【doc】任意子气体配分函数的路径积分计算及无歧点第二维里系数

【doc】任意子气体配分函数的路径积分计算及无歧点第二维里系数 任意子气体配分函数的路径积分计算及无 歧点第二维里系数 必厂Ib 第19卷第1期 幽劾低温物理v0】.19,No.1 及无歧点第二维里系数 盟 南京大学物理系.南京210093 I996if-5月7FI收到 0冬| 本文详细介绍丁任意子气体配分函数路径积分计算方法,井计算了在均匀外磁场中任 意于气I奉的第=维里系数.两个任意子之间般设有平方反比的斥力存在,我们采用谐振子位 势作为iE规化手段,得到的第二维里系数是统计参数的光滑的周期性函数,不再存在歧点, 同时外磁场使之产生不对称性. 任意子(Anyon).是一种遵从特殊统计规律的量子对象.按照量子力学关于全同粒子 统计性质的分类标准,它既不是玻色子,也不是费米子.原则上讲,只要条件适合.它可以在 人们熟知的玻色统计和费米统计之间连续变化.因而被叫作任意子.它是只能存在于二维空 间的粒子或激发态.正是这种不寻常的统计特性.使得它从一开始就吸引了不少人的注 意.而在Halperinl5指出分数量子霍尔效应(FQHE)中的Iauughlin元激发正是Wilczek 建议的任意子后,人们对它的理论兴趣就很快转化为用它来研究实际的物理问题.目前, 分数量子霍尔效应的任意子理论已经得到相当普遍的承认+另一方面.高温超导体的二维 特性又给任意子理论提供了另一个展现其生命力的场所.实际上,人们已经证明一种叫 做半子(semion)的带电任意子的基态,确实呈现超导电性.尽管基于任意子理论的高温超 导电性机制尚未真正建立,但这方面的工作确在加速发展.因此,对任意子理论的概念厦 其基本性质的研究仍是需要进一步探索的问题. 单个任意子的特殊统计性质可以方便地用Wilczek模型一来示,也可以更一般地在 Wu表象中加以说,但前者比较直观.按照Wilczek模型,任意子是带电粒子和细长带电 螺线管的复合体,它局限在与螺线管相垂直的平面内运动.由于磁通管的存在,任意子的位 形空间将是一个多连通的二维空闯.这使得分数统计成为可能:如果以e和西分别表示任 意子的电荷及磁通,则在两个这样的任意子在平面内相互交换位置时,其系统波函数将会 因Aharonov—Bohm效应而在动力学相位之外,增加一个附加的相位固子exp{m.其中 = /f,叫作统计参数.它直接和相互作用有关.很显然.通过改变任意子的电荷及 磁通量,就可以使统计参数.,从而使相位因子取任意值.正是在这种意义上,其统计规则 被称作分数统计.通常的玻色子和费米子就是n取偶整数和奇整数的特倒.在Yao—ShiWu 表象中,上述附加相位因子是流形埘,,的基本群lJ()的一维幺正表示.对于二维空间 而言其基本群一般是无限维的非ABEL群.与之相联系的规范场也会有类似的AB效应. ? 1期朱沛臣等:任意子气体配分函数的路径积分计算及无歧点第二维里系数9 当然,目前人们主要讨论的是U(1)规范场.很明显两任意子系统的波函数,在相互交换位 置时的相位变化,是上述附加相位和动力学相位之和.因此,改变统计参数,将会改变原 始粒子的统计性质. 从上面的讨论可以看到,任意子的存在是以它们之间有规范场相互作用存在为前提的 (或者等价地存在多值边界条件).因此我们甚至不可能象一般量子场论中所做的那样构造 没有相互作用的自由任意子.这大大限制了人们对多个任意子系统统计性质的研究.迄今 为止,除某些特例外,人们甚至尚未找到如何正确表述中间统计的一般规则.当然,要用 任意子概念来处理实际的物理问题,就必须首先了解任意子气体的热力学性质,这可以通 过它对理想气体的偏离,以及这种偏离与统计参数的关系表示出来. 首先进行这方面工作是Arovas等人,他们计算了任意子气体的第二维里系数作为统 计参数的函数.象预期的那样,其第二维里系数是统计参数的周期性函数,周期是?= 2+而且,对费米点(=奇整数)是对称的.以后,Arovas又讨论了在外磁场中的任意子气 体,证实了外磁场会使上述周期性变得不对称.而且,不管有无外磁场,在每个玻色 点,都 有不连续的歧点(cusps)存在.为了消除形式上的发散性,他们采用插入衰减因子exp{一 e}的正规化程序.John,~n和Canright0详细研究了有简谐振子位势的任意子气体在均匀 外磁场中的行为.这里,谐振子位势被用作另一种正规化手段,以消除发散性.他们的计算 证明,外磁场可消除规范相互作用引起的阻挫(Frustration),这意味着外磁场在某种程度 上和统计规范相互作用有相同的效果.Coment,Georgelin和Ouvry.指出,谐振子位势可 以作为正规化手段,同时又强调交换分布在远距离上的重要性.Blum,Hagen和Ra- maswany[tl3考虑了任意子的自旋自由度,并假定它们和统计规范势之间存在有Zeemann型 的相互作用.在此条件下,他们得到了不寻常的结果,即第二维里系数在统计参数.为偶 整数处是不连续的间断点+为了消除玻色点处的歧点.Loss和Fu"第一次引入了任意子 之间的平方反比排斥势来表示无双重占据条件,他们算得的第二维里系数,是统计参数n 的平滑的周期性函数.' 多个任意子系统的问题,是Y—SWu首先提出的.他得到了所有任意子的动量都指 向同一方向时的解.以后Girvin用超对称理论分析了任意子系统的基态,但没有关于激 发态的类似解.近年来,三个任意子体系的研究有了较大的进展.在Johson等工作.的基 础上,或者用数字解法",或者用微扰方法""",得到了三个任意子系统的谱及相应的 配分函数. 在本文中我们将综合考虑各种因素对任意子气体热力学性质的影响,即讨论在均 匀外 磁场及谐振子位势作用下的任意子气体,同时以平方反比排斥势来表示位形空间无重复占 据约束条件.外磁场和任意子所在平面相垂直,在对称规范下,它的矢势A一上},坐标 为的第个任意子的谐振子位势是m/2.上述任意子气体的哈密顿量可写成 H=壳[一?A()一e---a(r,)]+V(1)…? 其中(r-)是任意子携带的磁通管在任意子携带的磁通管在处的统计规范势,它和统计 参数n之间有下列关系 詈口()=砒;(2) 1O低温物理l9卷 同时 V一?m~,y?/2+?g/Zmr~(3) 与此相应的配分函数在坐标表象中可写成 ZN—Trexp{一卢H}一(?j)一Jdr]ldr?(,…rNl一即l户…r)(4) 由于任意子仅存在于二维平面中,其坐标矢量仅有两个分量,后面我们将选用平面极坐 标来表示.被积函数中的求和是对所有""IN的可能排列进行,在引入虚时间r一,啦后 上述矩阵元和量子力学中的传播子有相同的形式,记作 K一'…r;pr】…r;r>一<^…,jP圳捕1pr1…rN)(5) 并可写成Feynmann路径积分的形式 K=(^…r;pr】…r;r>一『Drexp{一iS(r?,rN)/靠)(6)J P 其中S(r…r)是任意子系统的作用量 'd (r?.r)=IL(r,,?)(7) J L(rN,)=?m一/z,m俨/2,碗,V(8) 是系统的拉格朗日函数.m—eB/,nc是回旋角频率. 单体配分函数是容易写出的 " Zl;Tre一一一1d,K(r,,;r)(9) ,) 其中单体哈密顿量 H】一(p,eA/c)+me)./2(10) 它并不包含任意子之间的统计作用及平方反比斥力作用. 两体配分函数可写成质心部分和相对运动部分之积 Z2=五Zl(11) 它们又可表示成 r 五一Trem:ldzR(Rlexp(一H)fR)(12) J 以及 r Z:Tre一一ldzr(rIexp{,Hl}lr>+(,rIexp卜一口Hd}I,)(13) J 其中质心运动啥密顿量可以由单体啥密顿量作代换m一埘=2m得到;相对运动啥 密顿量 赊作代换一一/2外,还要加上统计规范相互作用和两个任意子之问的平方反比作 用 HreJ一(,,ea/c—ea/c)./2+r/2+g/2/~r(147 或者相应的垃格朗日函数 L一/2,一a/z一/2,碗一/2(15) 这里,r是两个任意子之间的相对距离.现在可以引入下列积分 F?(d,g,;?)一K(士r,;p)(16) t 1期朱沛臣等:任意子气体配分函数的路径积分计算及无歧点第二维里系数11 来统一表达上面的几个配分函数(1O),(12)和(13) Z一F+(O,0,;)(17) Z=F(0,0,M;)(18) Z一[F+(,g,;)十F一(,g,;)312(19) 在传播子的路径积分表示中,积分Dr是对位形空间的所有可能路径进行的,而在有统计 矢势存在的情况下,任意子所在的物理空间是拓扑非平庸的.事实上,垂直于任意子运动 平面的磁通量的存在,使二维空间成为多联通的,因此,所有可能的路径并不是同伦(ho- motopy)等价的,只有那些绕数相同的路径才可认为有相同的贡献.这个问题至少可以有 两种办法来处理.一种是Schulmen[zo3建议的,他首先用半经典的办法计算绕数为零的轨道 的传播子,记为.在平面极坐标中可写r和0的函数,.(r,,r,;r),然后将变成 +2就得到绕数为的轨道的传播子.如果不单值性,可以在每一个相同绕数的传播 子上乘以一个相同的相位因子,再叠加起来,就得到了全传播子,附加的相位因子的一般 形式是exp{/rib),这里的是某个常数."是轨道的绕数,于是 K(,r,;r);>:P(,+2硎,一,{r)(2o) 这种方法用在较问单的位形空间,例如细环是有效的,但对于复杂的位形空间就不行了. 问题在于其零绕数传播子并不易于计算.这时必须采用另一种做法,即考虑复盖空间上的 约束积分 }ldlD rexp{iS(r,r)肺)(一l甜f)(21); 这相当于在原传播子中插入一个绕数固定项,并对所有可能的绕数积分,它当然也应给出 全传播子.为了计及绕数固定项的贡献,可以将函数写成指数形式 } 3(9一ldr0)一1/(2)Idxp{^[一Id}阳)(22)E 并引入等效作用量 r SH—Idt{[(r+r20.]/2一州.,/2一re/2一n靠一肚一g~2/2,ur.)(23)J? 即可将全传播子改写成 r k(r"r;r)一Idec(.r,;r)(24) J 其中 r Kf(,一;r)一ld2exp{ig[IDrexp{iS.?肺)(25). 在处理任意子问题时,使用平面极坐标是特别方便的,它早2O年前就已被用到路径积分的 计算中.其方法和结果也已在1O多年前碍到.在Arovas的文章的附录中,有关于 这方面的较完整的综述,并有径向谐振子的路径积分方法的计算.按照这种方法,相对运 动的全传播子(24)可以由下式给出 (,;r)一(叫/4神)csc[(,+r,)一exp{(一0一~r/2)) L[(2淆)rcsc(arr/2)](26) 其中 12低温物理19卷 (m)一干 L()是修正的贝塞尔函数(ModifiedBesselfunction).对于二维相对运动而言,, 7-It— r;=+(T)/2.于是 毕 ,?(g,,)一JrdrJd(r,十(—)/2;r,;r) 再将虚时间r改为',并令:(/2)ch(/2)然后积分(29)式可写成 一 F(n,g,,)一1/2?(土)exp{一4(m+))ld』)一? 再利用积分公式(23) r ldxe一I()一cschaexp{一d (27) (28) ?即 (29) (30) 完成(30)中的积分即得. F(n,g,)一csch~,?exp{一A.(2m+n)}exp{一?/—干)(32) 相应的二体相对运动的配分函数就是 Z.I(n.g.oJ)一cseh~?exp{一4(2m+n)}exp{一/二一r干}(33) 它与折合质量无关, 至此,我们得到了二体配分函数的解析表示式.稀薄的任意子气体的热力学特性可 以 通过对它的讨论予说明.在进行具体计算之前,我们先指出其一般性质如下: 1.周期性 由于统计参数总是和2m相加,而对m的求和是从一..到+..,故n的改变2并不 影响求和的结果,即始终有 Zd(n)一Zd(+2n)?(O,2)"?Z(34) 故周期为2. 当g《(2m+)时,这种周期性还可通过泊松变换,把上述波展开式用绕数展开式 (24)表示出来 一 (g?/sinh?)?exp{/nard}EKl(件)/.-+K】f_,H卜)/卜](35) 其中 '一2g?(凸?4+inrr)(36) K)是MacDonald函数. 2.不对称性 当有外磁场存在时,空间就有了优先方向,它和任意于所携带的磁通量的相对方向不 同(平行或反平行)将会改变配分函数,这表现为相对运动配分函数在一,n变换下的不 对称性 Z1()?ZI(一n)(37) 这意味着,在一定的意义下.外磁场和统计规范场对任意于气体的热力学性质有相同的影 响.原则上应该可以通过改变外磁场来改变统计规范作用对统计性质的影响.这似乎能得 1期朱沛臣等:任意子气体配分函数的路径积分计算及无歧点第二维里系数13 到了实验的支持. 3.和Loss和Fu的结论一样. 当任意子之间有斥力存在时,配分函数作为统计参数的函数处处连续,在也不存在不 连续的岐点,这是和任意子的物理图象相一致的.任意子所携带的磁通量排除在同一个点 存在两个粒子的可能性.这样看来,以前许多文章中之所以都有岐电出现,是和没有计及 双重占据条件有关的. 在上面的计算中,我们引八了谐振子位势作为正规化的手段,以避免配分函数随系统 面积趋于无限的发散问题.实际上,如果没有谐振子位势,不仅相对配分函数,而且单粒 子配分函数,都是发散的.通过简单的计算可以得到 ZL=(m)4csch4(38) 以及 =2AOn).4csch4(39) 其中碍=2/m是质量为,粒子温度'一1/时的热波长度.然而,单体配分函数和质 心运动配分函数的区别仅在于m和.正规化要使得 LimA(m)?z1一Lim2A(m)7z=砖sinh,(40) 即在无谐振子位势时为坤sinh/~/4.要满足上述正规化要求的最简单办法是引入等效质 量为m的系统,并让其相应的面积满足 A(m)一ldrexp{一叫/赫r.cschd(cschd—cseh4))(41) J 或者等价地让 A(m)=2m辟slnhA,F一(0,0;一口)/?(42) 这样一来,质量为的粒子系统的面积就变成 A()碍sinh?Z/?=A()(43) 当然,正规化的选择并不是唯一的.我们的作法当然是满足某些必须的要求的.例如 它在谐振子势趋向于零时(一4)面积仍然是发散的.Arovas等人的正规化参数是和 cosh一c0sh相一致的.而且他们定义的量 J___________________1??r______?__________一 ?一(E+cosh4)+?(E+cosh4)一1(44) 就是我们的.所以我们得的结果和他们的结果完全一致. 任意子气体配分函数对规范相互作用的依赖关系,使得它的热力学性质既不同于理想 玻色气体,也不同于理想费米气体.这可以通过任意子气体状态方程的维里展开表现出 来.大家知道,气体状态方程的维里展开是显示气体性质偏离理想气体程度的方便办法. 实际上,一般气体的状态方程可以写成 p=k'/'{+>:且)(45) 其中一N/A是气体的面密度,因为我们讨论的是二维系统.B,就是第级维里系数.另 一 方面,压力和粒子数都可以用热力学势表示出来 户一一(,?一一(.?) 而热力学势又可以通过和巨配分函数量的关系直接求得 l4低温物理l9卷 n=一KrLn巨t47) 所以,只要知道配分函数.就可以通过下列关系直接求得各级维里系数 户一KTA{Z.+(z:一z}/2)+0())(48) 一 A-.{Z22+2(z2一zj/2).4-0(z))(49) 其中:一exp{flpNJ是逸度,注意到=(z/A)+o()即得到用配分函数表示的维里' 展开式 P—K'{+A(1/2一Z2/z{)}(50). 显然,第二维里系数B一A(1/2一z/z{)仅与单体和相对运动配分函数有关.因为前面 已经讨论过,两体配分函数可以写成质心运动配分函数和相对运动配分函数的乘积.故有 B—A(Zl一4Z1)/2Zl(51) 按照我们关于正规化的约定 A/Z一辟sinhA/A(52) 故有 B:sinhd~[Z一4Z]/?(3) 与统计规范参数有关的部分仅仅出现在相对运动的配分函数中,于是,第二维里系数的解 析性,连续性及周期性都和相对运动配分函数一样,即: 1.周期性:B(口)B(口+2n):口?(0.2);? 2不对称性:B(n)?(一n)除非?一0.即没有外磁场存在. 3.不存在岐点:.一一警.+,只要g一0. 所以,任意干气体的第二维里系数是统计参数的平滑的周期性函数,周期为2,在没有 外磁场存在时.对=0点是对称的.但外磁场会破坏这种对称性, 对于任意子之问的排斥作用会消除a=0点的歧点,还可以作下列讨论:在g很小的时 候,可以分两个区间将相对运动配分函数写成 zt'l一去cschz~{2e[P.一一]++[coth(?+4)+1] +"a[coth(z5—4)一1]一ga[f(a+4;口)+f(A一4;一n)])(4) 以及 r———一' z一{c~chn{2一[一,,一,]"一[cotb(凸+4)+1].B +e-.叫"'[coth(d一4)一】]一ga[f(a+4;一2)+f(A一4{2一口)]j(55) 其中 』'(X,口)』dX(56) 于是第二维里系数就可以写成非常紧凑的形式 (a,g,A)一B:(,.;?)+等[,(?+A;n)+,(凸一4;一)](5;) 与g无关的第二维里系数按n的大小可分别写成 (<】.n:J1一,{2"nh?cosh垒一[c.th{ 1期朱沛臣等:任意子气体配分函数的路径积分计算及无歧点第二维里系数l5 一 tanh+1]+_ca+4:c.th?_?垒一tanh?_{+1]/(58) 及 n>1,o;85)=一1,2sinh0sh一_【[coth垒 一 tanh?_亏+1]--+^[c.th皇一tanh垒{+Dp) 当用作正规化手段的谐振子位势趋向于零时,即(?一4),B(,0,?),单体配分函数 z及相对运动配分函数zI都是发散的.然而,如果有平方反比的斥力存在,即g=/=0,则Z. 和z的发散项相互抵销,于是B(a,0,za)变为 B2(口<1,0;4)=[c.th4+2一吨(coth4+tanh4+2)](60) 及 B2(n>1,o;4)一[COthA十2一一一4(cothz~.+tanhz~+z)3(61) 两者都是有限的.不仅如此,当n一0时,可以立即得到在外磁场中自由玻色气体的第 二维里系数 B2(0.0;4)=一nh4(62) 这里,4一胁/2和以前一样,蓐一2/是自由玻色于的热波长度. 由此我们得出结论,只要有谐振子势存在,维里系数就是有限的.一旦除去规范位势, 它就不能维持其有限性了.另一方面,当任意子之间的平方反比排斥位势存在时,我们不 能让一O,因为和g有关的项中出现的函数f(A,一?,d)在?一?时是发散的.因此,为了 消除歧点而在引入任意子之间的排斥位势时,必须同时引入正规化位势,否则第二维里系 数将不可避免地仍会出现发散. 本文是在作者1998年访问纽约州立太学奥尔巴尼分}立物理系时写的.初犒曾发表在Tutzing会议文集中,作者在 此感谢纽约州立大学和该幢物理系提供的良好工作条件. 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