神奇的图形世界

神奇的图形世界 ——关于图形密铺原理及应用的探究 温州市籀园 周子乔 一、问题提出 数学课上，金老师正在向我们讲授密铺的相关知识。金老师问我们哪些图形可以密铺,同学们举了很多例子。有的说正方形，有的说菱形，有的说长方形„„老师又问:“五边形行吗,”同学们愣了一下，大家意见不一，有说行的，有说不行的，于是金老师就让我们动手做一做实验(课前老师已让我们准备了各种正多边形纸板)，同学们齐唰唰地动手了。结果发现了如下图这样的图形: 图1 图2 图3 图4 那为什么正三边形、正四边形和正六边形能密铺，而正五边形不能呢,我观察了一下这些密铺图形，发现正三边形、正四边形和正六边形的密铺，中间的拼接处恰好是一个360?的周角，而五边形中间多了一条缝隙，经过计算，它是一个成36?角的缝隙。见图5: 图5 这是为什么呢, 我们知道，正三边形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形内角的度数，分别是60?、90?、108?、120?。而拼接处只有360?才可以密铺，因此，我们可以这样想: 正三边形(等边三角形):360??60?,6(个) 正四边形(正方形):360??90?,4(个) 正五边形:360?108?,3(个)„„36? 正六边形:360?120?,3(个) 因此，正五边形有个36?的缝隙。 那么，到底什么样的正多边形才能够密铺呢,这里面究竟又有什么原理与奥秘呢,带着这些疑问，我对多边形的密铺展开了研究。 二、研究意义 我做这样一个小课题，就是特别想弄明白密铺背后隐藏的一些我还不知道的数学原理，在研究的过程中增强自己的数学思维能力并获取一些操作经验，二是让大家知道生活与数学是分不开的，从数学中学到的知识完全可以运用到生活中，数学与生活从不分家。 三、研究方法1(网上查阅(通过上网查找资料，了解密铺的相关知识，前人对密铺的研究以及关于密铺的历史发展过程和它在生活中的其他应用) 2(实验操作(利用圆规、量角器、尺子、剪刀等工具测量、制作若干正多边形彩色纸板(从正三边形到正十二边形)，亲自动手摆一摆、拼一拼，并把拼好的图形用数码相机拍下来) 3(计算验证(利用excel计算机软件计算以及观察法、假设法、例举法来展开问题的深入研究) 4(实地调查(地点:半腰桥陶瓷品市场。通过实地采访，深入了解密铺在现实生活中的应用) 四、研究过程 ,一,探究单种正多边形密铺原理. 通过前面对正三边形到正六边形简单的动手实验，我们已经知道正多边形密铺的条件是几个内角的和是360度。那么如果是正七边形、正八边形或其它正 多边形呢。于是我又在家里选取正八边形做起了实验，结果发现它有一部分是重叠在一起的，因而不能进行单独密铺。见图6: 图6 为了说明得更加清楚，我列了一个表格，这样更加直观。见下表: 能否单名称 内角度数 算式 独密铺 (3,2)×1800?3, 正三边形 3600?600,6(个) ? 60? (4,2)×1800?4, 正四边形 3600?900,6(个) ? 90? (5,2)×1800?5, 正五边形 3600?1080,3(个)„„36? × 108? (6,2)×1800?6, 正六边形 3600?1200,3(个) ? 120? (7,2)×1800?7?3600?128.50,2(个)„„正七边形 × 128.5? 103? (8,2)×1800?8, 正八边形 3600?1350,2(个)„„90? × 135? (9,2)×1800?9, 正九边形 3600?1400,2(个)„„80? × 140? (10,2)×1800?10, 正十边形 3600?1440,2(个)„„72? × 144? (11,2)×1800?11? 正十一边形 3600?1470,2(个)„„66? × 147? (12,2)×1800?12, 正十二边形 3600?1500,2(个)„„60? × 150? „„ „„ „„ „„ 2n/n-2是360?〔(n-2)×1800?n〕,正n边形 整数时(n-2) ×1800?n 能;否则(n>2) 2n/n-2 不能。 【结论】 结论1:通过上表，我发现:要使正多边形能够进行密铺，正多边形的内角度数要被360度整除，即2n/n-2必须是整数，而且至少有3个多边形进行密铺。因为多边形(这里一般是指凸多边形)的内角都是锐角，小于180度，假设两个正多边形能进行密铺，那么有一个内角必须大于180度，这与内角小于180度的条件矛盾，所以3个以下是不可能密铺的。 结论2:另外，正六边形以上的多边形也是不可能进行单独密铺的，假设正七边形能够进行单独密铺，那么3个正七边形的内角约等于128.5?×3?385.5?>360?所以不能。而正八边形及以上正多边形就更不可能了(如前图6，有一部分会重叠在一起)。 结论3:能够进行单独密铺的正多边形只有三种: (1)正三角形; (2)正四边形; (3)正六边形。 (见前图1、2、4) ,二,探究两种正多边形密铺原理. 了解了单种正多边形的密铺原理后，我又在想不同的正多边形是否能够进行密铺呢,于是我就拿前面准备的从正三边形到正十二边形的纸板又做起了实验。通过多次的摆放，我终于找到了以下六种正多边形放在一起能够密铺。 (1)3个正三角形，2个正4边形; (2)2个正三角形，2个正6边形; (3)4个正三角形，1个正6边形; (4)1个正四边形，2个正8边形; (5)1个正三角形，2个正12边形; (6)2个正五边形，1个正10边形。 如图: 图7 图8 图9 图10 图11 图12 欣喜之余，妈妈的一句话给我泼了冷水。妈妈说:你现在找到的只是你自己实验的一小部分，你怎么知道正十三边形到正n边形与正三边形等就不能密铺呢。妈妈的疑问很有道理，既然正多边形密铺的关键是内角的度数，那么对正多边形的内角度数(60?-179?)必须要有所了解。在妈妈的提醒下，我请教了信息技术庄老师，在庄老师的指导下，我们在Excel中输入正多边形的内角(n-2) ×180??n，得到了内角为60度到179度的所有正多边形的度数，见表一。看到表格中如被单一般的数字，我呆了。通过观察，我发现大部分内角度数都带有小数，是整数的内角并不多，于是我决定取其中内角度数是整数的多边形来做探究(其它以后再做探究)，见表二。 正多边对应内角度数 正多边形的边 对应内角度形的边 数 数 数 3 60 3 60 4 90 4 90 5 108 5 108 6 120 6 120 7 128.5714286 8 135 8 135 9 140 9 140 10 144 10 144 12 150 11 147.2727273 15 156 12 150 18 160 13 152.3076923 20 162 14 154.2857143 24 165 15 156 30 168 16 157.5 36 170 17 158.8235294 40 171 18 160 45 172 „ 60 174 „ 356 178.988764 72 175 357 178.9915966 90 176 358 178.9944134 120 177 359 178.9972145 180 178 360 179 360 179 表一 表二 由表二可知，当n是3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360时，它的内角度数是整数。 再经过仔细观察，我发现无法用2种六边以上的正多边形图形进行密铺。那就说明无论哪种方法里都会出现正三边形、正四边形、正五边形中的一个。 为了便于清楚地表达，我将我的探究过程以及我的发现列成表格的形式: 先确定的图两种正形 (为了不重多边形推导过程 结论 复不遗漏更密铺 有序) 一个正三边360-60=300 300=2×150 1个正三边形， 形 ?1×60+2×150=360 2个正12边形。 正三边两个正三边360-2×60=240 240=2×120 2个正三边形， 形与其形 ?2×60+2×120=360 2个正6边形。 它正多三个正三边360-3×60=180 180=2×90 3个正三边形， 边形 形 ?3×60+2×90=360 2个正4边形. 360-1×90=270 270=2×135 4个正三边形， 四个正三边?4×60+1×120=360 1个正6边形. 形 360-1×90=270 270=2×135 正四边 1个正四边形， 形与其一个正四边?1×90+2×135=360 2个正8边形. 它正多形 边形 正五边 360-2×108=144 144=1×144 2个正五边形与其 它正多两个正五边 ? 2×108+1×144=360 形， 边形 形 1个正10边 形。 表三 上表告诉我们，两种正多边形进行密铺有六种情况。同我前面实验的结果一样(即图7-图12)。 (三)探究三种正多边形密铺原理. 找出了六种两种正多边形进行密铺的方法，我兴奋极了～如果用三种不同的正多边形进行密铺，情况又会怎么样呢,我迫不及待地开始了新一轮的思索。通过研究表三的结论，我们可以将与正三、四、五密铺的正多边形分解成两个不相同的正多边形，从而组成三种正多边形的密铺。当然，并不是所有的都能分解。 探究过程及发现详见下表: 三种先确定的图推导过程 结论 正多形 边形(为了不重 密铺 复不遗漏更 有序) 正三1个正三边形, 一个正三边1×60+2×150=1×60+2×90+1×边形2个正4边形, 1个正6边形。 形 120 与其 它两 1个正三边形, 种正一个正三边1×60+2×150=1×60+1×135+1×1个正8边形, 1个正24边形。 多边形 165 形 1个正三边形, 一个正三边1×60+2×150=1×60+1×140+1×1个正9边形, 1个正18边形。 形 160 1个正三边形, 一个正三边1×60+2×150=1×60+1×144+1× 1个正10边形, 形 156 1个正15边形. 2个正三边形, 两个正三边2×60+2×120=2×60+1×90+1×1个正4边形, 1个正12边形。 形 150 正四 1个正4边形, 边形一个正四边1×90+2×135=1×90+1×108+1×1个正5边形, 1个正20边形。 与其形 162 它两 1个正4边形, 个正一个正四边1×90+2×135=1×90+1×120+1× 1个正6边形, 多边形 150 1个正12边形。 形 表四 因此，三种正多边形进行密铺有七种情况。图形示例: 图13 图14 图15 (四)探究四种或四种以上正多边形密铺原理. 那么，是否还有四种或四种以上正多边形进行密铺呢, 不能。因为就拿内角最小的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形四个来算，它们的内角之和为:60?+90?+108?+120?=378?，大于密铺图形的内角之和360?，因此不能密铺。 五、研究结论 ,一,单种正多边形密铺——拼接处内角的和为360度～至少有3个正多边形。 1、6个正三边形(60+60+60+60+60+60=360) ; 2、4个正四边形(90+90+90+90=360) ; 3、3个正六边形(120+120+120=360) 。 ,二,两种正多边形密铺——拼接处内角的和为360度～边长相等。 1、1个正三边形，2个正12边形(1×60+2×150=360) ; 2、2个正三边形，2个正6边形(2×60+2×120=360) ; 3、3个正三边形，2个正4边形(3×60+2×90=360) ; 4、4个正三边形，1个正6边形(4×60+1×120=360) ; 5、1个正四边形，2个正8边形(1×90+2×135=360) ; 6、2个正五边形，1个正10边形(2×108+1×144=360) . ,三,三种正多边形密铺——拼接处内角的和为360度～边长相等。 1、1个正三边形,2个正4边形,1个正6边形(1×60+2×90+1×120=360) ; 2、1个正三边形,1个正8边形,1个正24边形(1×60+1×135+1×165=360) ; 3、1个正三边形,1个正9边形,1个正18边形(1×60+1×140+1×160=360) ; 4、1个正三边形,1个正10边形,1个正15边形(1×60+1×144+1×156=360) ; 5、2个正三边形,1个正4边形,1个正12边形(2×60+1×90+1×150=360) ; 6、1个正4边形,1个正5边形,1个正20边形(1×90+1×108+1×162=360) ; 7、1个正4边形,1个正6边形,1个正12边形(1×90+1×120+1×150=360) 。 ,四,四种或四种以上正多边形密铺——不可能。 六、拓展研究 ,一,实地考察——生活中的运用 密铺的原理分析了之后，我不禁要问:生活中密铺图形用得多吗,答案是肯定的。人行道上、商店里、客厅以及装饰建筑物的墙面、天花板等等许多地方都有。 为了进一步验证我之前的探究结论以及欣赏奇妙的密铺图案，一个阳光明媚的周末下午，我来到了温州市东鹏陶瓷半腰桥门市店进行实地考察。店里的李阿姨知道我的来意后热情接待了我，我问了许多有关瓷砖的问题，她一一地为我作了解答，因此我又增长了许多知识。比如:瓷砖的种类、规格、材质、价格、用途等等。这期间我特别留意瓷砖的密铺图案，漂亮极了。并且发现密铺的地砖、墙面砖的形状的确像我探究中得到的结果，基本上都是正三角形和正四边形。为什么呢,阿姨说这样的形状容易铺设，用料省。我想可能还因为它既简洁又漂亮。瞧—— 回来的时候，恰好看见一个装修叔叔在给一个样板间铺设地砖(见上图)。于是我又向他了解了铺瓷砖的技术，还别说，看似简单的活儿还是很有技术含量的，如果不小心会铺坏许多瓷砖的。叔叔知道我是来做调查之后，表扬了我。我问叔叔要用多少块瓷砖来铺呢,叔叔说:“你得自己想想～”不过叔叔告诉了我一些信息:这是个小房间，长4米，宽3米。用边长30厘米的正方形瓷砖进行密铺。那么要用多少块呢,呵呵，这对我来说简直是太简单不过了～ (3×4)?(0.3×0.3)?133(块) 所以至少要用134块。但是叔叔笑着说:“没那么简单～有时候整块整块铺是不行的，有时候要将原来整块的切掉再铺，还要考虑计算怎么切损耗最少～”真是不简单～ 【收获】 这次半腰桥实地考察不仅让我欣赏到了很多漂亮的密铺图案，还学会了不少以前我从来不知道的知识。 1、瓷砖大部分用正方形，因为正方形可以密铺，而且这样的形状容易铺设，用料省，还因为它既简洁又漂亮。 2、了解了瓷砖的种类、规格、材质、价格、用途等等。 3、瓷砖密铺也是一门技术，更是一门艺术。 ,二,资料搜索——密铺的历史及自然界中神奇的密铺现象 最早对于镶嵌图案的观察是源于自然界的六角形的蜂窝。公元前4世纪，古希腊的数学家帕普斯就观察到蜜蜂只用正六边形来制造它们的巢室。这种形状的构造会使所需要的最少，而且所形成的空间最大。自那以后，人们就开始对镶嵌图案进行观察研究，神奇的镶嵌图案就这样被人们所熟识。 如图: 舒适小屋 漂亮外衣 优美舞步 群鱼戏水 你来我往 三栖聚会 ,三,下一步我要继续研究的问题 1.用同一种或几种任意形状的图形,非正多边形,是否也能密铺, 在这个小课题的研究过程中，我还发现任意形状的三角形也可以密铺，但有一个条件，那就是这些三角形的形状是一模一样的。那么，任意形状的其他多边形呢,我已经用我自己做的学具做了初步尝试，探究发现: (1)任意三角形都可以用以镶嵌成一个平面; (2)任意形状的四边形都能通过旋转、反射和平移来镶嵌成一个平面; (3)只有特定的凸五边形可以镶嵌成一个平面 (正五边形不能密铺)。 如下图: 2.不规则图形的密铺奥秘, 这个小课题里研究的都是特殊的规则图形的密铺原理，都是边长相等的正多边形之间的密铺，那么不规则图形能否密铺，它的背后是否也会存在一些数学原理呢, (1)有趣的七巧板 看看七巧板，不也是密铺吗,以一个顶点为主，它四周的板贴着顶点的角度总和为360度。 (2)其它不规则图形的密铺, 例如: 3.曲面的密铺原理与奥秘, 我这个小课题探究的是平面图形的密铺，我在探究过程中发现原来曲面也可以密铺。曲面像12个正五边形和20个正六边形可以铺成个球(足球就是)。 那么这其中又包含着怎样的原理与奥秘呢, 下一步，我准备找王之畅、邓晨炅合作，一起继续对以上的问题进行探索。 七、感悟与思考 很多人觉得数学很难、无用，但不懂数学的人怎能出这么美丽而奇妙的图案呢,当我们知道这些奇妙的图案都是源于密铺的数学原理后，我们无不惊叹数学是一门多么有魅力的学科。经过这次探究活动，我懂得了:数学和生活是相通的，数学知识来源于生活，同时又能解决生活中的问题。我因此更加坚定了要学好数学的决心。我们如果能采用正确的方法，摸索出其中的规律，找到突破口，很多看似复杂的问题都会迎刃而解的。