上海应用技术学院 2008—2009学年第二学期
《复变函数与积分变换》期(末)复习卷
课程代码: B2220081 学分: 2 考试时间: 分钟
课程序号:
: 学号: 姓名:
我已阅读了有关的考试规定和纪律要求,愿意在考试中遵守《考场规则》,如有违反将愿接受相应的处理。
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总 分
应得分
100
得 分
试卷共 5 页,请先查看试卷有无缺页,然后答题。
一.填空题(每空2分,共36分)
1. 若
,
,则
材=
2. 复数
的指数形式是
,幅角主值
=
。
3. 复数
=
,
=
(计算过程可见第三题)。
4. 设
解析,则
,
==
。
5. 设C为自原点到
的直线段,则积分
=
(用牛顿-莱布尼兹公式)。
6. 级数
是 条件收敛 (填发散、条件收敛或绝对收敛)。
7.
=
。(请分别用柯西积分公式或留数定理计算)
8. 设.
,则
是可去奇点(选:可去奇点、极点或本性奇点),
= 0 。
9. 函数
的奇点是
(都是一级极点)
10.
是
的 本性奇点 (选:可去奇点、极点或本性奇点),
= 1 。
11. 函数
的幂级数展开式是
。
12. 拉普拉斯变换的定义是
。
13. 若
, 则
。
二.计算(前2题各4分,第3题6分)
(1)说明函数
在一点
连续、可导、解析的关系。
讨论
的连续、可导、解析性。
答:函数在一点
连续、可导、解析的关系是:解析
可导
连续,反之不成立。
对
,设
,则
,即
。
由于
都是连续函数,故
在复平面上处处连续。
由于
。显然
可微,但只在
处满足柯西-黎曼方程
。因此
只在
处可导,但在复平面上处处不解析。
(2)分别求
和
的模、幅角、实部、虚部。
解:
所以模为
,幅角4 + 2 k
(主值为4 -
),实部
、虚部
。
所以模为
,幅角
+ 2 k
(主值为
),实部
、虚部
。
(3) 验证
是调和函数,并求
,使函数
为解析函数。
解:
,因此u是调和函数。
下面用偏积分法求v:由
,得到
;再由
,得
,
,所以当
时,
为解析函数。
三. 求
,
解:
。其中k = 0时可得相应主值。
四. 求
在
内的罗朗展开。
在
内的罗朗展开。
将函数
展成 z 的罗朗级数,并指出收敛范围。
解:1. 对
,因为在
内有
,故在
内有
2. 对
,在
内时
3.
五.计算
1.
,其中C是从0到
的直线段。
解:由于z e z 是解析函数,用分部积分法可得
2.
其中C是从0到
的直线段
解:由于被积函数不解析,本题只能沿曲线来计算积分。
直线段的参数方程为 z =(2 + i)t ( t从0到1),d z =(2 + i)d t。所以得到
3.设
,求
(6分)
解:
所以
进而得
4.
(6分)。求积分
,
为不通过
的闭曲线.
解:当a不在C内时,由柯西-古萨基本定理,得
当a在C内时,由高阶导数公式,得
。
5.
解:
的一级极点有z = 0.5+k,其中
在C内。且由法则Ⅲ可求得在各极点处的留数为
。故由留数定理得
六. 求拉氏变换
,
,
。
求下列函数的拉氏逆变换
1.
2..
解:
七. 设
在区域D内解析,
。用柯西-黎曼方程证明
也在区域D内解析。
证明:
,为常数 - i与解析函数f (z) 的乘积,故
也在区域D内解析。
(注意:这里不是用柯西-黎曼方程证明的,请大家自己写出用柯西-黎曼方程证明的过程)
八. 叙述留数定理的内容。
叙述柯西积分定理(即柯西-古萨基本定理)内容.
叙述柯西积分公式及高阶导数公式内容.
上海应用技术学院2010—2011学年第一学期
一.选择题(每小题3分,共15分)
1. 方程
示 ( )
A.
B.
C.
D. 以上都不对
2. 设z =
, 则
( )
A.
. B.
. C. 0. D. 以上都不对.
3. z = 0是
的几级极点 ( ).
A. 1. B. 2. C. 3. D. 以上都不对.
4.
,则Res
= ( ).
A. 1. B. 1/2. C. 1/3. D. 以上都不对.
5. 沿正向单位圆周的积分
= ( ).
A. 2
. B. 0. C.
. D. 以上都不对.
二.填空题(每小题3分,共15分)
3.
= 2.
=
4. 函数
的奇点是
5.
,当a = 时是解析函数。
6.
,则 L
=
三.计算(每题7分,共49分)
(1)求
的模、幅角、实部、虚部。(2)
(3)
,其中c为从 – i 到0的曲线。
(4)
(5)用留数定理计算
上海应用技术学院 2011—2012学年第二学期
一.选择题(每小题3分,共15分)
1. z = 0是
的什么点? ( B ).
A. 极点. B. 可去奇点. C. 本性奇点 D. 非孤立奇点.
2.
,则Res
= ( A ).
A. 1. B. 1/2. C. 1/3. D. 0 .
3.
= ( B ).
A. 0. B. sin i C. cos i. D. 1 .
4. 沿正向单位圆周的积分
= ( C ).
A. 2
. B. 1. C. 0 . D. 2πi
5. 设m为正整数,z = a是
的m级零点 , 则z = a是
的几级极点 ( D ).
A. 1. B. 2. C. m - 1. D. m.
二.填空题(每小题3分,共15分)
7.
=
8.
=
9. 若
,则z = 3.
10.
,当a = 5 . 时在复平面上处处可导。
11.
,则 L
=
三.计算(每题7分,共56分)
(1)
,试求
在复平面上何处可导?何处解析?
(2)
(3)
,其中c为从1 - i 到0的任意一条曲线。
(4)
(5)用留数定理计算
(6)给定调和函数
,求调和函数v,使得
成为一个解析函数。
(7)将复函数
展成z的幂级数,并指出收敛域。
(8)设
,求
四. 积分变换(每题4分,共8分)
1. 已知
,求 L
2. 用拉普拉斯变换的微分性质证明
五. 证明题(6分)
若函数
与
在单连通区域D内处处解析,C是D内任意一条闭曲线。证明:若等式
在闭曲线C上处处成立,那么该等式在闭曲线C内也处处成立。
三.计算(每题7分,共49分)
(1)
,试求
在复平面上何处可导?何处解析?
解:
(2)
解:
(3)
,其中c为从1 - i到0的任意一条曲线。
解:
(4)
解:
(5)用留数定理计算
解:
(6)给定调和函数
,求调和函数v,使复函数
成为一个解析函数。
解:
(7)将复函数
展成z的幂级数,并指出收敛域。
解:
四. 积分变换(每题5分,共15分)
1. 已知
,求 L
解:
2. 已知
,求 L-1
解:
(5分)
3. 用拉普拉斯变换的微分性质证明
证明:设
(2分)。
由微分公式:
(2分),得
五. 证明题(6分)
若函数
与
在单连通区域D内处处解析,C是D内任意一条闭曲线。证明:若等式
在闭曲线C上处处成立,那么该等式在闭曲线C内也处处成立。
证明:在C内任取一点z0,由于
与
都在C内解析,有柯西积分公式(1分)得
(两式共2分)
又因为
在闭曲线C上处处成立,所以有
,因此得到
(1分)。再由z0在C内的任意性,便得知等式
在闭曲
线C内也处处成立。