高等几何中的对偶方法doc4(2)

通化师范学院 本 科 生 毕 业 论 文 （  2012 届 ） 题    目:    高等几何中的对偶方法 系    别：                数 学 系                专    业：            数学与应用数学              班    级：              三班                  作者姓名：  马玉晶  学号：      200806010325    指导教师： 赵建红职称： 副教授 学历：  研究生  论文成绩：                                            2011年12月 目    录 摘  要..............................................................................................................II Abstract...........................................................................................................II 1引言................................................................................................................1 2高等几何中的对偶方法................................................................................1 2.1对偶原理的相关概念............................................................................... 1 2.2对偶原理及其一般模式...........................................................................2 2.3射影几何中的配极原则............................................................................2 2.4 射影几何中的对偶方法...........................................................................3 2.5代数中对偶原理的应用........................................................................... 4 2.6 其他数学领域中的对偶应用...................................................................5 3结束语...........................................................................................................5 致谢语..............................................................................................................6 参考文献..........................................................................................................6 指导教师评语.................................................................................................... 评阅人评语........................................................................................................ 高等几何中的对偶方法 数学系2008级3班 马玉晶 摘  要：这篇文章阐述了对偶原理及相关内容,如对偶图形、对偶元素、对偶命题和对偶运算等等，诠释了对偶方法，论述了对偶原理及对偶方法在高等几何、代数学和其他数学领域的作用以及广泛应用. 关键词：对偶原理；对偶运算；对偶方法；对偶原理；方法及应用 Dual method in the higher Class3, 2008, Department of Mathematics  Ma Yujing Abstract：This article explains the princile of duality and related content ,such as dual graphics,dual element,dual proposition and dual operation etc.,interpretation of the dual method,discusses the principle of duality and dual method in higher geometry,algebra and other field  effect and wide application. Key words：The principle of duality; dual operation; dual method; dual theory; method and Application 1.引言 为了使几何学能够形成一个完整的公理化体系，古希腊学家欧几里得运用了亚里士多德的《分析篇》中公里方法，因而著有《几何原本》.由于这本著作有很多的不足，于是数学家们又开始了更深一层的研究.十九世纪末，大数学家希尔伯特（Hilbert）把“点、直线、面”作为基本对象，把“点结合线、点结合面、两点之间的一点”等作为基本关系，进而完善了《几何原本》中的公理化体系，又著成《几何基础》. 2.高等几何中的对偶方法 2.1对偶原理的相关概念 对偶原理是射影几何中具有的重要的原理和方法，在欧氏几何当中，我们总是在研究“点”和“直线”之间的关系. 定义1 （对偶命题）假设一个命题由点和直线构成，如果把命题中的各个元素换成它的对偶元素，各个运算换成它的对偶运算，这样形成了一个新的命题，这两个命题就叫做对偶命题.例如“两条直线相交于唯一点”与“两点能连接唯一直线”是一个对偶命题. 定义2 （对偶元素）在平面射影几何中，我们将“点”和“线”称为平面上的对偶元素. 定义3 （对偶运算）“过一个点作一条直线”与“在一条直线上取一个点”称作对偶运算. 定义4 （对偶图形）假设有点和直线组成的一个图形，将此图的各个元素改为它的对偶元素，各个运算改为它的对偶运算，结果得到了另一个新的图形，我们把得到的这个图形就叫做对偶图形。例如点列和线束就是对偶图形. 定义5 （对偶概念）点列和线束，三线共点和三点共线，均为对偶关系，类似这样成对出现的概念叫做对偶概念. 2.2对偶原理及其一般模式 射影几何中的重要原理之一就是对偶原理，由于射影平面的结构不同于一般的平面，因此它具有特殊的结构.平面可以看成是点的集合，也可以看成是由直线构成的.所以射影平面上的这种结合关系所表达出的任意一个命题、对象，我们只要将直线和点的概念互相对换，就可以得到另一个对应的命题、对象.如果证明了一个命题成立之后那么它的对偶命题也自然成立了.在欧氏几何当中，塞瓦定理的证明通常利用梅涅劳斯定理作理论依据. 定理1 （梅涅劳斯（Menelaus）定理）假设一条直线与三角形 的三边 、 、 或者与其延长线相交 、 、 于三点，则有 1 定理2 （塞瓦（Ceva）定理）如果点 是三角形ABC中的任意点,对 、 、 边分别交于 、 、 三点，那么 =1 接下来我们对于梅涅劳斯定理作一个简单证明 证明：过 点作 和 的延长线交 ,则 , 相乘  在两个互成对偶的命题中所对应的代数运算也是成对偶的，它的运算形式相同；两个相互成对偶的命题具有相同的真实性.对偶原理的一般模式从内容上看大体分为2块，如借助已有的对偶映射来实现概念对偶化和公式对偶化，各自对应的图示如下所示： （图示）                              2.3射影几何中的配极原则 按照射影几何中的射影空间公理体系可知， 中的一个点 是一个伪向量：   其中以 中的一个基底 作为参考，事实借用实现 的算术化的 的同时又给出了 的一个非退化配极                            （1） 其中 （2） 这里符号“ ”表示的是 中的内积.此外 中点的奇次坐标的 是 中 的逆变坐标，作为 中直线的奇次坐标的 是 中 的协变坐标. 一般地如果用 记做 中的任一直线的奇次坐标，则由（1）知，其极点的奇次坐标为          （3） 所以还可以用 来表示这条直线，因此，点 和直线的 关系可表示成 （4） 此时的“ ”是指 和 的内积.则由（1）（2） 可得      这就是配极原则 2.4射影几何中的对偶方法 对偶方法就是一种运用对偶原理并结合对偶概念来研究数学的方法.对偶原理的一大特性就是在互成对偶的两个命题中所对应的代数运算也是对偶的, 它的运算形式相同. 换句话说, 倘若使用解析方法使已经给定了的命题得到证明, 那么我们在进一步证明它的对偶命题时, 也可以类比原命题的证明方法即可,比如在射影几何中的德萨格定理(Desargues)定理可以应用对偶原理特性给以证明. 定理3  （德萨格定理(Desargues)）假设两个三点形对应顶点的连线共点，那么对应边的交点共线. 定理4  （德萨格定理(Desargues)的逆定理）假设两个三线形对应边的交点共线，那么对应顶点的连线共点                      从这两个定理可以看出，如果我们把德萨格定理(Desargues)中的边和顶点互相对换，共线和共点互相对换就可以得出它的逆定理，反之也可，德萨格定理(Desargues)与它的逆定理是一对对偶定理，所以原定里成立，逆定理也就成立了下面用对比的形式, 按照对偶的原则证明此二定理 例1  假设在三角形 和 中，各个顶点的齐次坐标分别是 ； 直线 共点于 的交点是 的交点是 的交点是 求证：P,R,Q共线 证明：因为S在直线 上，所以 可以用 线性表出，则有 又因为S在直线 上，则有 又有    由以上可得： 上述三式相加得：  即P,R,Q共线命题得证 同理其逆命题一额可以得到证明 通过上述证明可以总结出 逆命题的证明方法、过程和形式都与原命题的证明相似,而所用到代数运算也是对偶的运算.因此对于这类命题, 在证明原命题的基础上综合运用对偶原则, 便很容易的得到对偶命题的证明. 对偶原理在射影几何中占有很重要的地位，证明了一个命题之后它的对偶原理也一定成立，因而针对几何中的对偶命题，研究其“对偶”的方法是一项不容忽视的工作.根据对偶原则人们还可以研究得出新的命题，并且不需要给出证明，对偶就像一座桥梁一样，紧密的将点和线结合起来，提高了对点、线的进一步认识. 除了射影几何中的对偶外，我们接着来研究一下代数中的对偶原理的应用. 2.5．代数中的对偶原理的应用 对偶原理以及方法在一般布尔代数，编序集，数理逻辑和范畴论等中有着非常广泛的应用，在这里我们就先来研究一下一般布尔代数中的对偶. 假设至少含有两个元素(互不相同的元素) 组成的集合 中规定了这样的三种运算， 第三种是一元运算，其余两种是二元运算.如果在封闭的集合 中这三种运算同时满足下述基本规律 这里的 ，那么我们把 叫做一般布尔代数系统，从一般的布尔代数系统中可以得出对偶原理:假如 是一个关于的 定理，则把中 的 变换成 之后得出的一个新的语句 仍然是的 一个定理.对偶原理在数学中有着广泛的应用,在代数中也无另外,和射影几何类似 一般布尔代数的定理具有对称性，因为它也是成对出现的, 其中在代数中格是一个很重要的概念，由于叙述格的公理是对偶的, 因此在这当中也有对偶原理.由于对偶原理在射影几何中起了很大的作用，人们都看到了它带给数学发展的成果，紧接着我们经过不懈的努力终于在代数方面也取得了很可喜的成就，对偶原理作为一种方法经历了一个从模糊到清楚，一个由一个领域发展到多个领域的数学研究的全过程，进一步推动了数学界的向前发展.普吕克的很多学术研究大都直接联系与对偶，例如他的《代数曲线论》证明了阶数，级数和简单奇点之间的对偶公式.遗憾的是对偶的逻辑证明还没有取得，自19世纪末20世纪借助几何中的公理化才实现了对偶的逻辑证明.因此想要证明对偶定理我们只需要证明出原定理即可 2.6其他数学领域中的对偶应用 在研究对偶问题时如果只是从对偶原理的概念这一点出发，我们会发现除了上述所说的对偶原理以及应用外，在其他领域也有存在这广泛的对偶，尤其是在图论和规划论(线性规划)中对偶尤为明显在线性规划的基础上可以研究更多的规划问题.给出了一个由点和线构成的图之后就可以得出它相应的对偶图，因而我们应把问题和概念中的对偶原则也要作为重点研究的对象来研讨. 例如在三角学当中我们把出现在三角方程中的函数均用它的共变函数代换，既可以得到一个新的三角方程，称作原方程的对偶方程.从而得出了三角学里的对偶原理：假设一个三角方程是个恒等式而且仅仅包含一个角，则其对偶方程也是一个恒等式. 下面来看一个例子便于加深对上述内容的理解 和 互相调换得到它的对偶 是个恒等式。其次在数理逻辑中的演绎推理也存在着对偶性.关于对偶原理在数学中的研究以及应用我们以后还要继续研究，和探讨. 总之，对偶原理(对偶变换及命题在此变换下真假值的不变性概念的“ 双化” 为其基本内容) 具有发展数学理论的功能，这一点, 在当代数学中体现得亦很突出. 3.结束语 本文从摘要、引言、对偶概念对、偶原理及简单证明、对偶原理的一般模式射、影几何中的配极对应与配极原则、射影几何中的对偶方法对偶原理以及应用、代数中的对偶原理以及应用、其他数学领域中的对偶这几大部分展开论述了高等几何中的对偶方法这一主题，对偶并不只是狭义的概念，更具有广义上的对称，是数学这门枯燥的学科呈现出了优美、对称的图案.对偶方法在数学（尤其是高等几何）中也是美学方法的一种体现，因此数学所研究的思维从"特殊的、具体的对象”过渡到了“抽象的数学结构”中来.希望各界人士投身到射影几何的对偶方法这一问题中来，获取更大的研究成果，为几何事业贡献一份力量！ 致谢语 非常荣幸赵建红副教授能够成为我的论文指导教师，在赵老师悉心指导下我顺利完成了论文写作，在论文写作期间也使我受益匪浅，感慨颇多.再次向老师致以深深的感激，祝愿老师身体健康，工作顺利，万事如意! 参考文献 [1].方德植,陈奕培.射影几何【M】高等教育出版社.1984.8. [2].张永顺,金成相.高等几何【M】辽宁人民出版社.1984.12. [3].梅向明,刘增贤,王汇淳,王志秋.高等几何【M】高等教育出版社.1989. [4].徐本顺,阴东升.对偶原理【J】曲阜师范大学学报.1990.1.第一期.第十六卷. [5].林怡谋.对偶原则的配极法证明【J】漳州师范生学院学报.2001.5.第二期.第十四卷. [6].郭翠兰.浅谈对偶原理的运用【J】山东工业大学学报.1990.第二期.第二十卷. [7].赵临龙,刘娟.射影几何对偶原理的优越性【J】重庆科技学院学报.2010.2.第二期.第十二卷. [8].宋方软.高等几何中的对偶方法【J】赣南师范学院学报.1997.第六期.