【doc】 曲面的微分向量与面积微元——基于向量代数的启发性推导

【doc】 曲面的微分向量与面积微元——基于向量代数的启发性推导 曲面的微分向量与面积微元——基于向量 代数的启发性推导 第23卷第6期北京工商大学(自然科学版)Vo1.23No.6 2005年11月JournalofBeijingTechnologyandBusinessuniversity(NaturalScienceEditio n)Nov.2005 文章编号:1671—1513(2005)06—0055—04 曲面的微分向量与面积微元 —— 基于向量代数的启发性推导 李晓萍 (北京工商大学基础部,北京100037) 摘要:本文引入微分向量的概念.进而用向量代数的方法简化了古典微积分中关于面积元素及 体积元素计算公式的推导.并且给出曲面的面积元素的混合积形式等. 关键词:微分向量;面积元素;体积元素. 中图分类号:O172文献标识码:A 1问题的提出 设曲面.s的面积存在.由曲面面积的定义,曲 面的面积元素d等于其所对应的切平面的面积元 素dT.即dS—dTE1].如何简捷导出dT的计算公 式?dT的计算是否与曲面’的分割方式有关?dT 的几何意义是什么? 2曲面的微分向量 定义1设曲面的方程为2一f(,Y),且 f(x,)在D上可微.则称向量 D一{dx,dy,dz)={dx,dy,dz+d) 为曲面在点M(x,Y,f(x,))处的微分向量. (a)特别,当dy=0或dx=0时,二微分向量 D一{dx,0,dz)一{dx,0,fxdx); D一{0,dy,dz)一{0,dy,dy). 称为曲面在点处的偏微分向量.显然 D=D+D. (b)二向量一Dx一(1,0 ,)及Ty+z一 {0,1,)分别称为曲面在点处沿变量oZ”与Y 增大方向的切向量. (c)曲面在任意点M处沿变量与Y增大 方向的两个切向量+与+的向量积, liJkl n=T+×T+一I10I一{一,一,1) 101I 为曲面在点处向上的法向量n. (d)设,B,c分别为法向量n—T+×T+在 三条坐标轴上的投影.则A,B,C分别为该向量积 的行列式表达式中的三个二阶代数余子式. A— l,B=--l一川. 定义2设曲面的方程为z—f(x,),且 f(x,)在D上可微.在D内确定某一个方向 z一{COSOt,cosf1).令—0+tcosa;Y—Y0+tcosf1. 则称微分向量 Dl{dx,dy,dz)一 {cosadt,cosfldt,(cos口+f~cosf1)dt)一 {cosa,sina,f’zcos口+flysina}dt. 为曲面在点M(x,Y,f(x,))处沿方向z的微分 向量. (a)向量T一Dl一{c.s口 ,c.s,f’zc.sa+ f’ycos~)称为曲面在点处沿方向z的切向量. (b)曲面在点处沿两个不同的方向z一 {COSOt1,cosfl1)与z2一{cos口2,cosfl2)的切向量的向量 积 收稿日期:2005—09—10 作者简介:李晓萍(1952一),女,北京人,讲师,主要从事计算方法及计算机应用方面的研究 北京工商大学(自然科学版)2005年11月 n=Tf. XTlz =×一 liJ七I Icos口1cosfl1Acos~1+cosJ91I lCOSG2cosfl2cos口2+cosp2l 为曲面在点M处的法向量n. (c)同样令A,B,C分别为法向量n—T,×T, 的三个投影.则 一 lCOSC咖OS~tACOSG2一一11.,lcos2l B一一 ICOS.CO.SfllCOSG21,lcOs2l c— COSG2 lc co ? s~zII 定义3设曲面S的参数式为X=z(,),— y(u,),Z~Z(U,)且函数x(u,),y(u,),z(u,) 在D螂上可微.则称向量 D一{dz,d,dz)一 {z:d+z:d,d+dv,z:d+z:d) 为曲面S在点M(x,Y,z)处的微分向量. (a)二微分向量D.一{z:,du,z~du}与一 {x’dv,dv,z”dv}称为曲面S在点M处的偏微分向 量. (b)曲面S在点M处的两个切向量的向量积 li七I —×一五DuDv一z一 IzzI l芰z4:l1t.一l量耄l+l雯雯l七 为曲面在点M处的法向量n. (c)令A,B,C分别为法向量n一×T的三 个投影.则 A— l雯茎l;B=一l雯l;c—l量雯1. 3曲面的面积元素 1)设曲面的方程为z-=f(x,),且f(x,) 在上具有连续的偏导数. 用三种不同的方法分割曲面分别考察曲面 的面积元素. (a)用分别平行于XOZ面及yoz面的两组平面 与曲面.s的交线分割曲面.s.每个小曲面片AS所 对应的切平面增量?T绝大多数为平行四边形.因 此dT为曲面的两个偏微分向量的向量积的模. 8iJ七8 dS=dT=l×Dyl—IIdx0zlI一 00dydy0 l—f~dxdyi—f’ydxdyj-{-dxdykl一 ?1+().+().dzdy=,x/—Az.-{-B—z.-{-Czdzd[21. (b)用垂直于xoy面并且分别平行于xoy面内 二向量zl一{cosS~,sin01)由xoy坐标面到鲫坐标面的坐标变换. 即 lld. (c)用位于曲面上的任意分段光滑的曲线网 分割曲面.过该曲线网作母线平行于z轴的柱 面,从而得到每个小曲面片?所对应的切平面增 量AT以及它们在xoy面上的投影?,均为不规 则图形. 分别以每个小曲面片?上任意点(圣,多,乏) 为新原点6,以该点处向上的单位法向量n.一 {COSG,cosfl,cos7)(cos7>0)方向为新竖轴轴,以 该点处的切平面为新坐标勖面.新坐标系6一 仍按右手系并且满足正交性.空间坐标变换公式 一 (x--h)cosa1+(y--))cosfl1+(z--~)cosY1 7/=(x--&)cosa2+(y--))cosfl2+(z--~)cos72. 一 (x--&)cosa+(y--))cosfl+(z--~)cosY 其中变换矩阵 fcos口1cosfl1cost11 G—ICOS~2cosfl2cost2J 【CO$~tcosflcos7J 第23卷第6期李晓萍:曲面的微分向量与面积微元——基于向量代数的启发性推导57 lcosfl1cosy1I ?一ICOSCOSy一2I’I,,I 1cos口1cost1l c0s一lCOS6f2COSy2l’l,l COSY=c1 COS 1.1.() lcos口22I 而第三个行向量恰好是曲面S在任意点(圣,,乏) —=== 1 =====(A,雪,e)(e>0). ?A+雪+e A一-f’A./:,),雪一一(圣,),e一1.(2) 由平面的坐标变换dT—l煮叁ldd.其中 I曼望2I一0cosa+f’cosrcosaz+f.cos7z0一I a(,)10cosfl1+f:cosr1cosfl2+]”,cost20 Il_IAcosa.s+Cc.s l?垦垦?l , Il_厕一. 七yll_ d—d丁一 三卢兰ydd一 上式称为曲面的面积元素的混合积形式.充分说明 无论如何分割曲面,曲面的面积元素dS都等于 曲面的两个偏微分向量的向量积的模.即以二偏 微分向量为邻边的平行四边形的面积.这就是dT 的几何意义. 2)设曲面的隐函数方程为F(x,Y,z)一0.F (,Y,z)具有连续偏导数且?0.则结论相同.其 中A一一~gz一FL , B一一考一爱,c_1. 3)设曲面的参数方程为.27一(,),Y—Y (,),Z:Z(U,).其中函数x(u,),y(u,),z(u, )具有连续的偏导数,且A,B,C不同时为零.则 曲面的面积元素的混合积形式为 0:z:0 dS-----dT=9Y:z:lIdudv= 0cos口cosflcost0 /=dd. 4平面面积元素的坐标变换 … 性一 篓i童dd一 l:一:ldd一l号篆等ldd. 5空间体积元素的坐标变换 作X=X(U,,);—(,,);z—z(, ,).在oxyz空间的体积元素dV为三个偏微分 向量 Du一(:d,du,zLdu); D=(x”dv,dv,d); D一(,d,z} 的混合积的绝对值.即dV等于以三个偏微分向量 ,,为棱的平行六面体的体积. 58北京工商大学(自然科学版)2OO5年11月 dV=IEDDD]I— Y Y . .y x”du x’dv .y:d y’~dv :d x’ ~dwy’~dwz”dw ddd一 11dudvd硼. 综上所述,在微观上曲面微元d.s与平面微元 d盯惊人地相似,都具有平行四边形的面积的形式. 空间体积的微元d则仍保持平行六面体的体积的 形式.无论如何作变换它们的几何形式都不改变. 平行边界的几何形式已经渗透了整个微观世界. 参考文献 [1]同济大学数学教研室.高等数学(第5版)[M].北京: 高等教育出版社,2002. E2]江泽坚.数学分析[M].北京:人民教育出版社,1964. [3]菲尔金哥尔茨.微积分学教程[M].北京:人民教育出 版社,1957. DIFFERENTIALVECToRANDAREAELEMENT oFASURFACE HEURISTICDEDUCTIoNBASEDoNVECToRALGEBRA LIXiao—ping (DepartmentofBasicStudies,BeijingTechnologyandBusinessUniversity, Be(ring100037,China) Abstract:Thispapermainlymakesthedeductionofcalculatingexpressionsof areaandvolumein classicalcalculussimple.Ontheotherhanditintroducesthemixedproductofa reaelementfor curvedsurfaceandSOon. Keywords:differentialvector;areaelement;volumeelement (责任编辑:王宽) (上接第13页) STRUCTURESANDAPPLICATIoNSoFPoLYNUCLEAR LANTHANIDEoRGANoMETALLICCoMPLEXWITH CYCLoPENTADIENYLLIGAND FENGChun—hua,GA0Li—hua (CollegeofChemicalandEnvironmentalEngineering,BeijingTechnologyandBusiness University,Be(ring100037,China) Abstract:Thisreviewistodiscussthestructuralcharacteristicofdi—andpoly nuclearlanthanide organometalliccomplexwiththecyclopentadienylligandaccordingtothenumberofrareearth atom,andapplicationsintheareaofcatalysis. Keywords:cyclopentadienyl;lanthanideorganometalliccomplex;crystalstructure;catalysis (责任编辑:叶红波)