数学物理方法第八章习题

第八章习题 P313 7．求下列方程的特征线，并化方程为形： （1） （3）3 10 3xx xy yyu u u+ + = 0; 0;4 5 2xx xy yy x yu u u u u+ + + + = .（4） 2 22 0xx xy yyx u xyu y u+ + = 解 两个自变量的二阶线性方程的一般形式为 11 12 222 ,a u a u a u au bu cu fξξ ξη ηη ξ η+ + + + + = 经可逆变量代换 ( ) ( ), , , ,x y xξ ξ η η= = y 二阶线性方程化为 11 12 222 ,A u A u A u Au Bu cuξξ ξη ηη ξ η+ + + + + = f y 其中 2 2 11 11 12 222 ,x x yA a a aξ ξ ξ ξ= + + ( )12 11 12 22 ,x x x y y x y yA a a aξ η ξ η ξ η ξ η= + + + 2 2 22 11 12 222 ,x x yA a a a yη η η η= + + 11 12 222 ,xx xy yy x yA a a a a bξ ξ ξ ξ= + + + + ξ 11 12 222 .xx xy yy x yB a a a a bη η η η= + + + + η , 0, （1）因为 所以方程为双曲型，其特征方程为 2 212 11 22 5 3 3 16 0a a aΔ = − = − × = > 2 23 10 3dy dxdy dx− + = 即 ( ) ( )3 3dy dx dy dx 0,− − = 解之得特征线为 1 23 , 3 ,y x c y x c− = − = x令 3 , 3 y x yξ η= − = − 则由公式可得 11 22 120, 32, 0,A A A A B= = = − = = 所以标准式为 32 0,uξη− = 即 0.uξη = （3）因为 所以方程为椭圆型，其特征方程为 2 212 11 22 2 1 5 1 0a a aΔ = − = − × = − < , 0dy dxdy dx− + = 2 24 5 , 2 ,dy i dx = ± 解得特征线为 2 ,y x ix c− ± = 1 令 2 , ,y x xξ η= − = 则由公式可得 11 22 121, 0, 0, 1,A A A A B= = = = = 所以标准式为 0.u u uξξ ηη η+ + = 2 2 x dy xydxdy y dx− + = （4）因为 所以方程为抛物型，其特征方程为 ( )2212 11 22 0,a a a xy x yΔ = − = − ⋅ = 即2 2 2 22 0, ( )2 0,xdy ydx− = 其特征线为 ,y c x = 令 , ,y y x ξ η= = 则由公式可得 2 11 12 220, , 0, 0,A A A y A B= = = = = 所以标准式为 2 0,y uηη = 或 2 0.uηηη = 2