二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程

2009年第 8期 7 二次曲线中点弦，、切线、切点弦及双切线方程 (本讲适合高中) 1 知识简介 胡 圣 团 (湖南省澧县一中，415500) 记 G(x，)，)=Ax +B +( + + y+ 1．1 二次曲线中点弦的方程 设 PI( ，y )( 1，2)是曲线 G( ，Y)= 0的弦 P．P：的两个端点，P。( 。，Yo)是弦 P，JE)：的中点．则 +Bxl l+cy + l+ )，I+F=0， ) A(2x0一 1) +B(2xo— 1)(2y0一Y1)+ C(2yo—YI) +D(2x0一X1)+ (2yo—Y。)+F=0．． ( ①一②可得 + (2Ax0+日)，0+D)( 0一 1)+ (2Czo+ 0+E)( 一Y J)=0． 因为( 。一 。，Y。一Y )是弦P。P2的方向 向量，所以，(2Ax0+Byo+D 2Cy0+Bx0+E) 是弦 P，P 的法向量．因此，弦 P，尸2的方程是 (2Ax0+日yo+D)( 。一 )+ (2Cy,)+Bx0+ )(y0一Y)=0． 为记忆方便，上述方程可整理为 4 。 +曰．X — o — y — + — x — yo+Cy oy+ D． + ．yo~_Zy+F = + oYo+c +Dxo+Fro+ 1．2 二次曲线的切线方程 当曲线 G(x，Y)=0的弦 P P2的两个端 点 P ( ，Y )( =l，2)重合时，P (Xi Yi)( 0，1，2)三点重合于曲线上一点 Po( 。，Yo)， 直线 P，Pz就是曲线 G( ，Y)=0在点 处 的切线．由于 Po(X0 Yo)在曲线上，于是， Ax +B oyb+Cyo+Dxo+Eyo+F：0． 故曲线 ( ，Y)：0在其上一点 ( ，Yo) 处的切线方程是 收稿日期：2008—12—11 修回1日期 ：2009—04—14 Ax。 + ．X — o y — + _ Xyo+Cyoy 4- D． +E． +F：0． 1．3 二次曲线的切点弦方程 设从点 ( 。，Y。)引曲线 G( ，Y)=0的 两条切线，切点分别为 P ( ，Y )(i=l，2)． 则过点 ( 。 ，Y )(i=1，2)的切线方程为 A 。 +曰．X — — iy — + 一 Xyi+Cy y+ D．半 +E． 十F：0( ：1，2)． 因点 P。( 。，Y。)在上述两切线上，所以， A 。+日．—x — iy — o + — x — oyi+Cyiy0+ D． +E． +F：0(i：1，2)． ‘ ‘ 以上两式说明，点 P ( ，Y )( 1，2)都 在以下直线上： A 。 +曰．—Xo — y — + — x — yo+Cyoy+ ． 厶 D． +E．yo~__zy+F：0． ① 因此，从点P。( 。，Yo)引曲线 c(x，Y)：0 的两条切线所得切点弦的方程为式①． 1．4 双切线方程 ， 从二次曲线外一点引曲线的两条切线 ， 称为该点关于该曲线的双切线．把切点弦看 成双重合直线，则双切线就是过该双重合直 线与二次曲线公共点的相交双直线．因而，可 用二次曲线方程和切点弦方程表示为 4 +Bxy+Cly。+D +E +F+ J=【fA 。 +日—Xo下y+xyo+Cy。y+ D· 蛆 -o( )． 把双切线交点Pn(‰，Yo)代人上述方程 8 中 等 数 学 可以确定J=【，进而求出双切线方程． ： ．， i 2 四种方程的应用 0 ‘ 、、． 例 1 如 图 1，P是抛物 线 y2=2x上的 动点，点 B、C 在 Y轴上，圆 ( 一1) +y =1 内切于△ PBC． 求△ PBC面积 的最小值． (2008，全 J 、 B 0 C 图 1 国高中数学联赛 ) 讲解：由抛物线的对称性，不妨设 P(2t ，2t)(t>0)． 因为圆的方程是 +Y 一2x=0，所以， 切点弦 MN的方程为 2t +2ty一( +2t )=0， 即 (2t 一1) ~2ty一2t =0． 故双切线 胎 、尸c就是通过二重直线 [(2t 一1) +2￡y一2t ] =0 与圆的所有公共点的二次曲线，其方程为 ( 一1) +y2—1+ [(2t 一1)x+2ty一2t ] =0． 把点P的坐标代人上式得 _一 1 于 是，双切线 胎 、PC的方程可以写成 x-1) +y2一l一 1(2￡ 一1) +2 一2￡ ] =n 在上式中令 =0，得 Y= 一1或 Y=1一 ， 因为当t=1时，只有一条切线 P 和轴 相交，当01． 于是 ，Y口 ，Yc 1 - t， c= =苦． 故 ~PBC---- BCI = = =2【2 -1)+ 1 1 t>8． 当且仅当t： 时，E式等号成立． 因此，所求最小值是 8． 注：题电 、Ⅳ、8、c的位置都依赖点 P 的位置，而点 尸的位置只需一个 自由变量即 可描述，于是，可把这种解析几何最值问题转 化为函数最值问题．另外，借切点弦方程，用 双切线方程求点 日、C的坐标能起到减少解 题环节的作用． 例2 如图2，过直线 Z：5 一7y一70=0 上的点 P作椭 圆 +等=1 的切 线 PM、 PN，切点分别 为 、Ⅳ，联结 MN． ＼ l V 、 ／～ 厂一。 ／ ， 7 图 2 (2)当MN／／I时，定点 Q平分线段MN． 讲解：(1)在直线 1上任取一点 P(7t+7，5t一5)， 故P关于椭圆的切点弦MN的方程为 ． + ．y一1：0 + ‘y一 甘( +吾y)t+ 一吾y一-=o． 令 x 5 一 ， 日 25 9 解方程组得 ，y 一而· 因此，直线 删 恒过定点 Q 25· ， 一 )． (2)注意到 MNffl§ ： (_7 = 当￡= 时，删 的方程为 5 ，，一 -o． ， 2009年第 8期 9 古×鲁+古( 、= 1 I 25--~)Y ) +古(一 可I I J I一 J， 即 5 一7y- ：0． 所以，Q也是MN的中点，即定点 Q平分 线段 MN． 注：从曲线的含变化参数的方程(实际 上就是曲线系方程)求出曲线上的定点，是 证明曲线过定点的常规方法．由于本题中的 切点弦MN只依赖点P的位置，因此，使用切 点弦方程正是时机．证明点 Q平分线段 MN 实际上是使用了同～法，同时也发挥了中点 弦方程的作用 例3 已知抛物线 Y=一 +bx+C与抛 物线 Y= 相切．求该抛物线顶点的几何 位置． (第 17届全俄数学奥林匹克) 讲解：设两抛物线切点为 Q( ，y。)．则 它们在切点处的方程分别为 yl+y ． ， I+ 丁 一 l +6‘丁 + ， — 1航 凶为两抛物线相切，所以，它们在切点处 有相同的切线．因而，上述两方程相同，有 b l— +c=0． 由此可得 = b ，c= 一丁 bxl = 一 b2 ． 于是，抛物线 y=一 + +C的方程可 写成 =一 2+bx一譬故顶点为(争，譬)． 例4 如图 3，已知 抛物线 =4y及定点 p(o，8)， 、日是抛物线 上的两动点，且AP=XPB ( >0)．过 、 两点分 别作抛物线的切线，设其 交点为 (1)证明：点 的纵 坐标为定值； ． Y ／ l。 B 一 f M 网 3 (2)是否存在定点 Q，使得无论 AB怎 样运动，都有 AQP： ?证明你的 结论． (2007，全国高中数学联赛河南省预赛) 讲解：(1)由 P= 增( >0)，知 A、P、B 三点共线，且点 P在 A、B．之间。 设 ( ，Yo)．则切点弦AB的方程为 0 ：2(Y0+Y)． Q) 把点P的坐标代人方程①得Yo：一8． 因此，点 的纵坐标为定值 一8． (2)检查特殊点 M(0，一8)是否可以作 为点 Q． 方程①可以写成y=÷ 。 +8，代人抛物 线 =4y可得 一2XoX一32=0． 由韦达定理得 ^+ 曰=2x0， ^ = 一32． 故 M： + 等+8 XA+8 XB一 等一 x B XA ：cB XA ： 0． 所以，直线 AM、肌 关于Y轴对称． 因此，点 是符合条件的点 Q． 例5 如图4，AB为一椭圆的长轴，0为 中心，F为焦点， P为椭圆上的一 点，CD 为通过 0的 弦且平 行 于过 P的切线， 直线 PF与 CD (或其延长线 ) 交于点 Q．证明 ＼ 一 0 V 召＼ 、、 ～ 网 4 或否定Pp=OA=OB． 讲解：设椭圆方程为 +鲁=1(n》6>0)． “ U 设 P(acos ，bsin )．则过点 Jp的椭圆的 切线方程为 N — CO — S +ys in 0 ： 1。 0 b 即 xbeos +yasin =ab． 由此可得 CD的方程为 N,beos +yasin =0． 10 中 等 数 学 记 CD的法向量 = (bcos ，asin )， - - - -- - 9" ： PF=(acos 8+C，bsin 0)， 、 的夹角记为 ． 又点P到 CD的距离为 d～ 。 ab丽 面ab， 故 = dp_ CD ： I 1．I I 一 五五 五 一 l口bcos2 +口6sin20+6cc0s 01 a ~／(acos 8+c) +(n 一c )sin 一 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 一 Ia+CCOS I =a=OA=0B． 注：“算不离形”，即在解析几何中适当 地使用平面几何的知识或方法，可以起到降 低运算量的作用． 例6 如图5，设 是椭圆的一条弦 UV 的中点，过 M 再作 弦 AB、CD，设 AC、BD 分 别与 I，交 于点 P、Q． 求证： 也 是线段 JPQ 的中点． V ● P 互 图 5 (第24届美国普特南数学竞赛) 讲解：设M(x。，Yo)．则椭圆方程为 ax, +by =c(a、b、c∈ N+)， ZAB：aI( — o)+bl(Y—Yo)=0， lc1)：a2( — 0)+b2(Y—Y0)=0， 点M( 。，Yo)关于椭圆的中点弦UV的方程为 ax0 +byoY=ax +6 ． 于是，双直线 AC、BD的方程可以设为 ( + 一c)+[nl( — 0)+bI(y-Yo)]· [a2( — o)+b2(Y—Y0)]=0( ≠0)， p (aIo．2+n ) +(blb2+6 ) +(alb2+a2b1)xy一 [(aIb2+a2b1)Yo+2 la2x0] 一 [(al b2+a2b1) o+2btb2Yo]Y+ 0la2 +6lb2 2+(0lb2+02b1)XoYo— C=Q 点 M( 。，Yo)关于双直线 AC、BD(也是 二次曲线)的中点弦的方程为 (aIa2+a a)x0 +(blb2+b )YoY+ ajb2+a2bl，xoy 1 +yox 一 [(。。6 +a2b。)y0+2a,a2Xo] 一 [( ，b +a2b ) 。+26 b2yo] = (口la2+a ) +(blb2+b ) + (alb2+a2bI) o 一 [(alb2+a2b1)Y0+2ala2 o] 0一 [(alb2+a2b1) 0+2blb2Yo]Yo， 即 o + byoy= 锨 + by2． 从而 ，ax0 +byoY=ax +6 ． 这说明，点 M( 。，Yo)关于双直线 AC、 BD(也是二次曲线)的中点弦仍然在直线 UV 上．因而， 也是线段 JpQ的中点． 注：中点弦方程不仅适用于圆锥曲线，也 适用于退化的二次曲线．另外，该证明实际上 已经证明了 也是线段 P Q 的中点，其中， P 、Q 分别是弦AD、BC与弦 的交点． 例 7 如图 6， 段数有限的折线内 接于抛物线，其始点 与抛物线的顶点重 合，折线中任意共顶 点的两线段与抛物 线在该点处的切线 都成等角．证明：这 样的折线只能位于 抛物线对称轴的一侧． L y ～ 0 ／。 网 6 (第22届全苏数学奥林匹克) 讲解：不妨设抛物线为Y： (a>0)． 依次取折线上三个相邻的顶点 ( ，ax ) ( ：n，n+1，n+2，nE N)． 由抛物线在点A川 处的切线方程(或求 导数)可知其斜率 k=2ax +I， k。= ，^ +，：竺 =。( + +。)， = +． +：= =n( +：+ + ) 因为 A A +。、A +。A +：与抛物线 在点 2009年第 8期 ／4 ．处的切线夹角相等，所以， l 一 后 一后2 一 = 一 1+后I Ji} 1+触2 n( 一 +I) 1+2a +l( + +I) a(x +I一 +2) (4n ：+l+1)( +l— ) = (4a +l+1)( +2一 +1)( +l— )． 当 和 +l同号时， +2一 +I和 +l— 也同号，即当数列 { }的首项与第二项同 号时，该数列是单调数列． 因此，当折线起于原点时，折线总在抛物 线对称轴—— Y轴的同侧． 注：例7的条件可以减弱，只要折线的第 一 段位于抛物线对称轴同侧，则整条折线位 于抛物线对称轴同侧． 练 习 题 1．对于椭圆上的点 |P，设 d是从椭圆的 中心到过点 P的切线的距离．证明：当 P在 椭圆上运动时，PF．·PF2d 是常数，这里，PF， 与 PF 是从点 P到椭圆的焦点 F。与 的 距离． (第 37届美国普特南数学竞赛) (提示：由椭圆方程 b2x +aZy = 2b (。>『J>0)及切线方程，利用点到直线的距 离公式、两点 间距离公式知 PF，·PF d = 0 6 (定值)．) 2．若A、 是抛物线 yZ=4x上不同的两 点，弦AB(不平行于Y轴)的垂直平分线与 轴交于点 P，则称弦AB是点 P的一条“相关 弦”．已知当 >2时，点 P( ，0)存在无穷多 条相关弦．给定‰>2． (1)证明：点 P( 。，0)的所有相关弦的 中点的横坐标相同； (2)试问：点 P(‰，0)的相关弦的弦长 中是否存在最大值?若存在，求其最大值 (用 表示)；若不存在，请说明理由． (提示：(1)利用中点弦方程求出相关弦 AB的垂直平分线的方程，知点 P(‰，0)的所 有相关弦的中点 Q( 。，，，。)的横坐标相同且 都是‰一2． (2)将点 P的相关弦 AB的方程代入抛 物线 Y =4x，由韦达定理知 _厂( )=AB =(t+4)(4x0—8一t)， 其中，t=y2。∈(0，4xo一8)． 易知当 。>3时，二次函数f(t)能取到 最大值，(2x。一6)=(2 。一2) ，与此同时， AB能取最大值 2x。一2；当 2< ≤3时， (0，4x。一8)是二次 数．／‘(t)的单调开区间， ．厂(t)不能取到最大值．) 3．求抛物线方程，『史陔抛物线与 轴、 Y轴分别切于点(1，0)、(0，2)，并求抛物线的 对称轴和顶点坐标． (提示：原点(0，0)关于抛物线的切点弦 是过切点(1，0)、(0，2)的直线 Z：2 +y一2= 0．易求得抛物线方程为 (2 一)，) 一4(2 +y)+4=0． 故抛物线的对称轴为 lOx一5y一6=0， 顶点为( ， ) 4．设抛物线 Y =4ax的两条切线相交成 0角(0是常量)．求角的顶点的轨迹方程． (提示：设角的顶点为 P(x。，Y。)，切点为 A(at ，2at)、B(O,S ，2傩)，代入切点弦 AB的 方程YoY=2a( 0+ )． 所以，t、s是关于 Ⅱ的一元二次方程 0 一 You+ 。=0的两个根．由韦达定理有 t+ s ： y _ o ．ts： ． ① 切线 PA的方程为 2aty=2口(at + ) —ty+at =0． 于是， =(1，一￡)是切线 的法向量． 同理，卢=(1，一s)是切线 朋 的法向量． 由题意有 I · I= l 1．I I COS 0 车 (1+ts) =(1+t )(1+s。)CO8 0． 把式①代入上式化简，易知所求轨迹方 程为 sin 0+2n(1+co8 0) — y2C08 0+0 sin 0=0 ． J2 中 等 数 学 数学竞赛中的二次函数问题(下) 曹 贤 呜 (浙汀省台州市第一巾学，3I8000) 3 二次函数与二次不等式 例6 已知当 ∈[0，1]时，不等式 2 COS 0一 (1一．17)+(1一 ) sin 0>0 恒成立．试求 0的取值范围． (1999，全国高中数学联赛) 讲解 ：设 厂( )=X2COS 0一 (1一 )+(1一 ) sin 0． 要使．厂( )>0 ∈[0，1]时恒成立，只 要 ∈[0，1]时_厂( ) >0即可． 注意到 ．／ )：(1+sin 0+cos 0) 一 (1+2sin 0) +sin 0 = (1+sin 0+COS 0)· r 1+2sin 0 1 【 一 J+ ． (1+2 sin 0) 刚“ 丽 。 丁是，需判断二次函数图像开口状况及 对称轴与闭【x二问[0，1]的相对位置关系． 先利用条件控制 0的范罔． 由于对任意的 ∈[0，1]，恒有f( )> 0，则 sin 0=l厂(0)>0，COS 0=-厂(1)>0．故 2 J5=丌<0<2kTr+÷( E z)． 此时 ，有 l+sin 0+Cos 0>0， 0< < 所以，_厂( )>0恒成立等价于 f(x) =sin 一 _i >o， D 4(1+sin 0+COS 0)sin 0一(1+2sin 0) = 2sin 20一l>0． 故 sjn 20> 1 凶此，2m兀+詈<20<2m + ，即 0 o m丌 + <