推陈出新的视角最值题——2014年高考浙江卷理科数学第17题解析

5～2数学教学2015年第5期推陈出新的视角最值一一2014年浙江卷理科数学第17题解析314000浙江省嘉兴市第一中学王剑明2014年全国高考浙江省数学理科试卷第l7题是一道最值题，它继承中创新，以空间为背景，利用函数的最值来考查仰角正切的最大值．1．原题呈现例1如图1，某人在垂直于水平地面AB的墙面前的点处进行射击训练．已知点到墙面的距离为B，某目标点P沿墙面的射击线M移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点观察点P的仰角0的大小．若AB=15m，AC=25m，ZBCM=30。，则tan0的最大值——(仰角为直线AP与平面ABC所成角)．图12．解题展示2．1建立函数关系通过投影构造三角形，得到tan0的比值情况．然后利用换元思想，结合函数的求最值问题，得到tan0的最大值．设点P在BC边上的投影为点日，则tan0PH—AH设BH=X，则日=、／／15+z2，P日=(20一)，所以．)一：：-~(2o-x)(O)．2．2求函数最大值解法1：二次函数法令20-x=t．则tan0：—。：：：：：：：一、／／3【15+(20一)]l，255~／3—v~~—15一’当t一625，即=一45时，tan取最大值．解法2：导数法令，()：(≤20)，贝0，()=瓦—-—20x-225152-~-X2，从而当>一时，．厂()f1、／／152+2⋯’4一<0，，()递减；当<一45时，，，()>0，，()5t!N；所以：一45时，．厂()取极大值，即tan0的最大值为丁5,／5．解法3：判别式法an：PH：需(≤20)j令=等(Y一1)+40x+225y一400—0．当：1时，：35，当≠1时，△=16O0—4(一1)(225y-400)0，即225y2—625≤0，得0≤≤．当=一45时，=625．从而tan的最大值为2015年第5期数学教学5—333．常见错误解例1的关键可以归结为建模和解模，考生在解答过程中出现的错误有：3．1实际问题数学化的建模意识薄弱由于浙江省近四年(2010年--2013年)一直没有考查应用题，学生实际问题数学化、几何问题代数化的建模训练较少，建模化归意识薄弱．不少考生仅从直观的几何图形上结合运动与变化的观点进行粗略地分析，利用极端位置法得出错误结论，而不能引进恰当的变量进行数学建模，即缺乏“利用‘变量B日=’去刻画‘因变量tan0’变化规律”的数学建模基本功，进而将几何问题代数化，借助代数方法进行入微分析的数形结合思想．3．2解模答题方面的基本能力欠缺在具体解答模型tan0=f(x)的最值时，有的考生因缺乏对函数式f(x)作变形转化的“基本功”，从而导致解题中断；有的考生认(20一)为在0≤≤20上单调递减，所15X一以当：0时，tan0取得最大值为．3．3缺乏对运动变化过程的几何直觉事实上，例1中仰角随着点P由点向点M移动过程中，它在CB上的投影点日由点C向点B的方向移动，整个过程中tan0=的变化规律大致可分成三个阶段．第1阶段：当点H由点向点B移动时，PH的长度连续递增日的长度连续递减，tan0=递增，当点H与点B重合时，tan0=；第2阶段：当点H由点向点f点是CB上与点B距离位置的一个点)移动时，P日的长度连续递增，H的长度连续递减，因朋增长的速度快于且故此时tan0=还在继续递增，当点日与点E重合时，tan0达到峰值；．．．．．．．．．．．．一第3阶段：当点日由点E继续沿C西方向移动时，日的长度连续递增，朋的长度连续递增，因P日增长的速度慢于E故此时tan0：开始递减．由以上三个阶段的分析可知，tan0=在整个过程中先增后减，故tan0必定会在某个位置出现一个峰值．许多考生也利用tan0这一变化规律，但因没有顾及第2阶段中tan0的细微变化而仅选择几何直观上的极端位置法，并受“分母越小，分数值就越大”的错误想法牵引，便得出当分母日达到临界最小值AB时，tan0=达到临界最大值．4．历史背景和创新1471年，米勒(Joannes，miiller)向诺德尔fChristion，roder)提出了如下有趣问题：在地面的什么部位，看一根垂直于地面的悬杆呈现最长f即可见角最大1．此问题作为载入世界数学史上100个著名极值问题而引人注目．下面这个解法是罗斯(Ad．Lorsch)给出的，图2是罗斯解题用图．FM图2设点为杆的上端点，点B为杆的下端点，AB垂直于地面，垂足记为点F，设线段长FA=a，朋=6均为已知．若以点F为中心，在地面画的圆上的所有点对AB的视角都相等．因此，我们只须过点F在地面上任作一条直线f，并在f上找出点M，使得在点M的可见角A最大．△枷的外接圆0必与f相切于点M．事实上，若f不与圆O相切，则除点外，圆。与还有另一个公共点Ⅳ，而对于线段MN的中点Q而言，AAQB是圆0的圆内角，这时QB>ZAMB，这就与AAMB是最大可见角矛盾．点M的位置可以这样来确定，根据切割线定理，FM2=F．FB，即有FM=、／／06．从而，我们得出结论：以悬杆与地面垂直的垂足为圆心，以悬杆两端到地面距离的乘积5—3五数学教学2015年第5期的算术根为半径，在地面上画圆，该圆上的点对悬杆的视角为最大．米勒问题有很多实际应用，如欣赏一幅画的最佳视角，沿边线踢足球的最佳射门点等．米勒问题中观察目标是确定的，观察点是在一条直线上运动．而上述高考题的创新之处是将观察点确定，而将观察目标运动．5．新编试题拓展受浙江高考试题的启发，如果观察点确定，而观察目标运动轨迹不是直线而是曲线，会是怎样的风景?例2飞碟射击是一项奥运比赛项目，要求飞碟从发射到飞行的过程中被击落．如图3，设碟靶从地面处发出，沿抛物线的轨迹在空中飞行后落在地面B处，其轨迹的最高点为P，AB的中点为(=)，若lOPI=2，1ABI=4，射击者在点。的正前方距离为2的点M处进行射击．设此时射击点M观察目标Q的仰角为，则tan：——(仰角为直线MQ与平面JE}所成角)．(上接第5—31页)解析：在本题中使用常规的讨论方法会遇到很大的困难，区间是定的，首先是二次与非二次的讨论，即q=0和q≠0，然而q≠0还需考虑抛物线开口的方向，另外对称轴的变化更是让讨论变得复杂，尝试例2或者变式2的解题方法也是失效的．从这个问题来看，q=0和q≠0是避免不了的，但是在q≠0时，不管开口是朝哪个方向，也不管对称轴位于怎样的一个位置，根据二次函数的特性，最值要么是在端点要么是在顶点取得，这是减少讨论的根源：计算得f(2)一1—4q+4q一2=一1，这就了最值不可能在=2处取得，所以最值一定出现在z=一1和z：处，通过，(一1)=一4或者．厂(一1)=17q算得q的值，然后进行检验，看值域是否为这样的解题方法虽然没有完全避免分类讨论，但是通过对题目条件的挖掘，已经大大图36．教学反思感悟课标把“发展学生的数学应用意识”列入新课程的十大基本理念，2014年全国高考浙江卷理科数学第17试题体现了课标的理念，体现了数学应用问题的考查，坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的命题原则．试题创设了一个真实公平的问题情景，使考生置身于问题之中，依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，建立数学模型，并加以解决，考查应用意识．试题让学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力．减少了分类讨论的类别，同时也大量减少了运算量，可谓一举两得．作为数学解题思想之一的分类讨论，往往可以把很多复杂的问题逐层分解，原本毫无头绪的一些难题也可以通过分类讨论慢慢找寻到一些思路，所以平时强调肯定是比较多的．上面所列举的所有的例子和变式确实都可以通过分类讨论作相应的解决，问题就在于，思考得越少，隐含条件挖掘得越浅，可能导致运算量越大，也就增加了犯错的几率，但在短时间内能够把题目审得足够清楚，条件全部理清，本身就是一个非常困难的事情．我们在平常的教学过程中绝对不能忽略这种简化甚至避免分类讨论意识的引导多在解题过程中引领学生积极思考，仔细审题，充分挖掘题中的隐含信息，并且多做总结，触类旁通，不仅有助于学生思维的扩展，更有利于让学生形成爱动脑的好习惯，这与新课程的理念应该是相符的．