线性代数练习题(含答案)

上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 1 页 第一章 一． 填空题 1．求下列各排列的逆序数 t： 3 5 2 1 4 ，t = ；3 4 2 5 1 ，t = ；2 5 4 3 1 ，t = 。 2．求下列各排列的逆序数 t： 1 2 3 4 ，t = ；3 4 2 1 ，t = ； 2 4 1 3 ，t = 。 3．已知行列式 431 311 253   D ，计算余子式： 23M ， 32M ， 33M 。 4．已知行列式 381 141 102  D ，计算余子式： 21M ， 13M ， 22M 。 5．已知行列式 431 311 253   D ，计算代数余子式： 12A ， 22A ， 13A 。 6．已知行列式 381 141 102  D ，计算代数余子式： 11A ， 23A ， 32A 。 7．计算三阶行列式  bac acb cba ，  bca abc cab ，  cca bbc aab 。 8．计算三阶行列式（未写出的元素为 0）  c b a ，  c b a ，  cfe bd a 。 9．计算三阶行列式 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 2 页  01 420 12 k k D ；当 k 、 时，得 8D 。 10．计算三阶行列式    kk kk D 1 111 1 ；当 k 、 时，得 4D 。 11．计算三阶行列式  10 01 43 k k k D ；当 k 、 时，得 0D 。 12．计算三阶行列式    111 11 11 k k D ；当 k 、 时，得 0D 。 13．已知方程组      523 1 21 21 xx xkx 。系数行列式 D ；若方程组有唯一解， 则 D ，此时得 k 。 14．已知方程组      3 22 21 21 xx kxx 。系数行列式 D ；若方程组有唯一解， 则 D ，此时得 k 。 15．已知方程组      02 03 21 21 xx kxx 。系数行列式 D ；若方程组有非零 解，则 D ，此时得 k 。 16．已知方程组      082 02 21 21 xx kxx 。系数行列式 D ；若方程组有非零 解，则 D ，此时得 k 。 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 3 页 第二章 一．填空题 1．已知矩阵              cb ba B y x A , 。 TA ， BAT ， BAAT 。 2．已知二阶方阵               21 21 , 11 11 BA 。 AB ， BA ， TAB 。 3．已知二阶方阵              20 01 , 31 12 BA 。 TA ， TB ， TAB)( 。 4．已知矩阵                   11 10 01 , 251 403 BA 。 AB ， BA ， TBA)( 。 5．已知三阶方阵                        150 421 321 , 111 111 111 BA 。 AB ，  AAB 23 ， BAT 。 6．已知三阶方阵                        010 212 234 , 321 212 121 BA 。 A2 ， B3 ，  BA 32 。 7．已知矩阵                         52 02 43 , 01 31 52 BA 。 TA2 ， TB3 ，  TBA )32( 。 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 4 页 8．已知矩阵                         31 12 , 01 20 01 , 310 103 CBA 。 AB ， BC ， BCA 。 9．已知三维向量 TBA )1,2,3(),3,2,1(  。 AB ， BA ，  TBA 。 10．已知二维向量 TT bbBaaA ),(,),( 2121  。 BAT ， TAB ，  BA 。 11．已知二阶方阵                      10 01 , 01 10 , 13 24 EBA 。  BA ，  EAB ，             BE EO AE EA 。 12．已知二阶方阵                       10 01 , 02 10 , 02 31 EBA 。  BA ，  EAB ，             BE EB EA AE 。 13．已知二阶方阵          0 1 A 。 2A ， 3A ， nA 。 14．已知二阶方阵        0 01 A 。 2A ， 3A ， nA 。 15．已知二阶方阵        1 01  A 。 2A ， 3A ， nA 。 16．已知三阶方阵                       243 012 001 , 200 140 011 BA 。 AB ， BA ， AB 。 17．设 A、B 都是三阶方阵，已知 2,3  BA 。 A2 ， B3 ， AB2 。 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 5 页 18．设 A、B 都是三阶方阵，已知 1,2  BA 。 A3 ， B2 ， AB 。 19．设 A、B 都是三阶方阵，已知 2,1  BA 。 A2 ； B2 ； AB2 。 20．设 A、B 都是三阶方阵，已知 2,3  BA 。 A2 ， B3 ， AB 。 21．设 A、B 为可逆的同阶方阵，则 TAB)( ， 1)(AB ， 1)( TA 。 22．已知二阶方阵 )0(          a bab bba A 。 A ， *A ， 1A 。 23．已知二阶方阵         a a A 1 2 。 A ， *A ， 1A 。 24．已知二阶方阵         210 1 a b A 。 A ， *A ， 1A 。 25．已知二阶方阵        31 72 A 。 A ， *A ， 1A 。 26．已知二阶方阵        53 21 A 。 A ， *A ， 1A 。 27．已知二阶方阵        42 31 A 。 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 6 页 A ， *A ， 1A 。 二． 1．已知矩阵                      234 311 111 012 112 BA 1）求 1A ； 2）解矩阵方程 BXA  。 2．已知矩阵                          43 01 21 212 113 124 BA 1）求 1A ； 2）解矩阵方程 BAX  。 3．已知矩阵                         521 234 311 111 012 111 BA 1）求 1A ； 2）解矩阵方程 BXA  。 4．已知矩阵                       323 513 123 026 420 076 BA 1）求 1A ； 2）解矩阵方程 BXA  。 5．已知矩阵                          0 1 2 523 312 111 BA 1）求 1A ； 2）解矩阵方程 BAX  。 6．已知矩阵                     211 103 301 020 21 12 CBA 1）求 1A ； 2）解矩阵方程 CBAX  。 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 7 页 7．已知矩阵                                    0 6 6 6 3 2 111 112 111 CBA 1）求 1A ； 2）解矩阵方程 CBAX  。 8．已知矩阵                       10 13 11 02 21 41 CBA 1）求 11,  BA ； 2）解矩阵方程 CAXB  。 9．已知矩阵                              13 02 31 35 12 121 011 322 CBA 1）求 11,  BA ； 2）解矩阵方程 CAXB  。 10．已知矩阵                                     100 010 001 35 02 11 101 111 010 EBA 1）求 1)(  AE ； 2）解矩阵方程 BAXX  。 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 8 页 第三章 一． 填空题 1．已知三阶方阵              507 312 123 A 。 A ， )(AR ，一个最高阶非零子式 。 2．已知三阶方阵             431 211 013 A 。 A ， )(AR ，一个最高阶非零子式 。 3．写出矩阵等价三性质的符号表述（以 A、B、C 表示矩阵）：反身性 ， 对称性 ，传递性 。 4．设 A 为 n 阶方阵，已知 nnA  。 )(AR ， 1A ， 1nA 。 5．设 A 为 n 阶方阵，已知 nA 2 。 )(AR ， 1A ， 12A 。 6．设 A 为三阶方阵，已知 2A 。 )(AR ， 1A ， 12A 。 7．设 A 为三阶方阵，已知 2 1A 。 )(AR ， 1A ， 12A 。 8．设 A 为三阶方阵，已知 2 1A 。 )(AR ， 1A ， *A 。 9．设 A 为三阶方阵，已知 2A 。 )(AR ， 1A ， *A 。 10．已知 A~B，P 与 Q 为可逆矩阵。若 rAR )( ，则 )( TAR ， )(BR ， Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 9 页 )(PAQR 。 11．n 元线性方程组 bAx  无解的充要条件是 )(AR ，有唯一解的充要 条件是 )(AR ，有无限多解的充要条件是 )(AR 。 12．n 元齐次线性方程组 OAx  有非零解的充要条件是 )(AR ，线性 方程组 bAx  有解的充要条件是 )(AR ，矩阵方程 BAX  有解的 充要条件是 )(AR 。 13．已知方程组 bAx  为      72 732 21 21 xx xx 。 1A ； 1x ， 2x 。 14．已知方程组 bAx  为      12 2 21 21 xx xx 。 1A ； 1x ， 2x 。 15．已知方程组 bAx  为      222 12 21 21 xx xx 。 1A ； 1x ， 2x 。 16．已知方程组         04 04 03 21 32 321 xkx xx xkxx 。 系数行列式 D ；若方程组有非零解，则 k ， 。 17．已知方程组         024 03 02 321 21 321 xxkx kxx xxx 。 系数行列式 D ；若方程组有非零解，则 k ， 。 18．已知方程组         0)6(33 03)1(2 032)1( 321 321 321 xxx xxx xxx    。 若方程组有非零解，则  ， ， 。 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 10 页 19．已知方程组         0)4(2 0)6(2 022)5( 31 21 321 xx xx xxx    。 若方程组有非零解，则  ， ， 。 20．已知方程组         3)1(3 2)1( 1)1( 32 321 21 xx xxx xx    。 若方程组有唯一解，则  ， ， 。 21．已知方程组         1)2( 2)2( 3)2( 3 21 21 x xx xx    。 若方程组有唯一解，则  ， ， 。 22．已知方程组         0422 02 02 321 321 321 xxx xxx xxx 。 1x ， 2x ， 3x 。 23．已知方程组         084 063 02 21 321 321 xx xxx xxx 。 1x ， 2x ， 3x 。 24．已知方程组         04 022 022 321 321 321 xxx xxx xxx 。 1x ， 2x ， 3x 。 25．已知方程组         0743 032 032 321 321 321 xxx xxx xxx 。 1x ， 2x ， 3x 。 26．已知方程组         0283 042 028 321 321 321 xxx xxx xxx 。 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 11 页 1x ， 2x ， 3x 。 27．已知方程组         0783 0532 032 321 321 321 xxx xxx xxx 。 1x ， 2x ， 3x 。 二． 计算题 1．已知线性方程组         2 321 321 321 1    xxx xxx xxx 1）写出增广矩阵； 2）将增广矩阵变为行阶梯形矩阵； 3）求为何值时，方程组无解； 4）求为何值时，方程组有唯一解； 5）求为何值时，方程组有无限多解并写出通解。 2．已知线性方程组         2)5(42 24)5(2 122 321 321 321   xxx xxx xxx 1）写出增广矩阵； 2）将增广矩阵变为行阶梯形矩阵； 3）求为何值时，方程组无解； 4）求为何值时，方程组有唯一解； 5）求为何值时，方程组有无限多解并写出通解。 3．已知线性方程组         12 0)1( 23)1( 321 32 321 xxx xx xxx    1）写出增广矩阵； 2）将增广矩阵变为行阶梯形矩阵； Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 12 页 3）求为何值时，方程组无解； 4）求为何值时，方程组有唯一解； 5）求为何值时，方程组有无限多解并写出通解。 4．已知线性方程组           321 321 321 )3(2 12 122 xxx xxx xxx 1）写出增广矩阵； 2）将增广矩阵变为行阶梯形矩阵； 3）求 λ、µ为何值时，方程组无解； 4）求 λ、µ为何值时，方程组有唯一解； 5）求 λ、µ为何值时，方程组有无限多解并写出通解。 5．已知线性方程组          321 321 31 2 23 12 xxx xxx xx 1）写出增广矩阵； 2）将增广矩阵变为行阶梯形矩阵； 3）求 λ、µ为何值时，方程组无解； 4）求 λ、µ为何值时，方程组有唯一解； 5）求 λ、µ为何值时，方程组有无限多解并写出通解。 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 13 页 第四章 一．填空题 1．已知向量组 TT aaA ),2(,)3,1(: 21  ；向量 Tb )3,( 。 当 、  时，b 不能由 A 线性表示； 当 时，b 可由 A 线性表示且表示式唯一。 2．已知向量组 TT aaA )1,2(,)2,(: 21   ；向量 Tb ),1(  。 当 、  时，b 不能由 A 线性表示； 当 时，b 可由 A 线性表示且表示式唯一。 3．判断向量组 TT aaA ),3(,),0(: 21   的线性相关无关性： 当 1 ， 0 时， A 线性 ；当 0 ， 1 时， A 线性 ； 当 1 ， 1 时， A 线性 。 4．判断向量组 A： TT aa ),8(,)1,( 21   的线性相关无关性： 当 4 ， 2 时， A 线性 ；当 1 ， 0 时， A 线性 ； 当 0 ， 1 时， A 线性 。 5．判断向量组 A： TT aa )3,(,),4( 21   的线性相关无关性： 当 0 ， 0 时， A 线性 ；当 1 ， 2 时， A 线性 ； 当 2 ， 6 时， A 线性 。 6．已知向量组 A 构成的矩阵为 A               k k k aaa 11 11 11 ),,( 321 。 当 k 、 、 时，向量组 A 线性无关。 7．已知向量组 A 构成的矩阵为 A             120 210 00 ),,( 321 k k k aaa 。 当 k 、 、 时，向量组 A 线性无关。 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 14 页 8．已知向量组 A 构成的矩阵为 A            k k k aaa 00 01 01 ),,( 321 。 当 k 、 、 时，向量组 A 线性无关； 9．已知向量组 A 构成的矩阵为 A             533 32 32 ),,( 321 k k k aaa 。 当 k 、 、 时，向量组 A 线性无关； 10．已知向量组 A 构成的矩阵为 A             100 120 13 ),,( 321 k k k aaa 。 当 k 、 、 时，向量组 A 线性无关； 11．已知向量组 A： TTT kakaka ),1,0(,)1,,0(,)0,0,1( 321  。矩阵 A  ),,( 321 aaa ；当 k 、 时，向量组 A 线性相关。 12．已知向量组 TTT kakakaA ),0,1(,)0,1,0(,)1,0,(: 321  。矩阵 A  ),,( 321 aaa ；当 k 、 时，向量组 A 线性相关。 13．已知向量组 TTT kakakaA )3,4,2(,)4,3,2(,)2,2,(: 321  。矩阵 A  ),,( 321 aaa 。当 k 、 时，向量组 A 线性相关。 14．已知向量组 TTT akakaA )2,0,1(,)4,,2(,),3,1(: 321  。矩阵 A  ),,( 321 aaa 。当 k 、 时，向量组 A 线性相关。 15．已知向量组 TTT akakaA )0,1,1(,)4,4,(,),0,3(: 321  。矩阵 A  ),,( 321 aaa 。当 k 、 时，向量组 A 线性相关。 16．已知向量组 TTT kakkkaaA )2,2,2(,)1,2,(,)0,0,1(: 321  。矩阵 A  ),,( 321 aaa 。当 k 、 时，向量组 A 线性相关。 17．已知向量组 A： TT kaa ),4(,)1,3( 21  ；数组 21 ,kk 。 向量  2211 akakb 。当 k 时，A 线性 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 15 页 相关，此时存在不全为零的 1k 、 2k ，使得 b 。 18．已知向量组 A： TT aka )4,1(,),2( 21  ；数组 21 ,kk 。 向量  2211 akakb 。当 k 时，A 线性相 关，此时存在不全为零的 1k 、 2k ，使得 b 。 19．已知向量组 maaaA ,,,: 21  线性相关的充要条件是 A 构成的矩阵 A 的秩 R(A) ，线性无关的充要条件是矩阵 A 的秩 R(A) ， 向量组 A 的最大无关组 0A 所含向量个数 r 。 20．向量 b 能由向量组 A 线性表示的充要条件是矩阵 A 的秩 R(A) ， 向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A的秩R(A) ， 向量组 A 与向量组 B 等价的充要条件是矩阵 A 的秩 R(A) 。 二．计算题 1．设有向量组 TTTT aaaaA )6,5,1,2(,)0,2,1,1(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(: 4321  。 要求：1）找出 A 的一个最大无关组 A0； 2）写出 A 的秩 RA； 3）其余向量用 A0 线性表示。 2．设有向量组 TTTT aaaaA )7,1,3,1(,)9,8,2,5(,)3,1,1,1(,)1,3,1,1(: 4321  。 要求：1）找出 A 的一个最大无关组 A0； 2）写出 A 的秩 RA； 3）其余向量用 A0 线性表示。 3．设有向量组 TTTT aaaaA )6,5,2,4(,)5,3,3,1(,)1,1,1,1(,)3,2,1,1(: 4321  。 要求：1）找出 A 的一个最大无关组 A0； 2）写出 A 的秩 RA； 3）其余向量用 A0 线性表示。 4．设有向量组 TTTT aaaaA )1,1,1,0(,)2,1,1,0(,)3,1,2,1(,)1,0,1,1(: 4321  。 要求：1）找出 A 的一个最大无关组 A0； Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 16 页 2）写出 A 的秩 RA； 3）其余向量用 A0 线性表示。 5．设有向量组 TTTT aaaaA )2,0,1,1(,)1,1,0,2(,)3,1,1,3(,)1,1,1,1(: 4321  。 要求：1）找出 A 的一个最大无关组 A0； 2）写出 A 的秩 RA； 3）其余向量用 A0 线性表示。 6．设有向量组 TTTT aaaaA )3,2,1(,)0,0,1(,)0,1,1(,)1,1,1(: 4321  。 要求：1）找出 A 的一个最大无关组 A0； 2）写出 A 的秩 RA； 3）其余向量用 A0 线性表示。 7．设有向量组 TTTT aaaaA )6,1,5(,)4,0,3(,)3,1,2(,)1,2,1(: 4321  。 要求：1）找出 A 的一个最大无关组 A0； 2）写出 A 的秩 RA； 3）其余向量用 A0 线性表示。 8．设有向量组 TTTT aaaaA )2,5,3(,)1,3,2(,)0,1,1(,)2,4,2(: 4321  。 要求：1）找出 A 的一个最大无关组 A0； 2）写出 A 的秩 RA； 3）其余向量用 A0 线性表示。 9．设有向量组 TTTT aaaaA )5,5,1(,)2,3,0(,)4,1,2(,)3,2,1(: 4321  。 要求：1）找出 A 的一个最大无关组 A0； 2）写出 A 的秩 RA； 3）其余向量用 A0 线性表示。 10．设有向量组 TTTT aaaaA )1,2,1(,)3,3,1(,)7,5,1(,)7,2,1(: 4321  。 要求：1）找出 A 的一个最大无关组 A0； 2）写出 A 的秩 RA； 3）其余向量用 A0 线性表示。 11．已知非齐次线性方程组 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 17 页         32235 122 5 4321 4321 21 xxxx xxxx xx 1) 写出增广矩阵； 2) 求出系数矩阵与增广矩阵的秩； 3) 求出方程组的一个解； 4) 写出对应的齐次方程组的基础解系； 5) 写出方程组的通解。 12．已知非齐次线性方程组         6242 1635 11325 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 1）写出增广矩阵； 2）求出系数矩阵与增广矩阵的秩； 3）求出方程组的一个解； 4）写出对应的齐次方程组的基础解系； 5）写出方程组的通解。 13．已知非齐次线性方程组         2534 4323 12 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 1）写出增广矩阵； 2）求出系数矩阵与增广矩阵的秩； 3）求出方程组的一个解； 4）写出对应的齐次方程组的基础解系； 5）写出方程组的通解。 14．已知非齐次线性方程组         333 134 62 321 4321 421 xxx xxxx xxx 1）写出增广矩阵； Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 18 页 2）求出系数矩阵与增广矩阵的秩； 3）求出方程组的一个解； 4）写出对应的齐次方程组的基础解系； 5）写出方程组的通解。 15．已知非齐次线性方程组         54 2 12 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 1）写出增广矩阵； 2）求出系数矩阵与增广矩阵的秩； 3）求出方程组的一个解； 4）写出对应的齐次方程组的基础解系； 5）写出方程组的通解。 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 19 页 第五章 一．填空题 1．已知三维向量 TT ba )1,1,0(,)1,0,1(  ，则其内积 ],[ ba ，其夹角 余弦 cos ，夹角  。 2．已知向量 TT ba )1,2,1(,)3,2,1(  ，则 a ， b ，  ba, 。 3．已知二维向量 TTT cccba ),(,)3,4(,)2,1( 21 。设 ac与 正交且 ckab  ， 则 k ， 1c ， 2c 。 4．若向量 21 ,ee 构成向量空间 V 的一个正交基，则 1e ， 2e ，  21,ee 。 5．将向量 ia 化为对应的单位向量 ie )3,2,1( i : Ta )1,2,1(1  ， Ta )1,1,1(2  ， Ta )1,0,1(3  ； 1e ， 2e ， 3e 。 6．n 阶可逆方阵 A 满足 1 AAT ，称 A 为 矩阵，A 为此类矩阵的充要 条件是 A 的列向量都是 向量且 。 7．n 阶方阵 A 能对角化的充要条件是 A 有 个线性 的 向量。 8．设 n 维向量 Tnxxxx ),,,( 21  、 T nyyyy ),,,( 21  ，P 为正交矩阵，则成立结 论：恒存在正交变换 ，将二次型 )( 1,    n ji ijjijiji aaxxaf 化 为型 ，其中 是 f 的矩阵 )( jiaA  的特征值。 9 ． 已 知 三 阶 方 阵               802 020 201 A 。 计算： 一阶主子式= ， 二阶主子式= ， 三阶主子式= 。 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编 共 22 页第 20 页 10．判断三阶对称阵 A 的正定负定性：若 A 的三个特征值全为正，则 A 为 ； 若 A 的一、二、三阶主子式全为负，则 A 为