基于Optistruct的结构静动力拓扑优化设计

基于 Op tistruct的结构静动力拓扑优化设计 吴中博 ,李 　书 (北京航空航天大学 航空科学与工程学院 , 北京 100083) 摘 　要 :基于 Op tistruct平台 ,研究了二维平面薄板及三维结构的静力、动力以及静动力联合的拓扑 优化 ,给出了典型结构的算例 ,对比了优化参数取值不同时所对应的优化结果 ,探讨了优化过程中 的网格依赖性以及拓扑优化的效率等问题。 关键词 :拓扑优化 ; Op tistruct; 网格依赖 ; 优化效率 中图分类号 : V214. 19　　　　文献标识码 : A　　　　文章编号 : 1671Ο654X (2006) 06Ο0009Ο04 引言 大型的复杂结构诸如飞机、汽车中的复杂部件及 桥梁等大型工程的设计问题 ,依靠传统的经验和模拟 实验的优化设计方法已难以胜任 ,拓扑优化方法成为 解决该问题的关键手段。 近年来拓扑优化的研究的热点集中在其工程应用 上 ,如 : 用拓扑优化方法进行微型柔性机构的设 计 [ 1, 2 ] ,车门设计 [ 3 ] ,飞机加强框设计 [ 4 ] ,机翼前缘肋 设计 [ 5 ] ,卫星结构设计 [ 6 ]等。在其具体的操作实现上 有两种方法 ,一是采用计算机语言编程计算 [ 1, 2 ] ,该方 法的优点是能最大限度的控制优化过程 ,改善优化过 程中出现的诸如棋盘格现象等数值不稳定现象 ,得到 较理想的优化结果 ,其缺点是计算规模过于庞大 ,计算 效率太低 ;二是借助于商用有限元软件平台 [ 3 - 6 ]。目 前大型的商用有限元软件中具有优化功能模块的有 Ansys, Nastran, Op tistruct等 ,其最大的优点是计算效率 高 ,对于规模比较庞大的结构也能较快的得出优化结 果 ,但是其拓扑优化功能都有很大的局限性 ,如果要加 入自己的拓扑优化算法就必须对其进行二次开发。 本文基于 Op tistruct平台 ,研究了平面薄板及三维 连续体结构的静力、动力以及静动力特性联合拓扑优 化 ,给出了几种典型结构的算例 ,并探讨了在实际优化 中出现的数值不稳定现象 ,如优化结果对初始网格及 优化约束的依赖性 ,以及拓扑优化的效率问题。 1　结构拓扑优化的设计模型 1. 1　静力拓扑优化的数学模型 优化模型的三要素包括设计变量、目标函数和约 束函数 ,它们根据不同的设计要求而有所不同。在静 载荷的条件下 ,为了使结构发挥最大的承载能力 ,本文 采用载荷作用下结构的柔顺度最小化 (即应变能最 小 )作为优化的目标函数 ,约束条件采用结构设计区域 的体积或者质量约束。 这里给出如下优化模型 [ 4 ] : m inC (X) FT 3 U (X) subject to: V (X) ÞV0 ≤f 0≤X i ≤1, i = 1, ⋯, N (1) 其中 , X为设计变量 (这里为伪密度 )向量 , C ( X ) 为结构的柔顺度 , F 为节点载荷向量 , U ( X )为节点位 移向量 , V (X)为优化后结构的有效体积 , V0 为结构的 原始体积 , f为体积约束的百分比 , N 为设计变量的数 目。 多工况的情况下 ,对各个子工况的柔顺度进行加 权和 ,目标函数变化为 : m inCw (X) = ∑w i C (X) (2) 其中 : w i 为第 i个子工况的加权系数 ,根据各个子 工况的重要程度选定。 1. 2　动力特性拓扑优化模型 针对频率的动力特性拓扑优化的目标函数是在满 足结构约束的情况下改善结构的频率特性 ,也即改善 结构的模态特性 ,使结构刚度、质量和阻尼特性得到优 化配置 ,从而能达到结构减振降噪 [ 8 ]的目的。 无阻尼自由振动模型的特征值问题可由下式表 达 [ 7 ] : 　收稿日期 : 2006Ο09Ο05　　　修订日期 : 2006Ο11Ο06 　基金项目 :航空支撑科技基金 (01A51007) ,国防预研基金 (51412030304HK0132) 　作者简介 :吴中博 (1981Ο) ,女 ,河南登封人 ,硕士研究生 ,研究方向为计算机技术在金融行业应用。 第 36卷 　第 6期 航 空 计 算 技 术 Vol. 36 No. 6 2006年 11月 Aeronautical Computing Technique Nov. 2006 　　[ K -λiM ]U i = 0 (3) fi = λi 2π (4) 这里 K是结构的刚度矩阵 , M 是质量矩阵 ,λi 和 U i 为特征值和特征向量 , fi 为固有频率。 频率特性优化的数学模型为 : m infw = ∑w i Þλi subject to: V (X) ÞV0 ≤f 0≤X i ≤1, i = 1, ⋯, N (5) 其中 : w i 为第 i阶特征值倒数的加权系数。 1. 3　静动力联合拓扑优化 对结构进行静力和频率特性的联合拓扑优化 ,其 目标函数 [ 7 ]可以写成 : m inS = ∑w i Ci +MORM ∑ w i Þλi ∑w j (6) 其中 , NORM是平衡静动态优化的系数 ,MORM = Cm axλm in , Cmax使所有子步中最大柔度值 ,λm in是最小的 特征值。对于一个新问题 , 在优化前并不能确定 NORM 的值 ,一般来说可以在优化迭代前试算一次 ,然 后根据试算得到的数值再进行迭代计算。 2　结构拓扑优化的方法 目前连续体拓扑优化较成熟的研究方法有 :均匀 法、变密度法、渐进结构优化法等 [ 9 ]。本文采用变密度 法来进行拓扑优化。 变密度法是从均匀化方法发展而来的一种方法。 其基本思想就是引入一种假想的密度值在 [ 0, 1 ]之间 的密度可变材料 ,将连续结构体离散为有限元模型后 , 以每个单元的密度为设计变量 ,将结构的拓扑优化问 题转化为单元材料的最优分布问题。这种方法主要应 用于多工况应力约束下的平面结构、三维连续结构及 结构碰撞问题等方面。 变密度法可以以结构的质量为优化目标函数 ,克 服了均匀化方法无法处理多目标问题的缺点。但是用 变密度法得到的拓扑优化结果是密度等值分布图 ,其 中密度为中间值所对应的区域为假想的人工材料 ,在 实际的工程中是没法实现的 ,因此在得到最优拓扑图 形后要对这些区域进行人为的处理以适应实际的工程 需要。 3　拓扑优化的步骤及关键点 拓扑优化主要由以下三个步骤组成 :拓扑优化建 模和参数设定 ,拓扑优化迭代计算 ,结果后处理。整个 优化过程不是一次就能够完成的 ,某些优化参数需要 进行反复迭代修改。由于连续体拓扑优化结果往往不 能直接用于实际工程中 ,因此要根据拓扑优化的结果 再进行形状及尺寸优化 ,然后再在 CAD中建模完成最 终的设计。本文重点讨论前两步。 根据工程的一些经验 ,在进行拓扑优化建模和参 数设定时 ,必须注意以下几点 : 1)设计区域的选择 :拓扑优化对设计区域是比较 敏感的。一般来说应在考虑装配等实际因素的情况下 尽可能大地选取设计区域 ,以充分挖掘优化潜力。初 始设计域一般采用基结构 ,结构中不能改变的实体部 分或者必须保留的特征 ,如 :约束及加载的部位、螺栓 连接部位等 ,应预先定义在非设计区域内 ,使之不参与 优化 ; 2)施加约束 [ 7 ] :拓扑优化过程中 ,可以针对 不同的实际加工需要 (如锻造 ,铸造等 )来施加工艺约 束 ,如 :最小和最大结构尺寸、对称、拔模 (锻造 )的角 度和方向等 ,保证优化结果有一定的可制造性 ; 3)网格依赖性 [ 9 ] :拓扑优化的实际过程中容易出 现棋盘格、局部极值等数值不稳定现象 ,一般来说采用 精度较高的高阶等参元 [ 10 ]、适当增加网格数目 ,改进 优化算法可以提高优化结果的可靠性 ; 4)计算效率 :拓扑优化是一个迭代的过程 ,每一次 迭代都包含了有限元分析、灵敏度计算和修改材料分 布 3个子步骤 ,然后经过多次迭代得到最终的优化结 果。因此拓扑优化是很耗时间的。模型中单元数目增 加一倍 ,计算时间要增加好几倍。目前很多文献中也 没有对单元密度和计算时间的矛盾给出有效的解决方 法。一般来说应根据问题的复杂程度、要求的精度及 计算机的运算能力选取合适的单元类型和密度 ,进行 多次的优化迭代来设置各个参数 ,确保能最大限度地 得到稳定精确的优化结果。 4　算例 4. 1　平面薄板静力拓扑优化 一个 20 ×20mm的薄板 ,厚度 1mm,模型如图 1所 示 ,结构的材料参数如下 :弹性模量为 71000MPa,泊松 比为 0. 31,密度为 2. 8g/cm3。一条边的两个端点受简 支约束 ,对边的中点处有 100N的沿着边方向作用的 集中力。 将薄板划分为几种尺寸不同的单元 ,采用不同的 优化约束 ,来比较所得到的不同的优化结果。由于这 是一个比较简单的优化结构 ,采用四节点的板单元模 拟就可以满足其精度要求。优化的数学模型如式 ( 1) 所示。得到的优化结果比较如图 2、3所示 : ·01·　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　航 空 计 算 技 术 　　　　　　　　　　　　　　　第 36卷 第 6期 图 1　薄板几何模型 ( a) 　　　　 ( b) 　　　　 ( c) 图 2　不同网格密度优化结果密度分布图 ( a)是 10 ×10网格 ; ( b)是 20 ×20网格 ; ( c)是 80 ×80网格 ( a) 　　　　 ( b) 　　　　 ( c) 图 3　不同质量约束优化结果密度分布图 (a)是质量约束为 0. 7; (b) 质量约束为 0. 5; (c) 质量约束为 0. 3 从图 2三张图的对比可以看出网格密度对优化结 果的影响。前两张图得到的拓扑结果都很模糊 , 80 × 80的网格得到的优化结构就非常清晰 ,而且迭代时间 在两分钟左右 ,计算效率很高 ,因此采用 80 ×80的网 格很合适。 优化中常用质量分数作为约束 ,但是除非在优化 设计要求中明确提出优化后质量减轻的百分比 ,否则 优化前很难断定质量分数应该选取多大合适 ,因此可 能需要指定几个不同的质量分数分别进行优化 ,然后 再在结果中选取最优参数。 4. 2　三维连续体的静力拓扑优化 三维连续体如图 4所示 ,结构的材料参数如下 :弹 性模量为 71000MPa,泊松比为 0. 31,密度为 2. 8gÞ cm 3。底面的四个端点受简支 ,顶面受四个平行的集中 力。 将结构划分为 20 ×20 ×20的八节点六面体单元 , 质量约束采用 0. 08,进行静力拓扑优化 ,得到的结果 如图 5所示。用优化后密度在 0. 95 gÞcm3 以上的材 料分布图来显示拓扑后的结构 ,可以看出该拓扑结构 很清晰 ,传力路线合理 ,说明该结果具有很强的可靠 性。 图 4　三维几何模型 图 5　密度门槛值为 0. 38的优化结果图 4. 3　二维薄板静动力特性联合拓扑优化 短对边固支矩形板 ,尺寸为 900 3 400 3 2mm3 ,弹 性模量为 210000MPa,泊松比为 0. 3,密度为 7800kgÞ m 3。几何模型如图 6所示。在板的中心位置受垂直于 板面向下的集中力 100N ,对模型同时进行静力和频率 的拓扑优化。 图 6　短对边固支矩形板 拓扑优化前先对结构进行模态分析 ,可以得到前 三阶的固有频率 , f1 = 13. 1327Hz, f2 = 23. 3442Hz, f3 = 36. 2544Hz。相应的振型图如图 7 ( a) ( b) ( c)所示 : 对薄板进行静力和频率双目标拓扑优化 ,目标函 数如式 (6)所示。经过多次尝试把结构划分为 90 ×40 的网格 ,优化约束设为质量分数为 0. 5,此时极大化前 ·11·2006年 11月 吴中博 等 :基于 Op tistruct的结构静动力拓扑优化设计 　　　　　 三阶固有频率 ,得到的拓扑结果如图 8所示。 ( a) 　　　　 ( b) 　　　　 ( c) 图 7　薄板前三阶振型图 图 8　极大化前三阶固有频率板的最优拓扑 优化迭代时间在两分钟左右 ,优化后结构的前三 阶固有频率比优化前有所提高 ,前三阶固有频率分别 为 f1 = 18. 5Hz, f2 = 41. 1Hz, f3 = 67. 9Hz,同时结构柔 顺度由 1361. 193减小到了 717. 25。 5　结论 连续体拓扑优化是正在不断发展的一种设计新方 法 ,其理论和算法有待于更深地研究 ,如优化中容易出 现的网格依赖性及棋盘格现象都需要克服。本文基于 op tistruct平台 ,给出了几个典型结构在静动力多目标 情况下进行拓扑优化的算例 ,其结果是令人满意的 ,而 且具有很高的效率 ,从而看出该求解器在工程上尤其 是航空航天领域具有很大的应用前景。 参考文献 : [ 1 ]　左孔天 ,陈立平 . 用拓扑优化方法进行微型柔性机构的 设计研究 [ J ]. 中国机械工程 , 2004, 15 ( 21 ) : 1886 - 1890. 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Topology Optim ization in Static and Dynam ic States Based on Optistruct W U ZhongΟbo, L I Shu ( S chool of A eronau tic and Technology, B eijing U niversity of A eronau tic and A stronau tics, B eijing 100083, Ch ina) Abstract: Based on Op tistruct. , topology op tim ization in static and dynam ic states of 2 ΟD p lanar sheets and 3ΟD structures are discussed in this paper, and the topology op tim ization examp les of typ ical structures are given. The differ2 ent results built on different parameters are compared, and the mesh dependence, constrains dependence and computing efficiency of topology results are also discussed. Key words: topology op tim ization; op tistruct; mesh dependence; computing efficiency ·21·　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　航 空 计 算 技 术 　　　　　　　　　　　　　　　第 36卷 第 6期