三次方程的解法

三次方程的解法 三次方程 维基百科，自由的百科全书 跳转到: 导航, 搜索 的圖形 三次方程是未知项總次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式為 ， 其中, ,和 ()是屬於一個域的數字，通常這個域為R或C。 本條目只解釋一元三次方程，而且簡稱之為三次方程。 目录 [隐藏] , 1 历史 , 2 三次方程解法 o 2.1 求根公式法 o 2.2 三角函数解 o 2.3 卡尔丹诺法 , 2.3.1 判别式 , 2.3.2 第一個例子 , 2.3.3 第二个例子 , 3 极值 o 3.1 驻点的公式 o 3.2 极值 o 3.3 拐点 o 3.4 驻点的类型 , 4 外部链接 , 5 参见 [编辑] 历史 中國唐朝数学家王孝通在武德九年(626年)前后所著的《緝古算經》中建立了[1]25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。 波斯数学家欧玛尔?海亚姆(1048年,1123年)通过用圆锥截面与圆相交的方法構建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法得到数字式的。 中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。 在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如的方程。事实上，如果我们允许, 是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。费罗一直保守着这个秘密，直到死之前才把它告诉了他的一个学生。塔塔利亚(Tartaglia)听说了这件事并很快自己找到了一种方法。他把他的方法透露给了卡尔丹诺，后者把它发表在《数学大典》(又名《大術》，1545年)上。 卡尔丹诺注意到塔塔利亚的方法有时需要他给负数开平方。他甚至在《数学大典》裡包括了这些複數的计算，但他并不真正理解它。拉斐罗?邦别利(Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是複数的发现者。 [编辑] 三次方程解法 [编辑] 求根公式法 ，其中。 红色字体部分为判别式: 当时，方程有一个实根和两个共轭复根; 当时，方程有三个实根:当 时，方程有一个三重实根;当时，方程的三个实根中有两个相等; 当时，方程有三个不等的实根。 [编辑] 三角函数解 ，其中。 若，则 [编辑] 卡尔丹诺法 令為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根，然後把方程除以，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。 在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。 解方程步驟: , 把原來方程除以首項係數，得到: ，其中，，。 , 代換未知項，以消去二次項。當展開，會得到 這項，正好抵消掉出現於的項。故得: ，其中和是域中的數字。 ;。 , 記。前一方程化為。 展開:。 重組:。 分解:。 因為多了一個未知項(和代替了)，所以可加入一個條件，就是: ，由此導出。 , 設和。我們有和因為 。所以和是輔助方程 的根，這方程我們已會解出。 接下來，和是和的立方根，適合，，最後得出 。 在域裡，若和是立方根，其他的立方根就是和，當然還有和 ，其中是單位的立方根。 因為乘積固定，所以可能的是，和 。因此三次方程的其他根是和 。 [编辑] 判别式 最先嘗試解的三次方程是實係數(而且是整數)。因為實數域並非代數封閉，方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在裡，就是的代數閉包。其中差異出現於和的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。 可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式， , 若，方程有一个实根和两个共轭复根; , 若，方程有三个实根:当时，方程有一个三重实 根;当时，方程的三个实根中有两个相等; , 若，方程有三个不等的实根: 其中 。 注意到实系数三次方程至少有一實根存在，這是因為非常數多項式在和 的極限是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號，又因为多項式是連續函數，所以從介值定理可知它在某點的值為0。 [编辑] 第一個例子 解。 我們依照上述步驟進行: , (全式除以) , 設，代換:， 再展開。 , ，，。設和。和 是的根。 和， 和。 ， 该方程的另外两个根: ， ， [编辑] 第二个例子 这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。 方程是。 从函数算出判别式的值，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。 前两步都不需要做，做第三步:，，。 和。 和是的根。这方程的判别式已算出是负数，所以没有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由:复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。 我们解出和。取复数立方根不同于实数，有两种方法:几何方法，用到辐角和模(把辐角除以3取模的立方根);代数方法，分开复数的实部和虚部: 现设。 等价于: (实部) (虚部) (模) 得到和，也就是，而是其共轭:。 归结得，可以立时验证出来。 其他根是和 ，其中。 当是负，和共轭，故此和也是(要适当选取立方根，记得);所以我们可确保是实数，还有和。 [编辑] 极值 [编辑] 驻点的公式 设 将其微分，可得 [编辑] 极值 设，可得在中的极值(极大值或极小值)满足: 将代入，可得的极值: [编辑] 拐点 设，可得的拐点。 [编辑] 驻点的类型 由函数取极值的充分条件可知: ，是的极大值点; ，是的极小值点; ，是的拐点。 可知: ，的驻点为极大值点; ，的驻点为极小值点; ，的驻点为拐点。 如何亲自发现三次方程的解法 —— Timothy Gowers 谢国芳,Roy Xie, 译 32让我们想像自己面对着一个三次方程 x + ax + bx + c = 0. 解出该方程意味着要写出一个求它的根的公式，该公式应该以它的系数a, b, c和一些常数 ( 即不依赖于a, b, c的数 ) 表示，并且只用加减乘除和开方运算。 正如我在其他网页里所做的那样，我将表明这样的一个公式可以凭着标准的数学直觉推导出来，而不需要神秘的灵感闪现。我当然不是断言任何有理性的人都能在一两个小时内推导出这个公式——通常需要尝试几种不成功的直觉才能发现正确的标准化数学直觉。然而，在任何给定的情况下，合适的直觉之列表一般不会太长。如果你年轻，雄心勃勃，仍然不知道如何解三次方程，那么我建议你亲自动手一试，或者在读一点本页的内容之后再作尝试，你在几个小时内获得成功的可能性很可能比你预想的高。让我们从一个数学中最普遍有效(而且明显易懂)的解题原则开始吧。 如果你正试图解决一个问题，看看能不能把一个已知的解法类推应用于一个类似的问题。 运用这个原则可以避免对每一个新问题都从头开始。重要的并不是该问题本身的难度，而是克服该问题和其他已经解决的问题之间的差异的难度。 二次方程的解法 2在现在这个情形中，显而易见，我们想到的类似的问题就是解二次方程 x + 2ax + b = 0 (我加上因子2仅仅是为了方便，当然这在数学上没有任何区别)。我们怎么办呢,唔，我们 "注意到" 222x + 2ax +b = (x+a) + b - a 这很快就导出解 21/2x = -a +/- (a -b) 这一招高明吗,在接下去考虑三次方程之前详细考察这个更初等的方程是有益的，所以让我们假想我们甚至不知道如何解二次方程，一个可能把我们引向它的解的 2思路是这样的: 在干瞪着一般的方程 x + 2ax +b = 0 毫无头绪之后，我们退回到下面这个问题: 有我知道如何求解的特殊情形吗, 然后，我们有点尴尬地注意到当 a = 0 时我们能解这个方程，也就是说，我们 2能解方程 x + b = 0(因为我们可以开平方根)。接下去，我们也许注意到如果 b = a 2222 那么我们就得到了方程 x+ 2ax + a = 0, 它可以改写为 (x+a) = 0. 一旦注意到这一点，我们就会认识到有帮助的并不是方程的右边是0，而是左边是一个完全平方， 2所以我们对于任意的 b 都能解出 (x+a) = b ，这给了我们一大类能解出的二次方程，所以我们不问下面这个问题就太傻了: 2有不能改写成 (x+a) = b 这种形式的二次方程吗, 为了回答这个问题，我们需要把它重新写回原来的形式，这只要乘出括号，把 b 移到方程的左边就行了，这样我们就得到了方程 x2 + 2ax + a2 - b = 0. 到此就非常清楚了，我们可以令 2a 等于任何一个我们需要的数，在这样做了之 2后，接着我们又可以令 a - b 等于任何另一个我们需要的数，于是二次方程就解出来了。 22如果你觉得看出方程 x + 2ax + a = 0可解是一个过高的要求，那么还有另外一 1/2条路径:想知道 1+2 是否是一个代数数并不需要太多的好奇心，注意到如果 1/22x=1+2 则 (x-1) = 2 也不需要太多的才华，只要把这个例子加以推广，你很快就 2会认识到形如 (x+a) = b 的方程是可解的。 三次方程的初步简化 什么是配方这一操作在三次方程中的自然推广呢,要回答此类问题，下面这一策略常常是有用的: 对你想要推广的东西给出一个一般性的描述。 我将尝试直接通过实例来阐明我的意思。为了配方，我们注意到 222(x+a/2) = x + ax +a/4 22因此我们可以把任何以x + ax 开始的二次方程写成 (x+a/2) 加一个常数的形式。 换一种说法是，如果我们令 y = x + a/2，那么 y 就满足一个形式特别简单的二 2次方程 y + C = 0。当然，一旦我们解出了这个关于 y 的方程，就很容易解得到x， 因为 x 是 y 的一个很简单的一次函数。在这个关于 y 的这个方程中，什么变得更简单了呢,对于这个问题有两个合理的回答，把两者都考察一下是值得的。 2第一个回答是注意到这个关于 y 的方程只包含 y 和一个常数项——所以用 y 代换 x 就使得我们可以设一次项的系数为0。 2第二个回答更加简明易懂——它更简单是因为我们断言形如 y + C = 0 的方程可以轻松求解。这一思路引发出两个问题: 1.有类似的方法可以简化一个三次方程使得它的某些项的系数变成 0 吗, 32.有类似的方法可以简化一个三次方程使得它变成 y + C = 0 的形式吗, 谢 谢 品 读～