桥梁桩基基础的刚度计算及有限元模拟

工程应用三：桥梁桩基基础的刚度计算及有限元模拟EngApp-003，20090610，SWJTU1桥梁桩基基础的刚度计算及有限元模拟赵凯蔡宪棠李永乐（西南交通大学桥梁工程系，四川成都，610031，lele@swjtu.edu.cn）1什么是基础刚度2桩基础荷载传递模式3桩基基础刚度的计算理论4有限元模型中基础等效刚度的模拟5采用“桥梁博士”软件计算桩基基础刚度【摘要】：本文首先介绍了基础刚度的基本概念（第1节），然后概要阐述单桩在轴向荷载和横向荷载作用下的传递模式、单桩和多排桩的概念以及地基抗力特性（第2节）。接着分别推导了轴向和横向荷载作用下弹性单排桩的竖向位移和横向位移公式，在此基础上利用结构力学方法推导出弹性多排桩的位移公式，由此得出桩基基础刚度（第3节）。然后介绍了有限元建模中基础刚度模拟的等效方法（第4节）。最后给出了采用桥梁设计软件“桥梁博士”计算弹性桩基基础刚度的操作方法（第5节）。本文第1～3节系计算桩基基础刚度的理论基础，第4节介绍有限元建模中基础等效刚度的模拟方法，如果仅想了解桩基基础刚度的计算方法，请直接看第5节。【关键词】：桥梁；桩基；基础刚度；有限元；刚度矩阵1什么是基础刚度刚度指材料、构件或结构受外力作用时抵抗变形的能力。材料的刚度通过使其产生单位变形所需的外力值来量度。各向同性材料的刚度取决于它的弹性模量E和剪切模量G(详见胡克定律)。结构的刚度除了取决于组成材料的弹性模量外，还与其几何形状、边界条件等因素以及外力的作用形式有关。分析材料和结构的刚度是工程设计中的一项重要工作。对于一些须严格限制变形的结构（如高速铁路桥梁等），须通过刚度分析来控制变形。许多结构（如建筑物、桥梁等）也要通过控制刚度以限制振动或失稳。桥梁上部结构的自重、活载和其它荷载最终要通过基础传递给地基，弹性的基础和地基会产生变形，从而引起上部结构产生位移。对于超静定结构，基础和地基的变形会引起上部结构内力和变形的重分配。在桥梁结构有限元分析中可通过基础刚度的形式计入弹性约束边界条件的影响，这在许多情况下是必要的。本文中基础刚度指桥梁墩柱承台或支座处（有限元模型约束位置）发生单位位移（线位移或转动位移）所需施加的力或力矩，它是基础的整体刚度，对桩基来说，基础刚度指承台顶部（或底部）的整体刚度，而不是单桩刚度。本文重点介绍弹性桩基础的基础刚度分析理论及计算方法，其原理实质上是考虑土弹性抗力的深埋基础的受力分析，因此，它的分析方法不仅适用于桩基，也可很容易推广到任何深埋基础，如沉井、气压沉箱、管柱等深基础计算。李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）EngApp-003，20090610，SWJTU22桩基础荷载传递模式在上部传递下来的荷载作用下，桩和土都会发生弹性变形，桩受力变形是桩与土共同作用的结果，分析桩基基础刚度应首先明确桩和周围的土的力学特点。2.1单桩、单排桩与多排桩的概念计算基桩内力首先应该根据作用在承台底面的总外力P,H,M，计算出作用在每根桩顶的荷载Pi,Qi,Mi值，然后才能计算各桩在荷载作用下各截面的内力与位移。桩基础按其作用力H与基桩的布置方式之间的关系可归纳为单桩、单排桩及多排桩等三种类型来计算各桩顶的受力，如图2-1所示。所谓单桩、单排桩是指在与水平外力H作用面相垂直的平面上，由单根或多根桩组成的单根（排）桩的桩基础，如图2-1a)、b)所示，对于单桩来说，上部荷载全由它承担。对于单排桩，可假定作用于承台底面中心的荷载平均地分布在各桩上，即Pi=Pn;Qi=Hn;Mi=Myn(2-1)式中：n=桩的根数。图2-1单桩、单排桩及多排桩图2-2桩的轴向荷载传递由此可知，单排桩荷载分配后可按单桩计算，单排桩和单桩可归为一类。多排桩如图2-1c)所示，指在水平外力作用平面内有一根以上桩的桩基础，不能直接应用上述公式计算各桩顶作用力，需用结构力学方法另行计算。由此可见，对于一排桩基，究竟作为单排桩还是多排桩，要根据其外部荷载形式确定。例如，横桥向一排桩基，在计算制动力等沿桥轴纵向力作用下的变形时是单排桩，若作横风力等横桥向力验算时，则是多排桩。2.2单桩轴向荷载传递土对桩的支承力是由桩侧摩阻力和桩底阻力两部分组成，相应地，桩的竖向位移会引起桩侧土的摩阻力和桩底土的抵抗力，这两种力的分布具有各自不同的特点。侧向摩阻力：对于打入摩擦桩和振动下沉摩擦桩，考虑到由于打入和振动会使桩侧土愈往下愈挤密，所以可近似地假设桩侧土的摩阻力随深度成三角形分布。对于钻、挖孔桩则假定桩侧土摩阻力在整个深度内近似地沿桩深成均匀分布。当然，端承桩（柱桩）是不需考虑侧向摩阻力的。工程应用三：桥梁桩基基础的刚度计算及有限元模拟EngApp-003，20090610，SWJTU3桩底阻力（如图2-2所示）：一般假定外力因桩侧土的摩阻力和桩身作用自地面以φ4角扩散至桩底平面上的面积A0上（φ为土的内摩擦角），并假定土的竖向抗力与桩底竖向位移成正比关系，比例系数称为桩端地基竖向抗力系数C0，C0=m0×h（当h<10m时，取C0=10×m0），其中m0为桩端处的地基竖向抗力系数的比例系数。《》中对m0的取值有一定规定，见附录A。在计算轴向力Ni作用下的轴向位移bi时，它包括桩本身的弹性压缩及桩底下土层的压缩。故桩的轴向位移bi可示为000()iiiNlhNbEACAξ+=+(2-2)式中：E,A——桩的弹性模量及截面面积；l0,h——桩在土面以上及入土部分长度；Ni——桩顶轴向力；ξ——考虑桩侧土摩阻力对桩身变形的影响系数，取值跟侧土摩擦力分布有关，由材料力学分析得，对于柱桩（端承桩），ξ=1；对于摩擦桩：钻孔桩ξ=1/2，打入桩或振动下沉桩ξ=2/3；C0——桩底土层的竖向地基系数；A0——桩底土层的受力面积。对于摩擦桩认为从桩侧四周自土面按/4?（?为桩所穿过土层的平均内摩擦角）向下扩散至桩底处的面积。但当此面积大于按桩底中心距计算的面积时，则应按桩的中心距计算A0。对于柱桩（端承桩），A0为桩本身的截面积。用公式表示为对摩擦桩：202(tan)244dhAs?ππ?+??=????取小值(?为土层平均内摩擦角)；对端承桩：A0=πd2/4。在式(2-2)中令bi=1，则00011PPiNlhEACAρξ==++(2-3)上式中ρPP即单桩的竖向刚度（当桩顶仅产生单位轴向位移bi=1时，桩顶的轴向力为ρPP）。其它方向的刚度下文予以分析。2.3单桩横向荷载传递桩身的水平位移及转角使桩挤压桩侧土体，桩侧土必然对桩产生一横向弹性抗力σzx，其大小取决于土体性质、桩身刚度、桩的入土深度、桩的截面形状、桩距及荷载等因素。假定土的横向抗力符合文克勒尔（E.winkeler）假定，可表示为σzx=Cxz(2-4)式中：σzx——横向土抗力（kN/m2）；C——水平地基系数（kN/m3）；xz——深度z处的横向位移(m)。地基系数C表示单位面积土在弹性限度内产生单位变形时所需施加的力，C值随深度分布规律有几种不同描述，我国《公路桥涵地基与基础设计规范》（以下简称《公桥基规》）和《铁路桥涵地基与基础设计规范》（以下简称《铁桥基规》）均采用m法，李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）EngApp-003，20090610，SWJTU4假定地面处地基系数为零，地面以下随深度按比例增加，即C=mz，m称为地基土比例系数(kN/m4)。C和m值的确定见附录A。3桩基基础刚度的计算理论《公桥基规》和《铁桥基规》关于桩基变形计算规定条文大同小异，内容实质上是一致的，公式表达形式和采用的符号有所不同。本文采用《公桥基规》符号。计算桩基基础刚度的整体思路是：假定地基抗力特性，推导单桩刚度，得出单排桩基础刚度；然后结合桩基础的结构和构造形式，利用结构力学方法推导多排桩基础刚度。3.1“m”法弹性单排桩横向位移和内力计算基本假定：1)将土看作为弹性变形介质，其地基系数在地面（或冲刷线）处为零，并随深度成正比例增长；2)基础与土之间的粘着力和摩阻力均不予考虑；3)在水平力和竖直力作用下，任何深度处土的压缩性均用地基系数表示。3.1.1桩的挠曲微分方程及其解单桩分析模型如图3-1，桩顶若与地面平齐（l0=0），且已知桩顶作用有水平荷载Q0及弯矩M0，（正方向规定见图示）此时桩将产生弹性挠曲。由材料力学梁的挠曲与梁上分布荷载q之间的关系式得，桩的挠曲微分方程为4114zxzdxEIqbmzxbdzσ=-=-?=-?(3-1a)式中：EI——桩截面弯曲刚度，EI=0.8EcI；σzx——桩侧土抗力(kN/m2)，σzx=Cxz=mzxzb1；b1——桩的计算宽度(m)，关于计算宽度的讨论见附录B；xz——桩在深度z处的横向位移(m)。将上式整理可得：4540zdxzxdzα+=(3-1b)式中：α——桩的变形系数(1/m)，15mbEIα=。方程(3-1b)为四阶线性变系数齐次常微分方程，利用幂级数法求解，其解答如下：000011112300002222230000333322300004444323zzzzMQxxABCDEIEIMQxABCDEIEIMQMxABCDEIEIEIMQQxABCDEIEIEIφαααφφααααφααααφαααα?=+++???=+++???=+++???=+++?(3-2)图3-1单桩受力图示x0HMl0lxz地面处H0=HM0=M+Hl0Φ0σxMz+Vz+xz+φz+Q0工程应用三：桥梁桩基基础的刚度计算及有限元模拟EngApp-003，20090610，SWJTU5式中：A1,B1⋯C4,D4——16个无量纲系数，取决于换算深度zzα=，查附录C表格；M0,Q0可由已知的桩顶受力情况确定，而x0,0φ则需根据桩底边界条件确定，有公式可用，见参考文献[3]。3.1.2弹性桩的位移和内力简化计算按照上述方法计算,,,zzzzxMQφ，其计算工作量相当繁重。当桩的支承条件及入土深度符合一定时，公式中的某些项影响极小，可适当简化计算。1)对于αh>2.5的摩擦桩、αh>3.5的端承桩（柱桩）：00z320020000=xxzzMMzQQQMxABEIEIQMABEIEIQMAMBQQAMBφφααφαααα?+???=+???=+??=+??(3-3)式中：10101()xxAAABADφ=-+；10101()xxBABBACφ=-+。2)对于αh>2.5的嵌岩桩*：0000z320000200000000=xxzzMMzQQQMxABEIEIQMABEIEIQMAMBQQAMBφφααφαααα?+???=+???=+???=+?(3-4)式(3-3)、(3-4)即为求解桩在地面以下位移及内力较简捷的计算公式，其中,,,,,,,xxMMQQABABABABφφ及00000000,,,,,,,xxMMQQABABABABφφ为无量纲系数，均为αh和αz的函数，其值查参考文献[3]附表。由式(3-3)、(3-4)可求出桩各截面的横向位移、转角、弯矩和剪力，附录C给出了不同情况下桩顶的位移公式。对于αh≥4时，无论桩底支承情况如何，均可采用式3-3、3-4及相应系数来计算，其结果极为接近。特别说明：采用上述简化计算中，当αh>2.5时，桩的刚度相对土较小，这种桩称作弹性桩，计算具有一定精度。但是当αh<2.5时，桩的相对刚度较大，一般称作刚性桩。3.1.3桩顶刚度系数ρPP，ρHH，ρHM，ρMH，ρMM及单排桩基础刚度分析基桩桩顶刚度系数对基础刚度计算有重要意义，桩顶各刚度系数ρPP，ρHH，ρHM，ρMH，ρMM的含义如下：ρPP——当承台板沿桩轴线方向产生单位位移时所引起桩顶面处的轴向力(kN/m)；ρHH——当承台板沿垂直桩轴线方向产生单位横向位移时所引起桩顶面处的横向力(kN/m)；ρHM——当承台板顺构件顶面弯矩方向产生单位转角时所引起桩顶面处的横向力(kN/rad)；*嵌岩桩：桩端嵌入岩层一定深度，要求桩的周边嵌入微风化或中等风化掩体的最小深度不小于0.5m。李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）EngApp-003，20090610，SWJTU6ρMH——当承台板沿垂直桩轴线方向产生单位横向位移时所引起构件顶面处的弯矩(kN·m/m)，ρMH=ρHM；ρMM——当承台板顺桩顶面弯矩方向产生单位转角时所引起桩顶面处的弯矩(kN·m/rad)。ρpp指单桩的轴向刚度，已在第2.2节求出，见式(2-3)。下面求ρHH，ρHM，ρMH，ρMM。式(3-3),(3-4)是弹性单排桩的横向位移和转角公式，利用附录C表格，在桩顶荷载Qi,Mi作用下桩顶位移为：iiHHiHMiiMHiMMxQMQMδδ?δδ=+??=+?(3-5)式中：HHδ——当桩顶只作用有单位横向力时，桩顶的横向位移；MMδ——当桩顶只作用有单位弯矩时，桩顶沿该方向的转角；HMδ——当桩顶只作用有单位弯矩时，桩顶的横向位移;MMδ——桩顶只作用有单位横向力时，桩顶产生的转角,MMδ=HMδ。HHδ，MMδ，HMδ,MHδ可利用附录C表格公式求出。求解方程(3-5)得，iMMiHMiHHMMHMMHiHHiMHiHHMMHMMHxQxMδ?δδδδδ?δδδδδδ-?=?-??-?=?-?(3-6)由ρHH，ρHM(ρMH)，ρMM的意义知，当xi=1，φi=0时，Qi=ρHH，Mi=-ρMH，代入式(3-6)得，22MMHHHHMMMHHMMHHHMMMHδρδδδδρδδδ?=?-???=?-?(3-7)又当φi=1，xi=0时，Qi=-ρHM，Mi=ρMM，代入式(3-6)得，22MHHMHHMMMHHHMMHHMMMHδρδδδδρδδδ?=?-???=?-?(3-8)式(2-3),(3-7)和(3-8)中的ρPP，ρHH，ρHM，ρMH，ρMM是基桩桩顶刚度系数公式，也称“初始集成刚度”。当为单排桩时，只需将ρPP，ρHH，ρHM，ρMH，ρMM乘以n（n为桩的根数）便是单排桩的刚度，于是对称分布的单排桩的基础刚度可用下式表示：抗压刚度：γcc=nρPP(3-9a)抗推刚度：γaa=nρHH(3-9b)抗弯刚度：γββ=nρMM(3-9c)推弯相关刚度：γaβ=γβa=-nρHM(3-9d)推压相关刚度：γac=γca=0(3-9e)工程应用三：桥梁桩基基础的刚度计算及有限元模拟EngApp-003，20090610，SWJTU7压弯相关刚度：γcβ=γβc=0(3-9f)式中：γij——j方向产生单位位移（转角）时，引起i方向上的力（力矩），i,j=a,β,c为分别对应于外力P,M,H方向的垂直轴向位移，转角和轴向位移；n——桩的总根数。3.2基于“m”法的弹性多排桩基桩位移和内力计算3.2.1分析多排桩桩基的思路桩基的桩顶与承台联结成为整体，可认为桩顶嵌固于刚性承台中，而桩的下部埋入土中，整个桩基可视为具有刚性承台的刚架，故多排桩桩基的计算，实际上是解算一个具有刚性承台的空间刚架。桩基设计通常具有一个或两个对称面，且外力作用于对称面内，故可简化为平面刚架来处理。在承台底面中心作用有外力P,H,M（如图3-2所示），底面中心将产生水平位移a、竖向位移c和转角β，各桩顶的位移和转角可表示为：iiiiaaccxβββ=??=+??=?(3-10)式中：a，c，β，——承台底面中心的水平位移、竖向位移和转角；ai，ci，βi，——承台底面处各桩顶的水平位移、竖向位移和转角；xi——桩与承台底面中心的水平距离。图3-2桩基受力变形图对简化的桩基平面刚架分析可采用结构力学位移法，其关键是先求出各单桩的刚度，然后集成为多排桩的刚度。当然，亦可采用有限元法分析，将土的弹性抗力模拟为一个个弹簧，形成总刚后求解结构刚度方程，这方面的理论见参考文献[6]。3.2.2高桩承台对称竖直桩桩基的变位和内力（基础刚度公式）桩基础按承台位置可分为高桩承台基础和低桩承台基础，其中高桩承台基础的承台位于地面（或局部冲刷线）以上，因此不受土的弹性抵抗作用。如图3-3所示为多排桩高桩承台基础，在承台底面中心作用有外力P,H,M，底面中心将产生水平位移a、转角β和竖向位移c（正方向规定见图示，转动以顺时针为正）。3.1.3节求出了基桩桩顶的各刚度系数，现在集成各基桩桩顶刚度系数，形成平面刚架结构的总刚度系数。李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）EngApp-003，20090610，SWJTU8图3-3多排桩受力计算简图对于图3-3所示对称布置的竖直桩桩基，根据力的平衡条件，得总刚度系数为：200caacccccPPaaHHaaMHMMPPxββββββγγγγγργργγργρρ==??==??=??=??==-??=+?∑∑∑∑∑(3-11)式中：γij——j方向产生单位位移（转角）时，引起i方向上的力（力矩），i,j=a,β,c为分别对应于外力P,M,H方向的垂直轴向位移，转角和轴向位移。基础刚度的含义是承台底面中心发生单位位移所需施加的力，由上式的各量的意义知，γcc为基础轴向（抗压）刚度，γaa为基础横向（抗推）刚度，γββ为基础转动（抗弯）刚度,γaβ为基础转动—横向位移（推弯相关刚度）影响系数。式(3-11)也可写作：多排弹性高桩承台桩基础的基础刚度公式：抗压相关刚度：γcc=nρPP(3-12a)抗推相关刚度：γaa=nρHH(3-12b)抗弯相关刚度：γββ=nρMM+ρPP∑Kixi2(3-12c)推弯相关刚度：γaβ=γβa=-nρHM(3-12d)推压相关刚度：γac=γca=0(3-12e)压弯相关刚度：γcβ=γβc=0(3-12f)式中：n——桩的总根数；xi——由坐标原点O至各桩轴线的距离；Ki——第i排桩根数；ρpp，ρHH，ρMM，ρHM——基桩桩顶刚度系数，见公式(2-3),(3-7),(3-8)。值得注意的是，式(3-12)的计算结果是基于桩顶即承台底部的，如果以承台顶部的变位为准定义基础刚度，则按下式修正。γ’cc=γcc(3-13a)γ’aa=γaa(3-13b)工程应用三：桥梁桩基基础的刚度计算及有限元模拟EngApp-003，20090610，SWJTU9γ’ββ=γββ-2γaβD+γaaD2(3-13c)γ’aβ=γ’βa=γaβ-γaaD(3-13d)γ’ac=γ’ca=γac(3-13e)γ’cβ=γ’βc=γcβ(3-13f)式中：D——承台厚度。3.2.3低桩承台对称竖直桩桩基基础刚度公式低桩承台的承台底面埋入土面下一定深度，它与高桩承台在受力状态上的区别是承台前侧作用着土体的弹性抗力。对低桩承台桩的基础刚度推导，原理上与高桩承台相似，只是要引入土对承台的弹性抗力作用，所以基础刚度公式增加了土体对承台的抗力项。下面直接给出基础刚度公式。11210caacccPPiiccPPcaaHHcaaMHcMMPPiiKxnnbFnbSnKxbIββββββγγγγργργργγργρρ==??==??=??=+??==-+??=++?∑∑(3-14)式中：b1——与水平力相垂直的承台作用面底边的计算宽度；Fc,Sc,Ic——分别为承台地面以上水平向地基系数c的图形面积对底面的面积矩和惯性矩；(3-15)cc——承台底面处水平向土的地基系数，cc=mhc；hc——承台底面埋入地面或局部冲刷线下的深度。式(3-14)中的b1Fc,b1Sc,b1Ic代表承台周围土的影响。详细说明参见《公桥基规》。3.3刚性基础的基础刚度计算以上重点介绍了弹性桩基础（αh>2.5）的基础刚度计算理论。而对于埋深较浅、截面尺寸较大的桩基础（αh<2.5），或者尽管埋深较大，但构件刚度与土的刚度之比很大的沉井基础，其自身刚度很大，为简化计算，可假定土中构件EI=∞，同时考虑土对基础的侧向弹性抗力作用和基底竖向压力作用。刚性基础在横向和在和偏心竖向荷载作用下，仅有转角变位。附录E列出了刚性基础的位移计算公式，其刚度可较容易根据变位反算得到。3.4承台中心变位计算取承台为隔离体，其位移法典型方程为：李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）EngApp-003，20090610，SWJTU10aaaacaccacccacHacMacPββββββγβγγγβγγγβγγ?++=?++=??++=?(3-16)求解上式即可得到承台的水平位移a、转角β和竖向位移c，公式如下：()()22ccaaaaaaaaaaPcHMaMHββββββββββγγγγγγγγβγγγ??=???-?=?-??-?=?-??(3-17)式中：P,H,M——荷载作用于承台底面原点O处的竖直力、水平力和弯矩。4有限元模型中基础等效刚度的模拟4.1等效刚度模拟方法桥梁上部结构和墩身具有一定的柔度，基础也是如此。对梁端或者墩柱底部直接约束是不符合实际情况的。有效模拟基础刚度，将桥塔或墩和基础作为一个整体，共同参与受力，不仅在静力整体计算中是必要的，在动力学分析或局部分析中也是有意义的。在结构有限元模型中模拟基础刚度的方法主要有两种：一是直接修改单元刚度矩阵，即有限元模型中的单元刚度矩阵各元素直接取基础刚度矩阵相应元素的值，从而准确模拟基础的总体刚度，但这种方法常需修改分析软件源代码；二是引入等效的结构模型，有单杆加一补充弹簧法，双柱法，二阶阶梯变截面杆等效法等等。采用“单杆加补充弹簧法”和双柱法等，能够准确模拟平面受力模型的基础刚度，然而却不适用于空间受力模型。本文介绍一种适用于空间模型的方法。建立空间直角坐标系XYZ，X轴为顺桥向，Y轴为横桥向，Z轴为竖向。当基桩关于承台中心点以中心对称方式排列时，承台中心的位移可写作(),,,,,Tabcδαβθ=(4-1)其中：a,b,c为分别沿X,Y,Z轴方向的线位移，α,β,θ为分别绕X,Y,Z轴方向的转角，为了与《公桥基规》和“桥梁博士”坐标系一致，α,β,θ的正负号按左手法则确定（如图4-1所示）。由第3节分析知，基桩关于承台中心点以中心对称方式排列时，基础刚度可写作矩阵形式：abcαβθaraa000raβ0b0rbb0rbα00c00rcc000α0rαb0rαα00βrβa000rββ0θ00000rθθ=∞r=(4-2)图4-1坐标系方向约定工程应用三：桥梁桩基基础的刚度计算及有限元模拟EngApp-003，20090610，SWJTU11本矩阵中：主对角线元素是主刚度，为正值；交叉项元素表示相干刚度，0元素表示相干刚度为0，其它元素都是负值，这与坐标定义方向有关；认为基础绕竖直方向轴的扭转刚度rθθ为无穷大，这是因为，一方面基桩空间受力，抗扭刚度通常较大，另一方面多数情况下桥梁实际受力状态中墩柱的扭矩较小，基础扭转位移应该很小，结构分析中通常取大值。采用三个梁单元组合形式模拟基础刚度，其原理是采用一个竖向梁、一个顺桥向梁和一个横桥向梁，通过调整杆件几何特性，使三个单元的公共节点1的刚度和承台中心的基础刚度相当。如图4-2所示，点1表示墩（塔）底节点，以它为公共i节点，分别建立竖向单元①，顺桥向单元②和横桥向单元③，并且约束这三个单元的j节点（即节点2,3,4）的所有自由度。单元类型均为空间梁单元（如ANSYS中的BEAM4单元）。单元材料属性可赋任意有意义的量，例如统一取用钢材的属性，弹性模量E取2.1×1011Pa，泊松比υ取0.3，切变模量G取8.08×1010Pa。这里以Iyy,Ixx,Ip分别表示三个梁的顺桥向抗弯惯性矩、横桥向抗弯惯性矩和抗扭惯性矩。假定单元②和单元③的Iyy,Ixx都很小，取为0，也就是说单元②和③仅具有抗扭刚度，忽略其抗弯刚度。图4-2所示结构产生单位位移会在墩底引起相关自由度方向上的力，这些力应该等于基础刚度矩阵中的对角线上的元素，因此应满足下列各式：EA1L1=rcc(4-3)GI1pL1=rθθ(4-4)12EI1yyL13+EA2L2=raa(4-5)－6EI1yyL12=rβa=raβ(4-6)4EI1yyL1+GI3pL3=rββ(4-7)12EI1xxL13+EA2L2=rbb(4-8)－6EI1xxL12=rαb=rbα(4-9)4EI1xxL1+GI2pL2=rαα(4-10)式中：角标1,2表示单元号。上述8个式子组成方程组有解，联立求解得，I1p=L1rθθGA1=L1rccE;I1yy=－L12rβa6E图4-2基础刚度模拟李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）EngApp-003，20090610，SWJTU12I1xx=－L12rαb6EI2p=L2G(rαα+23rαbL1)A2=L2E(raa+2rβaL1)I3p=L3G(rββ+23rβaL1)A3=L3E(rbb+2rαbL1)取L1=L2=L3=L，上式可改写成下列形式，单元几何特性参数：单元1：A1=LrccE;I1yy=－L2rβa6E;I1xx=－L2rαb6E;I1p=LrθθG(4-12a)单元2：A2=LE(raa+2rβaL1)；I2yy=0；I2xx=0;I2p=LG(rαα+23rαbL)(4-12b)单元3：A3=LE(rbb+2rαbL)；I3yy=0；I3xx=0;I3p=LG(rββ+23rβaL)(4-12c)采用式(4-12)确定三个单元的几何特性参数时，式(4-2)中各个刚度系数都能得到准确模拟，因此采用式(4-12)确定的三个梁单元公共节点处和承台中心处的基础刚度完全等效。能够满足式(4-12)的结构构件实际上并不存在，仅是一种数学模型而已。4.2注意事项提示1：材料特性定义中应明确指定各方向的弹性模量E和剪切模量G。例如，针对用于基础刚度模拟的三个梁单元材料特性，ANSYS中按下面方式定义是不对的：MP,EX,1,2.1E11MP,NUXY,1,0.3MP,DENS,1,0MP,GXY,1,8.08E+10正确的做法应明确指定各方向的弹性模量E和剪切模量G，正确的定义形式如下：MP,EX,1,2.1E11MP,EY,1,2.1E11MP,EZ,1,2.1E11MP,NUXY,1,0.3MP,NUYZ,1,0.3MP,NUXZ,1,0.3MP,DENS,1,0MP,GXY,1,8.08E+10MP,GYZ,1,8.08E+10MP,GXZ,1,8.08E+10提示2：A2,A3,I2p,I3p都有可能得出负值，显然无效，所以要调整L的大小，确保A2,A3,I2p,I3p各项都取非负值。L需满足下式：工程应用三：桥梁桩基基础的刚度计算及有限元模拟EngApp-003，20090610，SWJTU13221.51.5aaabbbbarLrrLrrLrrLrβααααβββ?>????>????<???<???(4-13)5采用“桥梁博士”软件计算桩基基础刚度本节结合一个实例，采用“桥梁博士”V3.0版的基础计算模块计算多排弹性桩基础的基础刚度。5.1基础资料桩基础类型为摩擦桩，埋入土层有2层，第一层为砂粘土，厚2m，φ=12°05’；第二为中密粗砂层，φ=24°32’。采用高桩承台形式，承台底距地面冲刷线7.46m。钻孔桩的入土深度为9.14m，桩身直径1.25m，采用C20混凝土。桩的布置如图5-1所示。(a)横桥向立面(b)顺桥向立面(c)平面图5-1桩基布置图（单位：m）5.2基础刚度计算启动“桥梁博士”V3.0，点击菜单“设计”->“基础计算”，弹出窗口输入文件名，如“Pile.sdp”，然后进入基础计算模块，如图5-2所示。图5-2基础计算模块界面李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）EngApp-003，20090610，SWJTU14基础计算采用平面模型，分为横桥向（YZ平面*）和顺桥向（XZ平面）两种受力状态。首先计算横桥向（YZ平面）相关刚度。在图5-2所示基础计算模块主界面中，“当前任务标识”输入“transverse”，“当前任务类型”选择为“多排弹性基础计算”，然后单击“添加任务”按钮，添加该任务。单击“描述结构”弹出“弹性多排基础计算”子窗口，如图5-3所示。图5-3弹性多排基础计算数据该对话框提供以下选项描述基础：lo：基础露出地面（或冲刷线）的高度。lo=7.46m。EI：基础的弯曲刚度，E为弯曲弹性模量，I为抗弯惯矩。47621.20.80.82.8102.281064cEIEIkNmπ×==×××=×?*基础入土深度h：基础埋入土中的深度，从地面起算，如果有冲刷，应从冲刷线起算，h=9.14m。地基系数m：地基土的比例系数，查附录A表格，取换算值m=28000kN/m4。基础变形系数：15mbEIα=其中：b1为基础的计算宽度，查附录B，b1=kkf(d+1)=0.7×0.9×(1.2+1)=1.39m；m：地基土的比例系数；EI：桩的弯曲刚度，620.82.2810cEIEIkNm==×?；故，31561.3928100.4432.2810mα-××==×，αh=4.05>2.5，按弹性基础计算（注：若αh<2.5，属刚性基础，任务应选为“刚性基础计算”）。*坐标系X轴为顺桥向，Y轴横桥向为，Z轴为竖向，见第4节之规定。*C20混凝土弹性模量EC，《公路桥规》取2.55×107kN/m2，《铁路桥规》取2.80×107kN/m2。本文材料参数按《铁路桥规》取值，因为该桥为铁路桥实例，不过为与上文保持一致，所有公式符号采用《公桥基规》。工程应用三：桥梁桩基基础的刚度计算及有限元模拟EngApp-003，20090610，SWJTU15水平力H：承台底所承受的水平外力，向右为正。竖向力P：承台底所承受的竖向外力，向下为正。总弯矩M：承台底面形心处的合计总弯矩，顺时针为正。因不计算基础变位，H,P,M均可填任意值。基底嵌入岩石：基础底面是否嵌入岩石，本例为摩擦桩，不勾选。桩底土的地基系数Co：按附录A规定取值，3530025109.142.28510/CmhkNm==××=×。kc,Ao,EA：与基桩传递竖向荷载有关的3个参数，参见2.2节说明。kc：即2.2节系数ξ，打入或震动下沉的摩擦桩，kc=2/3，钻（挖）孔摩擦桩kc=1/2，对于柱桩（或钻岩支承桩）kc=1，本例取0.5；EA：桩材料的拉压刚度，其中A是入土部分桩的平均截面积，2771.22.8103.17104cEAEAkNπ×==××=×；Ao：桩底面积，若为摩擦桩可采用自地面或局部冲刷线起向下扩散（按1/4土层的平均内摩擦角）至桩底面处的面积。如果此面积大于按桩底面中心距计算的面积时，则采用按桩底面中心距计算的面积。Ao的直径024.532tan()1.229.14tan()3.163.044Ddlmm?=+=+××=>o（相邻桩中心距），故2203.07.0654Amπ×==。各排桩x坐标：承台中心左侧为负，右侧为正，按坐标轴方向顺序输入即可，本例为“-4.5-1.51.54.5”。各排桩根数：各x坐标处横向桩的根数，应与x坐标对应顺序填写，本例为“2222”。填完表格信息，确认后显示结果，即可得到计算结果，如图5-4所示。李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）EngApp-003，20090610，SWJTU16图5-4弹性多排基础计算结果输出结果包括承台刚度信息和单桩效应，本例承台刚度信息为：承台单位竖向位移时，桩顶竖向反力合计（rcc）=8.008×106kN承台单位水平位移时，桩顶水平反力合计（rbb）=1.334×105kN承台单位水平位移时，桩顶反弯矩合计（rαc）=-7.649×105kN·m承台单位转角时,桩柱顶反弯矩合计（rαα）=9.603×107kN·m同理，再计算顺桥向（XZ平面）基础刚度，应注意与横桥向不同的地方是，此时基桩的计算宽度b1=kkf(d+1)=0.78×0.9×(1.2+1)=1.544m，31561.54428100.4522.2810mα-××==×，各排桩x坐标输为“-1.51.5”，各排桩根数输为“44”。输出的刚度信息为：承台刚度信息：承台单位竖向位移时，桩顶竖向反力合计（rcc）=8.008×106kN承台单位水平位移时，桩顶水平反力合计（raa）=1.355×105kN承台单位水平位移时，桩顶反弯矩合计（rβa）=-7.729×105kN·m承台单位转角时，桩柱顶反弯矩合计（rββ）=2.398×107kN·m5.3结果验证及讨论表5-1给出了顺桥向的相关基础刚度采用“桥梁博士”与手算结果对比，二者符合很好，验证了程序的可靠性。表5-1顺桥向相关基础计算值抗压刚度rcc(kN)抗推刚度raa(kN)抗弯刚度rββ(kN·m)相关刚度rβa(kN·m)“桥梁博士”计算8.008×1061.355×1052.398×107-7.729×105手算8.016×1061.345×1052.4×107-7.731×105采用“桥梁博士”计算基础刚度，需要注意：zαh>2.5，按弹性基础计算，αh<2.5，按刚性基础计算；z顺桥向和横桥向的基础刚度分别计算，桩的计算宽度b1不一定相等；工程应用三：桥梁桩基基础的刚度计算及有限元模拟EngApp-003，20090610，SWJTU17z“桥梁博士”的弹性桩计算模块目前只能算高桩承台基础，对于低桩承台基础，可先令l0=0，利用“桥博”计算一组基础刚度信息，然后按3.3.3节公式计算承台周围土的影响，二者叠加得到低桩承台基础刚度；z“桥博”给出的基础刚度信息系承台底部的刚度，在有限元模型中采用“一柱二杆”法模拟基础刚度时，如果直接利用承台底部的刚度，则应采用刚臂单元建出承台；如果不模拟承台，则应按3.2节公式(3-13)对刚度予以修正。5.4基础刚度模拟取单元长度L=20m，按照式(4-12)计算各单元的几何参数，计算结果见表5-2。表5-2单元几何特性单元长度L(m)面积A(m2)顺桥向抗弯惯性矩Iyy(m4)横桥向抗弯惯性矩Ixx(m4)极惯性矩Ip(m4)竖向梁单元1200.7626670.2453650.24282523769.80198顺桥向梁单元2200.0055440021.245380横桥向梁单元3200.005420003.384818注：扭转刚度rθθ可认为很大，“桥博”软件目前无法计算基础扭转刚度，抗扭惯性矩Ip通常取一个较大的值，本例取rθθ=100rαα，然后推算I1p。已知基础刚度，可根据结构力学位移法原理，列出典型方程，求解出承台中心的变位，见第3节公式(3-17)。为验证基础刚度模拟准确性，采用ANSYS建立如图4-2所示结构，在结构的3个单元的公共节点上分别施加沿X,Y,Z轴的力和力矩，计算该点位移。采用公式(3-17)方法和ANSYS有限元法计算结果汇总于表5-3。表5-3基础刚度的模拟效果计算方法a(mm)b(mm)c(mm)α(rad)β(rad)公式值0.007.860.006.26E-050.00E+00ANSYS值0.007.810.006.28E-050.00E+00Fx=1E6kN相对误差0.0%0.5%0.0%-0.4%0.0%公式值0.007.860.006.26E-050.00E+00ANSYS值0.007.810.006.28E-050.00E+00Fy=1E6kN相对误差0.0%0.5%0.0%-0.4%0.0%公式值0.000.000.120.00E+000.00E+00ANSYS值0.000.000.120.00E+000.00E+00Fz=1E6kN相对误差0.0%0.0%0.0%0.0%0.0%公式值0.0000.0630.0001.091E-050.000E+00ANSYS值0.0000.0630.0001.09E-050.00E+00Mx=1E6kN·m相对误差0.0%-0.4%0.0%0.0%0.0%公式值0.2910.0000.0000.000E+005.110E-05ANSYS值0.2910.0000.0000.000E+005.120E-05My=1E6kN·m相对误差0.2%0.0%0.0%0.0%-0.2%注：因本文假定基础的抗扭刚度很大，未考虑扭转变位，故表中未列出扭转角θ及扭矩Mz作用下结构的变位。对比表中公式(3-17)计算结果和ANSYS计算结果可见，二者较吻合，这验证了模拟方法的可靠性。值得注意的是，目前“桥梁博士”及相关规范计算得到的基础刚度均系承台底部中心处的刚度。若结构有限元模型中未模拟承台，则需根据公式（3-13）将承台底部中心处的刚度转化为承台顶部中心处的刚度。本文基础刚度的计算及有限元模拟方法，适用于空间桩基模型，能够在理论上准确模拟承台中心的变位，较好地解决了上部结构与下部基础的统一，具有工程实践意义。李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）EngApp-003，20090610，SWJTU18附录A水平地基抗力系数C的确定A.1水平地基抗力系数C的变化规律非岩石地基的抗力系数C随埋深成比例增大，深度z处的地基水平抗力系数Cz=m×z，其中非岩石类土的比例系数m取值按表A-1。岩石地基抗力系数不随岩层埋深变化，取Cz=C0，其值可按表A-2采用。表A-1非岩石类土地基的水平抗力系数的比例系数m和桩端地基竖向抗力系数的比例系数m0值表A-2岩石地基抗力系数C0A.2多层地基当量m值的换算如图3所示，当桩侧有两层以上不同性质的土时，严格地说，土的水平抗力应分层分别计算，如此一来需根据边界条件和连续性条件才能推导出桩的内力和位移，为简化计算，《规范》推荐一种简化算法，将多层土换算成单层地基，规定当基础侧面地面或局部冲刷线以下hm=2(d+1)(d为桩径，对h≤2.5情况，取hm=h)深度内有两层土时，应将两层土的比例系数换算成一个m值，作为整个深度的m值。关于m值换算方法，新版《公路桥涵地基与基础设计规范》(JTGD63-2007）和《铁路桥涵地基与基础设计规范》(TB10002.5-2005）规定有所不同。《铁桥基规》和1985版《公桥基规》根据换算前后地基系数图形面积在深度hm内相等，以3层地基为例，可得：(A-1)若为两层地基，则令m3=0，可得：(A-2)工程应用三：桥梁桩基基础的刚度计算及有限元模拟EngApp-003，20090610，SWJTU19图A-1多层地基示意图如果将式(A-1)变换为下式：(A-3)可以发现，这种换算方法实际上是按深度进行加权换算当量地基系数C的比例系数m，即埋深越大的土体，其m值对换算量贡献越大。但是事实上，土体埋深越大，桩对其压缩量会越小，土体对抵抗水平荷载的贡献应该越低，其m值的大小也越不重要。因此，2007版《公桥基规》对此进行了修改，采用根据桩身位移挠曲线确定上下两层土的加权权值，推导后，双层地基当量m值的计算公式为：(A-4)其中：李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）EngApp-003，20090610，SWJTU20附录B桩的计算宽度由试验研究分析得出，桩在水平外力作用下，除了桩身宽度范围内桩侧土受挤压外，在桩身宽度以外的一定范围内的土体亦受到一定程度的影响（空间受力）。为了将空间受力简化为平面受力，并