数字信号处理((((第二章习题)))) 参考
********************************************************第一次作业****************************************************************
1111(8888) (此题按照周期序列的定义求解)
1 1 1
( ) 2cos sin 2cos
4 8 6
x n n n nπ π π= + −
解:此序列周期为 48.
2222(15151515) ( 1)na u n− − −
解:① 时, ,系统具有因果性和稳定性。0a = ( ) 0h n =
② 时,0a ≠
因果性:由于 时, ,故为非因果系统;1n ≤ − ( ) 0h n ≠
稳定性:
1
( ) ( 1)
n
n
n n n
s h n a u n a
−∞ +∞ −
=−∞ =−∞ =−∞
= = − − =∑ ∑ ∑
时, ,为稳定系统;1a > s < +∞
,为非稳定系统。1 s +a ≤ → ∞时,
(16161616) ;(注意:此处 为虚数符号,不是变量!)( )
2
n
j
u n
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
j
解:因果性: 时,为因果系统;0n < 时,h(n)=0
稳定性: ,为稳定系统。
0
( ) ( )
2 2
n n
n n n
j j
s h n u n
−∞ +∞ +∞
=−∞ =−∞ =
⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
3333(9999) ;(此题按照系统各个性质的定义求解即可)[ ]( ) ( )
n
k
T x n x k
=−∞
= ∑
解:非稳定、因果、线性、非时变系统;
(11111111) ;(此题按照系统各个性质的定义求解即可)[ ]( ) ( ) ( )
k
T x n x k x n k
+∞
=−∞
= +∑
解:非稳定、非因果、非线性、时变系统;
4.4.4.4. 已知 { { 0 0,,00, 0,( ) , ( ) , ( ) ( ) ( )n nn n nn Nothers othersh n x n y n x n h nβα − <≤ <= = = ∗求
解: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
y n x n h n x m h n m
+∞
=−∞
= ∗ = −∑
若要 ,则( ) 0y n ≠ {{ 0 00n m m nn m N n N m n≤ ≥≤ − < − < ≤⇒
分情况讨论:
① 0 ( ) 0n n y n< =时,
② 0
0
0 0 0, ( )
n
m n
n m
m n
n N n n n n n N y n β α
− −
=
− < ≤ ≤ < + = ∑即 时,
③ 00 0
1
, ( )
n
m n
n m
m n N
n n N n n N y n β α
− −
= − +
≤ − ≥ + = ∑即 时,
7.7.7.7. 已知 {1,0 10,( ) ( ), 0< 1, ( ) , ( ) ( ) ( )n n Nothersh n a u n a x n y n x n h n≤ ≤ −= < = = ∗其中 求
解: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
y n x n h n h m x n m
+∞
=−∞
= ∗ = −∑
若要 ,则( ) 0y n ≠ {{ 0 00 1 1m mn m N n N m n≥ ≥≤ − ≤ − − + ≤ ≤⇒
分情况讨论:
① 0 ( ) 0n y n< =时,
②
1
0
1 1
1 0 , 1 ( )
1 1
n
n
m
m
a
n N n n N y n a
a a
+
=
−
− + ≤ ≤ ≤ ≤ − = = ≈
− −∑即0 时,
③
1 1 1
1
(1 )
1 0, 1 ( )
1 1
n N N n N n
n
m
m n N
a a a a
n N n N y n a
a a
− + − + +
= − +
− −
− + > ≥ − = = =
− −∑即 时,
********************************************************第二次作业****************************************************************
9999求下列序列的 ZZZZ变换、收敛域及零极点分布图。((((此处给出各题的计算过程及
参考答案,,,,各题对应的分布图请大家参照答案画出))))
(2222) 0.5 ( 1)nu n− − −( )
解:
1
n 1
X(z)= ( ) (0.5) ( 1) (0.5) (2 )n n n n n n
n n n
x n z u n z z z
+∞ +∞ − +∞
− − −
=−∞ =−∞ =−∞ =
= − − − = − = −∑ ∑ ∑ ∑
当 即 时, 收敛,此时 ,零点 ,极点 。2 1z <
1
2
z < ( )X z
2
( )
2 1
z
X z
z
=
−
0
o
z =
1
2p
z =
故此序列的收敛域为 ,零点 ,极点 。
1
2
z < 0
o
z =
1
2p
z =
(4444) [ ]0.5 ( ) ( 10)n u n u n− −( )
解: [ ]
9 9
n 0 0
1
X(z)= ( ) (0.5) ( ) ( 10) (0.5) ( )
2
n n n n n n
n n n
x n z u n u n z z
z
+∞ +∞
− − −
=−∞ =−∞ = =
= − − = =∑ ∑ ∑ ∑
当 时, 收敛,此时 ,求得零点0z ≠ ( )X z
10
10
9
1
1 ( ) (2 ) 12( )
1 (2 ) (2 1)1 ( )
2
z
z
X z
z z
z
− −
= =
−−
,(其中 k=1,…9,注意:k=0 时 zo=0.5,此项与分母中的(2z-1)消掉),
2
101
2
j k
o
z e
π
=
有一个 9 阶极点 。0
p
z =
故此序列的收敛域为 ,零点 ,( k=1,…9),9 阶极点 .0z ≠
2
101
2
j k
o
z e
π
= 0
p
z =
(8888) 0cos( ) ( ),0 1
n
Ar n u n rω ϕ+ < <
解: 0 0
n 0
X(z)= ( ) cos( ) ( ) cos( )n n n n n
n n
x n z Ar n u n z Ar n zω ϕ ω ϕ
+∞ +∞ +∞
− − −
=−∞ =−∞ =
= + = +∑ ∑ ∑
0 0
0 0
( ) ( )
1 1
0 0 0
( ) ( )
2 2
j n j n
j j
n n j n j n
n n n
e e A
Ar z e re z e re z
ω ϕ ω ϕ
ω ω
ϕ ϕ
+ − ++∞ +∞ +∞
−− − − −
= = =
+ ⎡ ⎤
= = +⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑ ∑ ∑
当 时, 收敛,得到 ,0 0-1 11 1j jre z re zω ω− −< <且 ( )X z z r>
此 时 , 求 得 零 点
0 0 0 0
0
1 1
cos cos( )
( ) ( )
2 1 1 ( )( )
j j
j j j j
z r
A e e
X z A
re z re z z re z re
ϕ ϕ
ω ω ω ω
ϕ ω ϕ
−
− −− −
− −
= + =
− − − −
,有 2 个极点 .0
cos( )
coso
r
z
ω ϕ
ϕ
−
= 0 01 2,
j j
p p
z re z re
ω ω−= =
故此序列的收敛域为 ,零点 ,极点 .z r> 0
cos( )
coso
r
z
ω ϕ
ϕ
−
= 0 01 2,
j j
p p
z re z re
ω ω−= =
(10101010)
1
( )
!
u n
n
解:
1
n 0
1 1
X(z)= ( ) ( )
! !
n n n z
n n
x n z u n z z e
n n
−
+∞ +∞ +∞
− − −
=−∞ =−∞ =
= = =∑ ∑ ∑
故此序列的收敛域为不包含原点的整个复平面,极点 ,无零点。0
p
z =
(12121212) ,(提示:求导)
1
, 1n
n
≥
解:
n 1
1
X(z)= ( ) n n
n
x n z z
n
+∞ +∞
− −
=−∞ =
=∑ ∑
对 求一阶导数得X(z) ` 1
n 1
X (z)= - nz
+∞
− −
=
∑
当 即 时, 收敛,此时1 1z− < 1z > `( )X z
2
`
1
1 1
( )
1 1
z
X z
z z z
−
−
= − = −
− −
对 求积分得`X (z) `X(z)= (z)= ln ln( 1) ln
1 1
dz dz z
X z z
z z z
− = − − =
− −∫ ∫ ∫
则有 2 个极点 ,无零点.1 20, 1p pz z= =
故此序列的收敛域为 ,极点 ,无零点.1z > 1 20, 1p pz z= =
10101010已知 ( ) x( )X z n求
(1111)
1
1 2
1
1 12( ) ,
3 1 21
4 8
z
X z z
z z
−
− −
−
= >
+ +
解:利用部分分式法:
1 1
1 2 1 1 1 1
1 1
1 1 3 42 2( )
3 1 1 1 1 1
1 (1 )(1 ) 1 1
4 8 4 2 4 2
z z
X z
z z z z z z
− −
− − − − − −
− − −
= = = +
+ + + + + +
由于收敛域为 ,为右边序列,则
1
2
z >
1 1 1 1
( ) 3( ) ( ) 4( ) ( ) 3( ) 4( ) ( )
4 2 4 2
n n n n
x n u n u n u n
⎡ ⎤
= − − + − = − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
(6666)
1 1
1
( ) , 1
(1 )(1 )
X z z
z z
− −
= <
− +
解:利用部分分式法:
1 1 1 1
1 1
1 2 2( )
(1 )(1 ) 1 1
X z
z z z z
− − − −
= = +
− + − +
由于收敛域为 ,为左边序列,则1z <
1 1
( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)
2 2
n n
x n u n u n u n
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − − − − − = − + − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(10101010)
2
( ) , 2
( 1) ( 2)
z
X z z
z z
= >
− −
解:利用留数法:
由逆 Z 变换定义: 1
1
( ) ( )
2
n
c
x n X z z dz
jπ
−= ∫
有一个二阶极点 ,一个一阶极点( )X z 1 1pz = 2 2pz =
根据留数定理得: 1( ) ( ) c Pn
i
i
x n X z z
−⎡ ⎤= ⎣ ⎦∑ 在 内的极点 上的留数
= [ ] [ ]Res ( ),1 Res ( ), 2F z F z+
=
( )2
21
1
(2 1)! 2 1
n n
z
z
z z
z
z
==
′ ⎡ ⎤⎛ ⎞
+ ⎢ ⎥⎜ ⎟− − −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
= (n=0,1,2……)2 1n n− −
= ( )2 1 ( )n n u n− −
(11111111)
1
1 2
3
( ) , 2 3
1 6
z
X z z
z z
−
− −
−
= < <
+ −
解:利用部分分式法:
1
1 2 1 1
3 1 1
( )
1 6 1 2 1 3
z
X z
z z z z
−
− − − −
−
= = −
+ − − +
由于收敛域为 ,则2 3z< <
( ) 2 ( ) ( 3) ( 1)n nx n u n u n= + − − −
18181818 求以下线性非移变系统的单位冲激响应,,,,并判断它是否为因果系统,,,,是否为稳
定系统....
(1)(1)(1)(1)
10
( 1) ( ) ( 1) ( )
3
y n y n y n x n− − + + =
对方程两边同时取 Z 变换得: 1
10
( ) ( ) ( ) ( )
3
z Y z Y z zY z X z
− − + =
则有
1
1 1
( ) 1 3 1 1
( )
10 1( ) 8 1 3 1
3 3
Y z
H z
X z z
z z z
−
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= = = −⎜ ⎟
−⎜ ⎟− + −
⎝ ⎠
则 有两个极点: , .( )H z 1 3pz = 2
1
3p
z =
① , 系统为非因果非稳定系统;
1 3 1
, h(n)= - 3 ( 1)
3 8 3
n
n
z u n
⎡ ⎤⎛ ⎞
< − − −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
② , 系统为非因果稳定系统;
1 3 1
3, h(n)= 3 ( 1) ( )
3 8 3
n
n
z u n u n
⎡ ⎤⎛ ⎞
< < − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
③ , 系统为因果非稳定系统.
3 1
3, h(n)= 3 ( )
8 3
n
n
z u n
⎡ ⎤⎛ ⎞
> −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
(2)(2)(2)(2)
5
( 1) ( ) ( 1) ( )
2
y n y n y n x n− − + + =
对方程两边同时取 Z 变换得: 1
5
( ) ( ) ( ) ( )
2
z Y z Y z zY z X z
− − + =
则有
1
1 1
( ) 1 2 1 1
( )
5 1( ) 3 1 2 1
2 2
Y z
H z
X z z
z z z
−
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= = = −⎜ ⎟
−⎜ ⎟− + −
⎝ ⎠
则 有两个极点: , .( )H z 1 2pz = 2
1
2p
z =
① , 系统为非因果非稳定系统;
1 2 1
, h(n)= - 2 ( 1)
2 3 2
n
n
z u n
⎡ ⎤⎛ ⎞
< − − −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
② , 系统为非因果稳定系统;
1 2 1
2, h(n)= 2 ( 1) ( )
2 3 2
n
n
z u n u n
⎡ ⎤⎛ ⎞
< < − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
③ , 系统为因果非稳定系统.
2 1
2, h(n)= 2 ( )
3 2
n
n
z u n
⎡ ⎤⎛ ⎞
> −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
数字信号处理((((第三章习题)))) 参考答案
3.3.3.3. 设 试求 ,并做图。5 6( ) ( ), ( ) (( )) ,x n R n x n x n= =% ( )X k%
解: 如图所示:( )x n%
0 1 2 3 4 6 7 8 9 105 11
( )x n%
n
5
21 5 4 3
23 3
3
0 0 0 3
5, 6
51 sin( ) [ ( )] ( ) ( ) 6 , 6
1
sin
6
j k
N
j kn j kn j kn
N
j k
j k
n n n
k n
e
k
X k DFS x n x n e x n e e
e k n
e
k
π
π π π
π
π
π
π
−
− − − −
−
−= = =
=⎧
⎪
− ⎪
= = = = = = ⎨
≠⎪−
⎪
⎩
∑ ∑ ∑% % % %
如下图所示:| ( )|X k%
0 1 2 3 4 6 7 8 9 105 11
| ( )|X k%
5
1 k
4.4.4.4. 设 , ,令 试求 的周期
0 5
( )
0,
n n
x n
≤ ≤⎧
= ⎨
⎩
,
其他n 4
( ) ( 2)h n R n= − 6 6( ) (( )) , ( ) (( )) ,x n x n h n h n= =
%% ( ) ( )x n h n%% 与
卷积,并做图。
解:
1
0
y( ) ( ) ( )
N
m
n x m h n m
−
=
= −∑ %% %
0 1 2 3 4 6 7 8 9 105 11
m
( )x m%
0 1 2 3 4 6 7 8 9 105 11
m
( )h m%
0 1 2 3 4 6 7 8 9 105 11
m
( )h m−%
0 1 2 3 4 5
n
y ( )n%
5
10
15
1 5
0 0
10, 0
14, 1
12, 2
y( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10, 3
8, 4
6, 5
N
m m
n
n
n
n x m h n m x m h n m
n
n
n
−
= =
=⎧
⎪ =⎪
⎪ =
= − = − = ⎨
=⎪
⎪ =
⎪
=⎩
∑ ∑% %% % %
6.6.6.6. 已知 ....[ ( )] ( ), DFT[X(k)]DFT x n X k= 试求
解::::
1
0
( ) [ ( )] ( ) ,0 1
N
nk
N
n
X k DFT x n x n W k N
−
=
= = ≤ ≤ −∑
1
0
1
( ) [ ( )] ( ) ,0 1
N
nk
N
k
x n IDFT X k X k W n N
N
−
−
=
= = ≤ ≤ −∑
则
1 1
0 0
1
[ ( )] ( ) [ ( ) ] ( )
N N
nk nk
N N
n n
DFT X k X k W N X k W N x N n
N
− −
∗ − ∗
= =
= = × = × −∑ ∑
7.7.7.7. 设有两个序列,,,, 和 ,试画出它们的六点圆周卷积....
1 0 5
( )
0,
n n
x n
+ ≤ ≤⎧
= ⎨
⎩
,
其他n
( ) ( 2)h n nδ= −
解: y( ) ( )n x n=
1
0
5, 0
6, 1
1, 2
( ) ( ) (( )) ( )
2, 3
3, 4
4, 5
N
N N
m
n
n
n
h n x m h n m R n
n
n
n
−
=
=⎧
⎪ =⎪
⎪ =⎡ ⎤
= − = ⎨⎢ ⎥ =⎣ ⎦ ⎪
⎪ =
⎪
=⎩
∑
0 1 2 3 4 5
n
x( )m
0 1 2 3 4 5
n
( )h m
N
0 1 2 3 4 5
n
6 6(( )) ( )h m R m−
0 1 2 3 4 5
n
y( )n
8.8.8.8. 设序列 为 NNNN点有限长序列, 的傅里叶变换为 ,试用
示下列序列的傅( )x n ( )x n ( )iX e ω ( )iX e ω
里叶变换::::① ;;;; ② ;;;; ③ ;;;;(2 )x n ( )
2
n
x ( )x n∗
解: 已知 ,( ) [ ] ( )
1
0
( )
N
j j n
n
X e DTFT x n x n e
ω ω
−
−
=
= =∑ (((( )))) (((( )))) ω
π
π
ωω
deeXnx
njj∫∫∫∫====
2
02
1
① ;;;;
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) 2/)]2([ 11
21
1
0
21
1
0
πωωωω
ωω
πωπωπωπω
ωω
ωωωω
++++−−−−
++++−−−−++++−−−−
−−−−
====
++++−−−−++++
−−−−−−−−
−−−−
====
−−−−
++++============
====
++++========
++++====
++++========
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
jj
n
njj
jj
n
nj
n
nj
N
n
njj
jj
n
nj
n
nj
N
n
njj
eXeXenxnxFTeX
eXeX
enxenxenxeX
eXeX
enxenxenxeX
偶
奇偶
奇偶
-
-
-
-
② ;;;;( )
2
n
x
( )
2( 1) 1
2 2
0 0
( ) ( )
2 2
N
N
j n j m j
n m
n n
DTFT x x e x m e X e
ω ω ω
− −
− −
= =
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠
∑ ∑
③ ;;;;( )x n∗
1 1
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
N N
j n j n j
n n
DTFT x n x n e x n e X e
ω ω ω
∗− −
∗ ∗ − ∗ ∗ −
= =
⎡ ⎤
⎡ ⎤ = = =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
∑ ∑
9.9.9.9. 设序列 为 NNNN点有限长序列, ,,,,现将它变为 2N2N2N2N点序列 y(n),y(n),y(n),y(n),( )x n ( ) [ ( )]X k DFT x n=
( ),0 1
( )
0, 2 1
x n n N
y n
N n N
≤ ≤ −⎧
= ⎨
≤ ≤ −⎩
试用 表示 y(n)y(n)y(n)y(n)的离散傅里叶变换 Y(k).Y(k).Y(k).Y(k).( )X k
解:
21 j
N
0
1
( ) ( ) ,0 1
N
nk
k
x n X k e n N
N
π−
=
= ≤ ≤ −∑
2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 (2 )
2 2 2
0 0 0 0 0 0
1 ( )
( ) ( ) ( ) ( )
N N N N N N
j nk j nk j nm j nk j m k n
N N N N N
n n n m m n
X m
Y k y n e x n e X m e e e
N N
π π π π π− − − − − −− − − −
= = = = = =
⎡ ⎤
= = = =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
14.14.14.14. 题图 3.33.33.33.3表示点数为 5555的有限长序列,试画出:
0 1 2 3 4
n
( )x n
⑴ 与 的线性卷积;( )x n ( )x n
解:
4
0
4 4
0 4
1,0 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 4 8
0,
m m n
n
y n x n x n x m x n m x n m n
+∞
=−∞ = −
⎧
≤ ≤⎪
⎪
⎪
= ∗ = − = − = < ≤⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
∑
∑ ∑ ∑
其他
0 1 2 3 4
n
x( )m
0-1-2-3-4
m
( )x m−
0 1 2 3 4 6 7 8 9 105 11
n
( )y n
⑵ 与 的 5555点圆周卷积;( )x n ( )x n
解: y( ) ( )n x n=
4
5 5
0
( ) ( ) (( )) ( ) 5
m
h n x m h n m R n
=
⎡ ⎤
= − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
0 1 2 3 4
n
x( )m
0 1 2 3 4
n
5 5(( )) ( )x m R m−
0 1 2 3 4
n
( )y n
5
⑶ 与 的 10101010点圆周卷积。( )x n ( )x n
N
解: y( ) ( )n x n=
9
10 10
0
( ) ( ) (( )) ( )
m
h n x m h n m R n
=
⎡ ⎤
= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
0 1 2 3 4 6 7 8 95
m
x( )m
0 1 2 3 4 6 7 8 95
m
10 10(( )) ( )x m R m−
0 1 2 3 4 6 7 8 95
n
( )y n
N
数字信号处理((((第四章习题)))) 参考答案
1.1.1.1.计算序列 的 DFT.DFT.DFT.DFT.{ }x( ) 1,1, 1, 1n = − −
解:由 [ ]
1
0
( ) ( ) ( ) , 0 1,
N
nk
N
n
X k DFT x n x n W k N
−
=
= = ≤ ≤ −∑ 其中
得 ,其中[ ]
3
0
( ) ( ) ( ) nk
N
n
X k DFT x n x n W
=
= =∑
2
NW =e
j
N
π
−
则 ,
2 2 2 3
2 32 3 4 4 4 2 2X(k)=1+W W W 1 1
k k
j k j k j k j j
k k k jk
N N N
e e e e e e
π π π π π
π
− − − − −−− − = + − − = + − −
其中 .0 3k≤ ≤
通过计算得: (0) 0, (1) 2 2 , (2) 0, (3) 2 2X X j X X j= = − = = +
2.2.2.2.计算序列 的 ZZZZ 变换,,,,并计算它在 处的频{ }x( ) 1,1, 1, 1,0,0,...n = − − 30, , ,
2 2
π π
ω π=
率,,,,它与上题算出的 DFTDFTDFTDFT相同吗????
解: 0 1 2 3( ) ( ) n
n
X Z x n Z Z Z Z Z
+∞
− − −
=−∞
= = + − −∑
令 ,则jZ e ω= 2 3( ) 1j j j jX e e e eω ω ω ω− − −= + − −
( )00 ,X 1 1 1 1 0jeω = = + − − =时
3
2 2 2,X 1 2 2
2
j j j
j
e e e e j
π π π
π
π
ω
− −−⎛ ⎞= = + − − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
时
( ) 2 3,X 1 0j j j je e e eπ π π πω π − − −= = + − − =时
3 3 9
32 2 2
3
,X 1 2 2
2
j j j
j
e e e e j
π π π
π
π
ω
− −−⎛ ⎞= = + − − = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
时
对比上题中的结果,此序列在 处的频率与上题算出的 DFT 相同。
3
0, , ,
2 2
π π
ω π=
3.3.3.3.在计算一个序列的频谱时,已知在频谱中有两个峰,每个峰的宽度为 2rad2rad2rad2rad,
它们相距 10rad10rad10rad10rad,为使矩形窗的主瓣比这些峰距更窄,应取的点数是多少?
解:矩形窗主瓣宽度为:
4
N
π
令 ,得 ,取
4
10
N
π
<
4
1.26
10
N
π
> = 2N ≥
4.4.4.4. 3333题中,如果两个峰相距 0.5rad0.5rad0.5rad0.5rad,则为了检测出这两个峰,所需的数据点最少
是多少?
解:为了检测出这两个峰,需满足
, 解得 ,取
2
0.5
4
0.5
N
N
π
π
⎧
≤⎪⎪
⎨
⎪ ≤
⎪⎩
8 25.13N π≥ = 26N ≥
5.5.5.5. 求 的频谱,再求 的频谱,其( ) 0.1 , 0t
a
x t e t
−= ≥ ( ) 0.1 , 0.75, 0,1,2,...nTx n e T n−= = =
混叠效应明显吗?如果混叠明显该如何改进?
解:
连续时间信号的频谱:
( ) ( ) ( ) (0.1 )
0
1
0.1
j t j t
a a a
X j FT x t x t e dt e dt
j
+∞ +∞− Ω − + Ω
−∞
Ω = = == =⎡ ⎤⎣ ⎦ + Ω∫ ∫
离散信号的频谱:
( ) ( ) ( ) 0.1 (0.1 )
0
1
1
j j n nT j n
T j
n n
X e DTFT x n x n e e e
e
ω ω ω
ω
+∞ +∞
− − −
− +
=−∞ =
= = = =⎡ ⎤⎣ ⎦ −
∑ ∑
且 ( ) ( ) ( )1j
a s
k
T
X e DTFT x n X j jk
T
ω
ω
+∞
Ω=
=−∞
= = Ω+ Ω⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑
是 的周期延拓,延拓周期( )jX e ω ( )
a
X jΩ
2 8
3s T
π
πΩ = =
混叠明显,应减小 T。
6.6.6.6. 求 的 DFTDFTDFTDFT,它与上题的近似程度如何????( ) 0.1 , 0.75, 0,1,...7nTx n e T n−= = =
解:
有限长序列的傅立叶变换:
( ) ( ) ( ) 2 /
(3 2 )1 7 7
0.5 /4 (0.5 /4)
(0.375 /4)
0 0 0
1
1
j N
N
j k
N
nk Tn jk n T jk n
N
j k
W e
n n n
e
X K DFT x n x n W e e e
e
π
π
π π
π
−
− +−
− − − −
− +=
= = =
−
= = = = =⎡ ⎤⎣ ⎦ −∑ ∑ ∑
其中 ,0 7k≤ ≤
采样周期变大,相似度降低.
9.9.9.9. 已知某序列的功率谱为 ,,,,试求其自相关序列和平均功率....( ) 1 cos
x
P ω ω= +
解:功率信号的自相关序列与其功率谱是一对傅立叶变换.
则 [ ] 1 1( ) ( ) (1 cos ) (1 )
2 2 2
j j
j n j n
x x
e e
R n IDTFT P e d e d
ω ω
π π
ω ω
π π
ω ω ω ω
π π
−
− −
+
= = + = +∫ ∫
( 1) ( 1)1 1 1
2( 1) 2( 1)
sin sin( 1) sin( 1)
2( 1) 2( 1)
1, 0
1
, 1
2
0,
j n j n j n
e e e
jn n j n j
n n n
n n n
n
n
others
ω π ω π ω π
π π π
π π π
π π π
+ −
− − −= + ++ −
+ −
= + +
+ −
=⎧
⎪⎪
= = ±⎨
⎪
⎪⎩
平均功率:
1 1
( ) (1 cos ) 1
2 2x
P P d d
π π
π π
ω ω ω ω
π π
− −
= = + =∫ ∫
数字信号处理((((第五章习题)))) 参考答案
1.1.1.1.已知模拟滤波器的传递函数 ,,,,试用冲击响应不变法将( ) 3
( 1)( 3)a
H s
s s
=
+ +
( )
a
H s
转换成数字传递函数 。((((设采样周期 ))))( )H z 0.5T =
解: ( )
1
3 / 2 3 / 2
1 3
n
k
a
k
k
A
H s
s s s s=
−
= = +
− + +∑
则 1 2 1 2
3 3
= - = -1 = -3
2 2
A A s s= , , ,
则
1 0.5 1 1.5 1
1
3 1 1
H(z)=
1 2 1 1k
N
k
s T
k
A
e z e z e z
− − − − −
=
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
∑
2.2.2.2.若模拟滤波器的传递函数 ,,,,试用冲击响应不变法将( ) 2 2 22a
s a
H s
s as a b
+
=
+ + +
转换成数字传递函数 。((((设采样周期为 T)T)T)T)( )
a
H s ( )H z
解: ( )
1
1/ 2 1/ 2n
k
a
k
k
A
H s
s s s a jb s a jb=
= = +
− + + + −∑
则 1 2 1 2
1 1
= = -(a+jb) = -(a-jb)
2 2
A A s s= , , ,
则
1 ( ) 1 ( ) 1
1
1 1 1
H(z)=
1 2 1 1k
N
k
s T
a jb T a jb T
k
A
e z e z e z
− − + − − − −
=
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
∑
3.3.3.3.设有一模拟滤波器 ,,,,采样周期 T=2T=2T=2T=2,试用冲击响应不变法和双( ) 2
1
1a
H s
s s
=
+ +
线性变换法分布将其转变为数字滤波器。
解:
①冲激响应不变法
( )
1
/ 3 / 3
1 3 1 3
2 2
n
k
a
k
k
A
j j
H s
s s
j j
s s
=
−
= = +
− + −
+ +
∑
则 1 2 1 2
1 3 1 3
= - = - = -
2 23 3
j j j j
A A s s
+ −
= , , ,
则
1 (1 3 ) 1 (1 3 ) 1
1
1 1
H(z)=
1 3 1 1k
N
k
s T
j j
k
A
j
e z
e z e z
− − + − − − −
=
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
∑
②双线性变换法
将 ,T=2,带入 ,得
1
1
2 1
1
z
s
T z
−
−
−
=
+
( ) 2
1
1a
H s
s s
=
+ +
1 2
2
(1 )
( )
3
z
H z
z
−
−
+
=
+
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数字信号处理 第五章 作业