通信原理与应用 教学课件 ppt 作者 肖萍萍 金振坤 周一 第2章 信号分析及信道

第2章信号及信道2.1信号分析2.2随机信号分析2.3平稳随机过程2.4高斯随机过程2.5窄带随机过程2.6随机过程通过系统的分析2.7信道及其容量2.1信号分析 2.1.1确知信号的分析 信号的分类：确知信号与随机信号；周期信号与非周期信号；能量信号与功率信号。确知信号：可以用确定时间函数示的信号；随机信号：若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率。1.周期信号的傅里叶级数 周期信号的傅里叶级数有两种形式：三角形式和指数形式：（1）三角形式 可以利用三角函数的公式，可以得到f（t）的另一种形式 式中，。 （2）指数形式 由欧拉公式可以将三角形式转换为指数形式：式中系数Fn为周期信号的频谱都是离散谱，谱线间隔为ω0，谱线只存在于基波频率ω0的整数倍上。 2.非周期信号的傅里叶变换当周期T→∞（周期信号变为非周期信号），ω0→0（离散频谱变成连续频谱)。 3.周期信号的傅里叶变换 按照经典数学函数的定义，周期信号的傅里叶变换是不存在的，但如果扩大函数定义范围，引入广义函数δ（t），则可求得周期信号的傅里叶变换。 设f（t）为周期信号，其周期为T，将其展开成指数傅里叶级数，得:式中对周期信号f（t）求傅里叶变换 傅里叶变换的频移特性周期信号的傅里叶变换由一系列位于各谐波频率nω0上的冲激函数组成，各冲激函数的强度为2πFn。 2.1.2信号的能量与功率 能量有限的信号，平均功率为零的信号称为能量信号；而能量无限大，平均功率有限的信号称为功率信号。 信号f（t）的（归一化）能量定义为在R=1Ω负载上的电压或者电流信号f（t）消耗的能量 通常将信号f（t）看成电压或电流，通过R=1Ω的电阻时，信号f（t）的总平均功率则为 2.1.3能量谱密度与功率谱密度 Parseval定理：对于能量信号，在时域中计算的信号总能量等于在频域中计算的信号总能量。即1.能量谱密度能量信号f（t）的能量可以由时域表示也可以由频域表示能量谱密度定义为单位频带的能量，单位为J/Hz，能量信号的能量谱密度为 2.功率谱密度功率信号f（t）的功率可以由时域表示也可以由频域表示式中，FT（ω）是f（t）的截短函数fT（t）的频谱。功率谱密度定义为单位频带的功率，单位为W/Hz，功率信号的功率谱密度为 2.1.4卷积定义与性质 1.卷积的定义2.卷积的性质（1）交换律（2）分配律（3）结合律 3.卷积定理 若f1（t）↔F1（ω），f2（t）↔F2（ω） （1）时域卷积定理（2）频域卷积定理 2.1.5波形的互相关与自相关 信号的相关程度，通常用相关函数表示，它是衡量信号之间的关联或相似程度的一个函数。相关函数表示了两个信号之间或同一信号时间间隔τ的相互关系。 1.自相关函数能量信号f（t）的自相关函数定义为功率信号f（t）的自相关函数定义为自相关函数反映了信号与其延迟τ之后的相关程度。 能量信号f（t）的自相关函数和能量谱密度是一对傅里叶变换，即 功率信号f（t）的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换，即 2．互相关函数 能量信号f1（t）和f2（t）的互相关函数定义为 功率信号f1（t）和f2（t）的互相关函数定义为 互相关函数反映了一个信号和另一个信号延迟τ之后的相关程度。 需要注意的是，互相关函数和两个信号的前后次序有关，即2.2随机信号分析 1.随机过程的定义 例如，设有n台性能相同的接收机，它们的工作条件也相同。现用n部记录仪同时记录各部接收机的输出噪声波形。测试结果将会表明，得到的n张记录图形并不因为有相同的条件而输出相同的波形，即使n足够的大，也找不到两个完全相同的波形，如图2.1所示。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。 这样的一次记录就称之为一个实现或一个样本，无数个记录构成的总体就是一个随机过程。随机过程定义为样本函数的总体或集合，习惯用ξ（t）表示。 另一种角度来看，随机过程是随机变量概念的延伸，定义为是依赖于时间参量t变化的随机变量的总体或集合。随机过程:随时间变化的无数个随机变量的集合。基本特征：(1)是时间t的函数(2)依赖时间参数的一族随机变量 2.随机过程的统计特性的描述 设ξ（t）表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1上，ξ（t1）是一个随机变量。显然，这个随机变量的统计特性，可以用分布函数或概率密度函数去描述。（1）随机过程ξ（t）的一维分布函数 我们把随机变量ξ（t1）小于或等于某一数值x1的的概率P[ξ（t1）≤x1]，记为 F1（x1，t1）称为随机过程ξ（t）的一维分布函数。 （2）随机过程ξ（t）的一维概率密度函数 如果F1（x1，t1）存在对x1的偏导数 则称f1（x1，t1）为ξ（t）的一维概率密度函数。 （3）随机过程ξ（t）的n维分布函数 在一般情况下用一维分布函数去描述随机过程的完整统计特性是极不充分的，因为一维分布函数只能描述随机过程在各个孤立时刻的统计特性，如果要描述随机过程在不同时刻之间的联系，则可以用随机过程的多维分布函数。ξ（t）的n维分布函数被定义为 （4）随机过程ξ（t）的n维概率密度函数 如果存在 则称其为ξ（t）的n维概率密度函数。 显然，n越大，用n维分布函数或n维概率密度函数描述ξ（t）的统计特性就越充分。在后述的分析中，一般用二维分布函数即可。 3.随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 （1）数学期望（统计平均值） 随机过程的数学期望定义为 并记为。随机过程的数学期望是时间的函数。 （2）方差 随机过程的方差定义为 也常记为。 （3）自协方差和自相关函数 衡量同一随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用自协方差和自相关函数来表示。 自协方差函数定义为 式中，与是任取的两个时刻；与为在 及时刻得到的数学期望；为二维概率密度函数。 自相关函数定义为 若设t2=t1+τ，R（t1，t2）=R（t1，τ），即自相关函数与时间起点t1及时间间隔τ有关。 显然，自协方差与自相关函数之间的关系为 （4）互协方差与互相关函数 相关函数和协方差函数的概念可以引入到两个或多个随机过程中去，从而获得互协方差与互相关函数。 互协方差定义为 互相关函数定义为 2.3平稳随机过程 平稳随机过程是一种特殊而又广泛应用的随机过程，在通信领域中占有重要地位。 2.3.1狭义平稳随机过程 所谓狭义平稳随机过程，是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，又称为严平稳随机过程。 也就是说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ（t）的n维概率密度函数满足该定义表明一维分布与时间无关二维分布只与时间间隔τ=t2-t1有关 2.3.2广义平稳随机过程 若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其自相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特别说明外均是宽平稳随机过程。2.3.3各态历经性各态历经性的含义是随机过程的任何一个实现都经历了随机过程的所有可能状态。如果随机过程满足各态历经性，则可以用时间平均代替统计平均。设x（t）是ξ（t）的一个样本，若下列式子成立此随机过程即为各态历经的平稳随机过程。各态历经的随机过程一定是平稳的，而平稳的随机过程则需要满足一定的条件才是各态历经的。各态历经性的随机过程，求各种统计平均时不需（实际上也不可能）考察无限多个实现，而只需考察一个实现即可求得随机过程的数字特征，大大简化计算。通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性。 2.3.4自相关函数和功率谱密度 平稳随机过程的自相关函数是一个特别重要的函数，平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度函数存在傅里叶变换的关系，能够把时域和频域巧妙的结合起来，使我们更加方便和全面的了解随机过程。1.自相关函数的性质（1）（2）（3）当τ＝0时，自相关函数取最大值，即R（0）≥∣R（τ）∣（4）[ξ（t）的直流功率]（5）[方差，ξ（t）的交流功率] 2.功率谱密度随机过程的频谱特性用功率谱密度表示。对于任意的确定功率信号f（t）的功率谱为而对于一个随机过程来说，ξ（t）有许许多多次实现（即许许多多个样本函数，其中某一次实现也是功率信号，其功率谱密度可以用上式表示。随机过程的功率谱密度可以看作是每一个样本函数的功率谱密度的统计平均。设ξ（t）一次实现的截断函数为ξT（t），ξT（t）的傅里叶变换为FT（ω），则该样本函数的功率谱为因此，整个随机过程的平均功率谱为 3.平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数的关系（维纳—辛钦定理） 平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间互为傅里叶变换的关系2.4高斯随机过程 高斯随机过程又称正态随机过程，是通信领域中普遍存在的随机过程。在实践中观察到的大多数噪声都是高斯过程，例如通信信道中的噪声通常是一种高斯过程。 2.4.1高斯过程的定义 若随机过程ξ（t）的任意n维（n=1，2，…）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。2.4.2高斯过程的性质 （1）若高斯过程是宽平稳随机过程，则它也是严平稳随机过程。也就是说，对于高斯过程来说，宽平稳和严平稳是等价的； （2）若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的； （3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程； （4）高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯过程。 2.4.3高斯随机变量 1.一维概率密度函数 高斯过程的一维概率密度函数表示为： 式中，a为高斯随机变量的数学期望，σ2为方差。f（x）的曲线如图所示： f（x）具有以下性质： （1）f（x）对称于x=a这条直线； （2） 并且 （3）a表示分布中心，σ表示集中程度，f（x）图形将随着σ的减小而变高和变窄。 当a=0，σ=1时，称f（x）为正态分布的密度函数。 2.正态分布函数 当需要求高斯随机变量ξ小于或等于任意取值x的概率P（ξ≤x）时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即正态分布函数的积分值不好计算，常与误差函数和互补误差函数联系起来。 3.误差函数和互补误差函数误差函数互补误差函数在分析通信系统的能力时，常用误差函数和互补误差函数来描述。这样可以避免复杂的积分运算，可以借助于一般数学所提供的误差函数求出函数值。用误差函数和互补误差函数来表示F(x)：2.5窄带随机过程 设随机过程的频带宽度为Δf，中心频率为fc。若Δf<<fc，则称此随机过程为窄带随机过程。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带随机过程。窄带过程的频谱和波形示意图 因此，窄带随机过程ξ（t）可用下式表示 式中，aξ（t）及φξ（t）是窄带随机过程ξ（t）的随机包络函数和随机相位函数，ωc是正弦波的中心频率。用三角函数公式展开，窄带随机过程ξ（t）也可用下式表示：ξc（t）、ξs（t）分别称为ξ（t）的同相分量和正交分量，它们也是随机过程对式（2-79）求数学期望由于ξ（t）是平稳高斯窄带过程，且均值为零，所以ξ（t）的自相关函数为（2-84） 2.5.1同相和正交分量的统计特性式中因为ξ（t）是平稳的，故有要求式（2-84）的右边与时间t无关，而仅与τ有关。若令t=0，则显然要求即再令t=π/2ωc，则同理得（2-87）（2-86）显然要求由以上分析可知，若ξ（t）是平稳的，则ξc（t），ξs（t）也是平稳的。通过分析式（2-86）和式（2-87）可得到又根据互相关函数的性质所以即Rsc（τ）是奇函数，故有同理可得带入式（2-86）和式（2-87）可得到即一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ（t），它的同相分量ξc（t）和正交分量ξs（t）也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。式（2-79）中取t=t1=0时，ξ（t1）=ξc（t1）式（2-79）中取t=t2=3π/2ωc时，ξ（t2）=ξs（t2）由于ξ（t）是随机过程，所以ξc（t1），ξs（t2）也是高斯随机变量，从而ξc（t）、ξs（t）也是高斯随机过程。又可知ξc（t）、ξs（t）在同一时刻的取值是互不相关的随机变量，因而它们还是统计独立的。2.5.2包络和相位的统计特性由上面分析，ξc和ξs的二维概率密度函数为设aξ（t）、φξ（t）的二维分布密度函数f（aξ（t），φξ（t）），则根据概率论知识有于是可得注意，这里aξ≥0，φξ在（0，2π）内取值。一个均值为零，方差为σ2的窄带平稳高斯过程ξ（t），其包络aξ（t）的一维概率分布是瑞利分布，相位φξ（t）的一维概率分布是均匀分布。再利用概率论中边缘分布知识将f（aξ，φξ）对φξ积分，求得包络aξ的一维概率密度函数为可见，aξ服从瑞利分布。同样，将f（aξ，φξ）对aξ积分，求得相位φξ的一维概率密度函数为可见，φξ服从均匀分布。2.6随机过程通过系统的分析由信号与系统的知识，确知信号通过线性系统时，若输入信号是f（t），输出响应为y（t），则输出响应是输入信号f（t）与冲激信号h（t）的卷积。若则图2.5平稳随机过程通过线性系统如果把f（t）看成输入随机过程的一个样本，y（t）看成输出随机过程的一个样本，输入为随机过程ξi（t），输出随机过程ξo（t）为则可表示为1.输出随机过程的数学期望输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与H（0）相乘。因为是平稳随机过程，故有由傅里叶变换的定义所以（2-101）2.输出随机过程的自相关函数线性系统的输出的自相关函数仅与时间间隔τ有关。由式（2-101）、（2-103）可知输出过程为平稳随机过程，即若线性系统的输入为平稳随机过程，则输出也为平稳随机过程。由输入过程的平稳性故自相关函数（2-103）3.输出随机过程的功率谱密度系统输出功率谱密度Po（ω）是输入功率谱密度Pi（ω）和︱H（ω）︱2的乘积。平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度互为傅里叶变换，即令2.7信道及其容量 2.7.1信道的定义和分类 1.信道的定义 通常对于信道的理解有两种： 狭义信道：仅指信号传输媒介的信道； 广义信道：在通信原理的分析中，从研究消息传输的角度来看，所关心的只是通信系统中的基本问题，可将信道的范围扩大。除包括传输媒介外，还可能包括有发送设备、接收设备、馈线、天线、调制器、解调器等。 在讨论通信的一般原理时，通常采用的是广义信道。 2.信道的分类 狭义信道通常按具体媒介的不同类型可分为有线信道和无线信道。 （1）有线信道 有线信道是指传输媒介为明线、双绞线、对称电缆、同轴电缆、光纤等一类能够看得见的媒介。 （2）无线信道 无线信道的传输媒质比较多，它包括短波电离层反射、对流层散射等。 广义信道通常按照它包含的功能也可分成两种：调制信道和编码信道。 （1）调制信道 调制信道是从研究调制与解调的基本问题出发而构成的，它的范围是从调制器输出端到解调器输入端。 （2）编码信道 在数字通信系统中，着眼于编码和译码问题。2.7.2高斯白噪声 信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 双边功率谱为 单边功率谱为这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。 白噪声的双边带功率谱密度和自相关函数 如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。 应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。2.7.3正弦波加窄带高斯噪声 在第3章介绍的模拟调制系统和第6章介绍的数字调制技术中，传输的信号通常是一个以正弦波作为载波的已调信号。 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。 因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形，最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。 设正弦波加窄带高斯噪声的合成信号为 合成信号r（t）的包络和相位为正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯分布。 当信噪比r很小时，f（z）接近于瑞利分布；当信噪比r很大时，f（z）接近于高斯分布；在一般情况下f（z）是莱斯分布。 合成波相位有以下结论：小信噪比时，f（φ）接近于均匀分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，f（φ）趋于一个在原点的冲激函数。图正弦波加窄带高斯噪声的包络与相位分布曲线 2.7.4信道容量 1.信道容量 在信息论中，称信道无差错传输信息的可能最大信息速率为信道容量，记为C。 2.香农公式 假设连续信道的加性高斯白噪声平均功率为N（W），信道的带宽为B（Hz），信号平均功率为S（W），则该信道的信道容量为这就是信息论中具有重要意义的香农公式，它表明了当信号与作用在信道上的起伏噪声的平均功率给定时，具有一定频带宽度B的信道上，理论上单位时间内可能传输的信息量的极限数值。 由于噪声功率N与信道带宽B有关，故若噪声单边功率谱密度为n0（W/Hz），则噪声功率为N=n0B。因此，香农公式的另一种形式为 一个连续信道的信道容量受B、n0、S三个要素限制，只要这三个要素确定，则信道容量也就随之确定。 由香农公式可以得到如下重要结论： （1）在给定B、S/N的情况下，信道的极限传输能力为C，而且此时能够做到无差错传输。 （2）提高信噪比S/N（通过减小n0或增大S），可提高信道容量C。 （3）增加信道带宽B，也可增加信道容量C，但做不到无限制地增加。这是因为如果S、n0一定，有 （4）维持同样大小的信道容量，可以通过调整信道的B及S/N来达到。