7大晶系的弹性模量矩阵元关于弹性常数的计算-弹性模量矩阵元
2010-06-29 10:44:06| 分类: 默认分类|举报|字号 订阅
最近又开始辗转计算NH3BH3的弹性常数了。
还是VASP软件,首先还是很感谢论坛上的各位前辈:)
在计算弹性常数时,还是参考的是侯老师的指南,最近很迷恋这个。
下面先转载一篇别人的日志:
关键词:第一性原理计算(First-principles calculations) 刚度矩阵(Stiffness matrix) 晶系(Lattice system)
1. 弹性模量矩阵元
对于足够小的变形,由胡克定律...
关于弹性常数的计算-弹性模量矩阵元
2010-06-29 10:44:06| 分类: 默认分类|举报|字号 订阅
最近又开始辗转计算NH3BH3的弹性常数了。
还是VASP软件,首先还是很感谢论坛上的各位前辈:)
在计算弹性常数时,还是参考的是侯老师的指南,最近很迷恋这个。
下面先转载一篇别人的日志:
关键词:第一性原理计算(First-principles calculations) 刚度矩阵(Stiffness matrix) 晶系(Lattice system)
1. 弹性模量矩阵元
对于足够小的变形,由胡克定律(Hooke's Law)可知,应力与应变成正比,即应力分量是应变分量的线性函数,用矩阵的形式可以
示为:
T1
C11
C12
C13
C14
C15
C16
S1
T2
C12
C22
C23
C24
C25
C26
S2
T3
=
C13
C23
C33
C34
C35
C36
?
S3
T4
C14
C24
C34
C44
C45
C46
S4
T5
C15
C25
C35
C45
C55
C56
S5
T6
C16
C26
C36
C46
C56
C66
S6
式中Cij就是我们通常所说的弹性模量,可以证明,上述刚度矩阵为对称阵,Cij=Cji,因此,弹性模量的独立张量元数目至多只有21个。晶系的对称性越高,独立的张量元数目就越少。需要指出的是,Cij的数目只与晶系有关,而与晶系中具体的对称类型无关。
下面分别讨论七种不同晶系的弹性模量矩阵元:
1.1 三斜晶系(Triclinic system)
三斜晶系是所有七大晶系中对称性最低的晶系,因此拥有最多的独立矩阵元,其形式为:
C11
C12
C13
C14
C15
C16
C12
C22
C23
C24
C25
C26
C13
C23
C33
C34
C35
C36
C14
C24
C34
C44
C45
C46
C15
C25
C35
C45
C55
C56
C16
C26
C36
C46
C56
C66
共有21个独立的刚度矩阵元,求解过程也因此较为复杂。
1.2 单斜晶系(Monoclinic system)
C11
C12
C13
0
0
C16
C12
C22
C23
0
0
C26
C13
C23
C33
0
0
C36
0
0
0
C44
C45
0
0
0
0
C45
C55
0
C16
C26
C36
0
0
C66
考虑对称性后,单斜晶系有11个独立的矩阵单元。
1.3 正交晶系(Orthorhombic system)
C11
C12
C13
0
0
0
C12
C22
C23
0
0
0
C13
C23
C33
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
C55
0
0
0
0
0
0
C66
从上式可以看出,正交晶系拥有相当高的对成性,其独立刚度矩阵元的数目为8个。
1.4 四方晶系(Tetragonal system)
1.4.1 四方晶系(4,-4,4/m)
对于具有4,-4,4/m对称操作的四方晶系,其弹性矩阵的形式为:
C11
C12
C13
0
0
C16
C12
C22
C23
0
0
-C16
C13
C23
C33
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
C44
0
C16
-C16
0
0
0
C66
其独立刚度矩阵元的数目也为8个。
1.4.2 四方晶系(422,4mm,-42m,4/mmm)
对于具有422,4mm,-42m,4/mmm对称操作的四方晶系,其弹性矩阵的形式为:
C11
C12
C13
0
0
0
C12
C11
C13
0
0
0
C13
C13
C33
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
C66
独立刚度矩阵元的数目仅为6个。
1.5 三角晶系(Trigonal system)
1.5.1三角晶系(3,3)
C11
C12
C13
C14
C15
0
C12
C11
C13
-C14
-C15
0
C13
C13
C33
0
0
0
C14
-C14
0
C44
0
-C45
C15
-C15
0
0
C44
C14
0
0
0
-C45
C14
(C11-C12)/2
三角晶系(3,3)的独立刚度矩阵元的数目为8个。
1.5.2三角晶系(32,3m,32/m)
C11
C12
C13
C14
0
0
C12
C11
C13
-C14
0
0
C13
C13
C33
0
0
0
C14
-C14
0
C44
0
0
0
0
0
0
C44
C14
0
0
0
0
C14
(C11-C12)/2
三角晶系(32,3m,32/m)的独立刚度矩阵元的数目为6个。
1.6 六角晶系(Hexagonal system)
C11
C12
C13
0
0
0
C12
C11
C13
0
0
0
C13
C13
C33
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
(C11-C12)/2
六角晶系共有5个独立的刚度矩阵元。
1.7 立方晶系(Cubic system)
C11
C12
C12
0
0
0
C12
C11
C12
0
0
0
C12
C12
C11
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
C44
立方晶系是所有晶系中对称度最高的晶系,其独立的刚度矩阵元数目仅为3个。
至此,我们列出了所有七大晶系的刚度矩阵元,只要求出各晶系对应的所有独立矩阵元,即可得到晶体的刚度矩阵。
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