信号与线性系统 潘双来版 第三章

第三章LTI连续系统的频域数学上，任意一函数都可示为一个完备正交函数集中无限多个相互正交的函数的无穷级数。傅里叶(Fourier)级数是常用的正交函数集，只要符合一定的条件，任意一信号都可通过傅里叶级数展开为一系列不同频率的正弦分量即频率函数，也就是说信号分析可以从时域变换到频域分析即频域分析法。§3–1周期信号的傅里叶级数展开一．三角形式的傅里叶级数：设任意周期信号f(t)=f(t+kT),（k为整数），满足下列条件（荻里赫利条件）：（1）在一个周期内，函数是绝对可积的（2）在一个周期内，函数的极值数目有限（3）在一个周期内，函数是连续的或者有限个一类间断点（左右极限存在但不等）分解得傅里叶系数其中：—直流分量(零次谐波)，即f(t)在一个周期内的平均值；—基波分量(一次谐波)，其角频率与f(t)的相同，为—二次谐波分量，其角频率为基波频率的两倍—n次谐波分量，其角频率为基波频率的n倍二．指数形式的傅里叶级数将周期信号f(t)在虚指数函数集{ejnt，n=0,1,2，3，…}上展开就得到指数形式的傅里叶级数。傅里叶系数：“级数正，系数负”注意此系数为复数与指数形式对照与三角形式傅里叶级数的关系三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系1．偶函数:f(t)=f(-t)2．奇函数:f(-t)=-f(t)3．奇谐(波)(半波对称)函数:4．偶谐(波)(半周期)函数四、傅里叶系数的性质例1：求周期信号的三角型与指数型傅里叶级数例2：求图示周期锯齿波信号的傅里叶级数解：可利用傅里叶性质3求解：§3–2周期信号的频谱如果要确定某一谐波分量或只需确定和某一频率对应的谐波幅值和相位。频谱幅度谱：以频率（角频率）为横坐标，以各谐波的振幅An或|Fn|为纵坐标画出的线图（离散）为幅度频谱。简称幅度谱。相位谱：以频率（角频率）为横坐标，以各谐波的初相角为纵坐标画出的线图（离散）为相位频谱。简称相位谱。一、周期矩形脉冲的频谱=T/4，A=1时：由双边频谱单边频谱由上可知周期矩形脉冲的频谱有下列特点：(1)谱线高度与脉冲高度A及宽度成正比，与周期T成反比，且受抽样函数包络线牵制；(2)零分量频率为n/2=m即n=2m/，或n=mT/其中m=1,2,…(3)第一个零分量频率为有效频谱宽度B=2/，Bf=1/(4)若↓而T不变,谱线间隔不变，但谱线高度↓B↑，谱线个数T/↑(5)若T↑而不变→谱线间隔↓谱线高度↓B不变，谱线个数T/↑，T→，→连续频谱。二、任意周期信号频谱的特点（1）离散性—频谱是谱线，称为离散频谱或线谱；（2）谐波性—各分量频率都是基波频率的整数倍，谱线间隔均匀；（3）收敛性—谱线幅度随n→而衰减到零。三、周期信号的功率谱功率(频)谱—|Fn|2~n的关系，也是一离散谱。周期信号在时域的平均功率等于频域中的直流功率分量和各次谐波平均功率分量之和。§3–3非周期信号的频谱一、傅里叶级数到傅里叶变换周期信号其中非周期信号令有F(j)傅里叶正变换傅里叶反变换对应关系记为f(t)←→F(j)F(j)=F{f(t)}f(t)=F-1{F(j)}二、非周期信号的频谱(密度)函数将傅氏反变换（*）与傅里叶级数对照与可知单位频带的振幅的量纲称频谱(密度)函数1．频谱密度函数的物理意义2）非周期信号也可以分解成许多不同频率的正弦分量，只不过其基波频率趋于无穷小，包含了所有频率分量；1）求非周期信号的傅里叶变换就是求其频谱(密度)函数。3）各个正弦分量的振幅|A|=2|F|=|F(j)|d/趋于无穷小，只能用密度函数|F(j)|来表示各频率分量的相对大小。2、频谱密度函数的数学特点：1、若f(t)为实函数，则|F(j)|、R()为的偶函数，而()、X()为的奇函数。2、若f(t)为实偶函数，则F(j)为的实偶函数[即()=X()=0]3、若f(t)为实奇函数，则F(j)为的虚奇函数[即=90º，R()=0]。若f(t)为实函数，则代入对应的奇偶性得非周期信号也可以分解为许多不同频率的正弦分量，其基波为无穷小d，正弦分量的振幅也为无穷小,F(j)只是相对大小。三、常用信号的傅里叶变换荻里赫利条件是变换的前提,不满足完全可积的条件引入冲激函数也可有相应的变换。1、单边指数信号2、偶双边指数信号3、奇双边指数信号4、符号函数信号符号函数不满足可积条件，它可看作奇双边指数信号在0的极限值5、单位冲激信号6、单位直流信号7、单位阶跃信号8、门信号(矩形脉冲信号)§3–4傅里叶变换的性质设f1(t)←→F1(j)，f2(t)←→F2(j)；a1、a2为实数一、线性则：a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(j)+a2F2(j)二、对称性设：f(t)←→F(j),则：F(jt)←→2f(-)正变换例：求Sa(t)的傅氏变换则令解：已知G(t)三、尺度变换设：f(t)←→F(j)信号持续时间与占有频带成反比，即时域内扩展频域内压缩，即时域内压缩频域内扩展推论(折叠性)f(-t)←→F(-j)四、时移性:：时域内时移，频域内为相移.设：f(t)←→F(j)则五、频移性:调制定理时域内相移，频域内为反向频移。设：f(t)←→F(j)门信号的调制:当0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时混叠极少，几乎不失真.六、时域卷积：f1(t)*f2(t)←→F1(j)F2(j)证明时域卷积的重要应用—求零状态响应的频域法时域yf(t)=f(t)*h(t)频域Yf(j)=F(j)H(j)时域卷积，频域乘积。七、频域卷积八、时域微分性设：f(t)←→F(j)，则：推论：例如时域乘积的2倍，频域卷积。九、时域积分性十、频域微分性：十一、频域积分性f(0)=0时频域微分性与频域积分性才是可逆的。十二、帕塞瓦尔定理：若f(t)为实函数时域中求得的能量与频域中求得的能量相等例1：利用对称性和时移性求下列傅里叶变换的时间函数f(t)解（1）例2：求f(t)的频谱函数F(j)解：应用时域微分性条件：§3–5周期信号的傅里叶变换一、常见周期信号的傅里叶变换1．复指数信号2．余弦、正弦信号3．单位冲激序列信号结论：周期信号的傅里叶级数是离散的(谱线)，其傅里叶变换是离散的(冲激序列)一般周期信号例1：求周期信号f(t)的频谱函数F(j)解：分别求Fn,F(j)二、傅里叶级数和傅里叶变换的关系比较上面两式可知Fn与F(j)的关系：对于周期信号可据其一个周期内的信号求傅立叶变换后求级数；反之亦可。§3–6连续信号的抽样定理一、限带信号|F(j)|=0，（||>m）m为信号f(t)的最高频率脉冲信号可以近似为频率为2/的限带信号二．抽样信号及其频谱：连续信号抽样序列(冲激串，矩形窄脉冲串等)(开关函数)抽样信号若序列等间隔，为TS，则为均匀抽样抽样周期*当S>2m时，FS(j)是F(j)的周期延拓，因而fS(t)包含了f(t)的全部信息，从抽样信号fS(t)可以恢复原信号f(t)。当S<2m时，频谱出现重叠(称为混叠现象)，不能从fS(t)恢复f(t)，信号失真。1、均匀冲激抽样(理想抽样)：设抽样周期为TS(抽样角频率为S)，2、矩形脉冲抽样(自然抽样)抽样序列是周期矩形脉冲序列，周期为TS(S)三、时域抽样定理1．时域抽样定理：一个最高频率为fm(角频率为m)的限带信号f(t)可以用均匀等间隔TS1/2fm抽样信号fS(t)=f(nTS)的样点值唯一确定；允许的最大抽样间隔称为奈奎斯特(Nyquist)间隔；允许的最小抽样频率称为奈奎斯特(Nyquist)频率.该定理表明在满足TS1/2fm条件下所得到的抽样点的值f(nTS)包含了原信号f(t)的全部信息，因此对f(nTS)的传输可代替对f(t)的传输。例2：信号，将它进行冲激抽样，为使抽样信号频谱不产生混叠，求最低频率fs和奈奎斯特间隔Ts解：2．原信号f(t)的恢复由抽样定理知通过一个截止频率为mCS-m的理想低通滤波器(H(j)为门)可从FS(j)中取出F(j)，从而获得f(t)。F(j)=H(j)FS(j)若TS取1/2fm，且C取m，则上式化为四、频域抽样定理一个在(–tm,tm)区间以外为零的时限信号f(t)的F(j)，可以唯一地由其在均匀间隔fS1/2tm上的样点值F(jnS)唯一确定。因为当fS=1/2tm时，频域中抽样频率间隔不大于1/2tm，则在时域中波形不会产生混叠，此时可以不失真恢复F(j)。§3–7调制与解调调制过程解调过程c低通滤波器调制解调1.频分复用2.时分复用§3–7连续系统的频域分析时域卷积性质时域：频域：一、基本信号ejt激励下的零状态响应设LTI系统的冲激响应为h(t)，则在虚指数信号ejt(-<t<)激励下的零状态响应为：结论：ejt(-<t<)激励下的零状态响应只含稳态响应分量，且等于ejt乘以h(t)的傅里叶变换H(j)(称为频域系统函数)二、正弦周期信号Acos(t+)(-<t<)激励下的零状态响应结论：Acos(t+)(-<t<)激励下的零状态响应只含同频率的正弦稳态响应分量，且振幅为A|H(j)|，初相位为+()。频域求正弦稳态响应的方法:先求出H(j)，再按上结论直接写出正弦稳态响应。三、非正弦周期信号激励下的零状态响应结论：非正弦周期信号激励下的零状态响应只含周期性的稳态响应(直流稳态响应与各次谐波正弦稳态响应之和)分量四、非周期信号f(t)(-<t<)激励下的零状态响应从时域与频域的相互关系已知i)由f(t)求F(j)；ii)由系统频率为的频域模型,实际上是将“Lj,C1/j”的“相量法”,求系统函数H(j)；iii)求：iv)求：用频域法求LTI系统零状态响应的一般步骤为：例：图示电路解：画出频域电路求零状态响应i(t)五、频域系统函数H(j)1．定义H(j)的物理意义1)冲激响应h(t)的频谱密度函数2)周期激励时零状态响应频谱的加权函数1、已知系统电路模型、微分方程或转移算子则有例H(j)的求法：2、已知系统的冲激响应：例：系统如图所示，已知激励信号的频谱，试求输出信号的频谱解：如对f(t)抽样，可知奈奎斯特间隔/20七、无失真传输条件信号经过系统只引起时间延迟及幅度增减，而形状不变称为不失真。如果波形改变则为失真。2．无失真传输条件：八、理想低通滤波器理想低通的冲激响应频率特性物理上只能近似实现。理想低通滤波器的传输函数H(j)=G240()求零状态响应y(t)例：图示信号处理系统已知解：本章重点掌握1.傅里叶变换包括其定义式和各种性质的应用;2.抽样定理3.调制解调的过程的理解