概率论与数理统计电子教案

...第一章随机事件及其概率概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.§1.1随机事件一、随机试验1确定性现象:必然发生或必然不发生的现象。在正常的大气压下，将纯净水加热到100℃时必然沸腾,向上抛一石子必然下落，异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥等2随机现象:在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象.掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点,抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上两种不同的结果.3随机现象的特点：人们通过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种统计规律性.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.4.随机试验为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察,我们把对随机现象的观察称为随机试验,并简称为试验，记为.5.随机试验具有下列特点:1.可重复性:试验可以在相同的条件下重复进行;2.可观察性:试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;3.随机性(不确定性):每次试验出现的结果事先不能准确预知.，但可以肯定会出现所有可能结果中的一个.二、随机事件1.样本点：随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点,记作.2样本空间：全体样本点组成的集合称为这个随机试验的样本空间，记为.(或)．即例1:：投掷一枚硬币，观察正面，反面出现的情况，则样本空间为．：将一枚硬币连抛两次，观察正面，反面出现的情况，则样本空间为．：将一枚硬币连抛两次，观察正面Ｈ出现的次数，则样本空间为．：记录某电话台在一分钟内接到的呼叫次数，则样本空间为．：已知某物体长度在10与20之间，测量其长度，则样本空间为．：在一大批灯泡中任取一只，测试其使用寿命，则样本空间为．注：：1)在中，虽然一分钟内接到电话的呼叫次数是有限的，不会非常大，但一般说来，人们从理论上很难定出一个次数的上限，为了方便，视上限为∞，这种处理方法在理论研究中经常被采用．2)样本空间的元素是由试验的目的所确定的，如和中同是将一枚硬币连抛两次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样．3随机事件：我们称试验的样本空间的子集为的随机事件，简称事件，在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性.一般用，…等大写字母示事件．设为一个事件，当且仅当试验中出现的样本点时，称事件在该次试验中发生．如：在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上”是一个随机事件，可用｛正面向上｝表示．掷骰子，“出现偶数点”是一个随机事件，试验结果为2，4或6点，可用B＝｛2，4，6｝表示．注:要判断一个事件是否在一次试验中发生，只有当该次试验有了结果以后才能知道．1)基本事件：仅含一个样本点的随机事件称为基本事件.如:抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么“出现1点”、“出现2点”,...,“出现6点”为该试验的基本事件．2)必然事件：．样本空间本身也是的子集，它包含的所有样本点，在每次试验中必然发生，称为必然事件．即必然发生的事件.如：“抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”为必然事件.3)不可能事件：．空集也是的子集，它不包含任何样本点，在每次试验中都不可能发生，称为不可能事件．不可能发生的事件是不包含任何样本点的.如：“掷一颗骰子，出现的点数大于6”是不可能事件.三、事件间的关系与运算研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的.1子事件、包含关系,2相等事件:若事件Ａ发生必然导致事件发生，且若事件发生必然导致事件发生，即A=B注：事件与事件含有相同的样本点例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”与事件“出现2，4或6点”是相等事件。3和事件或并事件，4、积事件或交事件，.5、事件的差，.注：例如，在例1的中，若记，，则，｝6、互斥或互不相容EMBEDEquation.DSMT4.事件A和随机B不能同时发生.注：.推广：设事件满足EMBEDEquation.DSMT4称事件是两两互不相容的.7对立事件或互逆事件若事件和事件中有且仅有一个发生，即则事件和事件为互逆事件或对立事件。记的对立事件为EMBEDEquation.DSMT4注:互逆事件必为互斥事件，反之，互斥事件未必为互逆事件事件的关系与运算可用图来直观的表示．注:事件的运算满足如下基本关系．①EMBEDEquation.DSMT4，②若ＡＢ，则Ａ∪Ｂ＝Ｂ，Ａ∩Ｂ＝Ａ．③Ａ－Ｂ＝Ａ∩＝Ａ－Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｂ＝Ａ∪（Ｂ－Ａ）．8、完备事件组:设EMBEDEquation.DSMT4是有限或可列个事件,若其满足①②，则称是样本空间的一个完备事件组或一个划分.注:与构成一个完备事件组.四、随机事件的运算规律幂等律:交换律:结合律：分配律:德摩根DeMorgan定律:例2：一名射手连续向某个目标射击三次，事件表示该射手第次射击时击中目标（），试用表示下列各事件．（1）前两次射击中至少有一次击中目标；（2）第一次击中目标而第二次未击中目标；（3）三次射击中，只有第三次未击中目标；（4）三次射击中，恰好有一次击中目标；（5）三次射击中，至少有一次未击中目标；（6）三次射击都未击中目标；（7）三次射击中，至少两次击中目标；（8）三次射击中，至多一次击中目标解:分别用表示（1），（2），…，（8）中所给出的事件．（1）．（2）或（3）（4）（4）或（6）（7）(8)备讲例2：甲，乙，丙三人各射一次靶，记“甲中靶”“乙中靶”“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1)“甲未中靶”：(2)“甲中靶而乙未中靶”：(3)“三人中只有丙未中靶”：(4)“三人中恰好有一人中靶”：(5)“三人中至少有一人中靶”：(6)“三人中至少有一人未中靶”：或(7)“三人中恰有兩人中靶”：(8)“三人中至少兩人中靶”：(9)“三人均未中靶”：(10)“三人中至多一人中靶”：(11)“三人中至多兩人中靶”：或注：用其他事件的运算来表示一个事件,方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件,特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.例3　如图所示电路中，＝“灯亮”，分别表示“开关Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ闭合”，　，　　这是因为，如果发生，即开关Ⅰ，Ⅱ同时闭合，则整个电路接通，于是灯亮，即Ａ发生，所以,同理如果发生，即或中至少一个发生，则整个电路接通，于是灯亮，即Ａ发生，所以反之，如果Ａ发生，即灯亮，则或中至少有一个发生，所以由事件相等的定义，课堂练习1.设当事件与同时发生时也发生,则(C)(A)是的子事件;(B)或(C)是的子事件;(D)是的子事件.2.设事件{甲种产品畅销,乙种产品滞销},则的对立事件为(D).(A)甲种产品滞销,乙种产品畅销;(B)甲种产品滞销;(C)甲、乙两种产品均畅销;(D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销.§1.2　频率与概率随机事件在一次随机试验中是否会发生，事先不能确定，但希望知道它发生可能性的大小．这里先引入频率的概念，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数字度量———概率．一、频率及其性质1定义1在相同条件下重复进行了次试验，如果事件在这次试验中发生了次，则称比值为事件发生的频率，记作它具有下述性质:非负性规范性有限可加性频率的大小表示了在次试验中事件发生的频繁程度．频率大，事件发生就频繁，在一次试验中发生的可能性就大，反之亦然．因而直观的想法是用频率来描述在一次试验中发生的可能性的大小．2频率的稳定性随机事件在相同条件下重复多次时，事件发生的频率在一个固定的数值附近摆动，随机试验次数的增加更加明显,事件的频率稳定在数值，说明了数值可以用来刻划事件发生可能性的大小，可以规定为事件的概率二、概率的统计定义定义2　对任意事件，在相同的条件下重复进行次试验，事件发生次，从而事件发生的频率，随着试验次数的增大而稳定地在某个常数附近摆动,那么称为事件的概率上述定义称为随机事件概率的统计定义．在实际应用时，往往可用试验次数足够大时的频率来估计概率的大小，且随着试验次数的增加，估计的精度会越来越高．在实际中，我们不可能对每一个事件都做大量的试验，然后求得事件发生的频率，用以表征事件发生的概率．为此给出概率的严格的公理化定义．三、概率的公理化定义定义3设是随机试验，是它的样本空间，对的每一个事件赋予一个实数，记为，若满足下列三个条件：（1）非负性　对每一个事件，有；（2）规范性　对于必然事件，有（3）可列可加性　设是两两互不相容的事件，有则称为事件发生的概率．四、概率的性质性质1性质2.有限可加性：设是两两互不相容的事件,则有即若EMBEDEquation.DSMT4则性质3.对任一随机事件，有性质4.设是两个事件,若则，证明　因为，从而有），且．由性质2得所以由于，因此性质5：对任意事件.性质6(减法公式)：对事件,则　证明　由于，而根据性质4可得性质7:对任意两个事件，有推广:证明:因为且，由性质2及性质4得一般地,设为n个随机事件，则有此公式称为概率的一般加法公式。例1：设求(1);(2);(3);(4).解:(1)(2);(3)(4)例2：设，EMBEDEquation.DSMT4，求事件全不发生的概率。解：＝因为,所以,而所以练习:设事件A、B的概率分别为1/3、1/2，求在下列三种情况下的值（1）A与B互不相容（2）（3）P（AB）=1/8解：（1）由已知得=P（B）=1/2（2）=P（B）-P（A）=1/6（3）=P（B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=3/8§1.3古典概型与几何概型一、古典概型我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型．（1）随机试验只有有限个可能的结果；（2）每一个结果发生的可能性大小相同．古典概型又称为等可能概型．设试验是古典概型，样本空间为，则基本事件，，…，两两互不相容，且由于及，因此若事件包含个基本事件，即其中是中某个不同的数，则有即二、计算古典概率的方法1基本计数原理：(1).加法原理：设完成一件事有种方式,其中第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，……,第种方式有种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为.(2).乘法原理：设完成一件事有个步骤,其中第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，……，第个步骤有种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为.2.排列组合方法(1)排列公式：从n个不同元素中任取k个的不同排列总数为(2)组合公式；从n个不同元素中任取k个的不同组合总数为例1:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H,反面T出现的情况。(1)设事件为“恰有一次出现正面”，求(2)设事件为“第一次出现正面”，求,(3)设事件为“至少有一次出现正面”,求解：中包含有限个元素，且每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。样本空间,(1),（2),(3)或例2:　袋中装有5只白球3只黑球，分别按下列方式抽取2只：（1）第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球．这种取球方式叫做不放回抽样．（2）第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球．这种取球方式叫做放回抽样．（3）一次任取2只．设＝“所取2只球均为白球”，＝“所取2只球中一白一黑”，求．解（1）不放回抽样.第一次从8只球中抽取一只，不再放回，故第二次从7只球中抽取1只，因此基本事件总数为.因为第一次有5只白球供抽取，第二次有4只白球供抽取，所以事件中包含的基本事件数为，所以　　从5只白球中任取一只共有5种方法，从3只黑球中任取一只共有3种方法，第一次取得白球第二次取得黑球及第一次取得黑球第二次取得白球构成事件，共有种方法，故　　（2）放回抽样.因为每次都是从8只球中抽取，故由乘法原理，基本事件总数的,又由于两次都是从5只白球中抽取，故构成的基本事件数为，因此　　事件包含的基本事件数：第一次取得白球第二次取得黑球有个基本事件，第一次取得黑球第二次取得白球有个基本事件，故　　（3）一次任取2只因为不考虑次序，将从8只球中抽取2只的可能组合作为基本事件，总数为·事件发生的基本事件数为从5只白球中任取2只的组合，有个．故　　事件发生的基本事件数为从5只白球中任取1只，从3只黑球中任取一只构成的组合，共有个，故　　例3一批产品共10件，其中有3件次品，今从中随机取4件，问其中恰有2件为次品的概率是多少?解：设=｛从中随机地取4件,恰有2件为次品｝10件产品中随机地取4件共有种取法，每种取法为一基本事件且每个基本事件发生是等可能的，又因在3件次品中取2件的取法有种，在7件正品中取2件正品的取法有种，由乘法原理，在4件产品中有2件次品，2件正品的取法共有·种，所以例4:有只球，随机放在个盒子中（）．试求下列各事件的概率．（1）每个盒子中至多有一只球；（2）某指定的个盒子中各有一只球；（3）恰有个盒中各有一球．解:只球放入个盒子里的方法共有种，即为基本事件总数．（１）设＝“每个盒子中至多有一只球”．因为每个盒子中至多放一只球，共有EMBEDEquation.DSMT4种不同的放法．即中包含的基本事件数为．所以（2）设＝“某指定的个盒子中各有一只球”．由于只球在指定的个盒中各放一只，共有种放法，故中包含的基本事件数为.所以（3）设＝“恰有个盒中各有一只球”．由于在个盒中选取个盒子的选法有种，而对于每一种选法选出的个盒，其中各放一只球的放法有种．所以包含的基本事件数为所以例如，假设每个人的生日在一年３６５天中的任一天是等可能的，即都等于，那么随机选取EMBEDEquation.DSMT4个人，他们的生日各不相同的概率因而，个人中至少有两人生日相同的概率为如果，可算出，即在一个50人的班级里，“至少有两个人的生日相同”这一事件发生的概率与1差别很小．例5:　从的100个整数中任取一个，试求取到的整数既不能被6整除，又不能8整除的概率．解:设＝“取到的数能被6整除”，＝“取到的数能被8整除”，＝“取到的数既不能被6整除，也不能被8整除”．则，对，设100个整数中有个能被6整除，则，所以．即中有16个基本事件，同理中含有12个基本事件，则设既能被6整除又能被8整除即能被24整除的数为个，则所以．即中含有4个基本事件，则故三、几何概型古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型.将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。几何概型特点:有一个可度量的几何图形，试验看成在中随机地投掷一点,事件就是所投掷的点落在中的可度量图形中这里我们研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型—几何概型.例:某路公共汽车每发出一辆车，求乘客到达站点后，等待时间不超过的概率．如果记此事件为，乘客到达站点的时刻可视为向时间段投掷一随机点．从而向时间段内投点对应于向线段上投点．事件表示“等待时间不超过，而样本空间Ω＝，这里所投掷的点落在线段上任一点的可能性都一样或说具有等可能性．我们理解这种等可能性的含义，就是点落在时间段内的可能性与该线段的长度成正比，与该线段的位置无关．因此事件Ａ的概率决定于线段［2，5］与［0，5］的长度比，即几何概率的定义:如果一个随机试验相当于从直线、平面或空间的某一区域Ω任取一点，而所取的点落在Ω中任意两个度量（长度、面积、体积）相等的子区域内的可能性是一样的，则称此试验模型为几何概型，对于任意有度量的子区域，，定义事件“任取一点落在区域内”发生的概率为例6：甲乙二人相约定7：00-8：00在预定地点会面，先到的人要等候另一人20分钟后，方可离开，假定他们在指定的一小时内任意时刻到达.求二人能会面的概率。解设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为及（分钟）,则两人到达时间的一切可能结果对应于边长为60的正方形里所有点＝｛二人会面｝练习:1某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不超过10分钟的概率。(1/6)2在线段上任意取两个点B、C，在B、C处折断此线段而得三折线，求此三折线能构成三角形的概率。解：设A＝｛三折线能构成三角形｝设AD＝1，AB＝x，BC＝y，CD＝1-x-y，则样本空间A＝｛两边之和大于第三边｝＝§1.4条件概率一.条件概率例1:两台机器加工同一种产品，共100件，第一台机器加工合格品数为35件，次品数为5件，第二台机器加工合格品数为50件，次品数为10件．若从100件产品中任取一件产品，已知取到的是第一台机器加工的产品，问它是合格品的概率是多少．解　令Ａ＝“取到产品是第一台机器加工的”，Ｂ＝“取到产品为合格品”，于是所求概率是事件Ａ发生的条件下事件Ｂ发生的概率，所以称它为Ａ发生的条件下Ｂ发生的条件概率，并记作可以用古典概型计算．因为取到的是第一台机器加工的，又已知第一台机器加工40件产品，其中35件是合格品，所以．　　另外，由于ＡＢ表示事件“取到的第一台机器加工的，并且是合格品”，而在100件产品中是第一台机器加工的又是合格品的产品为35件，所以，而，从而有定义:设是两个事件，且，称为在事件Ａ发生的条件下，事件Ｂ发生的条件概率，记为，即同样,可以在的条件下，定义在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率为条件概率Ｐ（·Ａ）满足概率公理化定义中的三个基本性质：1.非负性对任一事件，2.规范性:3.可列可加性：设两两互斥注:,计算条件概率有两种方法：（1）在样本空间Ω中，先求，再按定义计算（2）在缩减的样本空间中求事件Ｂ的概率，可得到例2:一袋中有10只球，其中3只黑球，7只白球，依次从袋中不放回取两球．（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率．解　记＝“第次取到黑球”（）（1）可以在缩减的样本空间上计算．因为已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取球时，所有可取的球只有9只．中所含的基本事件数为9，其中黑球只剩下2只，所以．（2）由于第二次取球发生在第一次取球之后，故缩减的样本空间的结构并不直观，因此，直接在Ω中用定义计算因为又由且与互不相容故　例3:某种动物由出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，这种动物已经活到20岁时再活到25岁的概率是多少？解　记＝“该动物活到20岁”，＝“该动物活到25岁”，显然，则．又＝0.8，　＝0.4，　＝0.4．所以二、乘法公式1定理１（乘法公式）　设则有设则有它表明，两个事件同时发生的概率等于其中一个事件发生的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概率的乘积．2、推广：三个事件的乘法公式:设为三个事件,且3.多个事件乘法公式的推广:设为个事件,当时，有EMBEDEquation.DSMT4证明：因，故又＝EMBEDEquation.DSMT4例4：袋中有个白球和个黑球，随机取出一个，然后放回，并同时再放进与取出的球同色的一只球,，再取第二只,，这样连续去3次。问取出的3个球中头两个是黑球，第三个是白球的概率是多少?EMBEDEquation.DSMT4例5:设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以表示事件“透镜第次落下打破”，以表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：三、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。例6:某工厂有甲、乙、丙三台机器，它们的产量分别占总产量的0.25，0.35，0.40，而它们的产品中的次品率分别为0.05，0.04，0.02．（1）从所有产品中随机取一件，求所取产品为次品的概率；（2）从所有产品中随机取一件，若已知取到的是次品，问此次品分别是由甲、乙、丙三台机器生产的概率是多少？解:1）设＝“取出的产品为次品”又设＝“所取产品来自甲台”，＝“所取产品来自乙台”，＝“所取产品来自丙台”．由于,两两互不相容，所以且也两两互不相容，于是又已知,,故所求概率,　　定理3(全概率公式)：设随机试验Ｅ的样本空间为Ω，为的任意事件，是Ω的一个完备事件组，（即且两两互不相容），且，则　全概率公式说明，在复杂情况下直接计算不易时，可根据具体情况构造一完备事件组，使事件发生的概率是各事件）发生的条件下引起事件发生的概率的总和．若已经观察到一个事件已经发生，再来研究事件发生的各种原因、情况或途径的可能性的大小，就需要给出贝叶斯公式．定理4（贝叶斯公式）　设为一完备事件组，且．则对任一事件，，有例7:已知自然人患有某种疾病的概率为0.005，据以往记录，某种诊断该疾病的试验具有如下效果，被诊断患有该疾病的人试验反应为阳性的概率为0.95，被诊断不患有该疾病的人试验反应为阳性的概率为0.06，在普查中发现某人试验反应为阳性，问他确实患有该疾病的概率是多少？解　设事件＝“试验反应为阳性”，“被诊断者患有此疾病”，则＝“被诊断者不患有此疾病”．由已知，,　由全概率公式　　再由贝叶斯公式，所求概率例8:玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应地为0.8,0.1和0.1．一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，顾客随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．试求：（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率．解　设＝“顾客买下该箱玻璃杯”“箱中恰有只残次品”显然，为Ω的完备事件组，由题意，EMBEDEquation.DSMT4　　（１）由全概率公式得(2)由贝叶斯公式练习1:设有五个坛子，大号坛子两个，各装两个白球一个黑球，中号坛子两个，各装三个白球一个黑球，小号坛子一个，装有十个黑球。如任选一个坛子，从中取出一球，问这球是黑球的概率是多少?EMBEDEquation.DSMT42:对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？解：＝“产品合格”,＝“机器调整得良好”“机器发生某一故障”§1.5　事件的独立性与伯努利概型一两个事件的独立性定义1:若两事件,满足成立则称事件,相互独立,或称,独立.注:(1)两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念，它们分别从两个不同的角度表达了两事件间的某种联系，互不相容是表述在一次随机试验中两事件不能同时发生，而相互独立是表述在一次随机试验中一事件是否发生与另一事件是否发生互无影响．(2)当,时,,相互独立与,互不相容不能同时成立.但与既相互独立又互不相容.证明：EMBEDEquation.DSMT4，由于AB=Φ，所以但是，由题设这表明，事件A与B不相互独立所以当,时,,相互独立与,互不相容不能同时成立.定理1:设,是两事件，若,相互独立，且则．反之，或则相互独立．证明　若相互独立，则当时，有反之若则故,相互独立定理2证:由故注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。例1:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记“抽到”，“抽到的牌是黑色的”，判断事件是否独立？解:利用定义判断，由得到故事相互独立．例2：甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.2，乙击中目标的概率为0.5.试计算目标被击中的概率.解：设表示“甲击中目标”，表示“乙击中目标”,则，二、有限个事件的独立性定义2　设是三个事件，如果满足等式．则称事件相互独立．定义3　设是个事件，如果其中任意2个，任意3个，…，任意个事件之积的概率，都等于各事件的概率之积，则称事件相互独立．另外，称无穷多个事件相互独立，是指其中任意有限多个事件都相互独立．或定义4设是个事件，若其中任意两个事件均相互独立，则称两两相互独立．可见个事件相互独立，可推得个事件两两相互独立，反之未必.多个相互独立事件具有如下性质：性质１　若事件相互独立，则其中任意个事件也相互独立．性质2　若事件相互独立，则将中任意个事件换成它们的对立事件，所得的个事件仍相互独立．特别是，若相互独立，则也相互独立．利用多个事件的独立性，可以简化概率的计算．（1）计算个相互独立的事件的积的概率，可简化为(2)计算个相互独立的事件的和的概率，可简化为证明:例3　一个人看管三台机床，设各台机床在任一时刻正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.85，求在任一时刻，（1）三台机床都正常工作的概率；（2）三台机床中至少有一台正常工作的概率．解:三台机床工作正常与否是相互独立的，记“第台机床正常工作”（），则（1）所求概率为　　（2）所求概率为例4　在图1－4所示的开关电路中，开关Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的开（或关）的概率均独立地等于求事件“灯亮”的概率．解:设分别表示开关Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ关闭，记＝“灯亮”，则，故所求概率为EMBEDEquation.DSMT4三、伯努利概型在概率论中，只考虑两个可能结果的随机试验称为伯努利试验．为方便起见，将两个可能结果说成事件发生或事件不发生，记将伯努利试验在相同条件下独立地重复进行次，称这一串重复的独立试验为重伯努利试验，或简称为伯努利概型．重伯努利试验是一种很重要的数学模型，在实际问题中应用广泛，特点是事件在每次试验中发生的概率均为，且不受其他各次试验中是否发生的影响．对于伯努利概型，主要研究次试验中事件发生次的概率．定理3（伯努利定理）　设在一次试验中，事件A发生的概率为则在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为证明　在重伯努利试验中，由于各次试验是相互独立进行的，因此事件在指定的次试验中发生，其余次试验中均不发生（比如在前次试验中发生，在后次试验中均不发生）的概率为由于这样的指定方式共有种，根据概率的加法公式可得．在次试验中发生次的概率为　　定理4:设在一次试验中，事件发生的概率为，则在伯努利试验序列中，事件在第k次试验中才首次发生的概率为证明　“事件在第次试验中首次发生”等价于“事件在前次试验中均不发生而第次试验中发生”，故所求的概率例5　一袋中装有10只球，其中3只黑球，7只白球，每次从中随意取出一球，取后放回．（1）如果共取10次，求10次中恰好3次取到黑球的概率及10次中能取到黑球的概率；（2）如果未取到黑球就一直取下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次的概率及至少要取3次的概率．解:设“第ｉ次取到黑球”，则（1）设＝“10次中能取到黑球”，“10次中恰好取到ｋ次黑球”，，于是10次中恰好3次取到黑球的概率10次中能取到黑球的概率（2）设＝“恰好要取3次”＝“至少要取3次”，则所求概率为　例6　设在独立重复试验中每次事件Ａ发生的概率为0.5，问最少需要进行多少次试验，才能使事件Ａ至少发生一次的概率不小于0.9？解：设最少需要进行次独立重复试验，则在次试验中事件至少发生一次的概率为解得所以练习1三人独立地去破译一份密码,已知每个人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？解：将三人分别编号为1,2,3，记={第i个人破译出密码}，所求为已知，，且相互独立，2一大批产品的次品率为0.05，现从中取出10件．试求下列事件的概率：B={取出的10件产品中恰有4件次品}C={取出的10件产品中至少有2件次品}D={取出的10件产品中没有次品}解：取10件产品可看作是一10重贝努里试验EMBEDEquation.DSMT4第二章随机变量及其分布在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量.由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量.与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性.本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.§2.1随机变量一、随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1.在有些随机试验中,试验的结果本身就由数量来表示.例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示2.在另一些随机试验中,试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示.例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的，可规定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”二、随机变量的定义1定义设随机试验的样本空间为,对每个,都有一个实数与之对应,则称为随机变量.简记为.随机变量通常用英文大写字母或希腊字母等表示。随机变量的取值一般用小写字母等表示。2随机变量的特征1)它是一个变量，2)它的取值随试验结果而改变3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件，具有一定的概率三、引入随机变量的意义随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.四、随机变量的类型随机变量因其取值方式不同,通常分为离散型和非离散型两类.而非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.离散型：随机变量的所有取值是有限个或可列个连续性：随即变量的取值是某个区间或整个数轴§2.2离散型随机变量及其概率分布一.离散型随机变量的概率分布1、定义：如果随机变量的取值是有限个或可列无穷个，则称为离散型随机变量．2、定义(概率分布)设离散型随机变量的所有可能取值为，取各个可能值的概率,即事件的概率为则称其为离散型随机变量的概率分布或分布律.常用表格形式来表示的概率分布:注：离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．即离散型随机变量可完全由它的可能取值以及取这些值的概率唯一确定．离散型随机变量分布律的性质:例１　一箱中装有6个产品，其中有2个是二等品，现从中随机地取出3个，试求取出的二等品个数的概率分布．解：　随机变量的可能取值是0,1,2，在6个产品中任取3个，共种取法，故,,.所以，的概率分布为加例：设随机变量的分布律为解：由随机变量的性质，得该级数为等比级数，故有所以二、常用离散型随机变量的分布10-1分布或两点分布或伯努利分布．如果随机变量的分布律为或则称随机变量X服从参数为的0-1分布或两点分布或EMBEDEquation.DSMT42.二项分布如果随机变量的分布律为注：(1)(2)显然，当时例2　射手射击一枪命中的概率是，求射手射击6枪中恰好命中枪的概率．解:我们将射手射击一枪看成一次试验，独立射击6枪相当于做6重伯努利试验．记为陆次射击命中的次数，则是一个随机变量，且因此例3：某人进行射击，每次射击的命中率为0.001，独立射击5000次，求命中一次以上的概率．解：将一次射击看成一次试验，设击中的次数为X，则的概率分布为于是所求概率加例：一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解：每答一道题相当于做一次贝努利试验，,则答5道题相当于做5重贝努里试验．设表示学生靠猜测能答对的题数,3泊松分布：如果随机变量X的分布律为则称随机变量X服从参数为λ的泊松分布注:(1)(2)泊松分布的应用（1）泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一.实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.泊松分布是概率论中重要的分布之一．（2）自然界及工程技术中的许多随机指标都服从泊松分布．（3）例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从泊松分布的．例4:某一城市每天发生火灾的次数X服从参数的泊松分布,求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率.解:由概率的性质,得EMBEDEquation.3EMBEDEquation.34二项分布的泊松近似定理1(泊松定理)在重伯努利试验中,事件在每次试验中发生的概率为(注意这与试验的次数有关),如果时,(为常数),则对任意给定的,有.证：对于固定的k，有所以EMBEDEquation.DSMT4泊松定理的应用当时近似效果颇佳,当时近似效果更好,例5:为保证设备正常工作，需要配备一些维修工，如果各台设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01．试在以下各情况下，求设备发生故障而不能及时维修的概率．（1）一名维修工负责贰拾台设备；（2）3名维修工负责90台设备．解:（1）以X表示20台设备中同时发生故障的台数，则以为参数的泊松分布作近似计算，得（2）以Y表示90台设备中同时发生故障的台数，则．以参数的泊松分布作近似计算，得所求概率为练习1：设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知解：随机变量X的分布律为由已知得，所以练习2为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备300台各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？解：设需配备N人，记同一时刻发生故障的设备台数为X，则X～b(300，0.01），需要确定最小的N的取值，使得：查表可知，满足上式的最小的N是8,因此至少需配备8个工人。练习3设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法：其一，由4人维护，每人负责20台其二，由3人,共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解：按第一种方法.以X记“第1人负责的20台中同一时刻发生故障的台数”，则X～B(20，0.01）.以Ai表示事件“第i人负责的台中发生故障不能及时维修”，则80台中发生故障而不能及时维修的概率为：按第二种方法.以Y记80台中同一时刻发生故障的台数，则Y～B(80，0.01）.故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以有效地使用人力、物力资源。§2.3随机变量的分布函数当我们要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率.只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量,为此，我们引入随机变量的分布函数的概念.一.随机变量的分布函数定义设是一个随机变量,称为的分布函数.注：分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴．在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数左边的概率对于任意的实数，有-------用分布函数计算某些事件的概率二、分布函数的性质1.单调非减.若,则；2.规范性3.右连续性.即反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。三、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量的概率分布为则的分布函数为例1：EMBEDEquation.3，求它的分布函数,并求,.解：由概率的有限可加性得分布函数为：EMBEDEquation.3SHAPE\*MERGEFORMAT一般地，对离散型随机变量其分布函数为结论：离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应值的概率;反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型.例2设随机变量的分布函数为求的概率分布.解由于图形是一个阶梯型曲线,故知是一个离散型随机变量,的跳跃点分别为对应的跳跃高度分别为9/19,6/19,4/19,如图.故X的概率分布为例3：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解：1）若则是不可能事件，于是EMBEDEquation.DSMT43）若,则是必然事件，于是第四节连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量的分布函数,存在非负函数,使得对于任意实数有则称为连续型随机变量,称为的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数.概率密度性质：关于概率密度的说明1.对一个连续型随机变量,若已知其密度函数,则根据定义,可求得其分布函数,同时,还可求得的取值落在任意区间上的概率:2.连续型随机变量取任一指定值的概率为0.因注：概率为0的事件不一定是不可能事件.同样，概率为1的事件也不一定是必然事件。从而例1:设连续型随机变量具有概率密度(1)确定常数,(2)求X的分布函数,(3)解(1)由密度函数的性质得解得的概率密度为(2)X的分布函数(3)EMBEDEquation.DSMT4二、一些常用的连续型随机变量的分布1.均匀分布（1）定义若连续型随机变量的概率密度为则称在区间上服从均匀分布,.（2）均匀分布的密度函数满足性质（3）均匀分布的分布函数若随机变量X服从在[a,b]上的均匀分布，则分布函数为例2:已知乘客在某公共汽车站等车的时间服从区间(0,10)上的均匀分布，求乘客等车时间不超过的概率．解　由于，所以的概率密度为　　故等车时间不超过的概率为－∞2指数分布（1）定义若随机变量的概率密度为，则称服从参数为的指数分布.简记为（2）指数分布的分布函数EMBEDEquation.DSMT4（3）指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示例3某元件的寿命服从指数分布,已知其参数，求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.解由题设知,的分布函数为由此得到EMBEDEquation.3各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,则所求概率为EMBEDEquation.33正态分布1)定义若随机变量的概率密度为其中和都是常数,则称服从参数为和的正态分布.记为2)正态分布密度函数的图形性质:EMBEDEquation.DSMT43)正态分布的分布函数：的图形是一条上升且关于点的曲线注:正态分布是概率论中最重要的连续型分布,在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为高斯分布.一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布.这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因.例如,产品的质量指标,元件的尺寸,某地区成年男子的身高、体重,测量误差,射击目标的水平或垂直偏差,信号噪声、农作物的产量等等,都服从或近似服从正态分布.4、标准正态分布定义5:正态分布当时称为标准正态分布,此时,其密度函数和分布函数常用和表示:标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.5、定理设则证：6定理：，对任意区间有7、标准正态分布表的使用：（1）表中给出了时的数值,当时,利用正态分布的对称性,有（2）若则（3）若,则故的分布函数EMBEDEquation.3例4:设,求解这里EMBEDEquation.3故EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3例5：设求,解：则有的取值几乎都落入以m为中心，以3s为半径的区间内。称为3s准则例6:公共汽车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下的，设男子身高（单位：）服从正态分布，问车门高度为多少？解:设公共汽车门的高度为，由题设要求．而即．查附表3得．故,则故车门的高度超过时，男子与车门碰头的机会小于0.01练习1设某项竞赛成绩，若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应定为多少？解设获奖分数线为则求使成立的EMBEDEquation.3即查表得解得故分数线可定为78分.练习2将一温度调节器放置在内，调节器整定在℃，液体的温度（以℃计）是一个随机变量，且(1)若℃，求小于89℃的概率；(2)若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问至少为多少？解(1)所求概率为EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3(2)按题意需求满足EMBEDEquation.3即EMBEDEquation.3亦即故需第五节随机变量函数的分布一、随机变量的函数定义如果存在一个函数,使得随机变量满足:,则称随机变量是随机变量的函数.注:，由于是随机变量，其取值事先不确定，因此的取值也不确定，也是随机变量．本节主要解决的问题是，已知随机变量的分布，求其函数的分布，这里是已知的连续函数．本节主要研究是随机变量函数的随机性特征,即由自变量的统计规律性出发研究因变量的统计性规律.注:随机变量与的函数关系确定,为从的分布出发导出的分布提供了可能.二、是离散型随机变量例1:设随机变量的概率分布为试求的分布律.解:有可能取的值为,所以,的分布律为：求离散型随机变量函数的分布的一种方法：记的所有可能取值为对每个来说至少有一个，使成立，将所有满足式子中的对应的概率求和，作为事件的概率，上例也可用列表形式求解 的概率分布为 三、是连续型随机变量设已知的分布函数或概率密度函数,则随机变量函数的分布函数可按如下方法求得:例2:设随机变量,证明的线性函数EMBEDEquation.3也服从正态分布.证记的分布函数为若,EMBEDEquation.3将对求导,得的概率密度为又的概率密度为EMBEDEquation.3所以若EMBEDEquation.3对求导,得的概率密度为故即服从正态分布的随机变量的线性函数仍服从正态分布特别上例中EMBEDEquation.3则得例3：设随机变量X具有概率密度求的概率密度解：(1)先求的分布函数例如,设X～N(0,1),其概率密度为：则的概率密度为：定理1设随机变量具有概率密度,又设处处可导且恒有(或恒有),则是一个连续型随机变量,其概率密度为其中是的反函数,且证明：单调增加,它的反函数存在且在严格单调增加,可导.分别记的分布函数为例4设随机变量在上服从均匀分布,求的概率密度函数.解在区间(0,1)上，函数的导数故严格单调增加,且具有反函数又故的概率密度函数由已知在上服从均匀分布，代入的表达式中练习1设随机变量的概率密度为,求的概率密度.解：(1)先求的分布函数：EMBEDEquation.DSMT4整理得的概率密度为：2设随机变量在上服从均匀分布,求的概率密度解：在区间上，函数，故于是在区间上单调下降，有反函数由前述定理，得已知在上服从均匀分布，代入的表达式中即服从参数为的指数分布。第三章多维随机变量及其分布在实际应用中,有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如,研究某地区学龄前儿童的发育情况时,就要同时抽查儿童的身高、体重,这里,和是定义在同一个样本空间上的两个随机变量.又如,考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标和纵坐标.在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,故我们重点讨论二维随机变量.第一节二维随机变量一、二维随机变量及分布函数1定义:由随机变量构成的有序数，称为二维随机变量或二维随机向量.注：2定义:设是二维随机变量,对任意实数,二元函数称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数.3二元分布函数的几何意义EMBEDEquation.DSMT44随机点落在矩形区域:内的概率为＝5分布函数的性质:（1）且对任意固定的EMBEDEquation.3对任意固定的(2)关于和均为单调不减函数,即对任意固定的当对任意固定的当(3)关于和均为右连续,即有注：上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数。具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数．破坏之一，则不是。二、二维离散型随机变量及其概率分布1定义：若二维随机变量只取有限对或可数对值,则称为二维离散型随机变量.结论：为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量.2定义：若二维离散型随机变量所有可能的取值为EMBEDEquation.3则称为二维离散型随机变量的概率分布(分布律),或的联合概率分布(分布律).有时也将联合概率分布用表格形式来表示,并称为联合概率分布表:3二维离散型随机变量联合分布律的性质：1)2)4二维离散型随机变量的联合分布函数设二维离散型随机变量的联合概率分布为于是，的联合分布函数为注：对离散型随机变量而言,联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观,而且能够更加方便地确定取值于任何区域上的概率，即,特别地,由联合概率分布可以确定联合分布函数:例1:从一只装有3只黑球和2只白球的口袋中取球两次，每次任取一只，不放回，令,求的概率分布．解　的所有可能取值为例2：设随机变量服从参数为的指数分布，随机变量定义如下：求的联合概率分布.解：的分布函数为 0 1 0 0 1 所以的联合概率分布为三、二维连续型随机变量及其概率密度1定义：设为二维随机变量,为其分布函数,若存在一个非负的二元函数,使对任意实数,有则称为二维连续型随机变量,并称为的概率密度(密度函数),或的联合概率密度(联合密度函数).2概率密度函数的性质:(3)设是平面上的区域,点落入内的概率为(4)若在点连续,则有3在几何上表示空间的一个曲面，的值等于以为底，以曲面为顶的柱体体积四、二维均匀分布设是平面上的有界区域,其面积为.若二维随机变量具有概率密度函数，则称在上服从均匀分布.例3：设二维随机变量的密度函数为(2)分布函数(3)(5)解：（1）EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4,EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4练习1：设随机变量在1,2,3,4四个数中等可能地取值，另一个随机变量在中等可能地取一整数值。试求的分布律。解：2设二维随机变量的联合概率分布为 YX 0 1 0.3 0.1 0.1 1 0.05 0.2 0 2 0.2 0 0.05求及解EMBEDEquation.3EMBEDEquation.33设的概率分布由下表给出，求, Y 0 2 0 0.1 0.2 0 1 0.2 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1解EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3第二节边缘分布一、边缘分布函数1定义：二维随机向量作为一个整体,有分布函数，其分量与都是随机变量，有各自的分布函数，分别分别称为的边缘分布函数和Y的边缘分布函数；称为的联合分布函数。2求法：同理注：与的边缘分布函数实质上就是一维随机变量或的分布函数。称其为边缘分布函数的，是相对于的联合分布而言的。同样地，的联合分布函数是相对于的分量与的分布而言的。例1:EMBEDEquation.DSMT4解：EMBEDEquation.DSMT4二、离散型随机变量的边缘概率分布1边缘分布函数对于二维离散型随机变量,已知其联合概率分布为,其分布函数为则它关于X的边缘分布函数为它关于Y的边缘分布函数为2边缘概率分布随机变量的概率分布3已知联合概率分布求边缘概率分布的边缘概率分布可由下表表示例2设二维随机变量的联合概率分布为 YX 0 1 0.3 0.1 0.1 1 0.05 0.2 0 2 0.2 0 0.05求的边缘分布律。解： YX 0 1 0.3 0.1 0.1 0.5 1 0.05 0.2 0 0.25 2 0.2 0 0.05 0.25 0.55 0.3 0.15 例3：设随机变量 0 1 P －1 0 1 P 解:　因故．因事件是互不相容的事件与的和，所以　　即由的联合概率分布及边缘概率分布表： -1 0 1 0 1 知故 -1 0 1 0 1 三、连续型随机变量的边缘概率密度EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4上式表明:是连续型随机变量,且其密度函数为:同理，由EMBEDEquation.DSMT4是连续型随机变量,且其密度函数为密度例3:设服从有界区域上的均匀分布,其中是由轴,轴及直线所围成的三角形区域,求关于X和Y的边缘概率密度.解:区域的面积为1,所以的概率密度为则关于X的边缘概率密度为关于的边缘概率密度为例4;解：则四、二维正态分布若二维随机变量具有概率密度其中均为常数,且,则称服从参数为的二维正态分布.例5：设求和的边缘概率密度解：由注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数，亦即对给定的，不同的对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于和关于的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量的联合分布的.练习:1设的概率密度是求(1)的值;(2)两个边缘密度.解(1)由确定所以(2)EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3即2设随机变量和具有联合概率密度求边缘概率密度EMBEDEquation.3.解EMBEDEquation.3EMBEDEquation.33设服从单位圆域上的均匀分布,求X和Y的边缘概率密度.解当或时，从而当时，EMBEDEquation.3于是我们得到的边缘概率密度由和在问题中地位的对称性,将上式中的改成就得到的边缘概率密度第三节随机变量的独立性事件与独立的定义是：若则称事件与相互独立。借助于两个随机事件的相互独立的概念，引入随机变量的相互独立一、随机变量相互独立的概念1、定义,则称随机变量相互独立.说明（1）可知二维随机变量的联合分布函数可由其边缘分布函数EMBEDEquation.DSMT4唯一确定（2）对任意的,随机事件与相互独立.二、离散型随机变量的相互独立的充要条件如果是二维离散型随机变量，其概率分布及边缘概率分布分别为,EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4,则随机变量和相互独立的充分必要条件是：对的所有可能取值均有,即,例1：设二维随机变量的联合概率分布为解：EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4由EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4又由EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4联合概率分布,边缘概率分布为EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4例2:甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以和分别表示甲和乙的命中次数，试求和的联合概率分布．解　因为和相互独立，所以和的联合概率分布可由边缘概率分布求得．因为，．所以和的边缘概率分布为列表为 由和的独立性,和的联合概率分布,故和的联合概率分别为 三、连续型随机变量相互独立的充要条件如果是二维连续型随机变量，其概率密度函数及边缘概率密度函数和在面上除个别点及个别曲线外均连续时，随机变量和相互独立的充分必要条件是：在,,的连续点处都有例3:设证明与相互独立的充要条件是.证明：因“Þ”若X和Y相互独立，则"，有特别地，将代入上式，有从而r=0。“Ü”将r=0代入联合概率密度函数，得所以，X与Y相互独立。例4:设随机变量的概率密度为求(1)与的边缘概率密度,(2)判断与是否相互独立;解(1)EMBEDEquation.3当时，当时，所以类似可得由于当时,,故与不相互独立.例5:某旅客到达火车站的时间均匀分布在早上7:55---8:00,，而火车这段时间开出的时间的概率密度为EMBEDEquation.3求此人能及时赶上火车的概率．解　由题意知的概率密度为　　因和相互独立，所以和的联合概率密度为此人能及时赶上火车的概率为关于二维随机变量的一些概念，定义2:设是定义在样本空间Ω上的个随机变量，则称为维随机变量．定义3:对于任意个实数，函数称为维随机变量的分布函数或随机变量的联合分布函数．定义4:对于维随机变量的分布函数，若存在非负函数使对于任意实数有则称为维连续型随机变量，称为维连续型随机变量的概率密度．定义5:设维随机变量的分布函数为，则的维边缘分布函数就随之确定．例如关于，关于的边缘分布函数分别记为又若是的概率密度，则关于，关于的边缘概率密度分别为定义6:设，分别是维随机变量的分布函数和边缘分布函数，若对任意实数，有则称相互独立．由定义6可知，维连续型随机变量中，相互独立的充分必要条件是对任意实数有成立，其中EMBEDEquation.DSMT4）依次是的概率密度和的边缘概率密度．定义7:若对任意的实数；有其中依次为随机变量，和的分布函数，那么称随机变量和相互独立．我们还可以得到下面的定理．定理1:设和相互独立，则和相互独立．又若是两个连续函数，则和相互独立．练习:1.解:则有和直线2设的概率密度为(1);(2)问和是否独立?解(1)EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3即EMBEDEquation.3因对一切均有:故独立.(2)EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3即EMBEDEquation.3由于存在面积不为0的区域,使故和不独立.第四节条件分布第一章中，我们介绍了条件概率的概念,在事件发生的条件下事件发生的条件概率将其推广到随机变量：设有两个随机变量与，在给定取某个或某些值的条件下，求的概率分布。这个分布就是条件分布一、离散型随机变量的条件概率分布1条件分布律定义其概率分布为边缘概率分布为设EMBEDEquation.DSMT4概率分布EMBEDEquation.DSMT4，＝＝，概率分布.2、条件概率分布具有概率分布的以下特性：1)；3、条件分布函数定义EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4对固定的EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT44、性质和相互独立EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4条件分布律＝边缘分布律例1设与的联合概率分布为 YX 0 2 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1(1)求关于的边缘概率分布;(2)求时,的条件概率分布以及时,的条件概率分布;(3)判断与是否相互独立?解(1)由与的联合概率分布得关于的边缘概率分布 1 2 0.3 0.45 0.25(2)在时,的条件概率分布为又故在时，的条件概率分布可类似求得(2)因EMBEDEquation.3而即所以,与不独立.二、连续型随机变量的条件分布1.设(X,Y)是二维连续型随机向量，由对任意有所以不能直接用条件概率公式得到条件分布EMBEDEquation.DSMT4若则EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4若则＝EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT42条件密度函数的性质EMBEDEquation.DSMT43、性质X和Y相互独立.EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4条件概率密度＝边缘概率密度例2:设二维随机变量的概率密度是求条件概率密度,及解:故当时,在的条件下,的条件概率密度为故当时,在的条件下,的条件概率密度为当时例3:设数在区间随机取值，当观察到时，数在区间上随机地取值.求的概率密度.解：练习1设服从单位圆上的均匀分布，概率密度为求X的边缘分布及解：EMBEDEquation.DSMT4当时,当时,EMBEDEquation.DSMT4熟练时，被积函数为零的部分可以不写。EMBEDEquation.DSMT4所以上的均匀分布2设的概率密度是求解：EMBEDEquation.DSMT4为此,需求出由于EMBEDEquation.DSMT4于是，对EMBEDEquation.DSMT4故对EMBEDEquation.DSMT43EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4解：EMBEDEquation.DSMT44：一射手进行射击,击中目标的概率为,射击进行到击中目标两次为止.以表示首次击中目标所进行射击次数,以表示总共进行的射击次数.试求和的联合分布及条件分布.解：在条件下随机变量的条件分布律为当时在条件下随机变量Y的条件分布律为当时第三节两个随机变量函数的分布在实际问题中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数.例如，医学上考察某地区40岁以上的人群，用和分别表示一个人的年龄和体重，表示这个人的血压，并且已知与，的函数关系式我们希望通过的分布来确定的分布.在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系:（1）(2)和，其中与相互独立.一、离散型随机变量的函数的分布设是二维离散型随机变量,其概率分布为，又是一个二元函数,则也是一个一维离散型随机变量,设的所有可能取值为,则的概率分布为其中是指若有一些都使，则将这些对应的概率相加。例1设随机变量的概率分布如下表 －1012 －1 0.2 0.15 0.1 0.3 2 0.1 0 0.1 0.5求（1）的概率分布；（2）的概率分布解由的概率分布可得 －2 －1 0 1 1 2 3 4 1 0 －1 －2 －2 0 2 4 0.2 0.15 0.1 0.3 0.1 0 0.1 0.05把值相同项对应的概率值合并得（1）的概率分布为 －2 －1 0 1 2 3 4 0.2 0.15 0.1 0.4 0 0.1 0.05（2）的概率分布 －2 －1 0 1 2 4 0.4 0.1 0.15 0.2 0.1 0.05例2:若和相互独立,且分别服从参数为的泊松分布,求的分布律.解:因所有可能取值为，故所有可能取值为，事件可以写成互不相容的事件EMBEDEquation.DSMT4之和，由相互独立，所以有EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4这表明服从参数为的泊松分布。二、连续型随机变量的函数的分布设是二维连续型随机向量,其概率密度函数为,令为一个二元连续函数,则是一维连续随机变量，可用类似于求一维随机变量函数分布的分布函数法来求的分布.（1)求分布函数其中,积分区域是由平面内由不等式所确定，即（2)求概率密度,对几乎所有的z,有讨论和的函数及，的概率分布。1.的分布设是二维连续型随机向量，其概率密度函数为,则的分布函数为这里积分区域是直线左下方的半平面（见图3-6）即利用广义二重积分有EMBEDEquation.DSMT4（3.1）或（3.2）图3-6固定和，对式（3.1）中方括号内的积分作变量替换，令得EMBEDEquation.DSMT4由概率密度于分布函数的关系，可得的概率密度为（3.3）同理对式（3.2）作变量替换，又可写成（3.4）（3.3）式和（3.4）式可作为两个随机变量和的概率密度的一般公式。特别地，当和相互独立时，因为对于所有和有，其中分别是关于和的边缘概率密度，所以（3.5）（3.6）以上两个公式称为卷积公式，记作，即EMBEDEquation.DSMT4例3:设和是两个相互独立的随机变量.且均服从标准正态分布,求的概率密度。解:因及和相互独立，故由卷积公式得的概率密度为EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4令得EMBEDEquation.DSMT4即一般，若相互独立，且由卷积公式可知仍然服从正态分布且这一结论还能推广到个相互独立的正态随机变量之和的情况，即且它们相互独立，则它们的和仍然服从正态分布，且有例4设随机变量与相互独立，其概率密度分别为，求随机变量的密度。解用两种方法求解方法1利用卷积公式由定义知，仅当即时上述积分的被积函数才不等于零，如图3-8知图3-8当时，当时，当时，故方法2先求的分布函数。由已知的概率密度为则的分布函数为当时，（图3-9（1））图3-9（1）图3-8（2）当时，（图3-9（2））当时，（图3-9（3））综上得的分布函数图3-8（3）故的概率密度为2．，的分布设随机变量相互独立,其分布函数分别为和,和的分布函数分别记为，由于事件，而相互独立,所以事件与事件相互独立，由此可得EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.3由于事件，而相互独立,所以事件与事件相互独立，由此可得EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4上述结果容易推广到个相互独立的随机变量的情况，设是个相互独立的随机变量，其分布函数分别为，，则的分布函数为的分布函数为特别地，当相互独立且具有相同分布函数时有，例5设系统由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为（1）串联，（2）并联，（3）备用（当系统损坏时，系统开始工作），如图3—9所示.设的寿命分别为,已知它们的概率密度分别为其中且试分别就以上三种联接方式写出的寿命的概率密度.解（1）串联的情况由于当中有一个损坏时，系统就停止工作，所以这是的寿命为由题设知，，的分布函数分布为于是，的分布函数为所以的概率密度为（2）并联的情况由于当且仅当都损坏时，系统才停止工作，所以这时的寿命为．于是，的分布函数为从而的概率密度为3).备用时，由于当系统损坏时系统才开始工作，这时整个系统的寿命是和两者寿命之和，即由和相互独立，的概率密度当时，；当时，有例6:设随机变量相互独立且都服从具有同一参数的分布，试求的概率分布．解　由于每个可能取的值为0,1，则所有可能取值为由相互独立知，以某一特定方式取（如前个取1，后个取0）的概率为.而取的两两互不相容的方式共有种，由概率的有限可加性有.即服从.反过来，可以证明，一个服从以为参数的二项分布的随机变量可以看作个相互独立且都服从参数为的分布的随机变量之和，即把一个随机变量分解成有限个随机变量之和，这是在处理概率论的有关问题时常用的方法．{了解商的分布：连续型随机变量商的分布于是练习1:设与相互独立,且均在区间上服从均匀分布,求的密度函数.解：SHAPE\*MERGEFORMAT解法二:由卷积公式，得为确定积分限,先找出被积函数不为零的区域2设某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度函数为如果各周的需要量相互独立,求两周需要量的概率密度函数.解分别用和表示第一、二周的需求量则从而两周需求量利用卷积公式计算.当时,若则EMBEDEquation.3若则从而当时,若则若即则故EMBEDEquation.3从而第四章随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数,从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中,人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况,而只要知道它的某些数字特征即可.例如,在某地区粮食产量的水平时,通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如,在评价一批棉花的质量时,既要注意纤维的平均长度,又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度,平均长度较大,偏离程度小,则质量就较好.等等.实际上,描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义,它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括:数学期望、方差、相关系数、矩.第一节数学期望引例：某班有N个人参加数学考试，其中有个人得分，，，求该班学生的平均成绩。解：平均成绩为:若用X表示成绩，则,一、随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征,它对评判事物、作出决策等具有重要作用.1定义设是离散型随机变量的概率分布为如果绝对收敛,则定义为随机变量的数学期望(又称均值)也就是说：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数和。注：2定义设是连续型随机变量,其密度函数为,如果反常积分绝对收敛,定义的数学期望为例1甲,乙两人进行射击,所得分数分别记为,它们的分布律分别为EMBEDEquation.3试评定他们的射击技术水平的高低.解：例2：某人每次射击命中目标的概率为，现连续向目标射击，直到第一次命中目标为止，求射击次数的数学期望．解　设为直到第一次命中目标为止所进行的试验次数，则X取值为1,2,…，事件表示前次射击未命中目标，而第次射击命中目标.其概率为EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4例3:设随机变量服从参数为的指数分布，求的数学期望．解:由题意,的概率密度为则例4：设随机变量X服从柯西分布,概率密度为求E(X)解：因反常积分不收敛,所以不存在例5:有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命服从同一指数分布,其概率密度为,若将这2个电子装置串联联接组成整体,求整体寿命(以小时计)的数学期望.解的分布函数为的分布函数为因而的概率密度为于是的数学期望为二、随机变量函数的数学期望设是一随机变量,为实函数,则也是一随机变量,理论上,虽然可通过的分布求出的分布,再按定义求出的数学期望.但这种求法一般比较复杂.下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.定理1设是一个随机变量,,且存在,则（1）若为离散型随机变量,其概率分布为则的数学期望为：（2）若为连续型随机变量,其概率密度为,则的数学期望为注:(i)定理的重要性:求时,不必知道的分布,只需知道的分布即可.(ii)上述定理可推广到二维以上的情形,即有定理2设是二维随机变量,,且存在,则（1）若为离散型随机变量,其概率分布为则的数学期望为（2）若为连续型随机向量,其概率密度为则的数学期望为例6：设随机变量X的概率分布为解法一：先求Y的概率分布故解法二例7:设二维随机变量的联合概率分布为: YX 1 2 12 1/81/2 1/41/8求的数学期望解:法1设,则的值为法2: 2356 的概率分布为 2356 例8:设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量(单位:吨),它服从区间EMBEDEquation.3上的均匀分布,每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元;若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元,问应组织多少货源,才能使国家收益最大?解设组织货源吨,显然应要求国家收益(单位:万元)是的函数表达式为设的概率密度函数为则于是的期望为EMBEDEquation.3记,,得,又故吨时,取极大值,也是最大值,因此组织3500吨商品为好.例9:设二维随机变量的概率密度为求数学期望解:(1)记,则(2)记注意：当我们求时，不必算出的概率密度，只把看成利用的概率密度来计算即可．四、数学期望的性质1.设是常数,则2．若是常数，则3.4.设独立,则;证：注:(1)由不一定能推出独立，(2)这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形.例10：设X是随机变量，求的最小值解：记则令得又因所以时的最小值例11：设相互独立的随机变量的密度函数分别为.求解：例12:　一载有20位乘客的客车自始发站开出，前方有10个车站可以下车．设每位乘客在各个车站下车是等可能的，并设各乘客是否下车相互独立．如果到达一站没有乘客下车就不停车，以表示停车的次数，求解：引入随机变量易知由题意由此进而练习1设一汽车沿一街道行使，需要通过三个设有红绿灯的路口，每盏红绿灯独立地以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求的概率分布和数学期望.解：的可能取值为0,1,2,3设＝｛汽车在第个路口遇到红灯｝X的分布律为：2设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求，，解：===3设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示， XY 0 1 2 0 0.10 0.25 0.15 1 0.15 0.20 0.15求的数学期望解：列表 (X,Y) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) X+Y 0 1 2 1 2 3 Z 0 1 0 1 0 -1 p 0.10 0.25 0.15 0.15 0.20 0.15得Z的分布律 Z -1 0 1 p 0.15 0.45 0.40故4设随机变量的数学期望概率密度为，求a与b的值,并求分布函数.解由题意知EMBEDEquation.3解方程组得EMBEDEquation.3当时,有所以第二节方差随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价,而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标.如：EMBEDEquation.DSMT4在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，可用表示，但不方便；所以通常用来度量随机变量与其均值的偏离程度。一、方差的定义1定义1设是一个随机变量,若存在,则称它为的方差,记为方差的算术平方根称为标准差或均方差,它与具有相同的度量单位,在实际应用中经常使用.2方差刻划了随机变量的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.从方差的定义易见:(1)若的取值比较集中,则方差较小;(2)若的取值比较分散,则方差较大;如引例二、方差的计算1若是离散型随机变量,且其概率分布为则2若是连续型随机变量,且其概率密度为则3方差的简化公式:.4设随机变量具有数学期望方差称为X的标准化变量即的数学期望为0,方差为1.三、方差的性质1.设常数,则;2.若是随机变量,若是常数,则3.4.设是两个独立的随机变量,则证明:EMBEDEquation.DSMT4若独立,上式右端为0,则5.随机变量的方差,即充分性显然，必要性的证明略去．因，性质5说明，当方差为零时，随机变量以概率1集中在数学期望这一点上，即方差等于零的随机变量与以概率1等于常数的随机变量是一样的．它进一步说明方差是度量随机变量与它的数学期望的偏离程度的指标．四.下面求几个常用分布的数学期望和方差(1)）分布设随机变量分布，其概率分布为则（2）泊松分布设随机变量X服从参数为(泊松分布，其概率分布为，k=0,1,2,...EMBEDEquation.DSMT4(3)二项分布设,则可看作是个相互独立且都服从参数为的分布的随机变量之和,即因服从分布.EMBEDEquation.3EMBEDEquation.DSMT4故由于相互独立,于是(4).均匀分布若，其概率密度为(5).指数分布设随机变量服从参数为的指数分布,其概率密度为(6)．正态分布设随机变量,概率密度为EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3注:服从正态分布的随机变量的概率密度中的两个参数和分别就是该随机变量的数学期望和均方差，因而服从正态分布的随机变量的分布完全可由它的数学期望和方差所确定．例1:设随机变量相互独立,且都服从参数为的指数分布,而是的算术平均值,求解:因,故所以例2设活塞的直径（以cm计）EMBEDEquation.3,气缸的直径相互独立,任取一只活塞,任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率.解按题意需求由于故有EMBEDEquation.3练习1:设连续型随机变量的密度函数为:求解：2:设随机变量和相互独立，且,.求的概率密度解:由,，且和相互独立知服从正态分布，且.故，Z的概率密度为3：设随机变量服从参数为1的指数分布，求解：的密度函数为所以又EMBEDEquation.DSMT4所以第三节协方差及相关系数对多维随机变量,随机变量的数学期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映随机变量之间的关系.本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依赖关系的一个数字特征.一、协方差的定义1定义设为二维随机变量,若存在,则称其为随机变量和的协方差,记为,即2计算公式（1）若为离散型随机向量,其概率分布为则（2）若为连续型随机向量,其概率分布为则.（3）方差的计算化简.特别地,当与独立时,有二、协方差的性质1.协方差的基本性质,其中是常数;为任意常数;(6)若与相互独立时,则2.随机变量和的方差与协方差的关系特别地,若与相互独立时,则.三、相关系数的定义定义1设为二维随机变量,协方差存在,称为随机变量和的相关系数.有时也记为.注意:无量纲，相关系数与协方差之间相差一个常数特别地，当时，称与不相关.四、相关系数性质定理1:设是随机变量和的相关系数则（1）（2）的充要条件是,即和以概率1存在线性关系其中为常数,且时,时,(3)若和相互独立,则.即和不相关.证明:(1)设和的均方差分别为,则,所以又由于所以,故即(2)由方差的性质5,的充要条件是,由(1)的证明可知若,则,这等价于,即其中,则,这等价于,即其中故的充要条件是,且时,时,(3)若和相互独立,则故,于是.即和不相关.注:相关系数刻画了随机变量Y与X之间的“线性相关”程度.的值越接近1,Y与X的线性相关程度越高;的值越近于0,Y与Y的线性相关程度越弱.当时,Y与X的变化可完全由X的线性函数给出.当时,Y与X之间不是线性关系.例1：设随机变量和相互独立,都服从参数为的泊松分布,求随机变量和的相关系数.解：因故所以因而又所以例2：设随机变量和的方差都为1,其相关系数为0.25,求与的协方差解:因故例3:设二维随机变量在由轴,轴及直线所围成的区域上服从均匀分布,求和的相关系数.解:的概率密度为EMBEDEquation.3同理故,从而例4:设二维随机变量的概率分布为 YX 0 1 0 0 1 0 判断和是否不相关,是否相互独立?解:由的概率分布知 -1 0 1 0 1 故和的边缘概率分布是 0 1 －1 0 1 ,由 0 0 0 －1 0 1 0 0 0 得的概率分布为 －1 0 1 故从而,所以和不相关.又可知所以和不是相互独立的.例5：设二维随机变量求证证明：由已知可求出：，EMBEDEquation.3注：(1)若与独立，则与不相关；但由与不相关，不一定能推出与独立。(2)在上一章中我们已经得到：若服从二维正态分布,那么和相互独立的充要条件为.现在知道即为与的相关系数,故有下列结论:“若服从二维正态分布，则与相互独立,EMBEDEquation.3与不相关”.练习:1.设连续型随机变量的密度函数为求和.解由的密度函数可求得其边缘密度函数分别为:EMBEDEquation.3于是EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3从而EMBEDEquation.3又EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3所以EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3故EMBEDEquation.32.已知,且与的相关系数设求及解因且EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3所以EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3又因EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3故第四节矩　协方差矩阵一、原点矩和中心矩数学期望、方差、协方差是随机变量常用的数字特征，它们都是一些特殊的矩，矩是最广泛使用的数字特征．最常用的矩有两种，原点矩和中心矩．定义１　设和是随机变量为正整数．（1）若存在，则称其为随机变量的阶原点矩．（2）若则称其为的阶中心矩(3)若EMBEDEquation.DSMT4存在,则称其为和的阶混合原点矩;(4)若EMBEDEquation.DSMT4存在,则称其为和的阶混合中心矩.注:(1)的数学期望是的一阶原点矩;(2)的方差是的二阶中心矩;(3)协方差是和的二阶混合中心矩.例1:设随机变量,求的二阶原点矩,以及三阶,四阶中心距.解:由题意知:,故三、协方差矩阵定义:设二维随机变量关于和的两个二阶中心矩和两个二阶混合中心矩都存在,即EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4则称矩阵（对称矩阵），为二维随机变量的协方差矩阵.类似设维随机变量关于的二阶中心矩和二阶混合中心矩都存在,则称矩阵为的协方差矩阵.为对称矩阵.例2:设二维随机变量写出的协方差矩阵.解:由因此,EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4所以的协方差矩阵为EMBEDEquation.DSMT4引入下面的列向量和矩阵其中EMBEDEquation.DSMT4经计算得EMBEDEquation.DSMT4第五章大数定律与中心极限定理本章主要讨论概率论中的两类重要定理：一类是描述一系列随机变量的和的平均结果稳定性的大数定律；另一类是用来描述满足一系列随机变量和的分布以正态分布为极限的中心极限定理.§5.1大数定律前面我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着实验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于概率这个常数。在实践中我们还发现大量的随机现象的平均结果也具有稳定性，这种用极限方法研究大量独立随机试验的规律性的一系列定律称为大数定律。一、切比雪夫不等式定理1：设随机变量有期望和方差,则对于任给,有.上述不等式称切比雪夫不等式.证：切比雪夫不等式也可以写成注：(1)由切比雪夫不等式可以看出,若越小,则事件的概率越大,即,随机变量集中在期望附近的可能性越大.由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.(2)当方差已知时,切比雪夫不等式给出了与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.如取则有故对任给的分布,只要期望和方差存在,则随机变量取值偏离超过的概率小于0.111.切比雪夫不等式的应用：在随机变量的分布未知的情况下，只利用的期望和方差，即可对的概率分布进行估值。例1：200个新生婴儿中，估计男孩儿多于80个且小于120个的概率（假定生男孩儿和生女孩儿的概率均为0.5）。解：设表示男孩儿的个数，则用切比雪夫不等式估计故二、大数定理1定义:若对于任意,都相互独立，则称相互独立.2定义1设是一个随机变量序列,为一个常数,若对于任意正数,有则称序列依概率收敛于,记作的直观解释是：对任意，当充分大时，“与的偏差大于等于”这一事件发生的概率很小（收敛于0），这里的收敛性是在概率意义上的收敛性。这就是说，不论给定怎样小的，与的偏差大于等于是可能的，但是当很大时，出现这种偏差的可能性很小，因此，当很大时，事件几乎是必然要发生的，这与高等数学中的序列收敛概念是不同的。依概率收敛的序列有如下性质：设又设函数在点连续,则.3定理2（切比雪夫大数定律）设随机变量序列相互独立,它们分别有有限的数学期望和方差,并且存在正数，使得则对任意给定的正数,有证明：因为由切比雪夫不等式得在上式中令n→∞，并注意到概率小于等于1，得切比雪夫大数定律表明:在定理所给条件下，随机变量序列的算术平均值序列依概率收敛于他们的数学期望的算术平均值。推论：（切比雪夫大数定律的特殊情形）EMBEDEquation.DSMT4推论表明:在独立同分布的条件下，随机变量的算数平均依概率收敛于它们的数学期望.这一推论是实际问题中使用算术平均值的依据，当我们要测量某一个量时，可以在不变的条件下重复测量次，得到个结果，可以认为分别是服从同一分布，有相同的数学期望和方差的随机变量的试验数值，由推论可知，当充分大时，取次测量结果的算术平均值作为的近似值，发生的误差很小.定理3(伯努利大数定律)设是次独立重复试验中事件发生的次数,是事件在每次试验中发生的概率,则对任意正数,有或.证：由于是次独立重复试验中事件发生的次数，因此是一个随机变量，且，从而有因根据切比雪夫不等式，对任意给定的正数,有令则或伯努利大数定律表明:一个事件在次独立重复试验中发生的频率依概率收敛于事件发生的概率，伯努利大数定律以严格的数学形式表达了频率的稳定性.从伯努利大数定律的等价形式可以看到当很大时，事件在次独立重复试验中发生的频率与在试验中发生的概率有较大偏差的可能性很小，在实际应用中，当试验次数很大时,便可以利用事件发生的频率来近似代替事件发生的概率.切比雪夫大数定律推论中要求随机变量的方差存在，但在这些随机变量服从同一分布的情况下，并不需要这些要求，有如下辛钦大数定律。定理4(辛钦Khintchine大数定律)：设随机变量相互独立,服从同一分布,且具有数学期望则对任意给定的正数,有.注:(1)定理不要求随机变量的方差存在;(2)伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况;(3)辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.例如,要估计某地区的平均亩产量,可收割某些有代表性的地块,如块,计算其平均亩产量,则当较大时,可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.此类做法在实际应用中具有重要意义.§5.2中心极限定理在客观实际问题中有许多随机变量,它们是大量的相互独立的随机变量的综合影响所形成的,其中的每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的,这种随机变量往往近似地服从正态分布,这种现象正是中心极限定理的客观背景.定理1(独立同分布的中心极限定理):设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和则随机变量(1)的分布函数对于任意实数满足定理表明：当充分大时,个具有数学期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.一般情况下,我们很难求出的分布的确切形式,但当很大时,可求出其近似分布.由定理结论有（2）即当充分大时，可以通过给出其近似的分布，这样可以利用正态分布对作理论分析和实际计算.对式（2）左端变形得到或所以定理1又可表述为:当充分大时，均值,方差为的独立同分布的随机变量的算术平均值近似地服从均值为,方差为的正态分布.这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础.例1设随机变量相互独立，且都服从参数为的泊松分布，记，求的近似值.解易知由定理1，随机变量于是定理2（李雅普诺夫定理）设随机变量相互独立,它们具有数学期望和方差:，记若存在正数,使得当时,则随机变量之和的标准化变量的分布函数对于任意,满足证明略定理2表明,:在定理的条件下,随机变量当很大时,近似地服从正态分布.由此,当很大时,近似地服从正态分布.这就是说,无论各个随机变量服从什么分布,只要满足定理的条件,那么它们的和当很大时,就近似地服从正态分布.在许多实际问题中，所考察的随机变量往往可以表示成很多个独立的随机变量之和，例如一个实验中的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的,它们往往近似服从正态分布。定理3棣莫佛—拉普拉斯（DeMoirre－Laplas）定理设随机变量服从二项分布EMBEDEquation.3,则对任意数,有证明我们可以将看成是个相互独立，且服从同一分布的随机变量之和，即有，其中EMBEDEquation.DSMT4的概率分布为由于由定理1得定理3是定理1的特殊情况，它表明:正态分布是二项分布的极限分布，当充分大时，由服从随机变量作出的标准化随机变量的分布，可用标准正态分布近似代替，从而解决了二项分布的计算问题。例2据统计，某年龄段保险者中，一年内每个人死亡的概率为0.005，现在有10000个该年龄段的人参加人寿保险，试求未来一年内在这些保险者里面死亡人数不超过70个人的概率。解设表示10000个投保者在一年内死亡人数，由题意知，由棣莫佛—拉普拉斯定理近似计算例3某车间有200台车床，在生产期间因各种原因，常需车床停工，设开工率为0.6（即平均60％的时间工作），设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦，问应供应多少千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.解对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率为0.6，共进行200次试验。用表示在某时刻工作看的车床数，则。现在的问题是：求满足的最小的，由定理3知近似服从于是由，且查标准正态分布表（附表3）得，故，解得即所求，即供应142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。注:用中心极限定理估计要比切比雪夫不等式估计要准，事实上，切比雪夫不等式的估计只给出了这个概率的下限。另外正态分布和泊松分布都是二项分布的极限分布，一般说来，对于很大，很小（通常而的情形）的二项分布，用泊松分布近似比用正态分布计算精确，用正态分布近似只以为条件.练习1:已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是,均方差是.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在之间的概率.解：设表示每毫升血液中含白细胞个数，则故2：独立地掷6颗骰子，点数之和记为,试用切比雪夫不等式估计解：则从而第六章数理统计的基本知识数理统计的内容主要包括以下两个方面：一、如何收集、整理数据资料；二、如何对所得的数据资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作出推断．后者就是我们所说的统计推断问题．本只讲述统计推断的基本内容，即数理统计的基本知识、参数估计、假设检验、方差分析及回归分析等．在概率论中，我们是在假设随机变量的分布已知的前提下去研究它的性质、特点和规律性，例如介绍常用的各种分布、讨论其随机变量的函数的分布、求出其随机变量的数字特征等．在数理统计中，我们研究的随机变量，其分布是未知的，或者是不完全知道的，人们是通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察，得到许多观察值，对这些数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布作出种种推断的．本章我们将介绍总体、随机样本及统计量等基本概念，并着重介绍几个常用统计量及抽样分布．§6.1　随机样本一、总体与总体分布1.总体:将研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体．总体中的每个元素称为个体．总体中所包含的个体的个数称为总体的容量．容量为有限的称为有限总体．否则称为无限总体．注:有些有限总体，它的容量很大，我们可以认为它是一个无限总体．例如考察全国正在使用的某种型号灯泡的寿命所形成的总体，由于个体的个数很多，就可以认为是无限总体．在总体中，由于每个个体的出现是随机的，所以研究对象的该项数量指标X的取值就具有随机性，X是一个随机变量．因此，我们所研究的总体，即研究对象的某项数量指标X，它的取值在客观上有一定的分布．我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究．X的分布函数和数字特征就称为总体的分布函数和数字特征，今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X．二、样本与样本分布在实际中，总体的分布一般是未知的，或只知道它具有某种形式，其中包含着未知参数．在数理统计中，人们都是通过从总体中抽取一部分个体，然后根据获得的数据来对总体分布得出推断的，被抽出的部分个体叫做总体的一个样本．从总体抽取一个个体，可以看作是对代表总体的随机变量X进行一次试验（或观测），得到X的一个试验数据（或观测值）．从总体中抽取一部分个体，就看作是对随机变量X进行若干次试验（或观测），得到X的一些试验数据（或观测值）．从总体中抽取若干个个体的过程称为抽样．抽样结果得到X的一组试验数据（或观测值）称为样本．样本中所含个体的数量称为样本容量．为了使样本能很好地反映总体的情况，从总体中抽取样本，必须满足下述两个条件：1.代表性因抽取样本要反映总体，自然要求每个个体和总体具有相同分布．2.独立性各次抽取必须是相互独立的，即每次抽样的结果既不影响其他各次抽样的结果，也不受其他各次抽样结果的影响．这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样．由此得到的样本称为简单随机样本．从总体中进行放回抽样，显然是简单随机抽样，得到的是简单随机样本．从有限总体中进行不放回抽样，显然不是简单随机抽样，但是当总体容量Ｎ很大而样本容量较小时，也可以近似地看作是放回抽样，即可以近似地看作是简单随机抽样，得到的样本可以近似地看作是简单随机样本．注:从总体抽取容量为的样本，就是对代表总体的随机变量Ｘ在相同条件下随机地、独立地进行次试验（或观测），将次试验结果按试验的次序记为．由于是对随机变量试验的结果，且各次试验是在相同条件下独立地进行的，所以可认为是相互独立的，且与总体服从相同的分布．定义1:设总体是具有某一分布函数的随机变量，如果随机变量相互独立，且都与具有相同的分布，则称为来自总体的简单随机样本，简称样本．称为样本容量．在对总体进行一次具体的抽样并做观测之后，得到样本的确切数值，称为样本观察值（或观测值），简称为样本值．如果总体的分布函数为，则样本的联合分布函数为如果总体是离散型随机变量，且概率分布为则样本的联合概率分布为　如果总体是连续型随机变量，且具有概率密度，则样本的联合概率密度为三、统计推断问题简述总体和样本是数理统计中的两个基本概念.样本来自总体，自然带有总体的信息，从而可以从这些信息出发去研究总体的某些特征（分布或分布中的参数）.另一方面，由样本研究总体可以省时省力（特别是针对破坏性的抽样试验而言）.我们称通过总体的一个样本对总体的分布进行推断的问题为统计推断问题.总体、样本、样本值的关系:总体↙↖推断（个体）样本→样本值抽样在实际应用中,总体的分布一般是未知的,或虽然知道总体分布所属的类型,但其中包含着未知参数.统计推断就是利用样本值对总体的分布类型、未知参数进行估计和推断.为对总体进行统计推断,还需借助样本构造一些合适的统计量,即样本的函数,下面将对相关统计量进行深入的讨论.例1：设总体服从正态分布,概率密度为则其样本的联合概率密度为§6.2抽样分布样本是进行统计推断的依据．在应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数，利用这些样本的函数进行统计推断．一、统计量的概念定义1:设是来自总体的一个样本，是的函数，若中不含未知参数，则称是一个统计量．设是相应于样本的样本值，则称为的观察值．注:统计量是随机变量.不一定和总体同分布，不同的统计量有不同的分布.二、常用的统计量1.样本均值观测值记为2.样本方差观测值记为3.样本标准差观测值记为4.样本(k阶)原点矩观测值记为5.样本(k阶)中心矩观测值记为注:（1）上述五种统计量可统称为矩统计量,简称为样本矩,它们都是样本的显示函数,它们的观察值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本(k阶)原点矩、样本(k阶)中心矩.（2）样本的一阶原点矩就是样本均值，样本一阶中心矩恒等于零，三、矩估计法的理论根据若总体的阶矩存在，则当时证：独立且与同分布独立且与同分布.故有从而由第五章的大数定理知进而由第五章中关于依概率收敛的序列的性质知道其中为连续函数，这就是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据。例1:从一批袋装糖果中随机抽取8袋，测得其质量（单位:）为：230,243,185,240,228,196,246,200(1)写出总体、样本、样本值及样本容量．(2)求样本均值、样本方差及样本二阶原点矩．解(1)总体：袋装糖果质量；样本：8袋袋装糖果的质量　　样本值：　　样本容量：(2)样本均值　　样本方差　　样本二阶原点矩例2:设总体服从参数为的泊松分布，记作，从总体中抽取样本，和分别为样本均值和样本方差．求.解:由已知有EMBEDEquation.DSMT4且因三、抽样分布统计量的分布为抽样分布.(一)、分布1.定义2设是取自总体的样本,则称统计量为服从自由度为的分布,记为这里,自由度是指上式右端所包含的独立变量的个数.2.分布的概率密度:其中为Gamma函数，具有(1)(2)(3)的图形如下3.分布的数学期望与方差:若,则证：故所以又由于相互独立，所以也相互独立于是4．分布的可加性:若且和相互独立，则5．分布的分位点定义:设，对给定的正数称满足条件的点为分布的上分位点.简称为上侧分位点.如图就是使得图中阴影部分的面积为时，在轴上所确定出来的点．对于不同的与，上分位点的值已制成表格，可以查用（见附表4）．但该表只详列到为止，费歇曾证明，当充分大时，有当时，可利用此式求得分布的上分位点的近似值．其中是标准正态分布的上分位点，可按如下定义．6.标准正态分布的上分位点定义;设,对给定的正数若满足条件即,则称点为标准正态分布的上分位点标准正态分布的上分位点可自附表3查得．如，设，满足的点查附表3知.7.标准正态分布的双侧分位点定义:设,对给定的正数,若满足条件即,则称点为标准正态分布的双侧分位点.注:求双侧分位点，即是求上分位点．例如，设满足的,查附表3可得(二)、t分布1、定义2设,且与相互独立,则称服从自由度为的分布,记为,2、分布的概率密度:3、分布具有如下性质：（1）．的图形关于纵轴对称，且;（2）．当充分大时，分布近似于标准正态分布;4、分布的分位点:设，对给定的实数称满足条件的点为分布的上分位点.5、由密度函数的对称性，注:由分布上分位点的定义及图形的对称性知分布的上分位点可通过附表5查得．在时，就用标准正态分布的上分位点近似：6、分布的双侧分位数设，对给定的实数称满足条件点为分布的上分位点.显然有对不同的与,分布的双侧分位数可从附表查得.(三)、分布1定义3设且与相互独立,则称服从自由度为的分布,记为2、分布的概率密度:3、分布具有如下性质:（1）．若，则（2）．若则4．分布的分位数:设，对给定的实数称满足条件的点为分布的上分位点.分布的上侧分位数的可自附表查得.5.分布的一个重要性质:证明：EMBEDEquation.DSMT4此式常常用来求分布表中没有列出的某些上侧分位数.如：(四)、正态总体的样本均值与方差的分布定理1设是总体的样本,是样本均值则证：因为随机变量相互独立且与总体所以于是推论:设总体是取自的一个样本,则有定理2设总体是取自的一个样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差,则有(1)(2)与相互独立.定理3设总体EMBEDEquation.3是取自的一个样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差,则有证：由定理1知，统计量又由定理2知，统计量因为与相互独立,所以与也相互独立于是，由分布的定义可知，统计量定理4设,是两个相互独立的正态总体,又设是取自总体的样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差.是取自总体的样本,与分别为此样本的样本均值与样本方差.再记是与的加权平均,即则(1)证明：统计量，且与相互独立，由正态分布的性质知即推论：在定理4的条件下，如果则随机变量(2)当时,证：由定理4推论可知，统计量又由定理2知因为与相互独立，所以由分布的可加性可知统计量因为与相互独立，与相互独立所以统计量与也相互独立于是，由分布定义可知，统计量(3)证：且相互独立，由分布的定义有例3:从正态总体中抽取容量为的样本,求样本均值落在区间内的概率.解：由于例4:设是来自正态总体的样本,求概率解:由知,因此练习1设是来自总体的样本,又设试求常数C,使服从分布.解：因所以且它们相互独立故应取，从而2设总体X服从标准正态分布,是来自总体X的一个简单随机样本,试问统计量服从何种分布?解：因为，且与相互独立所以3设EMBEDEquation.3为X的一个样本,求:(1)样本均值的数学期望与方差;(2)解：（1）由于所以于是（2）得4设两个总体X与Y都服从正态分布，今从总体X与Y中分别抽得容量的两个相互独立的样本,求解：由已知得：于是第七章参数估计在实际问题中,当所研究的总体分布类型已知,但分布中含有一个或多个未知参数时,如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题.参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类.所谓点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数.例如,灯泡的寿命是一个总体,根据实际知道,服从,但对每一批灯泡而言,参数是未知的,要写出具体的分布函数,就必须确定出参数.此类问题就属于参数估计问题.参数点估计问题的一般提法:设有一个统计总体,总体的分布函数为,其中为未知参数(可以是向量).现从该总体中随机地抽样,得一样本,是相应的一个样本值.点估计问题是用样本构造一个适当的统计量来估计参数,称为的估计量.估计量的值称为为的估计值§7.1点估计一、矩估计法1定义:设总体的分布函数中含有个未知参数,如果总体的阶原点矩存在，记EMBEDEquation.DSMT4为样本k阶原点矩，即解得并以作为的估计量，则称量，这种参数估计法称为参数的矩估计法，简称矩法。注:估计量是一个随机变量,是样本的函数，即是一个统计量,对不同的样本值,的估计值一般是不同的.矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩.因为由大数定理知,当总体的k阶矩存在时,样本的k阶矩依概率收敛于总体的k阶矩.例如,可用样本均值作为总体均值的估计量,一般地,记总体阶矩样本阶矩;用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法.用矩估计法确定的估计量称为矩估计量.相应的估计值称为矩估计值.矩估计量与矩估计值统称为矩估计.例1设总体的均值及方差都存在,且有,但均为未知,又设是来自的样本.试求的矩估计量.解：令解之得EMBEDEquation.DSMT4结论：不管总体服从何种分布，总体期望和方差的矩估计量分别为样本均值、样本二阶中心矩，即估计值例2:用一个仪器测量某零件的长度，设零件测得长度服从正态分布，现进行五次测量，其结果如下：92，　94，　103，105，106．求总体中参数与的矩估计值．解:由例1知的矩估计量分别为与，故的矩估计值分别为与，即例3:设总体在上服从均匀分布，未知.是来自的样本,试求的矩估计量.解:法1由在上服从均匀分布知由上例样本均值及二阶中心矩分别是总体均值及总体方差的矩估计量.故有,解得的矩估计量分别是,法2:EMBEDEquation.3即EMBEDEquation.3解得EMBEDEquation.3注意到以代替得到的矩估计量分别为例4:设总体X服从指数分布,其概率密度函数其中,是未知参数.是来自总体X的样本,求参数的矩估计量解:法1:由,故由矩估计法知解得,则参数的矩估计量为法2:由例1,,解得参数的矩估计量为矩估计的优点是：简单易行,不需要事先知道总体是什么分布。缺点是：当总体的分布类型已知时，未充分利用分布所提供的信息；此外，一般情形下，矩估计不具有唯一性。而总体矩未必存在。二、极大似然估计法极大似然估计法是在总体的分布类型已知前提下，使用的一种参数估计法.一个随机试验如果有若干个可能的结果，而在一次试验中，结果出现，则一般认为试验条件对出现有利，也即出现的概率最大．在随机试验中，许多事件都有可能发生，概率大的事件发生的可能性也大。若在一次试验中，某事件发生了，则有理由认为此事件比其他事件发生的概率大，这就是所谓的极大似然原理。极大似然估计法就是依据这一原理得到的一种参数估计方法例5:设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99只白球1只黑球，乙箱有1只白球99只黑球．今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球从哪一个箱子中取出？解　由概率论知甲箱中抽得白球的概率.乙箱中抽得白球的概率,由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．根据极大似然原理，既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的．所以我们做出统计推断是从甲箱中取出的．这一推断也符合人们长期的实践经验．该问题转化为参数估计问题，则应取参数的估计值为例6:设某车间生产一批产品，要估计这批产品的不合格品率．解　用表示一件产品是合格品或不合格品．表示这件产品是不合格品．表示这件产品是合格品．则的概率分布为这里为不合格品率．我们从中取一个容量为的样本，样本取观察值的概率为　其中或显然这概率可以看作是未知参数的函数，用表示，称作似然函数，即在一次抽样中获得这一组特殊观察值的概率应该最大，也即似然函数应该达到最大值．所以我们以使达到最大的值作为参数的一个估计值是合理的．由于对数函数是的单调增函数，所以与在同一个值上达到最大．对求导，并令其等于零，得,于是得方程解得不难验证，它使达到最大，称为参数的极大似然估计值．相应的统计量为，称作参数的极大似然估计量．求极大似然估计法的基本思想是：选择的值,使抽得的样本观测值出现的可能性最大．用这个值作为未知参数的估计值，从而得到它的估计量．这种求估计量的方法称为极大似然估计法．下面分别就离散型总体和连续型总体情形作具体讨论.1.总体为离散型设总体的概率分布为其中为未知参数.是取自总体的样本,样本的观察值为,则样本的联合概率分布为给定样本值后,令它是未知参数的函数,记为,并称其为的似然函数.若有使则称为的极大似然估计值.称相应的统计量为极大似然估计量.它们统称为的极大似然估计求最大似然估计的一般方法求未知参数的极大似然估计问题,归结为求似然函数的最大值点的问题.当似然函数关于未知参数可微时,可利用微分学中求最大值的方法求.主要步骤:(1)写出似然函数;(2)令或,求出驻点;注:因函数是L的单调增加函数,且函数与函数有相同的极值点,故常转化为求函数的最大值点较方便.(3)判断并求出最大值点,在最大值点的表达式中,用样本值代入就得参数的极大似然估计值.注：(1)当似然函数关于未知参数不可微时，只能按极大似然估计法的基本思想求出最大值点。(2)上述方法易推广至多个未知参数的情形.(3)称为似然方程,称为似然方程组例7：设总体服从参数l泊松分布,是取自总体的样本,求参数l的极大似然估计量.解：的概率分布为设为样本的观察值,则l的似然函数为对数似然函数为似然方程为得l的极大似然估计值为故l的极大似然估计量2.总体为连续型设总体的概率密度为,其中为未知参数,是取自总体的样本,则样本的联合概率密度为设样本的观察值为.因为连续型随机变量取某个定值的概率为0，这就导致了对任意的，均有故我们必须设法避开这一技术性的困难．考虑落在点的邻域（边长为的维立方体）内的概率近似地为它是的函数．极大似然估计的思想就是选取使得样本落在观察值的邻域内的概率达到最大的数值作为参数的估计值，但因子不随而变化，故只需考虑函数，即样本的联合概率密度．称为似然函数．若有使得则称为参数的极大似然估计值，称为极大似然估计量.其中参数可以是向量．同离散型一样，解似然方程,可得的极大似然估.例8：设是正态总体的样本观察值,其中是未知参数,试求和的极大似然估计量.解：总体的概率密度为似然函数为对数似然函数为似然方程组为由第一个方程，得到代入第二方程，得到参数m和s2的极大似然估计量分别为例9：设总体在上服从均匀分布，未知，是一个样本值.试求的极大值似然估计量.解:设总体的概率密度为：因此似然函数在参数及时,似然函数的偏导数不为0,可按极大似然法的基本思想确定的最大值.令练习1设总体X的概率密度为其中是未知数，是取自X的样本,求参数的矩估计.解数学期望是一阶原点矩EMBEDEquation.3其样本矩为而即为的矩估计2设总体X的概率分布为其中为未知参数.现抽得一个样本求的矩估计值.解先求总体一阶原点矩一阶样本矩由得推出所以的矩估计值第二节估计量的评选标准同一参数可以有几种不同的估计，这时就需要判断采用哪一种估计为好的问题。另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大似然法即使得到的是同一个估计,也存在衡量这个估计优劣的问题。估计量的评选标准就是：评价一个估计量“好”与“坏”的标准。评价一个估计量的好坏,不能仅仅依据一次试验的结果,而必须由多次试验结果来衡量.因为估计量是样本的函数,是随机变量.故由不同的观测结果,就会求得不同的参数估计值.因此一个好的估计,应在多次重复试验中体现出其优良性.估计量的评价一般有三条标准:1.无偏性;2.有效性;3.相合性（一致性）一.无偏性估计量是随机变量,对于不同的样本值会得到不同的估计值.一个自然的要求是希望估计值在未知参数真值的附近,不要偏高也不要偏低.由此引入无偏性标准.定义1设是未知参数的估计量,若则称为的无偏估计量.若称为有偏估计量，的偏差.如果是有偏估计量,注:无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求,其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差.在科学技术中,称为用估计而产生的系统误差.定理1设为取自总体的样本,总体的均值为,方差为.则(1)样本均值是的无偏估计量;(2)样本方差是的无偏估计量;(3)样本二阶中心矩是的不是无偏估计量.,是渐近无偏估计量证明：(1)因为独立同分布，且所以故是的无偏估计量;(2)因注意到于是，有故样本方差是的无偏估计量;(3)故是的有偏估计量.故是的渐近无偏估计量.二.有效性一个参数常有多个无偏估计量,在这些估计量中,自然应选用对的偏离程度较小的为好,即一个较好的估计量的方差应该较小.由此引入评选估计量的另一标准—有效性.定义2设和都是参数的无偏估计量,若,则称较有效.例1:设是总体的样本,证明EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4都是总体均值的无偏估计量,并比较哪个更有效.解:故,EMBEDEquation.DSMT4都是总体均值的无偏估计量则,故较EMBEDEquation.DSMT4更有效三.一致性(相合性)我们不仅希望一个估计量是无偏的,并且具有较小的方差,还希望当样本容量无限增大时,估计量能在某种意义下任意接近未知参数的真值,由此引入相合性(一致性)的评价标准.定义3设为未知参数的估计量,若当时,依概率收敛于,即对任意,有或则称为的一致估计量.例2:证明样本阶原点矩是总体阶原点矩的一致估计量.证明:样本阶原点矩依概率收敛于总体阶原点矩即对任意的,有所以是总体的一致估计量.注:1样本方差是总体方差的一致估计量．由于样本阶原点矩与样本方差分别作为总体阶原点矩与总体方差的估计是无偏的、一致的，因此是较好的估计，2.若是连续函数，是的一致估计量，则是的一致估计量，所以用矩估计法确定的统计量一般是一致估计量．人们还证明了在相当广泛的情况下，极大似然估计量也是一致估计量．第三节区间估计点估计是利用样本计算出的值来估计未知参数.其优点是：可直地告诉人们“未知参数大致是多少”；缺点是：并未反映出估计的误差范围(精度).故在使用上还有不尽如人意之处.而区间估计正好弥补了点估计的这一不足之处.例如,在估计某湖泊中鱼的数量的问题中,若根据一个实际样本,利用最大似然估计法估计出鱼的数量为50000条,这种估计结果使用起来把握不大.实际上,鱼的数量的真值可能大于50000条,也可能小于50000条.且可能偏差较大.若能给出一个估计区间,让我们能较大把握地(其程度可用概率来度量之)相信鱼的数量的真值被含在这个区间内,这样的估计显然更有实用价值.一、置信区间的概念定义1设总体分布函数中含有一个未知参数,对给定的,若由样本确定的两个统计量若存在统计量使得则称随机区间为的置信区间,称为置信度,又分别称与为的双侧置信下限与双侧置信上限.注:1.置信度的含义:在随机抽样中,若重复抽样多次,得到样本的多个样本值,对应每个样本值都确定了一个置信区间,每个这样的区间要么包含了的真值,要么不包含的真值.根据伯努利大数定理,当抽样次数充分大时,这些区间中包含的真值的频率接近于置信度(即概率),即在这些区间中包含的真值的区间大约有个,不包含的真值的区间大约有个.例如,若令,重复抽样100次,则其中大约有95个区间包含的真值,大约有5个区间不包含的真值.2.置信区间也是对未知参数的一种估计,区间的长度意味着误差,故区间估计与点估计是互补的两种参数估计.3.置信度与估计精度是一对矛盾.置信度越大,置信区间包含的真值的概率就越大,但区间的长度就越大,对未知参数的估计精度就越差.反之,对参数的估计精度越高,置信区间长度就越小,包含的真值的概率就越低,置信度越小.一般准则是:在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度.例1:设总体其中已知,而为未知参数,是取自总体的一个样本.对给定的置信度,求的置信度为的置信区间解:已知是的无偏估计,且由标准正态分布的分位数的定义,有即即得到了的一个置信水平为的置信区间常写成例1,,查表,则的置信度为的置信区间为若取即查表得则的置信度为0.95的置信区间为结论:1置信区间的长度与有关，当越小时，越大，置信区间越宽．在作区间估计时，我们希望置信度（可靠度）越大越好，但置信度太接近于1，会导致区间太宽，从而精确度太低，估计就失去了意义．反之，若要提高精确度，使区间的长度尽可能的小，置信度必然会减小，因此，精确度与置信度相互制约．选择好的置信区间应该是:在给定的较大的置信度(通常取)下，区间的平均长度尽可能地短．2置信区间的长度也和样本容量有关．当给定后，越大，置信区间的长度越短，精确度越高．二、寻求置信区间的方法1.寻求一个样本的函数它包含待估参数，不包含其他未知参数，而且的分布已知，并不依赖于任何未知参数（如分布，分布，分布和分布等）．2.给定置信度EMBEDEquation.3，利用的分布定出两个临界值使　　3.从不等式中解出等价的不等式其中则第四节正态总体均值和方差的区间估计一、单个正态总体中参数的区间估计设给定置信度为，为总体的样本，和分别为样本均值和样本方差．１．均值的置信区间（1）为已知的置信度为的置信区间为（2）为未知当为未知时，可用的无偏估计代替,构造统计量,由,对给定的置信度,由,即均值的置信区间为例1:某厂生产的零件直径,现从中随机抽取6个测得直径为，(单位:毫米):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.4.(1)若,试求的均值的置信度为0.95的置信区间(2)为未知,试求的均值的置信度为0.95的置信区间解：(1)为已知.且,查表EMBEDEquation.DSMT4计算,均值的置信度为0.95的置信区间(2)为未知,计算,查分布表的置信度为0.95的置信区间2方差的置信区间（1）为已知设总体其中,未知,是取自总体X的一个样本.求方差的置信度为的置信区间.由构造样本函数即从而得的置信水平为的置信区间为（2）为未知设总体其中,未知,是取自总体X的一个样本.求方差的置信度为的置信区间.的无偏估计为,由定理知,,对给定的置信水平,由EMBEDEquation.DSMT4于是方差的置信区间为而方差的置信区间例２　对某新型飞机的飞行速度进行了次测试，测得最大飞行速度为422.2417.2　　　　425.6　　　420.3　　425.8423.1418.7428.2438.3434.0412.3431.5413.5441.3423.0设飞机的最大飞行速度服从正态分布，试对下列两种情况分别求的置信度为0.95的置信区间．（１）（２）未知．解:,(1)所以的置信度为0.95的置信区间为．(2)计算可得所以的置信度为0.95的置信区间为二、两个正态总体的参数的区间估计在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。设是总体的容量为的样本均值,是总体的容量为的样本均值,,分别为样本方差.且两总体相互独立,1两个正态总体均值差的置信区间(1)已知.因与分别是与的无偏估计,由定理知对给定的置信水平,由可导出的置信度为的置信区间为(2)未知当很大时,用样本方差代替(3)由定理知其中对给定的置信水平,根据t分布的对称性,由可导出的置信区间为　例3　为了研究施肥和不施肥对某种农作物的效果，观察了13块试验田在其他条件相同时的收获量（单位：ｋｇ），得到如下表所示的结果．求施肥和不施肥平均产量之差的置信度为0.95的置信区间（假设施肥和不施肥的产量服从正态分布，且方差相同）．施肥:343530323334不施肥:29273231283231解:设施肥产量，不施肥产量，此时得的置信度为0.95的置信区间为2.两个正态总体方差比的置信区间当未知.与分别是与的无偏估计,由定理知对给定的置信水平,由分布的分位点的定义,可导出方差比的置信区间为例4.设从正态总体）与）中独立地各抽取容量为10的样本，其样本方差依次为0.5419与0.6065求方差比的置信度为0.90的置信区间．解:故得的置信度为0.90的置信区间为练习:1：EMBEDEquation.DSMT4解：2.的置信解EMBEDEquation.DSMT4即（0.45,2.79）§7.5非正态总体均值的区间估计当总体为非正态分布时，在大样本（通常）的情形下，可以利用中心极限定理，对有关参数进行估计．一、一般总体均值的区间估计设总体均值，方差均存在，为其样本，由中心极限定理知近似地服从正态分布，且(近似)，因此当已知时，的置信度为的置信区间为当为未知时，可用样本方差代替，从而得的置信度为的置信区间为二、(0—1)分布参数的置信区间考虑(0—1)分布情形,设其总体X的分布率为现求的置信度为置信区间.已知(0—1)分布的均值和方差分别为设是总体X的一个样本,由中心极限定理知,当充分大时,近似服从分布,对给定的置信度,则有即则参数的置信度为的置信期间为例1：在一大批货物的容量为100的样本中，经检验发现有16只次品，试求这些货物的次品率的置信度为0.95的置信区间．解　本题是（0-1）分布总体的次品率的参数的区间估计问题所以次品率的置信度为0.95的置信区间为第六节单侧置信区间前面讨论的置信区间称为双侧置信区间,由或从而得到形如或的置信区间为单侧置信区间.例如,对产品设备、电子元件等来说,我们关心的是平均寿命的置信下限,而在讨论产品的废品率时,我们感兴趣的是其置信上限.于是我们引入单侧置信区间.1定义设为总体分布的未知参数,是取自总体的一个样本,对给定的数,若存在统计量满足则称为的置信度为的单侧置信区间,称为的单侧置信下限;若存在统计量满足则称为的置信度为的单侧置信区间,称为的单侧置信上限.2单侧置信区间的求法对于正态总体，均值与方差均未知，为一个样本，求置信度为的的单侧下限和的单侧置信上限。选样本函数有即故的单侧下限为的置信水平为的单侧置信区间为选样本函数于是有即第七章假设检验统计推断的另一类重要问题是假设检验.在总体分布未知或虽知其类型但含有未知参数的时候,为推断总体的某些未知特性,提出某些关于总体的假设.我们要根据样本所提供的信息以及运用适当的统计量,对提出的假设作出接受或拒绝的决策,假设检验是作出这一决策的过程.参数假设检验针对总体分布函数中的未知参数提出的假设进行检验,后者针对总体分布函数形式或类型的假设进行检验,本章主要讨论单参数假设检验问题.第一节假设检验的基本概念一、问题的提出设一箱中有红白两种颜色的球共100个,甲说这里有98个白球,乙从箱中任取一个,发现是红球,问甲的说法是否正确?先做假设：箱中却有98个白球。如果假设正确，则从箱中任取一个球是红球的概率只有0.02，是小概率事件。通常认为在一次随机试验中，概率小的事件不易发生，因此，若乙从箱中任取一个，发现是白球，则没有理由怀疑假设的正确。今乙从箱中任取一个，发现是红球，即“小概率事件”竟然在一次试验中发生了，故有理由假设，即甲的说法不正确例1某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500克，设罐重是服从正态分布的随机变量，根据多年的观测结果，其标准差克，每隔一段时间要检测机器工作是否正常，现从中抽取10罐，测得平均重量为507克，问这段时间机器工作是否正常？以表示罐头的重量，则，这里克已知，未知，根据样本均值克来判断还是．为此，我们提出假设这是两个对立的假设．我们要给出一个合理的法则，根据这一法则，利用已知样本作出判断是接受假设，还是拒绝假设．如果作出判断是接受，则认为，即认为机器工作是正常的，否则认为机器工作是不正常的．　　这里称假设为原假设或零假设，对原假设作出拒绝或接受的判断，称为对作出显著性检验，而备选的假设称为备择假设．有备择假设的假设检验问题就是在原假设和备择假设中作出拒绝哪一个、接受哪一个的判断．二、假设检验的基本思想例1中的问题化为检验问题，其中．设为总体的一个样本，若成立，它就是来自总体的一个样本，此时，样本均值，从而统计量．对很小的正数，有．这里我们构造了一个小概率事件，这意味着当成立时，对一次抽样的结果，事件发生的概率只有．如果经过一次抽样，这个小概率事件发生了，根据“小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的”的小概率事件原理，我们就有理由怀疑原来所做出的假设的正确性，因而否定原假设．反之，如果经过一次抽样，小概率事件没有发生，我们就没有理由拒绝，只能接受．这里称由确定的区域为拒绝域，记为，即．拒绝域的边界点称为临界点．　　在例1中，若取，则，样本均值，此时的取值，即小概率事件发生了，于是我们拒绝，认为机器工作不正常．　　如上所述，在假设检验中要给定一个很小的数，把概率不超过的小概率事件认为是实际不可能事件，越小，否定原假设就越有说服力，这个称为显著性水平．对于不同的问题，显著性水平可以选取不一样的值．为方便起见，常取的值是0.1，0.05，0.01等．注意:假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法.为了检验一个假设是否正确,首先假定该假设正确,然后根据样本对假设作出接受或拒绝的决策.如果样本观察值导致了不合理的现象的发生,就应拒绝假设,否则应接受假设.假设检验中所谓“不合理”,并非逻辑中的绝对矛盾,而是基于人们在实践中广泛采用的原则,即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的.但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”,显然,“小概率事件”的概率越小，否定原假设就越有说服力.常记这个概率值为,称为检验的显著性水平.对不同的问题,检验的显著性水平不一定相同,但一般应取为较小的值,如0.1,0.05或0.01等.三、假设检验的两类错误第一类错误是“弃真”的错误：当假设正确时,小概率事件也有可能发生,此时我们会拒绝假设,因而犯了“弃真”的错误,称此为第一类错误.犯第一类错误的概率恰好就是“小概率事件”发生的概率,即P{拒绝|为真}=.在例1中，犯第一类错误的概率为．第二类错误是“取伪”的错误：若假设不正确,但一次抽样检验结果,未发生不合理结果,这时我们会接受,因而犯了“取伪”的错误,称此为第二类错误.记为犯第二类错误的概率,即P{接受|不真}=.理论上,自然希望犯这两类错误的概率都很小。当样本容量固定时,,不能同时都小,即变小时,就变大;而变小时,就变大.。一般只有当样本容量增大时，才有可能使两者变小。在实际应用中,一般原则是:控制犯第一类错误的概率,即给定,然后通过增大样本容量来减小.关于显著性水平的选取:若注重经济效益,可取小些,如;若注重社会效益,可取大些,如;若要兼顾经济效益和社会效益,一般可取.四、假设检验的一般步骤1°提出假设．即要写明检验的原假设和备择假设的具体内容．例如在例1中．这里备择假设下的可能大于，也有可能小于，这类假设检验为双边检验．　　类似地，形如的假设检验为单边检验．　　2°建立检验统计量．根据的内容，构造适当的检验统计量，确定统计量的分布．注意检验统计量是样本的函数，在成立时不带有任何未知参数．如例1中，检验统计量为，它服从．3°确定的拒绝域．给定显著性水平，查统计量服从的分布表，确定临界值，从而确定拒绝域．如例1中，给定，查标准正态分布表，确定临界值，满足，得拒绝域　　4°计算及判断．由样本观察值计算检验统计量的值，若统计量的值落在拒绝域内，则在显著性水平下拒绝，否则接受．第二节单个正态总体参数的假设检验一、正态总体均值的检验设为总体的一个容量为n的样本．1．方差已知，的检验——u检验法．当已知时，假设检验问题：．选择检验统计量，当成立时，．给定显著性水平，由标准正态分布分位点的定义,有，故拒绝域，这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为u检验法．有时我们只关心总体的均值是否增大（或减小）．比如，经过工艺改革后，产品的质量（如材料的强度）比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下总体的均值是小于等于原来的均值，还是大于，即检验假设．可以证明，在显著性水平下，上述假设检验问题和检验假设有相同的拒绝域，因此，遇到形如的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论．类似地，形如的检验问题，可归结为检验假设．这都是单边检验问题．给定显著性水平，求得的临界值点是上分位点或上分位点．　　例1某厂生产的某种钢索的断裂强度X服从，其中(kg/cm2)，现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值较以往正常生产的大20(kg/cm2)，设总体方差不变，问在下，能否认为这批钢索质量有显著提高？解依题意，检验假设，由于已知，选择检验统计量因为中的全部都比中的要小，从直观上看，当成立时，的取值不应比大很多，若偏差过大，则拒绝而接受．因为的拒绝域为，故在显著性水平下原假设的拒绝域为．本题中，，，，，计算的值因此在显著性水平下不能拒绝，即认为这批钢索质量没有显著提高．2．方差未知，的检验——t检验法．　检验假设．因为未知，而样本方差是总体方差的无偏估计量，用代替．选择检验统计量，当成立时，．给定显著性水平，由t分布分位点的定义，有，故拒绝域，这种利用服从t分布的检验统计量的检验方法称为t检验法．例2某切割机工作正常时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm．今在某段时间内随机地抽取15段进行测量，其结果如下(cm)：10.410.610.110.410.510.310.310.210.910.610.810.510.710.210.7问此段时间内该机工作是否正常()？假设金属棒长度服从正态分布．解依题意，检验假设，由于未知，故选择检验统计量．在下，，．给定显著性水平，查t分布表，得临界值，故拒绝域．　　由已知条件可得故．计算统计量的值因为，所以接受，认为切割机工作正常．例3设木材的小头直径，cm为合格，今抽出12根测得小头直径的样本均值为cm，样本方差为cm2，问该批木材是否合格()？解依题意，检验假设，选择检验统计量．在假设下，，．给定显著性水平，查t分布表，得临界值，故拒绝域，也是假设的拒绝域．由于，，计算统计量的值因为，故拒绝，认为该批木材是不合格的．二、正态总体方差的检验——检验法设为来自总体的一个样本，检验假设．1．均值已知．因为，，则选取检验统计量．当成立时，，给定显著性水平，由分布表分位点的定义，有，故得拒绝域．2．均值未知．因为是总体均值的无偏估计量，用代替．选择检验统计量．当成立时，，给定显著性水平，由分布表分位点的定义，有故得拒绝域．类似地，在已知和未知时，可以求出检验假设和的拒绝域．例如，在未知时，检验假设的拒绝域为．上述检验所用的检验统计量均服从分布，称这种检验方法为检验法例4某无线电厂生产的一种高频管，其中一指标服从正态分布，今从一批产品中抽取8只管子，测得指标数据：6843706555566072(1)总体均值时，检验(取)；(2)总体均值未知时，检验(取)．　　解　本题是在显著性水平下，检验假设，这里．(1)已知时　临界值，，而检验统计量的值，由于，故接受．　　(2)未知时临界值，，而，，检验统计量的值，由于，故接受．§8.3两个正态总体参数的假设检验　设为总体的一个样本，为总体的一个样本．和分别是两个样本的样本均值，和是相应的两个样本方差．设这两个样本相互独立．．一、两个正态总体均值的检验考虑检验假设．1．方差与已知——u检验法．选取．当成立时，检验统计量．给定显著性水平，由标准正态分布表分位点的定义,有，故拒绝域．例1设从甲乙两场所生产的钢丝总体X，Y中各取50束作拉力强度试验，得，，已知，，请问两厂钢丝的抗拉强度是否有显著差别()？解本题是在显著性水平下，检验假设，这里．选取检验统计量．给定显著性水平，查标准正态分布表，得临界值，故拒绝域．由于，，，，计算检验统计量的值．由于，故拒绝，认为两厂钢丝的抗拉强度有显著差别．2．方差与未知，但——t检验法．选取．这里．当成立时，检验统计量．给定显著性水平，由t分布表分位点的定义，有，故拒绝域．例2某烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取样本容量相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，分别测得：甲种香烟：252823262922乙种香烟：282330252127假定尼古丁含量都服从正态分布且具有公共方差，在显著性水平下，判断两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？解检验假设，这里．，，，，．选取检验统计量．给定显著性水平，查t分布表，得临界值，故拒绝域．计算统计量的值．由于，故接受，认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异．二、两个正态总体方差的检验——F检验法考虑检验假设．1．均值与已知．因为，，选取．当成立时，检验统计量．给定显著性水平，由F分布分位点的定义，有，故得拒绝域．2．均值与未知．因为，，选取．当成立时，检验统计量．给定显著性水平，由F分布分位点的定义，有，故得拒绝域．例3某烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取样本容量相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，分别测得：甲种香烟：252823262922乙种香烟：282330252127假定尼古丁含量都服从正态分布且具有公共方差，在显著性水平下，判断两种香烟的尼古丁含量的方差是否相等?解　考虑检验假设．由于两个正态总体的均值都未知，选取检验统计量．给定显著性水平，查F分布表，得两个临界值：，故得拒绝域．计算统计量的值．由于，故接受，认为两种香烟的尼古丁含量的方差也无显著差异．§8.4非正态总体参数的大样本检验本节讨论一般总体参数的检验．设总体的均值为，方差为，为总体的一个样本．由中心极限定理可知，当样本容量n足够大时，近似地服从标准正态分布．因此，我们可以用正态分布去近似．如果对均值进行检验，方差未知时，可以用样本方差代替；如果对方差进行检验，均值未知时，可以用样本均值代替．下面举两个例子．例1设某段高速公路上汽车限速为104.6km/h，现检验85辆汽车的样本，测出的平均车速为106.7km/h，已知总体标准差为km/h，但不知总体是否服从正态分布．在显著性水平下，试检验高速公路上的汽车是否比限制速度104.6km/h显著地快？解依题意，检验假设，由于已知，n=85足够大，选择检验统计量近似地服从．其拒绝域，其中．计算的值，由于，因此接受，没有理由认为高速公路上的汽车比限制速度104.6km/h显著地快．例2为比较甲乙两种小麦植株的高度(单位：cm)，分别抽得甲、乙小麦各100穗，在相同条件下进行高度测定，算得甲乙小麦样本均值和样本方差分别为，，，，问这两种小麦的株高有无显著差异()？解依题意，检验假设，选取，这里两个方差用样本方差代替．当成立时，检验统计量近似地服从．给定显著性水平，查附表3，得临界值，得拒绝域．计算的值，由于，因此拒绝，认为这两种小麦的株高有显著差异．当总体服从(0-1)分布时，由于只有一个参数p，总体均值p和方差均只与p有关，这时对参数p进行假设检验时，检验统计量可以直接用样本和参数p表示出来．例3某厂有一批产品须经检验后方可出厂．按规定二级品率不得超过10%，从中随机抽取100件产品进行检查，发现有二级品14件，问这批产品是否可以出厂()？解这里n=100，．检验假设，选取检验统计量，U近似地服从．由显著性水平，可以得到拒绝域，其中，计算的值，由于，因此接受，认为这批产品二级品率没有超过10%，可以出厂．§8.5分布的拟合检验前几节的检验都是参数的检验．实际问题中，有时需要对分布作出假设，进行检验．本节只介绍一种分布的检验方法——皮尔逊检验法，它只适合于大样本的情形，一般要求样本容量．设总体X的分布函数为，为一个已知的分布函数，为总体的一个样本，我们来检验关于总体分布的假设．一、基本原理检验法的基本思想是：将随机试验的所有可能结果的全体分成k个两两互不相容的事件，在n次试验中，将发生的次数叫做发生的频数，如果为真，则由大数定律，在n次试验中(n足够大)，()出现的实际频率与理论频率(可由分布函数算出)不应相差很大．基于这种想法，皮尔逊构造了统计量或，其中是由计算出来的理论频率，是中未知参数估计出后的分布函数，并证明了如下定理：　　定理1　若n足够大，当成立时，统计量总是近似地服从自由度为的分布，其中r是已知的分布函数中未知参数的个数．直观上看，值表示实际观测结果与理论期望结果的相对差异的总和，当它的取值大于临界值时，应拒绝．二、检验步骤如果为不带有未知参数的已知分布，皮尔逊检验法的具体步骤如下：（1）将总体X的值域划分成k个不交的区间()，使得每个区间包含的理论频数满足，否则将区间适当调整；　　（2）在成立时，计算各理论频率即概率的值：，．这里与为区间的端点，即；（3）数出中含有样本值的个数，即的频数，并计算统计量的值；（4）由分布，对于给定的显著性水平，找出临界值；（5）判断：若，则拒绝，否则可接受．　　如果总体X是离散型的，则假设相当于假设总体X的概率分布，．如果总体X是连续型的，则假设相当于，这里为总体的概率密度．例1至1984年底，南京市开办有奖储蓄以来，13期兑奖号码中诸数码的频数汇总如表8.1：表8.1 数码i 0123456789 总数 频数fi 21283736314530373352 350试检验器械或操作方法是否有问题()．解设抽取的数码为X，它可能的取值为0~9，如果检验器械或操作方法没有问题，则0~9出现是等可能的，即检验假设，，这里．依题意知k=10，令，，n=350，则理论频数．给定显著性水平，查分布表，得临界值．由于19.675>16.9，故拒绝，即认为器械或操作方法有问题．如果为带有未知参数的已知分布，未知参数为，这时用这r个未知参数的极大似然估计量来代替中的参数，得到分布函数，然后建立统计量，这里是由计算出来的理论频率，再用以上检验步骤进行检验，但此时检验统计量近似服从分布(这里k>r+1)．例2某高校对100名新生的身高(厘米)做了检查，把测得的100个数据按由大到小的顺序排列，相同的数合并得表8.2：表8.2 身高人数 1531561571591601611621631641321467610 身高人数 165166167168169170171172173875756347 身高人数 17417617818018132111试问，在显著性水平下是否可以认为学生身高X服从正态分布？解这里n=100，我们来检验假设，，这里为正态分布的概率密度，设其分布函数为，与为未知参数．先求与的极大似然估计值，：，．设服从正态分布的随机变量为Y，分布函数为．按照分组要求，每个小区间的理论频数不应小于5，因此我们将数据分成了7个组，使得每组的实际频数不小于5，各计算结果如下表8.3所示． 分组 (-∞,158.5](158.5，161.5](161.5，164.5](164.5，167.5](167.5，170.5](170.5，173.5](173.5，+∞) 611232018148 0.06940.11200.18370.22200.19720.12700.0887 6.9411.2018.3722.2019.7212.708.87 -0.94-0.204.63-2.20-1.721.30-0.87 0.12730.00361.16700.21800.15000.13310.0853 100 1.0000 100 1.8843表8.3中第3列的计算如下：，，例如，．给定显著性水平，查分布表，得临界值．由于1.8843<9.488，故接受，即认为学生身高服从正态分布．第九章方差分析与回归分析§9.1　单因素试验的方差分析试验指标:在试验中，要考查的指标因素或因子:影响试验指标的条件，常用大写字母A，B，C表示．因素的类型:可控因素和不可控因素，我们这里的因素都是可控因素．水平:因素所处的状态，，因素A的水平常记为A1，A2，…等．单因素试验:在一项试验中只有一个因素在改变.多因素试验:如果有多于一个因素在改变．方差分析就是根据试验的结果进行分析，鉴别各个有关因素对试验结果影响的一种有效的方法．　　例1进行一项农作物栽培试验，考虑不同的施氮肥量(15公斤，25公斤，35公斤，45公斤)对农作物产量(公斤)的影响．如果在相同条件下重复3次，进行小区试验，得产量见表9.1，问施氮肥量这一因素对农作物产量是否有显著影响？表9.1　 产量水平重复次数 1 375395385405 2 390382.5415415 3 405407.5400395 平均 390395400405由数据可以看出，四种不同水平下的平均产量有差异，大体上施肥越多，产量越高．但是，由于随机误差的存在，即使在同一施肥水平下，不同小区的产量数据波动也较大，这样自然会对上述看法表示怀疑，平均产量间的差异是不是随机误差造成的呢？用显著性检验的方法．记在水平下的理论产量为，．提出假设：在各施肥水平下的平均产量间没有显著性差异，即假设．如果我们能够导出一个可以用来检验这一假设的统计量F，那么这一问题就解决了．假设检验的一般步骤:对给定的显著性水平，可以找到一个临界值，使得，得拒绝域．如果根据样本观察值算出F的值大于，就拒绝H0，认为平均产量间有差异，否则就没有理由拒绝H0．下面从建立数学模型开始，给出单因素试验的方差分析的完整的数学描述．一、数学建模设因素A有s个水平A1，A2，…，As，水平下的总体，在下做次独立试验得一组容量为的样本，．列表如下表9.2　 水平 A1A2…As 样本 ……┇┇┇┇…与参数假设检验一样，方差分析的应用是有一定条件的，它要求：（1）各水平下的总体都服从正态分布；（2）各水平下的总体方差可以不知道，但必须彼此相等，即方差齐性；（3）每个试验数据的取得是相互独立的．依照以上三个条件可知，，即有，故可以看成随机误差，记，则有，且各相互独立，，．　　　(9.1)称模型(9.1)为单因素试验方差分析的数学模型．这里及为未知参数．方差分析的任务是对模型(9.1)进行检验和估计，检验s个总体的均值是否相等，即检验假设不全相等，(9.2)并估计参数与．通常，为了便于分析各水平所起的作用，把参数写成，．其中为的加权平均，称为总平均，，为第j个水平总体的均值与总平均之差，称之为第j个水平的效应．显然有．利用这些记号，模型(9.1)可改写成，且各相互独立，，．(9.1)检验假设(9.2)等价于检验假设不全为0．　(9.2)为了导出检验假设H0的统计量，我们首先分析一下引起波动的原因:当H0为真时，的波动完全由随机因素引起的；当H0不真时，的波动不仅由随机因素，而且由于的不同而引起的．因此，我们想用一个量来描述之间的总的波动，并能将上述两个原因引起的波动分解出来，这就是方差分析中所用的偏差平方和的分解方法．二、平方和的分解作一个统计量其中为样本总平均，为样本总个数，为水平下的样本均值．这个统计量是与样本总平均的偏差平方和，反映了之间的总的波动，称为总偏差平方和．将分解:，其中，，交叉项EMBEDEquation.3．是各个水平下，样本与样本均值的偏差平方和的总和，它反映了抽样的随机性引起的波动，称为组内偏差平方和或误差平方和．是各个水平下，样本均值与样本总平均的偏差的平方构成的平方和，它在一定程度上反映了各总体均值之间的差异引起的波动，称为组间偏差平方和或因素A的效应平方和．为了进一步弄清和的含义，计算它们的期望:，注意到是从第j个正态总体取出的容量为的样本的样本方差，于是有，故，因此有．进一步地，由分布的可加性可知．而对，有EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3，由于，，其中，,因此有EMBEDEquation.3．可以看出，反映了随机误差的影响，它的均值等于．当假设H0成立时，也反映了随机误差的影响，它的均值等于．但当H0不成立时，还反映了A的不同水平效应的差异．可以证明，在假设H0成立的条件下，统计量．三、假设检验的拒绝域现在来检验假设(9.2)．当H0为真时，，即是的无偏估计，而当H1为真时，．对于，不管H0是否为真，都有，即是的无偏估计．因此，对模型(9.1)，可以利用统计量来检验假设H0，当H0成立时，有，并且当H0不真时，F的取值有偏大的趋势，因此检验问题的拒绝域具有形式．给定显著性水平，可通过F分布分位点的定义，有，得到H0的拒绝域为．上述分析的结果可排成表9.3的形式，称为单因素试验方差分析表．表9.3 方差来源 平方和 自由度 均方 F比 因素A 误差 总和 表9.3中和分别称为和的均方．为计算方便，令，，．不难验证，，，．在实际计算中，为了简便，对作如下变换，其中是适当的常数，使变得简单些．易得，，于是，，从而，这表明用变换后的数据代替原数据计算的F值相同，所以可以用变换后的数据进行方差分析．但需注意，在作参数估计时，应将对应的量化为原来的量．例2对六种不同的农药在相同条件下分别进行杀虫试验，试验结果见表9.4，问杀虫率是否因不同的农药而有显著的差异()？表9.4 水杀虫率(%)平试验号 1234 879056559275858862489972808795819491解EMBEDEquation.3．查F分布表查得，为了简化计算，从表9.4中的结果都减去80得到以下表9.5：表9.5 710-24-2512-558-18-3219-8071511411根据表9.5算得P，Q，R的值：，，．则，，从而，，．因，故拒绝H0，即不同的农药对杀虫率的影响是显著的．方差分析表如下：表9.6 方差来源 平方和 自由度 均方 F比 农药 3794.5 5 758.9 51.17** 误差 178 12 14.83 总和 3972.5 17 注：一般在F栏内，对显著的，用“*”标出，表示检验结果是显著的；对显著的，用“**”标出，表示检验结果是高度显著的；不作记号，表示不显著．四、未知参数的估计前面已经讲过，不管H0是否成立，均有，所以是的无偏估计量．又，，因此，分别为和()的无偏估计量,从而为()的无偏估计量．此时有．当拒绝H0时，还常常要作出两总体与()的均值差的区间估计．由于，且和相互独立，且和相互独立，故和相互独立，于是，由此可得均值差的置信度为的置信区间为．例3若例2中第i种农药的总体，，试求未知参数的点估计，及均值差置信度为0.95的置信区间．解　　，，，，，，．，而当时，，，故置信度为0.95的置信区间为．§9.3　一元线性回归　　回归分析又称相关分析，它是用来研究分析变量之间相关关系的一种数理统计方法．在两个变量的情况下，若已知某一变量与另一变量之间存在某种相关关系，在此情形下，一个变量（记为y）的值在某种程度上是随另一个变量（记为x）的变化而变化的，通常称前者y为因变量，称后者x为自变量．例如，在农业生产中，往往要考虑农作物的单位面积产量y与单位面积施肥量x之间的相关关系．这种变量之间的关系一般不能从理论的研究和推导中得到一个准确的表达式，因此，相关关系也称为不确定性关系．变量之间的相关关系尽管是不确定的，但大量的试验和观测中，则表现出某种规律性，回归分析就是研究变量间相关关系的统计方法，通过回归分析得出的表达变量之间关系的方程称为回归方程．　　一、一元线性回归模型　　例1为研究某一化学反应过程中，温度x（℃）对产品得率y（%）的影响，测得数据如下：温度x100110120130140150160170180190得率y45515461667074788589依照上面的数据作图（见图9-1），则可看出，产品得率y随温度x的升高而增大，大体呈直线关系．显然我们可以确定出产品得率y与温度x之间的关系式，由图9-1，我们得到，这里是温度取值x时，产品得率的真实值，它区别于带有随机误差的实际值y．通常把y看作可观测的随机变量，它受随机误差的影响，x为一般变量．如果它们之间存在如下关系，(9.7)其中参数a，b，为不依赖于x，称(9.7)为一元线性回归模型．由模型(9.7)可知，它依赖于x的值．图9-1如果由样本得到模型(9.7)中的a，b的估计值，，则称关系式为线性回归方程或回归方程，它的图形称为回归直线，通常称b为回归系数．取x的n个不同的值作独立试验，得样本，，…，．由(9.7)有，，且各相互独立，(9.7’)．也称模型(9.7’)为一元线性回归模型．二、模型中参数的估计模型(9.7)中a，b，为未知参数，如果有n个观察值，，…，，我们这里采用最小二乘估计法来估计回归系数a与b，进而得到方差的估计．令，Q是n次观察中误差项之和，称Q为误差平方和，它反映了y与之间在n次观察中总的误差程度．最小二乘原理就是要寻找使得Q达到最小值的和作为a和b的点估计，这时称和为参数a和b的最小二乘估计．由于Q是关于a和b的二次函数，所以和就是如下表达式的解：．(9.8)利用微积分的方法，求Q关于a和b的偏导数，并令其为零，得　　(9.9)记，，，．显然有，．由(9.9)得方程组称它为正规方程组，解这个方程组，得a和b的最小二乘估计为，．注：由于模型中的误差分布是正态分布，可以证明，参数的最小二乘估计与极大似然估计是完全相同的．由于是的线性组合，因此服从正态分布，并且，同样可以证明，也服从正态分布，并且．例2求例1中y关于x的线性回归方程．解n=10，，，因此有，．故，．于是得回归方程．记(i=1,2,…,n)，称为处的残差，平方和称为残差平方和．可以证明，．于是由知是的无偏估计．为计算方便，将作如下分解：记，则，得到的计算公式．例3求例2中的无偏估计．解由例1和例2知，且，，得．三、回归方程的显著性检验应用以上方法求y对x的回归方程时，首先考虑y与x之间是否存在线性相关关系．这除了使用有关的专业知识来判断，还要根据实际观测数据运用假设检验的方法来检验．由模型(9.7)知，若，则y不依赖于x，从而应该认为它们不存在线性相关关系；若，则说明y与x之间有线性相关关系，因此，问题归结为检验假设．关于回归方程的显著性检验，在实际应用中，可以采用r检验法，t检验法和F检验法．我们这里介绍r检验法和F检验法，t检验法放在习题中．1．r检验法r检验法的全称是相关系数检验法．考虑偏差平方和，它反映了波动的大小．这个波动的原因有两个，一个是当y与x之间有线性相关关系时，由于x的波动引起y的波动．另一个是其他因素引起的，包括x对y的非线性影响、试验误差、随机干扰以及一切未加控制的因素的影响．为此，我们将进行分解：EMBEDEquation.3，其中交叉项为零．记，则，这里Qe为残差平方和或称为剩余平方和，U称为回归平方和．由于，因此Qe反映了出x对y的线性影响之外的一切随机因素对y的影响；U反映了由于x的变化所带来的y的变化．令，它代表了回归平方和在总的偏差平方和中所占的比例，这个比例越大，r的平方越大，x与y之间的线性相关关系也越强．反之，这个比例越小，r的平方越小，x与y的之间的线性相关关系也越弱，因此称r为相关系数．由于，，因此有，即．比较相关系数r与回归系数的表达式知，r与的正负号一致．又由得．这表明，且当固定时，越接近于1，残差平方和Qe越小．特别当时，，，即y的变化完全由y与x之间的线性关系所引起．统计量可用来表示y与x之间线性相关的密切程度．给定一个显著性水平(一般为0.05,0.01等)及自由度n－2，可通过相关系数表查得临界值，若，则拒绝，认为y与x之间存在线性相关关系，认为回归方程是显著的，反之认为回归方程不显著．相关系数r检验法的一般步骤如下：1°提出假设；2°根据检验统计量计算r的值；3°给定显著性水平及自由度n－2，查相关系数检验表，确定临界值；4°判断：若，则拒绝，认为回归方程显著；反之，则接受，认为回归方程不显著．例4在例2中，用r检验法检验()．解，给定显著性水平，查得临界值．因，故拒绝，认为y与x之间的回归方程显著．2．F检验法由于回归平方和U主要反映了x对y的影响，U的值越大，也就是y与x之间的线性相关关系越密切，因此，用U和Qe比较就可以判断假设是否成立．由知，当成立时，因此．而，并且可以证明，和Qe独立，从而U和Qe独立．统计量，于是，给定显著性水平，若，则拒绝，认为y与x之间存在线性相关关系，这时回归方程显著；否则回归方程不显著．用F检验法进行检验，与方差分析中所讲的一样，可以排成方差分析表：表9.15 方差来源 平方和 自由度 均方 F比 回归残差总和 UQeLyy UQe/(n－2) 对，U，Qe的具体计算常用下面的公式：，，．例5在例2中，用F检验法检验()．解，，．列方差分析表如下：表9.16 方差来源 平方和 自由度 均方 F比 回归残差总和 1924.8767.2241932.1 189 1924.8760.903 2131.6**查F分布表，，由于，故回归方程高度显著．四、预测与控制回归方程的两个重要的应用是预测与控制．所谓预测，是指对于给定的x的值预测y的值．所谓控制，是指通过x的值，以便把y的值控制在指定的范围之内．1．预测设回归方程是根据观察值，，…，求得的．令表示x的某个固定值，且，．假设相互独立，或者说是将要做的一次独立试验的结果．根据回归方程的意义，很自然我们用作为的预测值，因为，故预测值是的无偏估计．下面讨论的预测区间问题，也就是的区间估计问题．可以证明，且与相互独立，于是．另一方面，，且Qe和相互独立，从而Qe和相互独立，因此有．给定置信度，容易求得的置信度为的预测区间为，，这里称为剩余标准差．由上可知，S越小，预测区间越窄，即预测越精确；越靠近，预测也越精确．若记，则上述预测区间可写成．对于给定的样本观察值作曲线，，则夹在这两条曲线之间的部分就是的置信度为的预测带域，这一带域在处最窄(见图9－2)．图9－2例6求例1中温度时得率的预测值和置信度为0.95的预测区间．解由例2知回归方程为，则预测值．给定置信度，查得，则，，因此的置信度为0.95的预测区间为．当的取值在附近而n较大时，有，，则预测区间近似为．当分别取0.05和0.01时，则的置信度为0.95与0.99的预测区间分别为，．利用以上二式进行预测很方便，只需计算出及剩余标准差S即可．2．控制控制是预测的反问题，即若要观察值y以的概率落在指定的区间时，那么x应控制在什么范围之内？即要求出区间，使当时，对应的观察值y以的概率落在中．对给出的和置信度，x的取值在附近而n较大时，由可得显然当时，的控制范围是，的控制范围是．五、可化为一元线性回归的情形前面讨论了一元线性回归的问题，在实际中会遇到更为复杂的回归问题，其中有些情形可通过适当的变换转化为线性形式，如（1）双曲线；（2）幂函数曲线y=a，其中x>0，a>0；（3）指数曲线y=a，其中参数a>0；（4）倒指数曲线y=a，其中a>0；（5）对数曲线y=a+blnx，x>0；（6）S型曲线．这些曲线都可通过变换化为线性形式，比如有双曲线式的回归模型，，令，，有一元线性回归模型，．例7电容器充电达某电压值时为时间的计算原点，此后电容器串联一电阻放电，测定各时刻的电压U，测得结果如表9.17：表9.17 时间t(s) 012345678910 电压U(V) 100755540302015101055若U与t的关系为，其中U0，C未知，求U对t的回归方程．解的两边取对数，得，令，，，则有．作数据变换，得表9.18表9.18 t 012345678910 y 4.64.34.03.73.432.72.32.31.61.6这里n=11，，，，，，得，．由此得，．故所求回归方程为．�EMBEDWord.Document.8���x1x2xXo�EMBEDUnknown����EMBEDUnknown����EMBEDUnknown����EMBEDWord.Document.8����EMBEDUnknown����EMBEDUnknown����EMBEDWord.Document.8����EMBEDWord.Document.8����EMBEDUnknown����EMBEDFlash.Movie����EMBEDFlash.Movie����EMBEDFlash.Movie����EMBEDWord.Document.8����EMBEDWord.Document.8����EMBEDWord.Document.8����EMBEDFlash.Movie����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDUnknown����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDWord.Document.8����EMBEDWord.Document.8����EMBEDUnknown���精选文档精选文档精选文档_990686840.unknown_990686921.unknown_990687119.unknown_990687163.unknown_990690137.unknown_990690389.unknown_990728802.unknown_990729001.unknown_990729155.unknown_995886621.unknown_995887035.unknown_995887036.unknown_995914391.unknown_995915274.unknown_996129440.unknown_996129576.unknown_996129931.unknown_996130188.unknown_996146932.unknown_1004249398.unknown_1004256547.unknown_1007384738.unknown_1007384851.unknown_1007384950.unknown_1007385064.unknown_1007387011.unknown_1144736939.unknown_1144736940.unknown_1144829516.unknown_1144829545.unknown_1144829837.unknown_1145085734.unknown_1145085735.unknown_1145085736.unknown_1145085737.unknown_1145085738.unknown_1145085739.unknown_1145085740.unknown_1148904981.unknown_1148911967.unknown_1148911968.unknown_1148911975.unknown_1148911985.unknown_1148911986.unknown_1148911987.unknown_1148911988.unknown_1148912014.unknown_1148912015.unknown_1148912213.unknown_1148977369.unknown_1148977370.unknown_1148977390.unknown_1148977391.unknown_1148977407.unknown_1148977408.unknown_1148977427.unknown_1148977428.unknown_1148977440.unknown_1148977441.unknown_1148977482.unknown_1148978237.unknown_1148996994.unknown_1149053497.unknown_1149053498.unknown_1149053499.unknown_1149053500.unknown_1149053501.unknown_1149053502.unknown_1149053503.unknown_1149053504.unknown_1149053505.unknown_1149053506.unknown_1149053532.unknown_1149053533.unknown_1149053534.unknown_1149053535.unknown_1149053536.unknown_1149053537.unknown_1149053538.unknown_1149053539.unknown_1149053540.unknown_1149053541.unknown_1149053597.unknown_1149053714.unknown_1149053715.unknown_1149053728.unknown_1149053729.unknown_1149053955.unknown_1149053968.unknown_1149058968.unknown_1149059226.unknown_1149059227.unknown_1149059278.unknown_1149075009.unknown_1149075955.unknown_1149145237.unknown_1149145289.unknown_1149145633.unknown_1149145642.unknown_1149145991.unknown_1149146085.unknown_1149146569.unknown_1149146570.unknown_1149146581.unknown_1149146670.unknown_1149150715.unknown_1149150732.unknown_1149150847.unknown_1149150848.unknown_1149150849.unknown_1149150855.unknown_1149150986.unknown_1149150990.unknown_1149151458.unknown_1149151726.unknown_1149151727.unknown_1149151728.unknown_1149151729.unknown_1149151730.unknown_1149152156.unknown_1149152170.unknown_1149152897.unknown_1149152948.unknown_1149152965.unknown_1149153408.unknown_1149153409.unknown_1149153737.unknown_1149153791.unknown_1149153834.unknown_1149154053.unknown_1149154054.unknown_1149154055.unknown_1149155120.unknown_1149155130.unknown_1149155155.unknown_1149155168.unknown_1149155175.unknown_1149159594.unknown_1149161601.unknown_1149161646.unknown_1149161653.unknown_1149161756.unknown_1149161763.unknown_1149161829.unknown_1149161836.unknown_1149162618.unknown_1149162635.unknown_1149162636.unknown_1149162661.unknown_1149162690.unknown_1149162695.unknown_1149162735.unknown_1149162752.unknown_1149162764.unknown_1149162777.unknown_1149164893.unknown_1149168666.unknown_1149168667.unknown_1149168668.unknown_1149168669.unknown_1149168721.unknown_1149168722.unknown_1149168723.unknown_1149168724.unknown_1149168778.unknown_1149169693.unknown_1149169711.unknown_1149169712.unknown_1149170483.unknown_1149171006.unknown_1149171007.unknown_1149171200.unknown_1149171226.unknown_1149171244.unknown_1149171644.unknown_1149171645.unknown_1149171646.unknown_1149172067.unknown_1149172068.unknown_1149172777.unknown_1149173312.unknown_1149173338.unknown_1149173369.unknown_1149173378.unknown_1149173386.unknown_1149173427.unknown_1149173492.unknown_1149173500.unknown_1149173660.unknown_1149173661.unknown_1149174681.unknown_1149174682.unknown_1149315575.unknown_1149315576.unknown_1149315603.unknown_1149315604.unknown_1149315827.unknown_1149315828.unknown_1149315829.unknown_1149315830.unknown_1149315831.unknown_1149315832.unknown_1149315833.unknown_1149315834.unknown_1149315835.unknown_1149315836.unknown_1149315837.unknown_1149315838.unknown_1149316047.unknown_1149316069.unknown_1149316151.unknown_1149316164.unknown_1149316629.unknown_1149316630.unknown_1149317094.unknown_1149317154.unknown_1149317163.unknown_1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