中学数学杂志(高中) 2007年第2期
变式3:已知双曲线的焦距为1O,双曲线上一点
P到两焦点 、 的距离的差的绝对值等于6,求双
曲线的
方程.
3.3.2 回顾
、归纳巩固
这节课对你来说,收获了哪些知识、方法和数学
思想?请谈谈你的体会.
3.3.3 课外探究、问题延伸
作业布置:P.108习题 8.3 1、3
探究:(选做)分层探究
① 若 口∈R,研究方程 +(,一一4) 一
+(,一十4) =2a表示什么曲线?
②平面内到两个定点的距离之积为定值的点
的轨迹是什么?
教学反思
学生在认同与体验中建构知识技能的传授和能
力的培养主要依靠解题训练,对此,波利亚揭示:“中
学数学教学首要任务就是加强解题训练 ,掌握数学
就是意味着善于解题”.对于课本例题,运用一题多
变的方法可培养学生思维的灵活性及应变能力.设
计必做和选做题,意在既巩固所学知识,又给学有余
力的同学以更大的发展空间,体现了因材施教的原
则.整个教学环节都很完整.
圆锥曲线中的定点定值问题
日照实验高中 276800 厉 强
在圆锥曲线的综合性问题里,定点定值问题往
往是我们学习的一个难点 .对于这类问题的学习,
通常有两种处理方法:
①从特殊人手,求出定点或定值,再证明这个
点(值)与变量无关.
② 直接推理、计算,并在计算中消去变量,从而
得到定点(定值).
现就该问题举例说明一下:
1 定值问题
例1 如图1,过椭圆 +告=1的右焦点
任意作一直线交Y轴于点P,交椭圆于点M、N,求证:
+丽PN为定值
.
分析 命题结论:面P M 丽PN为定值
,联想到利
r 一兰!± :兰
用定比分点公式{ 一
(z为参数)作为过两点( 。,Y。)、( ,Y2)的直线的
参数方程代人椭圆方程,可得关于z的二次方程.运
用韦达定理获解 .
解 设点 P(0,r1.),椭圆右焦点为 (c,0),则
r— Q± :!
直线的参数方程为:{ 一 l+ :。
Ly 1
(Z
● _ — —
n 2
参数
Z c
(1+
)带人椭圆方程得:
+ ·
即b (口 一c )2 +2a2b 2+口 (b 一I1.2)=0.
因为方程两个根分别为z = PM
,z = ,又
0 一c = 6
由韦达定理 : PM PN =一 2 a2rb2
: 一 (定值)
点评 这里通过分析椭圆方程的特点与几何
性质,灵活运用定比分点公式(以定比z为参数,将
分点公式看作直线参数方程)来研究直线和椭圆的
位置关系,直接求出 + PN的值
. P
一
,
一
一
I
//,
图 1 图 2
例2 如图2,在椭圆 2+吾=l(。>6>o) 口 D
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28 中学数学杂志(高中) 2007年第 2期
上取点P、Q,使 LPOQ= "it,求证:r
1 1 1
丽 ‘
分析 要求 为定值,可考虑
求出点P、Q的坐标,再求出I OPI 与I OQI ,为此
需设两直线方程 .
证法1 若点P、Q在坐标轴上,结论显然成立.
若点P、Q不在坐标轴上,则可设PQ方程为),=
,
则0Q方程为y=一 1
,又设P、Q点坐标分别
为( l,Y1)、( 2,Y2),
将 ① 代入椭圆方程: =
所以 2。+,,2。= 2。+后 =垒
,
同 2+ 2=
a o +
所以丽1+击 =南 +
6 +口 k a2+b2k 1 1
可
证法2:设/__POX= ,则LQOX=0 号;设I
OP I=m.1 oQ l=n
P(mcosO,msinO),
Q(ncos(口+ 17")
,nsin(O 5 -))
即 P(mcosO,msinO),Q(一nsinO,ncosO)代入椭
圆方程下m2cos20
+ 粤 :1
a o
学 +丁rt2COS20=
所以 : + ,
m‘ a‘ b‘
1 sin 0 COS 0
了
所以 + 1 =上
a
2 +百
1
In n a b
即 ‘ ● ‘
丽 丽
点评 法1中根据OP上OQ及斜率关系,直接
求出l OPI与l OQ I,在计算过程中达到证明定值的
目的.法2由于参数的引入,简化了解题的过程.
例3 (2005年高考山东卷)
已知动圆过定点(号,0),且与直线 =一号相
切 ,其中P >0.
(1)求动圆圆心的轨迹 c的方程;
(2)设 , 是轨迹c上异于原点0的两个不同
点,直线OA,OB的倾斜角分别为a,b,当a,b变化,a
+b为定值q(O
考试题
#中,出现了不少立意深刻,背
景新颖的开放性问题,即条件不完备 ,结论不确定,
解题依据和方法往往不惟一,需要解题者积极探索
方可解决的问题.这些问题既有利于考查学生的创
新能力 ,也有利于发掘学生的最大潜能.在数学课堂
教学中,积极开展开放式教学,对提高学生创造性地
发现、提出、分析、解决问题是很有益的.
1 开放性问题的特点
1.1 问题内容的新颖性:这类问题背景新颖、解法
灵活、综合性强,无现成模式可套用.
1.2 问题形式的生动性:这类问题有的追溯多种
条件,有的探求多种结论,有的找寻多种解法,有的
由变求不变或由变求变,有的以动求静或以动带动,
很能体现现代数学气息.
1.3 问题解决的发散性:这类问题往往需要运用
观察、类比、猜测、归纳、推断等多种探索活动寻求解
题策略,具有广阔的思维空间.
1.4 问题功能的创造性:这类问题有时只给出一
种情境,题 目的条件和结论要求解题者在情境中 自
行寻找和设定,解题的模式和方法也是多种多样的,
给解题者发挥创新精神、培养创新能力提供了良好
的契机.
2 开放性问题的分类及求解策略
解答开放性问题,要能正确辨别题型,分析命题
的结构特征,遵循解题的层次要求.开放性问题从知
识面看具有综合性和渗透性,从思维方法看,具有灵
活性和多向性.
2.1 条件开放型问题
对于只给出问题的结论,需解题者完备条件或
探求出使结论成立的充分条件的一类问题,称之为
条件开放型问题,这是一类变换思维方向,开拓逆向
思维能力的题型.此类题的解题策略有两种:第一,
模仿分析法,将题设和结论视为已知条件,分别进行
演绎,再有机地结合起来,导出所需寻求条件;第二,
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