下限积分求导公式[精品]
变上、下限积分求导公式
,(x)d,f(t)dtf(,(x)),(x),, ,adx
bd
,f(t)dtf(,(x)),(x),,, ,,()xdx
,(x)d
f(t)dt,,,f(,(x)),(x),,f(,(x)),(x), ,(x),dx
一、填空题
121、 2、 ln(x,1),C21sin,x
,123、 4、 5、 ,2xf(x)2,2,
二、计算题(每题2分)
11、 dx,22xx,3
11111()()dx,d,,,d解: ,,,2222xxxx,3x,3x,3
11,t,则x,令 xt
12(13)d,t111t6(),,d,,dt,,dt,,原式2222x,,,,313131/3x,,t,tt,,,21(13)d,t ,,26,13,t
12 213,,,,t,C 6
211,, 13 ,,,,C,,3x,,
23x, ,,,C3x
x2、 edx,
2解、令 x,t,x,t,dx,2tdt
tttt则原式= e,2tdt,2td(e),2(e,t,edt),,,
tt,2te,2e,,C
x ,2e(x,1),C
23、 xlnxdx,
13解:原式 ,lnx(dx),3
1133 ,xlnx,xd(lnx)],33
1132ln,xx,xdx ,33
1133ln,xx,x,C 39
,
2xcosxdx4、 ,0
,2,xd(sinx)解:原式 ,0
,,22= xsinx,sinxdx,00
,,2= ,cosx02
, ,,12
ln22x35、xedx ,0
ln22122x2t,x解:原式,令,则 ,xed(x),02
ln2ln2211xt22() 原式= xedx,tedt,,0022
ln2ln211tt,te,edt ,0022
ln21t,eln2= 1 =ln2,02
21xdx6、 ,220(1,)x
2解:令,则 xtdxtdt,,tan,sec
,,,,24tan1cos2111tt,,,,22444secsinsin2tdttdtdttt,,,,,,4,,,,,原式=000sec22284t,,0
2,x2ecosxdx7、 ,0
解,令原积分为I,则,利用分部积分法计算积分
222,,,2,xxxx2222,,Iexdxedxexxedx,,,,cossinsinsin*2 ,,,,,0000
2x,2,,2222xx,,edxexxedxcos2cos2cos*,, =2 ,,,,,,000
4,(1)4eI,, =2
24,, 所以I= (1)e5
22三、抛物线,,与直线y=1所围成的图形(3分) y,xy,2x
解:所求面积如右图阴影部分所示:(首先可画出图形,这样方便解题)
两部分关于x轴对称,则
11y22(y,)dy,2(1,)ydyA=,,0022
132222 ,2(1,),y,(2,2)2330
3四、求曲线及所围成的图形(3分) y,xy,x
解:所求面积如右图阴影部分所示:则先求出交点为(1,1)
13(x,x)dxA= ,0
13121542 = x,x,034120