概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第五章

正态分布，χ2(n),t(n), F(n1,n2)分布的上a分位点，则下面的结论中不正确的是(). (A)z1-a(n)=-za(n); (B)χ1-a2(n)=-χa2(n); (C)t1-a(n)=-ta(n); (D)F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 解答: 应选(B). 因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是对的.(B)是错的. 对于F分布，若F?F(n1,n2), 则 1-a=P{F>F1-a(n1,n2)}=P{1F<1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>1F1-a(n1,n2) 由于1F?F(n2,n1), 所以 P{1F>1F1-a(n1,n2)=P{1F>Fa(n2,n1)=a, 即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是对的. 习题2(1) 2.设总体X?N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (1)X1-X2X32+X42; 解答: 因为Xi?N(0,1),i=1,2,?,n, 所以: X1-X2?N(0,2), X1-X22?N(0,1), X32+X42?χ2(2), 故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422?t(2). 习题2(2) 2.设总体X?N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (2)n-1X1X22+X32+?+Xn2; 解答: 因为Xi?N(0,1),?i=2nXi2?χ2(n-1), 所以 n-1X1X22+X32+?+Xn2=X1?i=2nXi2/(n-1)?t(n-1). 习题2(3) 2.设总体X?N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (3)(n3-1)?i=13Xi2/?i=4nXi2. 解答: 因为?i=13Xi2?χ2(3),?i=4nXi2?χ2(n-3), 所以: (n3-1)?i=13Xi2/?i=4nXi2=?i=13Xi2/3?i=4nXi2/(n-3)?F(3,n-3). 习题3 设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X?N(0,22)的简单随机样本，且 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2, 则a=?,b=?时，统计量Y服从χ2分布，其自由度是多少, 解答: 解法一 Y=[a(X1-2X2)]2+[b(3X3-4X4)]2, 令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4), 则 Y=Y12+Y22, 为使Y?χ2(2), 必有Y1?N(0,1),Y2?N(0,1), 因而 E(Y1)=0,D(Y1)=1, E(Y2)=0,D(Y2)=1, 注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4, 由 D(Y1)=D[a(X1-2X2)]=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2)) =a(4+4×4)=20a=1, D(Y2)=D[b(3X3-4X4)]=bD(3X3-4X4) =b(9D(X3)+16D(X4))=b(4×9+16×4)=100b=1, 分别得a=120,b=1100. 这时Y?χ2(2), 自由度为n=2. 解法二 因Xi?N(0,22)且相互独立，知 X1-2X2=X1+(-2)X2?N(0,20), 3X3-4X4=3X3+(-4)X4?N(0,100), 故X1-2X220?N(0,1),3X3-4X4100?N(0,1), 为使 Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)2?χ2(2), 必有X1-2X21/a?N(0,1),3X3-4X41/b?N(0,1), 与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是 1a=20,1b=100, 即a=120,b=1100. 习题4 设随机变量X和Y 相互独立且都服从正态分布N(0,32). X1,X2,?,X9和Y1,Y2,?,Y9是 分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量 T=X1+X2+?+X9Y12+Y22+?+Y92 服从自由度为9的t分布. 解答: 首先将Xi,Yi分别除以3, 使之化为标准正态. 令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,?,9, 则 X′i?N(0,1),Y′i?N(0,1); 再令X′=X′1+X′2+?+X′9, 则X′?N(0,9),X′3?N(0,1), Y′2=Y′12+Y′22+?+Y′92, Y′2?χ2(9). 因此 T=X1+X2+?+X9Y12+Y22+?+Y92=X1′+X2′+?+X9′Y′12+Y′22+?+Y′92=X′Y′2=X′/ 3Y′2/9?t(9), 注意到X′,Y′2相互独立. 习题5 设总体X?N(0,4), 而X1,X2,?,X15为取自该总体的样本，问随机变量 Y=X12+X22+?+X1022(X112+X122+?+X152) 服从什么分布,参数为多少, 解答: 因为Xi2?N(0,1), 故Xi24?χ2(1),i=1,2,?,15, 而X1,X2,?,X15独立，故 X12+X22+?+X1024?χ2(10),X112+X122+?+X1524?χ2(5), 所以 X12+X22+?+X1024/10X112+X122+?+X1524/5=X12+X22+?+X1022(X112+X122+ ?+X152)=Y 习题6 :若随机变量X服从F(n1,n2)的分布，则 (1)Y=1X服从F(n2,n1)分布;(2)并由此证明F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1). 解答: (1)因随机变量X服从F(n1,n2), 故可设X=U/n1V/n2, 其中U服从χ2(n1),V服从χ2(n2), 且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1, 由F分布之定义知 Y=1x=V/n2U/n1, 服从F(n2,n1). (2)由上侧α分位数和定义知 P{X?F1-α(n1,n2)}=1-α,P{1X?1F1-α(n1,n2)=1-α, 即P{Y?1F1-α(n1,n2)=1-α,1-P{Y>1F1-α(n1,n2)=1-α, 故 P{Y>1F1-α(n1,n2)=α, 而P{Y?Fα(n2,n1)}=α. 又Y为连续型随机变量，故P{Y?1F1-α(n1,n2)=α, 从而 Fα(n2,n1)=1F1-α(n1,n2), 即F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1). 习题7 查表求标准正态分布的上侧分位数:u0.4,u0.2,u0.1与u0.05. 解答: u0.4=0.253, u0.2=0.8416, u0.1=1.28,u0.05=1.65. 习题8 查表求χ2分布的上侧分位数:χ0.952(5), χ0.052(5), χ0.992(10)与χ0.012(10). 解答: 1.145, 11.071, 2.558, 23.209. 习题9 查表求F分布的上侧分位数:F0.95(4,6),F0.975(3,7)与F0.99(5,5). 解答: 0.1623,0.0684,0.0912. 习题10 查表求t分布的下侧分位数:t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)与t0.005(10). 解答: 2.353,3.365,1.415,3.169. 5.3 抽样分布 习题1 已知离散型均匀总体X,其分布律为 X 246 pi 1/31/31/3 取大小为n=54的样本，求: (1)样本平均数X?落于4.1到4.4之间的概率; (2)样本均值X?超过4.5的概率. 解答: μ=E(X)=13×(2+4+6)=4, σ2=E(X2)-[E(X)]2=13×(22+42+66)-42=83, 所以 μX?=μ=4, σX?2=σ2n=8/354=481, σX?=29. 令Z=X?-42/9, 则n充分大时，Z?近似N(0,1). (1)P{4.14.5}=P{Z>4.5-42/9=1-P{Z?2.25} ?1-Φ(2.25)=1-0.9878=0.0122. 习题2 设总体X服从正态分布N(10,32),X1,X2,?,X6是它的一组样本，设 X?=16?i=16Xi. (1)写出X?所服从的分布;(2)求X?>11的概率. 解答: (1)X??N(10,326), 即X??N(10,32). (2)P{X?>11}=1-P{X??11}=1-Φ(11-1032) ?1-Φ(0,8165)?1-Φ(0.82)=0.2061. 习题3 设X1,X2,?,Xn是总体X的样本，X?=1n?i=1nXi, 分别按总体服从下列指定分布求 E(X?),D(X?). (1)X服从0-1分布b(1,p); (2)*X服从二项分布b(m,p); (3)X服从泊松分布P(λ); (4)X服从均匀分布U[a,b]; (5)X服从指数分布e(λ). 解答: (1)由题意，X的分布律为: P{X=k}=Pk(1-P)1-k(k=0,1). E(X)=p,D(X)=p(1-p). 所以 E(X?)=E(1n?i=1nXi)=1n?i=1nE(Xi)=1n?np=p, D(X?)=D(1n?i=1nXi)=1n2?i=1nD(X1)=1n2?np(1-p)=1np(1-p). (2)由题意，X的分布律为: P{X=k}=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,?,m). 同(1)可得 E(X?)=mp,D(X?)=1nmp(1-p). (3)由题意，X的分布律为: P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0,k=0,1,2,?). E(X)=λ,D(X)=λ. 同(1)可得 E(X?)=λ,D(X?)=1nλ. (4)由E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212, 同(1)可得 E(X?)=a+b2,D(X?)=(b-a)212n. (5)由E(X)=1λ,D(X)=1λ2, 同(1)可得 D(X?)=1λ,D(X?)=1nλ2. 习题4 某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态 分布，求: (1)容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率; (2)容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。 解答: (1)由题意知X??N(5,1n),n=9，则标准化变量 Z=X?-51/9=X?-51/3?N(0,1). 而 P{4.41}. 解答: X??N(0,1616)，Y??N(1,925)，X?-Y??N(-1,1+925)，即 X?-Y??N(-1,3425)( 标准化变量X?-Y?，令Z=X?-Y?34/5?N(0,1)，所以 P{?X?-Y??>1}=1-P{?X?-Y???1}=1-P{-1?X?-Y??1} =1-P{0?X?-Y?+134/5?234/5 ?1-Φ(1.715)+Φ(0) =1-0.9569+0.5=0.5431( 习题6 假设总体X服从正态分布N(20,32), 样本X1,?,X25来自总体X, 计算 P{?i=116Xi-?i=1725Xi?182. 解答: 令Y1=?i=116Xi,Y2=?i=1725Xi, 由于X1,?,X25相互独立同正态分布N(20,32), 因此有 Y1与Y2相互独立，且Y1?N(320,122), Y2?N(180,92), Y1-Y2?N(140,152), P{?i=116Xi-?i=1725Xi?182=P{Y1-Y2?182}, =P{Y1-Y2-14015?2.8?Φ(2.8)=0.997. 习题7 从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的 概率为0.01, 试求总体的标准差. 解答: 设总体X?N(μ,σ2), 样本均值为X?,则有 X?-μσ/n=X?-μσ/4?N(0,1). 因为 P{?X?-μ?>2}=P{?X?-μσ/4?>8σ=2P{Z>8σ=2[1-Φ(8σ)]=0.01, 所以Φ(8σ)=0.995. 查标准正态分布表，得8σ=2.575, 从而σ=82.575=3.11. 习题8 设在总体N(μ,σ2)中抽取一容量为16的样本，这里μ,σ2均为未知. (1)求P{S2/σ2?2.041}, 其中S2为样本方差; (2)求D(S2). 解答: (1)因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知 (n-1)S2σ2?χ2(n-1). 这里n=16, 于是 P{S2/σ2?2.041}=P(15S2σ2?15×2.041) =1-P{15S2σ2>30.615(查χ2分布表可得) =1-0.01=0.99. (2)因为(n-1)S2σ2?χ2(n-1), 又知 D((n-1)S2σ2)=2(n-1), 所以 D(S2)=σ4(n-1)2D((n-1)S2σ2)=σ4(n-1)2?2(n-1)=2n-1σ4=215σ4 (因为n=16). 习题9 设总体X?N(μ,16),X1,X2,?,X10为取自该总体的样本，已知P{S2>a}=0.1, 求常数a. 解答: 因为(n-1)S2σ2?χ2(n-1),n=10,σ=4, 所以 P{S2>a}=P{9S216>916a=0.1. 查自由度为9的χ2分布表得，916a=14.684, 所以a?26.105. 习题10 设X1,X2,?,Xn和Y1,Y2,?,Yn分别取自正态总体 X?N(μ1,σ2)和Y?N(μ2,σ2) 且相互独立，问以下统计量服从什么分布, (1)(n-1)(S12+S22)σ2; (2)n[(X?-Y?)-(μ2-σ2)]2S12+S22. 解答: (1)由(n-1)S12σ2?χ2(n-1), (n-1)S22σ2?χ2(n-1), 由χ2(n)的可加性 (n-1)(S12+S22)σ2?χ(2(n-1)). (2)X?-Y??N(μ1-μ2,2σ2n), 标准化后(X?-Y?)-(μ1-μ2)σ2n?N(0,1), 故有 [(X?-Y?)-(μ1-μ2)]22σ2n?χ2(1), 又由(n-1)(S12+S22)σ2?χ2(2n-2), 注意F分布定义 [(X?-Y?)-(μ1-μ2)]21n2σ2/1(n-1)(S12+S22)σ2/2(n-1)=n[(X?-Y?)-(μ1-μ2)]2S1 习题11 分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差不小于第二个样本方差的两倍的概率. 解答: 用S12和S22分别表示两个样本方差，由定理知 F=S12/σ12S22/σ22=S12/20S22/35=1.75S12S22?F(8-1,10-1)=F(7,9). 又设事件A={S12?2S22}, 下面求P{S12?2S22}, 因 P{S12?2S22}=P{S12S22?2=P{S12/20S22/35?2×3520=P{F?3.5}. 查F分布表得到自由度为n1=7,n2=9的F分布上α分布点Fα(n1=7,n2=9)有如下数值: F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20, 因而F0.05(7,9)=3.29<3.500,x?0(λ未知), 样本X1,X2,?,Xn是n件某种电器的使用寿命，抽到的n件电器的使用寿命是样本的一组观察值.样本X1,X2,?,Xn相互独立，来自同一总体X, 所以样本的联合密度为 f(x1,x2,?,xn)={λne-λ(x1+x2+?+xn),x1,x2,?,xn>00,其它. 习题3 设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布，求: (1)来自X的简单随机样本X1,X2,?,Xn的密度f(x1,x2,?,xn); (2)Y=max{X1,X2,?,Xn}的密度fY(x); Z=min{X1,X2,?,Xn}的密度fZ(x). 解答: (1)X的密度为f(x)={1b-a,x?(a,b)0,其它, 由于X1,X2,?,Xn独立且与X同分布，所以有 f(x1,x2,?,xn)=?i=1nf(xi)={1(b-a)n,a?x1???xn?b0,其它. (2)由题设X在[a,b]上服从均匀分布，其分布函数为 F(x)={0,xb, 由Y=max{X1,X2,?,Xn}及Z=min{X1,X2,?,Xn}分布函数的定义 FY(x)=[F(x)]n, FZ(x)=1-[1-F(x)]n, 于是有 fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,x?[a,b], fZ(x)=n[1-Fn-1(x)]n-1?f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,x?[a,b]. 习题4 在天平上重复称一重量为a的物品，假设各次称量的结果相互独立，且服从正态分布N(a,0.2). 若以X?表示n次称量结果的算术平均值，求使P{?X?-a?<0.1}?0.95成立的称量次数n的最小值. 解答: 因为X?=1n?i=1nXi?N(a,(0.2)2n), 所以 X?-a0.2/n?N(0,1), 故 P{?X?-a?<0.1}=P{?X?-a0.2/n?<0.10.2/n=2Φ(n2)-1?0.95, 即Φ(n2)?0.975, 查正态分布表得n2?1.96, 所以n?15.37, 即n=16. 习题5 设总体X?N(20,3), 从X中抽取两个样本X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,X15, 求概率P{?X?-Y??>0.3}. 解答: 因为X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,Y15独立同分布，所以 X??N(20,310), Y??N(20,0.2), 于是X?-Y??N(0,0.5). P{?X?-Y??>0.3}=P{?X?-Y??/0.5>0.3/0.5} =1-P{?X?-Y??/0.5?0.3/0.5} =2[1-Φ(0.3/0.5)]=2[1-0.6628] =0.6744(查正态分布表). 习题6 设总体X?N(μ,σ2), 假如要以0.9606的概率保证偏差?X?-μ?<0.1, 试问:当σ2=0.25 时，样本容量n应取多大, 解答: P{?X?-μ?<0.1}=0.9606, 即 P{?X?-μ?<0.1}=P{?X?-μ0.25/n?<0.10.25/n=2Φ(0.1n0.25)-1=0.9606, ?Φ(0.1n0.25)=0.9803?n5=2.06?n?106. P{?X?-μ?<0.1}=0.9606, 即 P{?X?-μ?<0.1}=P{?X?-μ0.25/n?<0.10.25/n. 习题7 设X1?和X2?分别为来自正态总体N(μ,σ2)的容量为n的两个简单随机样本X11,X12,?,X1n和X21,X22,?,X2n的均值，试确定n,使两个子样的均值之差超过σ的概率小于0.05. 解答: Xi??N(μ,σ2n)(i=1,2), 且X1?和X2?相互独立，故有 X1?-X2??N(0,2σ2n), 从而X1?-X2?σ/2/n?N(0,1), P(?X1?-X2??>σ)=P{?X1?-X2??σ2/n>n2=2Φ(-n2) =2[1-Φ(n2)]<0.05, 故Φ(n2)>0.975, 查正态分布表n2?1.96, 所以n>7.68, 即取n=8. 习题8 设总体X?f(x)={?x?,?x?<10,其它，X1,X2,?,X50为取自X的一个样本，试求: (1) X?的数学期望与方差; (2) S2的数学期望; (3) P{?X??>0.02}. 解答: μ=E(X)=?-11x?x?dx=0, σ2=D(X)=E(X2)-[E(X)]2=E(X2)=?-11x2?x?dx=12. (1) X?=1n?i=1nXi(n=50) ?E(X?)=E(1n?i=1nXi)=1n?i=1nE(Xi)=0,D(X?)=σ2n=12n=1100; (2) E(S2)=[1n-1?i=1n(Xi-X?)2]=1n-1E[?i=1n(Xi-X?)2] =1n-1E(?i=1nXi2-nX?2)=1n-1(?i=1nD(X1)-nD(X?)) =1n-1(n?12-n?12n)=12; (3) P{?X??>0.02}=1-P{?X???0.02} =1-P{?X?-μD(X?)??0.02-μD(X?) =1-P?{?X1/10??0.2=2[1-Φ(0.2)]=0.8414. 习题9 从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概 率为0.02, 求总体的标准差. 解答: 由于X??N(μ,σ2n), 故有 0.02=P{?X?-μ??4}=P{?X?-μσ/n??4σ/n ?2(1-Φ(4σ/n))?2(1-Φ(12.65σ)), Φ(12.65σ)=0.99, 即有12.65σ=u0.01=2.33, 解得σ?5.43. 习题10 设X1,?,Xn是取自总体X的样本，X?,S2分别为样本均值与样本方差，假定μ=E(X),σ2=D(X)均存在，试求E(X?),D(X?),E(S2). 解答: E(X?)=1n?i=1nE(Xi)=1n?i=1nE(X)=μ, D(X?)=1n2?i=1nD(Xi)=1n2?i=1nD(X)=σ2n, E(S2)=E(1n-1(?i=1nXi2-nX?2))=1n-1(?i=1nE(Xi2)-nE(X?2)) =1n-1(?i=1nE(X2)-nE(X?2)) =1n-1(?i=1n(μ2+σ2)-n(μ2+(σ2n)))=σ2. 注:本题证明了对于任何存在均值μ与方差σ2的总体分布，均有 E(X?)=μ,E(S2)=σ2. 习题11 设总体X服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0), 从总体中抽取简单随机样本X1,?,X2n(n?2), 其样本均值为X?=12n?i=12nXi, 求统计量Y=?i=1n(Xi+Xn+i-2X?)2的数学期望. 解答: 注意到Xi+Xn+i相互独立，同分布N(2μ,2σ2), 则它们可认为是取自同一正态总体N(2μ,2σ2)的样本，其样本均值为 1n?i=1n(Xi+Xn+i)=1n?i=12nXi=2X?. 如果记Zi=Xi+Xn+i,i=1,?,n, 即Zi(i=1,?,n)是取自N(2μ,2σ2)的样本，且 Yn-1=1n-1?i=1n(Xi+Xn+i-2X?)2=S2(Z), 则有E(S2(Z))=1n-1E(Y)=2σ2, 所以E(Y)=2(n-1)σ2. 习题12 设有k个正态总体Xi?N(μi,σ2), 从第i个总体中抽取容量为ni的样本Xi1,Xi2,?,Xini, 且各组样本间相互独立，记 Xi?=1n?j=1niXij(i=1,2,?,k),n=n1+n2+?+nk, 求W=1σ2?i=1k?j=1ni(Xij-Xi?)2的分布. 解答: 因为?j=1ni(Xij-Xi?)2σ2=(ni-1)Si2σ2?χ2(ni-1), 且(ni-1)Si2σ2(i=1,2,?,k)相互独立，故 W=1σ2?i=1k?j=1ni(Xij-Xi?)2=?i=1k(ni-1)Si2σ2?χ2(?i=1k(ni-1)), 而?i=1k(ni-1)=?i=1kni-k=n-k, 故 W=1σ2?i=1k?j=1ni(Xij-Xi?)2?χ2(n-k). 习题13 已知X?t(n), 求证X2?F(1,n). 解答: 设X=U/Yn, 其中U?N(0,1),Y?χ2(n). 且U与Y相互独立，于是， U2?χ2(1), 且U2与Y也相互独立，所以 X2=U2/(Yn). 根据F变量的构成模式知，X2应服从F(1,n)分布. 习题14 设X1,X2,?,X9是取自正态总体X?N(μ,σ2)的样本，且 Y1=16(X1+X2+?+X6), Y2=13(X7+X8+X9), S2=12?i=79(Xi-Y2)2, 求证Z=2(Y1-Y2)S?t(2). 解答: 易知 Y1=16(X1+X2+?+X6)?N(μ,σ26), Y2=13(X7+X8+?+X9)?N(μ,σ23), 且Y1与Y2独立，故Y1-Y2?N(0,σ22), 又 2S2σ2=?i=79(Xi-Y2)2/σ2?χ2(2), Y1-Y2与2S2σ2 独立，从而 (Y1-Y2)/σ22S2σ2/2=2(Y1-Y2)S=Z?t(2). 习题15 设X1,?,Xn,Xn+1是取自正态总体X?N(μ,σ2)的样本， Xn?=1n?i=1nXi, Sn=1n-1?i=1n(Xi-Xn?)2, 试确定统计量nn+1?Xn+1-Xn?Sn的分布. 解答: 将统计量改写成下列形式: nn+1?Xn+1-Xn?Sn=(Xn+1-Xn?)/1+1nσ(n-1)Sn2σ2/(n-1) (*) 由于Xn+1与Xi(i=1,?,n)相互独立， Xn?=1n?i=1nXi?N(μ,σ2n), Xn+1?N(μ,σ2), 所以Xn+1-Xn??N(0,(1+1n)σ2), 从而 (Xn+1-Xn?)/(1+1nσ)?N(0,1), 注意到Xn?与Sn2相互独立，Xn+1也与Sn2相互独立，且 (n-1)Sn2σ2?χ2(n-1), 故由(*)式即得 nn+1?Xn+1-Xn?Sn?t(n-1). 习题16 假设X1,X2,?,X9是来自总体X?N(0,22)的简单随机样本，求系数a,b,c, 使 Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+X8+X9)2 服从χ2分布，并求其自由度. 解答: 由于X1,X2,?,X9相互独立且取自总体X?N(0,22), 由正态分布的线性运算性质有 X1+X2?N(0,8), X3+X4+X5?N(0,12), X6+X7+X8+X9?N(0,16), 于是，由χ2=χ12+?+χk2有 Q=(X1+X2)28+(X3+X4+X5)212+(X6+X7+X8+X9)216?χ2(3), 故a=1/8,b=1/12,c=1/16, 自由度为3. 习题17(1) 17.从总体X?N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本. 在下列情况下分别求X?与μ之差的绝对值小于2的概率: (1)已知σ2=25; 解答: 由σ=5,U统计量(X?-μ)/σn?N(0,1), P{?X?-μ?<2}=P{?X?-μ?/σn<2/516 =P{?U?<1.6}=2Φ(1.6)-1=0.8904. 习题17(2) 17.从总体X?N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本. 在下列情况下分别求X?与μ之差的绝对值小于2的概率: (2)σ2未知，但s2=20.8. 解答: 由T统计量(X?-μ)/Sn?t(n-1), P{?X?-μ?<2}=P{?X?-μ?/Sn<2/20.816 =P{?T?<1.76}=1-2×0.05=0.90. 习题18(1) 18.设X1,X2,?,X10取自正态总体N(0,0.32), 试求 (1)P{?i=110Xi2>1.44; 解答: 由?i=1n(Xi-μ)2σ2?χ2(n)题中μ=0, 因此 P{?i=110Xi2>1.44=P{?i=110Xi2(0.3)2>1.44(0.3)2=P{χ2(10)>16}=0.1. 习题19 (1)设总体X具有方差σ12=400, 总体Y具有方差σ22=900, 两总体的均值相等，分别自这 两个总体取容量为400的样本，设两样本独立，分别记样本均值为X?,Y,? 试利用切比雪夫 不等式估计k, 使得P{?X?-Y??