【word】 变比冲发动机作用下共面燃料最优轨道转移
变比冲发动机作用下共面燃料最优轨道转
移
第25卷第3期
2007年9月
飞行力学
FlAGHTDYNAMICS
V01.25No.3
Sep.2007
变比冲发动机作用下共面
燃料最优轨道转移
梁新刚,杨涤
(哈尔滨工业大学航天学院,黑龙江哈尔滨150001)
摘要:以国外目前正在研制中的变比冲磁等离子体火箭发动机(VASIMR)为背景,研究了变比冲发动机
作用下的同平面燃料最优轨道转移.推力方向角和比冲为控制变量,发动机总功率为常值,发动机可多次开关
机.采用经典最优控制理论,运用庞德里亚金最小值原理将问题转化为两点边值问题,并通过非线性
算法
求解,得到了受精确开关函数控制的最优比冲时间历程.给出的VASIMR发动机应用算例结果
明,采用VA—
SIMR发动机有益于提高航天器有效载荷所占比例.
关键词:变比冲发动机;有限推力;轨道转移;非线性规划
中图分类号:V412文献标识码:A文章编号:1002—0853(2007)03-0053—05
引言
美国宇航局约翰逊空间中心正在研制一种称为
变比冲磁等离子体火箭发动机(VariableSpecificIm—
pulseMagnetoplasmaRocket,VASIMR)的新一代航
天器电推进系统.VASIMR发动机是一种比冲可变
火箭发动机,其比冲可在3000—30000S之间调节.
VASIMR应用前景非常广泛.可用于通讯卫星
和其他地球轨道航天器的轨道提升,回收和维修高
轨道航天器,大有效载荷智能航天器的快速行星际
飞行以及太阳系外星际空间探测.当前VASIMR最
大的潜在应用是载人火星飞行任务.目前,l0kw的
VASIMR演示样机已经完成,据NASA预计,200Mw
的VASIMR发动机有望于2050年之前研制成功.
目前已有一些相关文献对变比冲轨道转移技术
及VASIMR发动机的应用进行了研究.文献[1,2]
分别对变比冲与常比冲转移作了比较.文献[3]使
用变比冲技术研究了限制性三体问题轨道转移及相
关导引问题.文献[4—6]对VASIMR发动机在轨
道转移与行星际飞行中的应用进行了研究.文献
[7]研究了应用VASIMR发动机拦截对地球有碰撞
威胁的物体.
本文以VASIMR发动机为背景,研究了VA—
SIMR发动机作用下的同平面燃料最优轨道转移问
题.把比冲也认为是控制量,使用最小值原理得到
两点边值问题,之后通过非线性规划求解.本文的
一
个特点是得到了最优的开关函数,从而得到受开
关函数控制的发动机开关机逻辑与比冲时间历程,
不同于有些文献中使用的先人为指定开关机序列,
再将开关机时刻作为未知参数去优化求解的
.
1VASIMR发动机模型
VASIMR发动机在常功率下输出连续可变的推
力.功率输出保持常值,这样,推力与比冲成反比关
系.设发动机效率为60%,则发动机推力与秒消耗
量可由功率与比冲表达为:
T:2
,
Pr!.
(1)
1g0
式中,为发动机推力;P为发动机功率;77为发动机
效率;L为发动机比冲;g.为海平面处地球重力加
速度.
质量变化率为:
虎:一:一mA01(2)m一一z
g
‘2)
式中,为发动机排气速度.
收稿日期:2006—06-27;修订日期:2007—04—16
作者简介:梁新刚(1979一),男,山西太谷人,博士研究生,研究方向为
航天器轨道优化
;
杨涤(1937一),男,辽宁沈阳人,教授/博导,研究方向为航天器动力学
与控制.
54飞行力学第25卷
2轨道运动方程
本节简单引用平面极坐标轨道运动方程.如图
1所示,极坐标形式的同平面轨道运动方程为:
:
r
:一+
)卫in
rr’』mgo
一+cos
.
2PT1
2 m—
g2
(3)
式中,r为航天器矢径大小;0为航天器角位置;为
航天器径向速度;为航天器切向速度;为推力方
向角;m为航天器质量;tx为地球引力常数,tx:
3.986×10km/s.
图1同平面轨道运动极坐标系
3最优控制问题
由方程(3)应用庞德里亚金最小值原理,可将
VASIMR发动机作用下的轨道转移问题转化为数学
上的两点边值问题.
性能指标为燃料最优,即
J:西=一m(,,)rain(4)
系统哈密顿方程为:
,, u+人?+
A(孚一+sin)+
A(一+cos)(一嚣)
(5)
协状态方程组为:
+
孚一一rrrr
=0
=_Ar+竽
一一
+
=
(Asin+Ac.s)
m
(6)
式中,A,A,A,A和A分别为对应于r,0,,和
m的协状态变量.
控制变量为和,由最小值原理知,和应
使哈密顿函数取最小.不受约束,则应满足:
对一阶导数等于零且对二阶导数大于零.
由此得到:
.
A
SIn=一——=二=====
?A+A
A
COS:一—?,二二===
?A+A
(7)
受上下界约束,不能根据对一阶导数等于零
得到.H中含的项是关于l的二次多项式,经
过分析可得:
=k(<k<且A<0)
J,J(k?J且A<0)
I,],proi(k?,sPi且A<0)
,i(A?0)
其中:
,
2mA
go?A+A
令开关函数.s为:
:一
JAu2+A~2
mlIpgo
则VASIMR发动机功率为:
P=0(S>0)1
P=P(S<0)J
正则化以后的初始条件为:
终端约束为:
r(t0):1
0(t0):0
M(t0):0
(t0)=1
m(t0)=1
(8)
(9)
(10)
(12)
第3期梁薪刚等.变比冲发动机作用下共面燃料最优轨道转移55
?
r(ti)=ri
不足的终端边界条件由横截条件
m)=【韭ax(tf
)+ONT]
J1)
[…
o
,
6万+】…,
J
,…
,L(ti(15)
则由正则方程组,以及边界条件就构成了数学上的
两点边值问题.
终端时刻0未知,由下式确定:
筹=H(tI)=0(16)
4非线性规划求解两点边值问题
本节使用非线性规划方法求解得到的两点边值
问题.
非线性规划问题(NLP)的一般表述为:在满足
约束
『1
f?l,()I?(17)
AX
的前提下使得优化目标
J=fo()(18)
最小.式中()为要优化的标量目标函数;为
待优化参数矢量;,()为非线性约束函数矢量;Ax
为线性约束函数矢量;f为约束下界矢量;U为约束
上界矢量.
具体到本文的变比冲燃料最优轨道转移问题,
待优化参数为5个协状态初值A(),A(),
A(t.),A(t.),A(t.)和终端时刻0.转化后的非
线性规划问题表述如下.
优化目标:
J=一m()一min(19)
需要满足的约束:
?
(0)一
(0)一
Ap(0)一0
A(,)+1
日(,)
?(20)
待优化参数需要满足的约束:
一
?
一
?
一
?
一
?
一
?
0
?
A(t0)
A(t0)
A(t0)
A(t0)
A(t0)
t,
?
+?
+?
+?
+?
+?
某一合理上界
(21)
至此,已将前节得到的两点边值问题转化为可
用非线性规划求解的参数优化问题,选择合适的非
线性规划算法即可对其进行求解.
5数值仿真算例
设航天器初始位于500km高度的低轨道,用
VASIMR发动机将其提升到地球同步轨道(轨道半
径42164km).比冲可调范围与文献[7]中相同,
为3000—30000S.令长度单位1DU=6878km,时
间单位1TU,?6878.s,质量单位1MU=航天器
初始质量m.(DU,TU,MU分别表示DistanceUnit,
TimeUnit,MassUnit).各有单位量用上述单位进
行正则化处理,正则化以后的初始与终端边界如表
1所示.
表1初始与终端边界条件
本算例中VASIMR发动机功率P与航天器初始
质量m之比取得较大,正则化后的值为0.5,相当
于初始质量为1kg的航天器,需要VASIMR发动机
功率为32.072kw,按NASA预计可实现的200Mw
考虑,可将初始质量6236kg(燃料约占2.1%,见图
8)的航天器从低轨道送入同步轨道.
计算结果如下:总飞行时间48.9272TU,约为
12h16min,燃料消耗2.1%.
图2为开关函数随时间变化曲线,由于开关函
数在最后40—50Tu之间数值很小,图3对其进行
局部放大,通过图2,图3与式(11),可以确定整个
轨道提升过程由首尾两个开机弧段与一个中间惯性
飞行段组成.
56飞行力学第25卷
I?U
图3开关函数局部放大
图4为整个轨道提升过程中航天器飞行轨迹.
正如图2所示,飞行轨迹由两个推力弧与一个零推
力弧组成.图中,虚线表示零推力弧,实线表示推力
弧,实线上面的短细线表示飞行过程中的推力方向.
图4VASIMR作用下燃料最优飞行轨迹
图5为比冲随时间变化曲线.图中,虚线表示
发动机关机弧段,比冲变化不考虑.
图5比冲时间历程
随着比冲的变化,由式(1)可得到推力随时间
及比冲的变化曲线,如图6所示.图中推力为正则
单位.
,
I
?
口
?
兰
\
图6推力时间历程
图7为推力方向角的变化规律.图中虚线表
示关机弧段,无意义.
图7推力方向角时间历程
图8为航天器质量变化曲线.很明显关机弧段
质量保持不变.
6结束语
图8质量变化历程
本文以先进的VASIMR发动机为背景,研究了
变比冲发动机作用下的燃料最优轨道转移,给出了
受精确开关函数控制的最优比冲变化曲线.采用
VASIMR发动机可以提高航天器有效载荷所占比
例.例如对于本仿真算例,有效载荷占97.9%,燃
料仅占2.1%.本文所用方法可以推广到三维轨道
转移.
参考文献:
[1]KlueverCA.GeostationaryOrbitTransfemUsingSolarE—
lectricPropulsionwithSpecificImpulseModulation[J].
JournalofSpacecraftandRockets,2004,41(3):461-466.
『2]RoccaSimone,ManenteMarco,PavarinDaniele,eta1.Op-
timalLow.ThrustTrajectoryAnalysisforConstantand
第3期梁新刚等.变比冲发动机作用下共面燃料最优轨道转移57
VariableSpecificImpulseThrustersGeneratedbyMulti.
ObjectiveEvolutionaryAlgorithmsandNonlinearProgram—
ming[J].AdvancesintheAstronauticalSciences,2005,
119:2587-2598.
SenentJuan,OcampoCesar,CapellaAntonio.Low—Thrust
Variable.Specific.ImpulseTransfersandGuidancetoUn.
stablePeriodicOrbits[J].JournalofGuidance,Contml,
andDynamics,2005,28(2):280-290.
SeywaldHans,RoithmayrCarlosM,TmutmanPatrickA.
Fue1.Optima/OrbitalTransfersforVanableSpec/ticIm
pulsePoweredSpacecraft[J].AdvancesintheAstronauti.
calSciences,2003,114:347-364.
SeywaldHans,RoithmayrCarlosM,TroutmanPatrickA,
eta1.Fue1.OptimalTransfersbetweenCoplanarCircular
OrbitsUsingVariable?Specific?ImpulseEngines[J].Jour-
nalofGuidance,Control,andDynamics,2005,28(4):
795-8oo.
SagdeevRoald,KaravasilisKonstantinos,RossBrian,eta1.
VariableSpecificImpulseInterplanetaryTrajectoryDesign
andOptimization[J].AdvancesintheAstronauticalSci.
ences,2002,109:1977.1987.
Sang?YoungPark.Kyn.HongChoi.OptimalLow.ThrustIn.
tercept/RendezvousTrajectoriestoEarth—CrossObjects
[J].JoumalofGuidance,ControlandDynamics,2005,28
(5):1049.1055.
Fuel-OptimalCoplanarOrbitalTransferUsingaVariableSpecific
ImpulseMagnetoplasmaRocket
LIANGXin—gang,YANGDi
(SchoolofAstronautics,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China)
Abstract:Fuel—optimalcoplanarorbitaltransferusingtheadvancedvariablespecificimpulsemagnetoplasma
rocket(VASIMR)isstudied.Thrustdirectionandspecificimpulseareconsideredascontrolvariables.Optimal
controlproblemisconvertedintoatwopointboundaryvalueproblemwhichissolvedbynonlinearprogramming
methodinthispaper.Akeypointofthispaperisthattheoptimalspecificimpulsetimehistoryisachievedaccord—
ingtothepreciseswitchfunction.ThenumericalorbitraisesimulationusingVASIMRisgiven,
whichshowsthatit
isbeneficialtoincreasethepayloadratio.
Keywords:variablespecificimpulserocket;finitethrust;orbitaltransfer;nonlinearprogramming
(编辑:王育林)
(上接第52页)
ApproximateSolutionsoftheMid-CourseTrajectoriesfor
theBoost.GlideMissiles
YONGEn—mi,ChenLei,TANGGuo-jin
(CollegeofAerospaceandMaterialEngineering,NUDT,Changsha410073,China)
Abstract:Theapproximatesolutionsofthemid—coursetrajectoriesforthebo
ost—glidevehiclesareinvestigated.
Firstly,withdifferentassumptions,fourtypesofapproximatesolutionsarepresented:(1)freeflightsolutions;(2)
aero—controlledflightsolutionswithconstantangle—of-attack;(3)thecom
positesolutionofthefreeflightandaero—
controlledflight;(4)equilibriumglidesolutions.Thentheapproximatesolutionsofmid—coursetrajectoriesareob—
tainedbythecombinationofthesesolutions.Thecomparisonbetweentheapproximatesolutionsandthenumerica1
solutionsvalidatestheefficiencyofthisapproach.Furthermore.
thesolutionsofthispaperisbenefitfortheestima.
tionofthecharacteristicsofthisnewtrajectory,suchasmaximumheatingrate,loadfactoranddynamicpressure
duringtheperiodoftheprojectdemonstration.
Keywords:boost—glide;approximationsolution;reentry;equilibriumglide
(编辑:王育林)