monetary policy, inflation, and the business cycle

(1)(1) (2)(2) Jordi gali 2008 monetary policy, inflation and the business cycle chapter 2 A classical monetary model this chapeter presents a simple model of a classical monetary economy, fearturing perfect competition and fully flexible prices in all markets. as stressde below,many of the predictions of classical economy are strongly at odds with the evidence reviewed in chapter 1.that notwithstanding, the analysis of the calssical economy provides a benchmark that will br useful in subsequent chapters when some of its strong assumptions are relex. the proposed framework assumes a representative agent solving a dynamic optimization problem. 2.1 households the representative household seeks to maximize the objective function E 0>t = 0 N βtU C t  , N t E 0 > t = 0 N βt U C t , N t Nt denotes hours of work or employment. the period utility function U Ct , Nt is assumed to be continuous and twice diferentiable, with vU v C t O0 ,  v 2U v Ct 2  # 0 , vU v N t ! 0,  v 2U v Nt 2 #0 maximazation (1) is subject to a sequence of flow budget constraints given by P t $C t CQ t $B t #B tK1 CW t N t KT t P t  C t CQ t  B t %B tK1 CW t  N t KT t Bt represent the quantity of one-period, nominally riskless discount bonds purchased in periond t and maturing in period t+1. each bond pays one unit of money at maturity and its price is Qt. Tt represent lump‐sum additions or  subtractions to period income(e.g.,lump‐sum taxes,dividends,etc.), expressed in  nominal term. when solvling the problem above, the household is assumed to taken as given the  prices of the good, the wage, and the prices of bonds. (3)(3) (4)(4) (5)(5) a solvencyconstraint that prevents it from engaging in ponzi‐type schemes lim T /N E t B t P 0 0% Et Bt optimal consumption and labor supply optimal conditions implied by (1) subject to (2) are given by K U n, t U c, t = W t P t K Un, t Uc, t = WtPt Q t = β$E t U c, tC1 U c, t $ P t P tC1 Qt = β Et Uc, tC1 Pt Uc, t PtC1 explanation for (5): consider the impact on expected utility as of time t of allocation of  consumption betweent time t and time t+1, while keeping consumption in  any periond other than t and t+1 , and hours worked(in all perionds)  unchanged. if the househole is optimizing, it must be the case that  U c, t $dC t CβE t U c, tC1 $dC tC1 = 0 for any pairs of (dC t  , dC tC1 )  satisfying  P tC1 $dC tC1 =K P t Q t $dC t ,this eauqtion determines the increases in  consumption expenditures in periond t+1 made possible by the additional  savings KP t $dC t allocated into one‐periond bonds. combining the two previous equations yields the intertemporal optimal  condition (5). assumes that the periond utility takes the form (8)(8) (7)(7) (6)(6) U C t  , N t = Ct 1Kσ 1Kσ K Nt 1C4 1C4 the consumer's optimality conditons (4) and (5) thus become W t P t = C t σ $N4 t Wt Pt = Ct σ Nt4 Q t = β$E t C tC1 C t Kσ $P t P tC1 Qt = β Et CtC1 Ct Kσ Pt PtC1 note for the future reference ,the equation (6) can be rewritten in log‐linear  form as w t Kp t = σ$c t C4$n t wtKpt = σ ctC4 nt the previous contion can be viewed as a competitive labor market supply  schedule, determing the quantity of labor supplied as a function of real wage,  given the marginal utility of consumption(which under the  assumptions is a  function of sonsumption only). log-linear approximation of (7) the consumer's Euler equation (7) can be rewritten as 1 = E t exp i t Kσ$Δc tC1 Kπ tC1 Kρ where  i t =KlogQ t   , ρ =Klogβ , π tC1 = p tC1 Kp t  is the rate of inflation betweent t and t C1  having defined p t = logP t . in a perfect foresight steady state with constant inflation π and constant  growth Y (10)(10) (9)(9) i=ρ+π+σY ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐(why?) with the steady state real  rate given by  r=i‐π=ρ+σY  A first‐order taylor expansion of exp i t Kσ$Δc tC1 Kπ tC1 Kρ around that  steady state yields   exp i t Kσ$Δc tC1 Kπ tC1 Kρ x 1C i t K i Kσ$ Δc tC1 KY K π tC1 Kπ = 1C i t Kσ$Δc tC1 Kπ tC1 Kρ then we get the log‐linearized Euler equation  c t = E t c tC1 K 1 σ itKEt πtC1 Kρ a log‐lineat approximation of (7) around a steady state with constant rates of  inflation and consumption growth (i,π,Y) is given by c t = E t c tC1 K 1 σ itKEt πtC1 Kρ ct = Et ctC1 K itKEt πtC1 Kρ σ where  i t =KlogQ t   , ρ =Klogβ ,                 π tC1 = p tC1 Kp t   is the rate of inflation betweent t and t C1  having defined p t = logP t . note that i t corresponds to the log of gross yields on the one period bond.  henceforth, it is referred to as the nominal interste rate. similarly , ρ can be interpreted as the household's dicount rate. while the previous  frame work does not explicitly introduce a motive for holding  money balances, in some cases it will be convenient to postulate a demand for  real balances with a log‐linear form given by  m t Kp t = y t Kη$i t mtKpt = ytKη it where ηP0 denotes the interest semi‐elasticity of money demand. a money demand equation similar to (10) can be derived under a variety of  assumptions. for instance, it can be derived as an optimality condition for the  household when money balances yields utility. (13)(13) (12)(12) (14)(14) (11)(11) 2.2 firm a representative firm is assumed whose technology is described by a production  function given by Y t = A t $N t 1Kα Yt = At Nt 1Kα where A represents the technology level , and a t = logA t evolves exogenously  according to some stochastic process. each period the firm maximizes prodits P t $Y t KW t $N t Pt YtKWt Nt subject to (11), taking the price and wage as given. maximization of (12) subject to (11) yields the optimality conditon W t P t = 1Kα $A t $N t Kα Wt Pt = 1Kα At NtKα i.e. the firm hires labor up to the point where its marginal product equals the real  wage.  equivalently, the marginal cost  W t 1Kα $A t $Nt Kα  must be equated to the price Pt in log‐linear terms, w t Kp t = α t Kα$n t Clog 1Kα wtKpt = αtKα ntCln 1Kα which can be interpreted as labor demand schedule, mapping the real wage into  the quantity of labor demanded, given the level of technology. 2.3 equilibrium the baseline model abstracts from aggregate demand components like  investment, government purchases, or net exports. (17)(17) (15)(15) (18)(18) (16)(16) (19)(19) accordingly,the goods market clearing conditon is given by y t = c t yt = ct i.e., all output must be comsumed. by combining the optimality conditons of households (8) and firms with (14) and  (15) and the log‐linear aggregate production relationship y t = α t C 1Kα $n t yt = αtC 1Kα nt    the equilibrium levels of employment and output are determined as a function of  the level of technology n t =K Kσ α t Cα t Cln 1Kα KαKσCσ αK4 nt =K Kσ αtCαtCln 1Kα KαKσCσ αK4 y t = Kα t 4Kα t K ln 1Kα Cα ln 1Kα KαKσCσ αK4 yt = Kαt 4KαtKln 1Kα Cα ln 1Kα KαKσCσ αK4 further more, given the equilibrium process for output,(9) can be used to  determine the inplied real rate,  as we know in the log‐lineat approximation of (7) r=i‐π=ρ+σY  r t = ρCσ$E t Δy tC1 = ρCσ$ K  4C1  E t α tC1 KαKσCσ αK4 finally ,the equilibrium real wage ω t =w t Kp t is given by  ω t = α t Kα$n t C log 1Kα ωt = αtKα ntCln 1Kα so   ω t = α t Kα$K Kσ α t Cα t Cln 1Kα KαKσCσ αK4 Clog 1Kα if we define  ψ nα= 1Kσ σ$ 1Kα C4Cα   , wn = log 1Kα σ$ 1Kα C4Cα  , ψ yα= 1C4 σ$ 1Kα C4Cα  , wy = 1Kα $log 1Kα σ$ 1Kα C4Cα = 1Kα $wn ,    ψ wα = σC4 σ$ 1Kα C4Cα  , ww = σ$ 1Kα C4 $log 1Kα σ$ 1Kα C4Cα , then we can get n t = ψ nααtCwn   y t =ψ yααtCwy  r t = ρCσ$ψ yα$Et ΔαtC1  ω t = ψωααtCww notice that the equilibrium dynamics of employment, output, and the real interest rate are determined independently of monetary policy. in other words, monetary policy is neutral with respect to those real variables. in  the simple model, output and employment fluctuate in response to variations in  technology, which is assunmed to be the only real driving force. in particular,output always rises in the face of technology incease, with the size of  increase being given by ψ yαO 0 ,the same is true for the real wage. on the other hand, the sign of employment is ambiguous, depending on wether σ  (which measure the strength of the wealth effect of labor supply) is larger or  smaller than one. when σ<1, the substitution effecton labor supply resulting from  a higher real wage doninates the negative effect caused by a smaller marginal  utility of consumption, leading to an increase in employment.the converse is true  when σ>1. when σ=1 the utility of consumption is logarithmic, employment remains  unchanged in the face of technology variations, for substituion effect and wealthe  effect exactly cancel one anbother. finally the response of the real real interst rate depends crucially on the time series properties of technology. if the current improvement in technology is transitory so that   (21)(21) (20)(20) E t α tC1 !α t ,then the real rate will go down. otherwise, if technology is  expected to keep improving, then E t α tC1 Oα t  ,and the real interest rate will  increase with a rise in α t . what about nominal variables, like inflation or nominal interest rate? not  surprisingly, and in contrast with real variables, their equilibrium bebavior cannot  be determined uniquely by real foeces.  instead, it requires the specification of how monetary policy is conducted. several  monetary policy rules and their implied outcomes will be considered next. 1C1 = 2 2 = 2 2.4 monetary policy and price level determination let us start by examining the implications of some interest rate rules. rules that invovle monetary aggregates will be introduced later. all cases will make use of the Fisherian equation i t = E t π tC1 Cr t it = Et πtC1 Crt 2.4.1 an exogenous path for the nominal interest rate assumes nominal interest rate following an exgenous stationary process  i t ,  and has mean ρ, which is consistent with a steady state with a zero inflation  and no secular growth. using (21) ,write E t π tC1 = i t Kr t note that expectation is pinned down by the previous equation but actual  inflation is not. because there is no other condition that can be used to  determine inflation, it follows that any path for the prices level that satisfies  p tC1 = p t C i t Kr t Cξ tC1 is consistent with equilibrium, where ξ tC1  is a shock, possibly unrelated to  economic fundamentals, satisfying E ξ tC1 = 0 for all t. an equilibrium in which such nonfundamental factors may cause fluctuations in  one or more variables is referred to  as an indeterminate equilibrium. the  (22)(22) (23)(23) example above shows how an exogenous nominal interest rate leads to price  level indeterminacy. notice that when (10) is operative the equilibrium path for the money supply  (which is endogenous under the present regime) is given by  m t = p t Cy t Kη$i t hence , the monetary supply will inherit the indeterminacy of p. the same will  be true of the nominal wage. 2.4.2 a simple inflation-based interest rate rule suppose that the central bank adjust the interest rate according to the rule i t = ρCφπ$πt where φ>0. combining the previous rule with the fisherian equation (21)  yields φπ$πt = Et πtC1 Crt ^ φπ πt = Et πtC1 Crˆt wherert ^hr t Kρ if φπO 1, the previous difference equation has only one stationary solution, i.e.,  a solution that remains in the neighborhood of the steady state. that solution  can be obtained by solving (22) forward, which yields π t => k = 0 N φπ K kC1 $E t r tCk ^  ------------------------------------------- ---------------------------------------(23) 1 = 1 1 = 1 the previous equation fully ditermines inflation(and ,hence, the price level) as a  function of the path of the real rate ,which in turn is a function of fundamentals. consider, for the sake of illustration, tha case in which technology follows the  stationary AR(1) process α t = ρα$αtK1Cεt α  , where ρα2 0, 1 then rt ^ = r t Kρ = ρCσ$ψ yα$Et ΔαtC1 Kρ =Kσ$ψyα 1Kρα $αt (24)(24) which combined with (23) yields the following expression for equilibrium  inflation π t =K σ$ψ yα$ 1Kρα φπKρα $α t note that a central bank following a rule of the form considered here can  influence the degree of inflaion by choosing the size of φπ the larger is the latter parameter the smaller will be the impact of the real  shock on inflation. if φπ! 1, the stationary solution to (22) take the form  π tC1 = φπ$πtKrt ^ Cξ tC1 πtC1 = φπ πtKrˆtCξtC1 where  ξ t  is ,again , an arbitrary sequence of shocks, possibly unrelated to  fundamentals, satisfying E t ξ tC1 = 0, for all t. accordingly, any process satisfying (24) is consistent with quilibrium, while  remaining in a neighborhood of the steady state. so, as in the case of an  exgonous nominal rate, the price level( and ,hence, inflation and the nominal  rate) are not determined uniquely when the interest rate rule implies a weak  response of the nominal rate to change in inflation. more specifucally, the condition for a determined price level, φπO 1, requires  that the central bank adjust nominal rate more than one for one in response to  any change in inflation, a property known as taylor principle. the previous result can be viewed as a particular instance of the need to satisfy  the taylor principle in order for an interest rate rule to bring about a determined equilibrium. 2.4.3an exogenous path for the money supply suppose that central bank sets an exponous path for the money supply  m t .  using (10) to eliminate the nominal interest rate in (21), the following difference equation for the price level can be derived as p t = Ky t Cη$ E t $ p tC1 Cη$ r t Cm t ηC1 or rearranged as  (25)(25) p t = η 1Cη $Et ptC1 C 1 1Cη $mtCut , where ut = η$r t Ky y 1Cη  envolves independently of  mt . assuming η>0 and solving forward obtains  p t = 1 1Cη$>k = 0 N η 1Cη k $E t m tCk Cu' t   , where u' t => k = 0 N η 1Cη k $E t u tCk  is again, independent of monetary policy. equicalently, the previous expression can be rewritten in terms of expected  future growth rate of money as p t =m t C> k = 1 N η 1Cη k $E t Δm tCk Cu' t   25 = 25 25 = 25 hence , an arbitrary exgonous path for the money supply always determines  the price level uniquely. given the price level, as described above, (10) can be used to solve for the  nominal interest rate  i t = ηK1 y t K m t Kp t = ηK1> k = 1 N η 1Cη k $E t Δm tCk Cu'' t     where u'' t hηK1 u' t Cy t  is independent of monetary policy. for example, consider the case in which money growth follows the AR(1)  process Δm t = ρ m $Δm tK1 Cεt m for simplicity, assume the absence of real shocks, thus implying a constant  output and a constant real rate. without loss of generality, set r t = y t = 0 for all t.  then, it follows from (25) that p t =m t C η$ρ m 1Cη$ 1Kρ m $Δm t hence , in response to an exgonous monetary policy shock, and as long as  ρ m O 0,(the relevant case, given the observed positive autocorrelation of  monetary growth), the price level should respond more than one for one with  the increase in the money supply, a prediction that contrast starkly with the  sluggish response of the price level observed in empirical estimates of the  effects of monetary policy shocks as discussed in chapter 1. the nominal interest rate is in turn given by  i t = ρ m 1Cη$ 1Kρ m $Δm t i.e., in response to an expansion of the monetary supply, and as long as  ρ m O0, the nominal interest rate is predicted to go up. in other words, the model implies the absence of a liquidity efect, incontrast  with the evidence discussed in chapter 1. 2.4.4 optimal monetary plicy The analysis of the baseline classical economy above has shown that while real  variables are independent of monetary policy, the latter can have important  implications for the behavior of nominal variables and, in particular, of prices. Yet, and given that the household’s utility is a function of consumption and  hours only— two real variables that are invariant to the way monetary  policy is conducted—it follows that there is no policy rule that is better than  any other. Thus, in the classical model above, a policy that generates large fluctuations in inflation and other  nominal variables (perhaps as a consequence of following a policy rule that  does not guarantee a unique equilibrium for those variables) is no less desirable than one that succeeds in stabilizing prices in the face of the same shocks. The previous result, which is clearly extreme and empirically unappealing, can  be overcome once versions of the classical monetary model are considered  in which a motive to keep part of a household’s wealth in the form of  monetary assets is introduced explicitly. Section 2.5 discusses one such  model in which real balances are assumed to yield utility. The overall assessment of the classical monetary model as a framework to  understand the joint behavior of nominal and real variables and their  connection to monetary policy cannot be positive. The model cannot explain  the observed real effects of monetary policy on real variables. Its predictions  regarding the response of the price level, the nominal rate, and the money  supply to (26)(26) exogenous monetary policy shocks are also in conflict with the empirical  evidence. Those empirical failures are the main motivation behind the introduction of  nominal frictions in otherwise similar models, a task that will be undertaken in  chapter 3. 2.5 money in utility function In the model developed in the previous sections, and in much of the recent  monetary literature, the only role played by money is to serve as a numéraire, i.e.,  a unit of account in which prices, wages, and securities’ payoffs are stated.  Economies with that characteristic are often referred to as cashless economies. Whenever a simple log‐linear money demand function was postulated, it was  done in an adhoc manner without an explicit justification for why agents  would want to hold an asset that is dominated in return by bonds while having identical risk properties. Even though in the analysis of subsequent chapters the assumption of a cashless  economy is held, it is useful to understand how the basic framework can  incorporate a role for money other than that of a unit of account and, in particular, how it can generate a demand for money. The discussion in this section focuses  on models that achieve the previous objective by assuming that real balances are  an argument of the utility function. The introduction of money in the utility function requires modifying the  household’s problem in two ways. First, preferences are now given by E 0>t = 0 N βtU C t  , M t P t , N t E0 >t = 0 N βt U Ct, Mt Pt , Nt Second, the flowbudget constraint incorporates monetary holdings explicitly,  taking the form P t  C t CQ t  B t CM t %B tK1 CM tK1 CW t  N t KT t (27)(27) (28)(28) By letting A t hB tK1 CM tK1  denote total financial wealth at the beginning of the  period t (i.e., before consumption and portfolio decisions are made), the previous  flow budget constraint can be rewritten as P t C t CQ t AtC1C 1KQt $Mt%AtCWt NtKTt Pt CtCQt AtC1C 1KQt Mt%AtCWt NtKTt with the solvency constraint now taking the form lim t /N E t At P0, for all t. The previous representation of the budget constraint can be thought of as  equivalent to that of an economy in which all financial assets (represented by At )  yield a gross nominal return Qt K1 = exp Ki t  , and where agents can purchase  the utility yielding “services” of money balances at a unit price  1KQ t = 1Kexp Ki t x i t . Thus, the implicit price for money services roughly  corresponds to the nominal interest rate, which in turn is the opp