 是 ;建空
间直 角坐标 系 设 坐标 ,写 出 向量 坐 标 进 行 向量 运 算 ,
其实 就是 以算 代证 ,将 几何 问题 代 数 化.但 是 也有 它
不利 的一 面 ,可 能计算 较繁 ,注 意计算 上 不要 失误 .另
外要 注意所 求 角与所 求空 问角范 围 的一 致性 .
(作者 单位 :四 川省苍 溪县 高级 职 业 中学)
言不过行 ,行不过道. ——《淮南子 ·主术训》
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