互为反函数的两函数图象交点及应用

互为反的两函数图象交点及应用 赵云龙 ( 贵州省贵定县第一中学 551300 ) 摘要: 反函数是函数研究中的重要内容，在教学中除向学生讲清其概念，更要从理论上揭示出互为反函数的两个函数图象之间的对称性和内在联系，利用函数图象交点创造性的解决有关的数学问题，培养学生应用数学的能力和创新意识。 关键词: 函数 反函数 图象 交点 反函数是函数研究中的重要内容，是函数教学中的重点和难点，在教学中通过揭示互为反函数的两个函数之间的内在联系,能加深学生对函数知识的理解,为下一步学习指数函数和对数函数，理解它们之间的图象关系有重要意义。在历年的高考中，反函数概念及互为反函数的图象间的关系，特别是交点问题成为一常见考点。基于此，我们应在教学中重视互为反函数的两函数图象交点情况的分析。 yfx,() 一般地，我们常用如下结论:函数的图象和它的反函数 ,1yx,yfx,()的图象关于直线对称。 xa,yfx,()Mab(,) 证明:设是的图象上的任意一点，那么当时， ,1fx()fab(),yfx,()yfx,()有唯一的值。因为有反函数，所以当 ,1,1,1Mba'(,)fba(),yfx,()fx()xb,时，有唯一的值，即点在反函数的图象上。 1 yx,ab,M' 如果，那么M、是直线上的同一点，因此它们关于直yx,线对称。 yx,ab,PM' 现设，如图，在直线上任取一点P(c,c) , 连结PM、、MM',由两点间距离 22PMacbc,,，,()() 22PMbcac'()(),,，, PM' ? PM = yx,由此可知，直线上任意一点 M'到两定点M、的距离相等，因此直 yx,MM'线是线段垂直平分线，从 yx,M'而点M、关于直线对称。 yfx,()yfx,() 因为点M是的图象上的任意一点，所以图象上任意 ,1yx,yfx,()一点关于直线的对称点都在它的反函数的图象上。 ,1,1yfx,()yfx,()yfx,() 由与互为反函数，可知函数的图象上任意 yx,yfx,()一点关于直线的对称点也都在它的反函数的图象上，即函 ,1yx,yfx,()yfx,()数与的图象关于直线对称。 利用反函数的这条性质，可以降低一些问题的思考难度，简化解题过程，开辟新的解题途径。我们来看这样一个例子: 2fxxa(),，(0)x, 例1:若函数，的图象与它的反函数图象 a有两个不同的交点，则求实数的取值范围。 ,1,1fxfx()(),yfx,() 分析: 可思考直接求得，再联系，但将陷 ,1fxfx()(),入含参数的高次方程的讨论中，若能联想到方程的解是函数 2 ,1yfx,()yfx,()yfx,()的图象与函数的图象交点横坐标，即是函数的 ,1yx,yfx,()图象与直线交点的横坐标，且满足的定义域，则有如下简 捷求法。 ,1fxfx()(),(0)x,解: 有两解 2？xax，, 也有两个非负的实数解 ,,,,140a, 1, xxa，,,,,,100,12？ 4,xxa,,012, 但若错误地认为函数图象与其反函数图象如果有公共点,则交点一定在 yx,直线上,则会产生漏解的现象。 172fxx(),,，(0)x, 例2: 已知函数 33 ,1fxfx()(), 解方程。 yx,, , y17,解:令 ，消去， 2 yx,,，,33, 2xx，,,370得 ,,337 解之，得 x, 2 ,17，，fx()fx() 与的公共定义域为 0,,,3，， ,，337 x,？ 2 我们再从另一角度思考: 3 172fxx(),,，(0)x, 33 7,1？fx()73,x()x, = 3 1772？,，,,xx73(0),,x 333 2(1)(2)(37)0xxxx,,，,, 整理得 ,，337？ 123xxx,,,1,2, 2 ,1fxfx()(), 此即为方程的解。 为什么会产生如此不同的结论,原因正是错误地认为互为反函数的两 yx,图象，其公共点一定都在直线上。其实，通过进一步研究我们还可 发现以下性质: ,1yfx,()yfx,() 性质1 若单调递增函数与它的反函数有交点，则 yx,交点必在直线上。 ,1yfx,()yfx,() 证明: 设函数的定义域为A，值域为B，则函数 的定义域为B，值域为A。 ,1？yfx,()yfx,() 在A上为增函数，易知在B上也为增函数。 fab(),Mab(,)afb,() 现设是两函数图象的交点，则有，. ,1afbfb,,()()fab(),fbfa()(),ab,当时,由及,得. ？yfx,()ab,ab, 是增函数 , . 此与矛盾. ？ab, . ab, 同理可证: ？yx,Mab(,)ab, 综上所述,只能有. 即在直线上. 4 2fxxa(),， 由此性质可发现，在例1中还应强调“函数 ？yfx,()(0)x,单调递增，的图象与其反函数图象的交点必在直线 172fxx(),,，yx,x,0上”，在例2中函数在时为减函数，对于减函33 数则有如下性质: ,1yfx,()yfx,()yfx,()为减函数，则函数与的图象 性质2 设 yx,的公共点不一定都在直线上。 2 x,，,0, 本性质只需举反例说明即可，如函数在，，上为减函y, x 2 x,，,0,，，数，其反函数仍为 ，图象完全重合。 y, x 在反函数的教学中，要从反函数概念出发，讲清互为反函数的图象间 关系的实质，才能让学生真正理解互为反函数的图象的对称性，掌握互为 反函数图象的交点情况。唯有如此，我们的教学活动才能收到事半功倍的 效益，真正实现提高学生分析、解决问题的能力，提高学生的数学素养。 参考文献: 【1】王厚雄 《教材完全解读高一上》北京:中国青年出版社 2004、5第二版67页 【2】 张 劲 松 等 《教师教学用书数学第一册上》北京: 人民教育出版社 2003、6第一版33页 5