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高等学校攻读硕士学位 研究生入学考试高等代数
集锦
嘉应学院数学学院
二00九年七月
目 录
bjsfdx北京师范大学(2004,2003,) hebgydx哈尔滨工业大学(2009,)
hnlgdx华南理工大学(2009,2006,2005) hnsfdx华南师范大学(2007,2003,2002) hzkjdx华中科技大学(2004,)
hzsfdx华中师范大学(2006,)
kmlgdx昆明理工大学(2008,)
lzdx兰州大学(2002,)
nkdx南开大学(2006,2005,2003,) stdx汕头大学(2005,2004,2003,2002,2000,1999,1998)
sxdx三峡大学(2006,)
sxsfdx陕西师范大学(2005,)
szdx深圳大学(2004,)
xadzkjdx西安电子科技大学(2001,)
xbdx西北工业大学(2004,2000(1),2000(2),1999(1),1999(2),)
xmdx厦门大学(2004,)
xndx西南大学(2006,)
zgkxy中国科学院(2003,1997,1996,)
2
北京师范大学
2004年
n1(试用元初等对称多项式表述下列多项式 x?x,k,1,2,?,n,ii1ki,?,i1k
2n,2,(x,x)(1) ; 12
2n(2) ,此处表示对脚标进行所有可能的元置换后对不同的项求xx,,12
和;
4(3) 。 x,1
222(设变换定义为 ,:R,R
xx,y,z,,,,,,,,y,2x,y,z, ,,,,
,,,,zy,z,,,,
,(1) 证明是一个线性变换;
,(2) 求出在下述基底下的矩阵:
100,,,,,,,,,,,,,0,,1,,0eee ,,,,,,123
,,,,,,001,,,,,,
,(3) 求出在下述基底下的矩阵:
110,,,,,,,,,,,,,,1,,,,1,,,1 ,,,,,,123
,,,,,,121,,,,,,
,,,,,e,e,e(4) 写出从到的过渡矩阵。 123123
3(已知线性方程组
xxa,,,121,x,x,a,342 ,xxb,,131,
,xxb,,242,
(1) 求出系数矩阵的秩;
(2) 给出方程组有解的充分必要条件。
3
''',(x,x,?,x),XAX4(令实二次型,其中,A,A,(a),X,(xx?x)12nijn,nn12
n设与分别是的最大与最小特征值。则对任意的个实数,,A12
b,b,?,b均有 12n
222222' ,(b,b,?,b),(bb?b)A(bb?b),,(b,b,?,b)112n12n12n212n
,,,,?,,n,5(令是一个维欧氏空间,是的一个
正交基,是的VVV12n
A,(a),一个线性变换,是关于这个基的矩阵,证明 ijn,n
a,,,(,),,,,i,j,1,2,?,n. jiij
rs,np(x),(x,,)(x,,),6(设是维向量空间的一个线性变换,是的极V
小多项式,此处和是不同的复数。令 ,,
rrrrV,ker(,,,),{,,V|(,,,),,0},V,ker(,,,),{,,V|(,,,),,0},,
VV,证明:(1) 和都是的不变子空间; ,,
V,V,V(2) ; ,,
rs,|(x,,)(x,,)(3) 的极小多项式是,的极小多项式是。 ,|VV,,
2003年
1((1) 计算排列87162534的逆序数,并依次写出将上述排列变成12345678
的所有对换。
i,i,?i,ii,i,?i,in(2) 设个数码的排列的逆序数是,那么排列的逆k12n,1nnn,121序数是多少,请说明理由。
2(设
,10?00,,,,,01?00,,
,,,00?00,,,(), Jn??????,,
,,,000?1,,,,000?0,,,
4
J(,)是数域上的一个n阶若当块,试写出与可交换的域上的全体n阶矩阵。 FFn
3(一个大于1的整数若其因子只有1和本身,则称之为素数。证明是素p
数当且仅当任取正整数,若,则或。 a,bp|abp|ap|b
4(已知
axaxaxf,ecosbx,f,esinbx,f,xecosbx 123
1ax2ax2ax f,xesinbx,f,xecosbx,f,xesinbx4562
是六个实函数,它们生成的子空间记作。说明维商是上的一个线性变换,DVV
f,f,f,f,f,f并求在基下的矩阵。 D123456
,,,,?,,n,5(设域上的维线性空间的一个线性变换在基底下的矩FV12n
阵为
,a10?00,,1,,,a01?00,,2
,, A,??????,,
,a00?01,,,1n,,,a00?00n,,
,(1) 求的特征多项式;
n(2) 维向量空间有循环基底吗,若有,试求之; V
,(3) 求的极小多项式并说明理由。
6(设是一个数域,是上的未定元,二阶矩阵 FF,,,
,,aa()(),,1112,,, A(),,,aa,,()()2122,,
a,F[,],1,i,j,2F[,]其中,是域上的一元多项式环。运用带余除法证明Fij
A()F[,],可通过行与列三种初等变换(其中第三种变换允许将某行(列)乘以中
的多项式加到另一行(列)上)化为
,c()0,,1,,,C (),,,oc,()2,,
cz(,)|c(,)的形式,且。 12
5
哈尔滨工业大学
2009年 1. 设P是一个数域,,。证明若,则fx()gx(),Px[]fxgx(),()1,,,
。 fxgxfxgx()(),()()1,,,,
3,2(在中,线性变换对于基 R
,,,,,,,,(1,0,2),(0,1,1),(3,1,0) 123
的象为
,,,,,,,,(5,0,3),(0,1,6),,,,,,(5,1,9) 123,,,,,,求在上的矩阵。 A123
111200,,,,,
,,,,3( 设矩阵。且与相似。 A,,,242,B020AB,,,,
,,,,,,3300ab,,,,
(1) 求ab,;
,1P(2)PAPB, 求一个可逆阵,使。
mm4(称矩阵为幂零矩阵,如果存在正整数使得。试证 A,0A
nn(1) 若为阶复幂零矩阵,则; A,0A
AkE,n(2) 若为阶复幂零矩阵,则对任意非零常数,都可逆。 Akn
,,,,,,,,,,(1)(2)5(设向量组线性无关,并且可由向量组线性12r12s
(2)(1)(2)表出。那么,并且,以适当地排列组中向量的次序,使得组替换组rs,
r,,,,,,,,,,(2)地前个向量后所得到地向量组,与组等价。 12r12s
AB,,nABCD,,,6(设其中均为阶矩阵,且是可逆对称矩阵,AX,,,,CD,,
''TXTBC,。证明存在可逆矩阵,使为分块对角阵。 T
VV、VVVn7(设是维欧氏空间的子空间,且的维数小于的维数。证明V12122
6
V中必有一非零向量正交于中的所有向量。 1
M8(令表示数域上一切n阶方阵,所组成线性空间,设Fn
''SAMAA,,,{|},TAMAA,,,,{|},证明 nn
M 都是的线性子空间; (1)ST,n
MST,, 。 (2)n
n9(设和都是阶正定方阵,则方程的根都是正的,并且当||0,AB,,AB
且仅当时,所有的根都等于1。 AB,
nn,ABCP,,,11(设,试证。 rABCrABrBCrB()()()(),,,
7
华南理工大学
2009年
mg(x),s(x)g(x)1(设是中的非零多项式,且,这里,f(x),g(x)P[x]m,11
。证明不存在,且,(s(x),g(x)),1,s(x)|f(x)f(x),r(x),P[x]r(x),011
使得 ,(r(x)),,(s(x))
f(x)f(x)r(x)1,, mm,1g(x)s(x)s(x)g(x)1
P[x],n2(设表示数域上所有次数的多项式及零多项式构成的线性空间,Pn
f(x),(x,a)?(x,a)(x,a)?(x,a)令多项式,其中i,1,2,?,n,且i1i,1i,1na,a,?,an是数域中个互不相同的数。 P12n
f(x),f(x),?,f(x)P[x](1) 证明是的一组基; 12nn
n,1a,a,?,a1,x,?,xn(2) 在(1)中,取为全体次单位根,求由基到基12n
f(x),f(x),?,f(x)的过渡矩阵。 T12n
2n3(设A,Ar(A),r阶方阵满足,且的秩。 AA
(1) 证明tr(A),r,这里的迹tr(A)定义为的主对角线上的元素之和; AA(2) 求|A,E|的值。
,,,,,,,,,,,,4(设是欧氏空间的一组标准正交基,设,V1231123
,,,,,,,W,L(,,,),。 212312
(1) 求的一组标准正交基 W
,(2) 求W的一组标准正交基
,,,,,2,,,,,,,,,W,,W(3) 求在中的内射影(即求,使),并W23
,求到的距离。 W
,nf(x),g(x),P[x]5(设是数域上的维线性空间的线性变换,,证明 PV
8
,1,1,1f,()(0),g(,)(0),(f(,)g(,))(0)(1) 。
(2) 当与互素时,有 f(x)g(x)
,1,1,1f,()(0),g(,)(0),(f(,)g(,))(0)
'f(x,x,?,x),XAXn6(设为元实二次型,若矩阵的顺序主子式A12n
,(k,1,2,?,n)f(x,x,?,x)都不为零,证明可以经过非退化的线性替换化为k12n下述标准型
222 ,y,,y,?,,y1122nn
,i,,1,,,i,1,2,?,n这里,并且。 0i,i,1
m,nn,s7(设数域A,B分别为数域上的与矩阵,又P
s,1n,1W,{B,|AB,,0,, 为 P上的s 维列向量,即 ,,P}n是维列向量空间P的
子空间,证明
dim(W),r(B),r(AB)
n8(设f(X,Y)为定义在数域上的维线性空间上的一个双线性函数,证PV
nnn'f(X),bx明可以表示为两个线性函数,f(X,Y),XAX,axx,,,1iiijij,1i,,11ij
nf(Y),cy之积的充要条件是f(X,Y)的度量矩阵的秩。 A,1,2ii,1i
2006年
f(x),g(x)f(x)|g(x)1(设是数域上的多项式,证明当且仅当对于任意的F
nnnf(x)|g(x)大于1的自然数,。
,1n(E,A)(E,A)2(设是一个阶实矩阵,证明是正交矩阵,当且仅当是AA
反对称矩阵。
4R3(求下面的矩阵的列空间在中的正交补的一个标准正交基 A
9
1,11,1,,,,1,1,11,, A,,,1,1,22,,,,2,21,1,,
b,b,?,ba,a,?,a4(设为数域上的互不相同的数而为数域上的任FF01n01n
f(a),b,0,i,nn意的数。证明在上存在唯一的次多项式使得。 Ff(x)ii
nn5(设为阶复矩阵,证明为对称矩阵的充要条件是存在阶复矩阵,AAB
''使得,这里表示的转置矩阵。 A,BBBB
26(设为正定矩阵,则存在正定矩阵使得。由此证明每一个可逆A,SAS
实矩阵都可以表示为一个正交矩阵与一个对称矩阵的乘积。 B
7(设是欧氏空间而是的有限维子空间,证明在中一定有正交补。 VWVWV
V,M(F)n8(设表示数域上的阶矩阵的向量空间,对于,定义FA,Vn
'',(A),A(A是A的转置矩阵)。
,(1) 证明是一个线性变换;
,(2) 求的全部特征子空间;
,(3) 证明可以对角化。
n9(设f(x),g(x)是数域上的互素的多项式,是上的阶矩阵,证明齐FAF次线性方程组f(A)g(A)X,0的解空间f(A)X,0的解空间与g(A)X,0的解空
n间的直和(其中表示维列向量)。 X
432f(x),x,x,x,x,1f(x)10(设。(1)将在实数域上分解因式;(2)证
,2f(x)明在有理数域上不可约。由此证明不是有理数。 cos5
2005年
(f(x),g(x)),11(证明,如果,那么
(f(x)g(x)(f(x),g(x)),f(x),f(x)g(x),g(x)),1 2(问取何值时,方程组有唯一解、无限多解、无解,并在有解时给出解,
的结构。
10
,,x,x,x,1123,,,x,x,x, ,123
,22x,(1,,)x,(1,,)x,,,,123,
3(判断下面的矩阵是否可对角化 A
366,,,,A,020 ,,
,,,3,12,6,,
r4(证明秩为的矩阵可表示成个秩为1的矩阵之和。 r(r,1)
n5(设为阶实对称矩阵,分别为其最大与最小特征根,证明对于任,,,A
n''''X,R,,XX,XAX,,XX意的,这里是的转置矩阵。 XX6(设为正交矩阵,的特征根均为实数,证明为对称矩阵。 AAA7(设为实对称矩阵,证明的特征根全部相同的充要条件是存在A、BA、B
,1正交矩阵,使得TAT,B。 T
'AA是A8(设是一实矩阵,的转置矩阵,证明 n,n
'(1) 齐次线性方程组与同解; AAX,0AX,0
'(AA)(2) 秩(A),秩;
''sAAX,AA(3) 方程组(其中是任一维列向量)一定有解。 B
9(设为欧氏空间中的一个单位向量,定义 ,V
,(,),,,2,,,,,,
,其中表示与的内积,证明 ,,,,,,
,(1) 是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射;
,,,,,V,,,(2) 对任意的,若均为单位向量,则存在镜面反射,使得
,(,),,,并求这个镜面反射的特征值及所对应的特征子空间。
'nA10(设是一个阶矩阵,证明与相似。 AA
11
华南师范大学
2007年 1(回答问题
(1) 设是数域上的多项式,在什么条件下,由f(x),g(x)F
可推出; f(x)|h(x),g(x)|h(x)f(x)g(x)|h(x)(2) 下列变换那些保持矩阵的秩不变:初等变换,相似变换A,B
,1'',转置变换,右乘变换,正交变换; A,TATA,AA,TATA,AC
n(3) 写出阶方阵可逆的五个等价条件; A
,,,,?,,(4) 在欧氏空间中,写出向量组正交化后得到的正交向量组V12m
,,,,?,,; 12m
f(x,x,?,x)(5) 写出实二次型的
形,并对此规范形写出符号差和秩。 12n
2(设线性方程组
,,,4xxkx,123,2,x,kx,x,k ,123
,x,x,2x,,4123,
取何值时,方程组无解,有唯一解,有无穷多解;在有解时写出它的通解。 k
n(n,1)3(设阶方阵, A
1a?a,,,,a1?a,,A, ,,????,,,,aa?1,,a关于,讨论矩阵的秩。 A
4f(x),x,x,14(设多项式,证明
f(x)(1) 无有理数的根;
f(x)Q(2) 在有理数域上不可约。
,5(设是有限维向量空间上的线性变换,证明 V
12
W,L(,,,,?,,),,,,?,,(1) 若是由生成的子空间,则12t12t,(W),L(,(,),,(,),?,,(,)); 12t
V,W,W,?,W,(2) 若且是可逆的,则12s
,(V),,(W),,(W),?,,(W)。 12s
46(设向量空间(是数域)的基FF,,(0,1,1,1),,,(1,0,1,1),,,(1,1,0,1),,,(1,1,1,0),,线性变换关于基1234
,,,,,,,的矩阵是 1234
1201,,,,2011,, A,,,0120,,,,1101,,
,,(2,1,1,1),,,(1,2,1,1),,,(1,1,2,1),,,(1,1,1,2),又有基 1234
,,,,,,,(1) 求,,(1,,2,0,1)的像()关于基的坐标; ,,1234
,,,,,,,,,,,,,,(2) 求基到基的过渡矩阵。 12341234
7(设是有限维的欧氏空间,证明 V
,,{0},V,V,{0}(1) ;
,,U,WW,U(2) 对于的子空间,由可得; W,UV
,,,(U,W),U,W(3) 。
222f(x,y,z),x,3y,z,2bxy,2xz,2yz8(已知二次型的秩是2,求参数
f(x,y,z),4,并指出方程表示什么曲面。 b
2003年
1. 证明行列式等式
13
a,xa,x?a,x,,11121n,,nna,xa,x?a,x,,21222n ,|A|,xA,,ij,,????,,11ij,,,,a,xa,x?a,x12nnnn,,
|A|,|a|Aa|a|其中,是在中的代数余子式。 ijijijij
m2. 设是数域上的多项式,是一正整数,证明 f(x),g(x)F
mmf(x)|g(x),f(x)|g(x)
'X,(x,x,?,x)m,ss,n3.(1) 设是矩阵,是矩阵,,证明线性方ABn12程组与同解的充要条件是秩秩。 (AB),ABX,0ABX,0
''m,s(AA),(AA),(2) 设是实数矩阵,证明秩秩秩。 AA
2,24. 设R是实数域,为所有2阶实方阵构成的线性空间。对于固定的实R
2,2数a,b,c,d,R,定义R上线性变换, T
ab,, ,,T:X!X,,cd,,
10010000,,,,,,,,(1) 求在基,,,下的,,,,,,,,T,,,,EEEE1234,,,,,,,,00001001,,,,,,,,
矩阵;
ab12,,,,,,,,(2) 若,将线性变换对角化并给出变换的矩阵。 T,,,,,cd21,,,,
a5. 设实对称矩阵的特征值全大于,与同阶的实对称矩阵的特征值AAB
全大于。 b
证明 (1) 和都是正定矩阵; A,aEB,bE
(2) 的特征值全大于。 A,Ba,b
2002年
1(计算行列式
14
xaaa?a123n
axaa?a123n
aaxa?a123n D,1,naaax?a123n
??????
aaaa?x1234
2(设是数域上的多项式,,。f(x),d(x)f(x)g(x),d(x)g(x)f(x),g(x)F11证明是的最大公因式当且仅当(f(x),g(x)),1。 d(x)f(x),g(x)11
c3(设是复数,并且是有理数域上的一个非零多项式的根,令Q
。证明中存在唯一的首项系数为1的多项式,J,{f(x),Q(x)|f(c),0}p(x)J
使得对于任意f(x),J,f(x),p(x)q(x),q(x),Q(x)。
m,nm,sn,s4(设是矩阵,是矩阵,证明存在矩阵满足的ABAX,BX充要条件是秩(A,B),秩。 A
,,,,?,,5(设是数域上的线性空间,中一组向量生成的子空间是FVV12tL,(,,,?,,),{x,,x,,?,x,|x,x,?,x,F}。证明 12t1122tt12t
L(,,,,?,,),,,,?,,(1) 是所有包含的子空间中的最小者; 12t12t
dim[L,(,,,?,,),L,(,,,?,,)],秩{,,?,,,,,?,,}(2) ; 12k12m1k1m
,,,,?,,,,,,,?,,(3) 若是中两组线性无关的向量,则V12k12m
L,(,,,?,,),L(,,,,?,,),,,,?,,,,,,,?,,是直和当且仅当线性12k12m12k12m无关。
n6(设是实数域上阶对称矩阵,对于AR
''n'n,,(x,x,?,x),,,(y,y,?,y),R(,,,),,A,R,定义。证明在此定12n12n
义下构成欧氏空间的充分必要条件是为正定矩阵。 A
3R7(设实数域3维线性空间上的线性变换定义为,
V,V,V,,,,,,(x,y,z),(2x,y,y,z,2y,4z),设分别为其特征值的特征,,,123123
15
子空间。
U,V,V,V(1) 求; ,,,123
(2) 能否对角化; ,
,|,|(3) 证明可以对角化,求出的一个基,使在此基下的矩阵为对角UUU形,并写出此对角形矩阵。
222f,3x,3x,2x,2bxx(b,0)8(已知二次型通过正交替换化为标准形12312
222f,y,2y,5y,求出参数和相应的正交矩阵。 b123
16
华中科技大学
2004年
n1(设是阶方阵,证明可逆当且仅当存在常数项不为0的多项式,g(,)AA
使得。 g(A),0
2A,E,A,,E2(设是一个3阶方阵,且,证明与中有一个AA,EA,E
秩为1,另一个秩为2,其中为3阶单位阵。 E
m,nm,s3(设是一个实矩阵,是一个实矩阵,证明矩阵方程AB
TTTAAX,AB一定有解。其中A为的转置矩阵。 A
a,,,,a,,n4(设为阶方阵,求的最小多项式。 A,A,,?,,,,a,,
n5(设为正定矩阵,证明可以表成个半正定矩阵之和。 AA
TT6(设A,AAB,BA,证明可逆当且仅当存在矩阵,使得正定。 AB
22,,,,,,,,,,7(设为中线性变换,且,证明KerKer当且仅当,,,V
,,其中Ker为的核。 ,,,,,,,,,,
AB,BA,A,B8(设为实对称矩阵,为实反对称矩阵,且可逆,证明AB
,1(A,B)(A,B)为正交矩阵。
P[X]9(设为中线性变换,且 ,,,
',(f(x)),f(x),,(f(x)),xf(x) ,,,,,,,,证明,其中为单位变换。
n10(设是阶方阵, A
nnW,{x,R|Ax,0},W,{x,R|(A,E)x,0} 12
nR,W,W证明为幂等矩阵当且仅当。 A12
17
华中师范大学
2006年
n1(计算阶行列式
2x,aaaaaaa?aa111213141n2aax,aaaaa?aa212223242n2aaaax,aaa?aa313233343n D,n2aaaaaax,a?aa414243444n
??????
2aaaaaaaa?x,an1n2n3n4nnxx?x,0其中。 12n
,,(a,a,?,a),,,(a,a,?,a),?,,,(a,a,?,a)2(设,且111121n221222nrr1r2rn
,,(b,b,?,b),,,,?,,,,,,?,,,,线性无关,,证明线性相关的充要12n12r12r
条件是线性方程组
axax?ax,,,,0,1111221nn,ax,ax,?,ax,0,2112222nn ,????????????,
,ax,ax,?,ax,0r11r22rnn,
bx,bx,?,bx,0的解都是方程的解。 1122nn
3(是实数域,是线性方程组 RV
xxxxx2,4,2,4,7,0,12345,2x,2x,4x,x,0,1345 ,xxxxx3,1,4,4,4,012345,
,xxxxx4,2,6,3,4,012345,
的所有构成的集合。
5R(1) 证明是(列向量组成的空间)的子空间; V
(2) 求的基与维数; V
5',(,,,),,,R(3) 求的正交补的基与维数(的内积) VV
V,{f(x),P[x]|f(x),0或,f(x),n}4(设是数域,,P
18
n,1n,2n,1,f(x),ax,ax,?,ax,a,V,:f(x),ax,规定。 n,1n,1n,210(1) 证明,是的线性变换; V
n,1n,2x,x,?,x,1,(2) 求在基下的矩阵;
,1,(0),(3) 求在核的基;
,(4) 求的所有特征值和特征向量。
n,nA,B,P5(设是数域,,,且,证明 PC,AB,BABC,CB
kkk,1(1) 对于大于1的自然数,有; AB,BA,kBCk
''f(,)f(B)C,0(2) 设是的特征多项式,是的微商,则。 f(,)f(,)B
n,n6(A,R实数域,,且是对称矩阵。 RA
,(1) 证明A的伴随矩阵也是实对称矩阵; A
,(2) 试问A与
的充分必要条件是什么,并证明你的结论。 A
,,,,?,,,,,?,,n7(设是数域上的维线性空间,是的PVV12rr,1n
V,L,(,,,?,,),V,L(,,?,,)基,。 112r2r,1n
V,VV,V,V(1) 证明是的直和(即); V1212
VV(2) 设是的线性变换, 是的线性变换, 求的线性变换,使得ABVC12
VVVV与为不变子空间,并且在与上的限制分别是 C1212
C|,A,C|,B。 VV12
19
昆明理工大学
2008年
010?00
101?00
010?001(求 。 D,n???
000?01
000?10
2(x,1)2(求多项式函数被除所得余式。 f(x)
222xyz,,3(已知,且,求。 x,y,z,0xyz,0yzxzxy
x,2x,3x,x,,6,1234
,x,x,x,x,712344. 解方程组 。 ,2x,x,x,1123,x,x,x,3,234
5(证明一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关
组。
n110,,,,6(求。 011,,001,,
12,1,,,,7(设,,求。 A,X,AXA,122X,,,1,10,,
8(设是实对称矩阵,证明:半正定的充要条件是对于任意的实数,AA,,0
(,E,A)正定。
109(设A,0,且可以对角化,证明。 AA,0
,,,,?,,n10(设是维欧氏空间V中一组向量, 12n
(,)(,),,?,,111n
D,???
(,)(,),,?,,n1nn,,,,?,,证明是V中一组基的充要条件是。 D,012n
20
兰州大学
2002年
1(已知空间四个平面
axbyczd,,,,: 11111
axbyczd,,,,: 22222
axbyczd,,,,: 33333
axbyczd,,,,: 44444
(1) 讨论这四个平面组成四面体的条件; (2) 求出这四个平面组成的四面体的体积。 2(设fx()是整系数多项式,gxfx()()1,,至少有三个互不相等的整数根,
证明fx()没有整数根。
3(任意一个实数域上的二次型,经过一适当的线性替换可以变成规范形,
证明规范形是唯一的。
2nAE,4(设是阶实矩阵,证明:是对合矩阵(即)的充分必要条件是:AA
秩秩()()AEAE,,,。
,fxgxhxPx()()()[],,5(设是属于 上的线性空间上的线性变换,是PV
,1,1Vg,(())(0),Vh,(())(0),使f()0,,的多项式,并且gx()与hx()互素,令,,12
VVV,,VV,证明:(1)与都是—子空间;2) 。 1212
,6( 设V是一个欧氏空间,是V上的一个线性变换,证明下列条件等价
,(1) 是V上的正交变换;
,,,(2) 对任意,V,; ,,,,,,()+(),,
,,(()+())=(+),,,,,,,(3) 对任意,V,。
21
南开大学
2006年 1((1) 设
1,1,1,1,,,,,11,1,1,, A,,,,1,11,1,,,,,1,1,11,,A又为中的元素在中的代数余子式,试求 (i,j)|A|Aij
4
A ,iji,j,1
(2) 试证明行列式
127913569
7713325117 51432599
131558771
的值能够被8整除。
2((1) 设
100211,,,,,,,,B,012A,312, ,,,,
,,,,1,10312,,,,,1,1ABA试求,。
1y2310,,,,,,(2) 试将矩阵写成若干个形如与的矩阵的乘积。 ,,,,,,,,,,,,35x101,,,,,,3(设线性方程组
xxxxx2,,3,,,0,12345,xxxx3,2,2,,0 ,1245
,3x,x,9x,x,x,012345,
5,R的解空间为,试求在(标准度量)中的正交补V的一组标准正交基。 VV
,,n(n,3)4(设为数域上的维线性空间上的线性变换,的特征多项式PV
22
为
12nn,n,f,(),,,a,,a,,?,a,,a 1210n,n,
122试证明,其中表示线性变换的迹。 a,((tr(,)),tr(,))trn,22
'f,XAX5(设是一个非退化的二次型,其中为对称矩阵,证明可用fA
正交变换化为规范形当且仅当是正交矩阵。 A
n,n6(设是P的一个非空子集,假定满足下列条件: MM(1) 中至少有一个非零矩阵; M
(2) ; ,A,B,M,A,B,M
n,n,A,M,X,P,AX,M,XA,M(3) 。
n,n证明M,P。
n7(设为阶方阵,将作分块 AA
AA,,12,, A,,,AA34,,A,AA其中分别为阶和阶方阵(1,k,n)。已知为可逆矩阵,又kn,k144
'B,(b,b,?,b)为一个列矩阵,作线性方程组 n12
AX,B
'X,(x,x,?,x)x,x,?,x其中,为未知数。证明 n1212n
,1A,AAA(1) 若可逆,则线性方程组有唯一解; 1243
1'',B,(b,b,?,b)B,(b,?,b)B,B,AAB(2) 设,,。若kk,n3124211221
11,,r(A,AAA,B),r(A,AAA),k,则线性方程组有无穷多个解;若124331243
11,,r(A,AAA,B),r(A,AAA),则线性方程组无解。 124331243
2005年 1(计算下列行列式
23
?111
?x,1x,1x,112n222。 ?,?,n,2x,xx,xx,x1122nn
????
n,1n,2n,1n,2n,1n,2?x,xx,xx,x1122nn2(设齐次线性方程组
x,ax,bx,0,234,,x,cx,dx,0,134 ,ax,cx,ex,0124,
,bx,dx,ex,0123,
x,x的一般解以为自由未知量。 34
(1) 求 a,b,c,d,e满足的条件;
(2) 求齐次线性方程组的基础解系。
531,830,,,,,,,,A,1,3,2,B,,5903((1)已知且,求X=? XA,B,,,,
,,,,,521,2150,,,,
,2111b,,,,,,,,A,1,21,B,2a(2)已知,且矩阵方程有解,求AX,B,,,,
,,,,11,2a2,,,,
a,b,X。
,,,,,,fx,x,?,x,XAXgy,y,?,y,YBY4(设和均为实数域上n元二12n12n
,,A,DBD,B,CAC次型,且存在实数域上n阶方阵C和D使得,证明:
,,,,fx,x,?,xgy,y,?,y和具有相同的规范形。 12n12n
4P5(设 为数域.已知上两组向量组
,,,1,0,1,1,1,1,1,1,,,,,,11,,,,,0,,1,1,2,1,1,0,2,,,,,,22 ,,,,,,,,,1,,1,3,3,1,0,0,333,,
,,,,,,,,,2,,2,5,6,3,2,1,644,,
4,试问是否存在上的线形变换,使
,,,,,,,i,1,2,3,4。 ii
24
3226( 设V为数域 上n维线形空间,,为V上线形变换.已知,,,,但,,试问是否存在V的一组基使在这组基下的矩阵为对角矩阵, ,
n7(设A为n阶正定实对称矩阵,,,,,?,,,,为n维欧式空间(标准R12n
度量)中的n+1个向量.若已知
,1,0i,1,2,?,n;,,,,i
,,,2A,0i,j,i,j,1,2,?,n;,,,, ij
,,,,3,与,正交i,1,2,?,ni
证明。 ,,0
8(设V为数域 上n维线形空间(n1).证明:必存在V中一个无穷的向,
,,量序列使得中任何n个向量都是V的一组基。 ,,,,,,iii,1i,1
2003年
1(判断下列论断是否正确。若正确,给出简要证明;若不正确,请举反例说明。
,,,,?,,m(1) 如果向量生成子空间,则的维数为。 SS12m
322A,A,A,0(2) 设A,A为方阵,且,则。 A
nW,WV,W,W(3) 设是数域上维线性空间,是的子空间,且PVV1212
dimW,dimf(W),i,1,2f:V,Vf是线性变换,如,则一定是双射。 ii
n(4) 设是复数域上维线性空间,f:V,V是线性变换,则中存在VCV
f唯一的基(基向量的次序除外)使在这一组基下的矩阵为若当标准形。
2(计算下列行列式的值
a,bca,bc?a,bc111212n1n
a,bca,bc?a,bc121222n2nd, ????
a,bca,bc?a,bc1n12n2nnn其中。 n,3
e,e,ef:V,V3(设是数域上的3维线性空间,线性变换在的基下PVV123
25
的矩阵为
2,12,,,, 5,33,,
,,,10,2,,
e,e,e,e,e(1) 求线性变换在的基下的矩阵; fV11213
(2) 求线性变换的特征值和特征向量; f
(3) 线性变换可否在的某组基下矩阵为对角形,为什么, fV
e,e,e4(设是数域上的3维线性空间,线性变换在的基下f:V,VPVV123
的矩阵为
46,15,,,,A,13,5 ,,
,,12,4,,问f可否在的某组基下矩阵为 V
1,33,,,,B,,2,613 ,,
,,,1,48,,为什么,
44RR5(设是具有通常内积的欧氏空间,是的子空间。 W
(1) 如是下列方程组 W
xxxx2,,3,,0,1234,3x,2x,2x,0 ,124
,3x,x,9x,x,01234,
4,R的解空间,求在中的正交补W,? W,?W
,(2) 求和的标准正交基。 WW
n,nn,nA,RR6(设,已知在中的中心化子 A
n,nC(A),{X,R|AX,XA}
n,nRC(A)dimC(A),n是的子空间,证明当为实对称矩阵时,的维数,且等号A
26
n成立当且仅当有个不同的特征值。 A
n7(设是实数域上的维线性空间,W,W是的子空间,且RVV12W,W,{0}。 12
(1) 如(,),(,)分别是W和W上的内积,证明存在上的内积使得(,)V1212
(,)|,(,),i,1,2; Wii
(2) 满足(1)的内积是否唯一,为什么, (,)
,1A,(a)8(设为数域上的可逆矩阵,,PA,B,(b)ijn,nijn,n
nC,(a,cc)c,P,i,1,2,?,n,。令,试证明 d,bc,i,1,2,?,nijijn,ni,iijj,1j
n
detC,detA(1,cd) ,iii,1
27
汕 头 大 学
2005年 1(考虑方程组
x,y,z,t,4,
,,x,y,z,t,4, ,,,x,y,z,(3,)t,6,
,2x,2y,2z,,t,6,
讨论为何值时,方程组(1)有唯一解,并求解;(2)无解;(3)有无穷,
多解,求其通解。
rnn,rn2( 设阶矩阵的秩为,证明存在秩为的阶矩阵及使得ABC
及。 AB,OCA,O
3(求下列矩阵的行列式
1,4,,
,,51,4,,
,,51? D,,,n???,,
,,?1,4,,51,,,,D(即为三对角矩阵,空格处为零元素)。 n
|A,B|,04(设为正定阵,为反对称阵,证明。 AB
nf:V,V5(设为一维线性空间(),又设是线性变换,证明下面的Vn,1
性质是等价的:
,1f(V),f(0)(1) ;
n2f,0,f,0,nf(2) 是偶数,且的秩为。 2
n6(8((汕头大学,2005年) 设为域上的维线性空间。称线性变换FV
ppf,0f,0f:V,V为幂零变换,如果存在一个正整数使得,称满足的最p
nff小整数为的幂零指数。证明幂零变换的幂零指数为当且仅当存在的一组V
{,,,,?,,}基使得 12n
28
f,(,,,?,,),(,,,,?,,)M 12n12n
00?00,,,,10?00,,
,,其中。 M,01?00,,
?????,,
,,00?10,,
cc?c01,,,,01n,1,,,,cc??0?,,,,n,107(设,为循环矩阵(当A,C,,,,?1???c1,,,,,,,,10c?cc,,1n,10,,c,1,c,?,c,0时,)。 C,A01n,1
n(1) 用阶单位矩阵及的幂表示循环矩阵; AIC
(2) 证明任意两个循环阵的乘积是循环阵;
(3) 证明相似与对角阵。 C
8((1) 设p(x),q(x),r(x),s(x)均为实系数多项式,证明多项式
2222{[p(x)],[q(x)]}{[r(x)],[s(x)]}可以表示成两个实系数多项式的平方和。
x(2) 设f(x)f(x),0是实系数多项式, 且对任意实数均有,证明存在实系
22f(x),[g(x)],[h(x)]数多项式g(x),h(x),使得。
,F[x]9(设是一个复数,是数域,为上的所有多项式的集。证明FF
M,{f(,)|f(x),F[x]}p(x),F[x],(p(x)),0是数域当且仅当存在,满足且p(,),0。
2004年
1(计算阶行列式的值 2n
1,a?nn,1?2n,a
??????
1?n,an,1,a?2n 1?n,an,1,a?2n
??????
1,a?nn,1?2n,a
29
2((1) 设是秩为2的3阶方阵,证明可以表示为,其中和分AABBCC别为和矩阵; 3,22,3
m,nn,m(2) 设分别为和矩阵,,证明各自主对B,CA,BC,D,CBA,D角线上的元素之和相等。
3(设为方阵,请根据方程组 A
(I) 和 (II) Ax,bAx,b12
的解的情况((a),(b),(c)三种情况),分别确定如下方程组[1]和[2]的解的情况(有解,无解或不能确定):
[1] (A,b)x,b((A,b)为在右边加列b所得矩阵) A1211
[2] (A,b)x,b((A,b)为在右边加列b所得矩阵) A2122
(a), (I),(II)都有解;(b), (I)无解,(II)有解;(c),(I),(II)都无解。
AA,0Ax,0,4(设为矩阵,,如有非零解,取其一个,令1,n1111
A,,1',,,Ax,0,(表示的转置),如有非零解,再取其一个,令,,A222',,,1,,
A,,2,,A,A,?Ax,0A,如此得,直到只有零解为止。是否存在,使得,A12r13',,,2,,
rA,A,?,为无穷序列,为什么,若序列有限,可否确定的上界,(若能确定,12
则给出上界)。
,,g(x)5(设多项式f(x),g(x),h(x),q(x)满足,且,,,h(x),q(x),,(f(x),g(x)),,d(x),(f(x),q(x))g(x)(f(x),g(x))f(x)的次数不小于1,试证明有重因式。(表示g(x)和的首项系数为1的最大公因式)。
C[x]n6(在次数不超过的复系数多项式线性空间中,定义线性变换 n,1
n,(f(x)),(f(x),ax)x,a 00
aa,nnf(x)f(x)其中是的次项系数(若的次数小于,则0)。 00
nn,1,x,x,?,x,1(1) 写出线性变换在基下的矩阵;
30
,(2) 是不是可逆变换,如是,求其逆变换的矩阵(基同上);如果不是,请
说明理由;
,(3) 是否存在使的矩阵为对角型的基,为什么,
bB,(b,b,?,b)nn7(设是阶实对称矩阵,,都是维列向量,Aj12m
n1(,)ij,1(rs),,'(c)。证明存在,使得,且,,,mnbb,cc,,ijn,m,ijkrks0(,)ij0(r,s),1k,,n2',c(j,1,?,m),,?,,为的特征值(是的特征值)。 BABA,iij1ni,1
2003年
1(设f(x),g(x),P[x],且f(x),0。
(1) 证明若(f(x),g(x)),1,则对任意的h(x),P[x],有
(f(x),g(x)h(x)),(f(x),h(x)) (2) 问若存在h(x),P[x](f(x),g(x)h(x)),(f(x),h(x)),满足,是否一定有
(f(x),g(x)),1,为什么,
(3) 问对任意的h(x),P[x](f(x),g(x)h(x)),(f(x),h(x)),满足,是否一定
(f(x),g(x)),1有,为什么,
n2(计算阶行列式
1234?n,,,,2123?n,1,,
,,3212?n,2,,D, n4321?n,3,,
,,??????,,,,nn,1n,2n,3?1,,
n,nnA,B3(设为矩阵,为阶单位矩阵,证明 E
(A),(B),n(1) 若,则秩秩; AB,0
2A,2A(A),(A,2E),n(2) 若,则秩秩。
'f(x,x,?,x),XAXn4(设是一个元实二次型,当且仅当X,012n
31
''X,(x,x,?,x)时,这里。求证 XAX,0n12
(1) 秩; (A),n
'(2) 或者为正定二次型或者为负定二次型。 XAX
5(在复数域内求矩阵
1010,,,,43,20,,A, ,,,2150,,,,20,13,,
的初等因子、不变因子和若当标准型。
,,,,?,,n,6(设是一组维向量,且是线性空间的一组基,为的线VV12n
,,(),,(i,1,2,?,n,1),,(,),,性变换,满足。 ii,1n1
,,,,?,,,(1) 求在基下的矩阵; 12n
2n,(2) 令,求的特征值和特征向量; ,,,,,,?,,
,(3) 求的一组基,使得在这一组基下的矩阵为对角形。 V
2n,nn,nA,A7(设为实对称矩阵,且。证明存在一个正交矩阵,使AT
得
1,,,,?,,
,,1,1,,, TAT0,,
,,?,,,,0,,
,n8(设是维线性空间的线性变换,用 V
,1,(V),{,,()|,,V},,(0),{,,V|,(,),0}
22(,(V)),(,(V)),(,(V))(,(V))分别表示的值域和核。已知维维(即与的维数
22,(V),,(,(V))相等),这里表示线性变换,的值域,求证
,1,(V),,{0},{0}
32
2002年
1(设为数域上的多项式,证明当且仅当f(x),g(x)f(x)|g(x)P
22f(x)|g(x)。
n2(计算阶行列式
1234?n,,,,1123?n,1,,
,,1x12?n,2,, D,n1xx1?n,3,,
,,??????,,,,1xxx?1,,
222f(x,x,x),(x,2x),(x,x),(x,2x)3(三元二次型是否为正定123122313
二次型,为什么,
4(在复数域内求矩阵
033,,,,A,,186 ,,
,,2,14,10,,的若当标准型。
n,,,,?,,5(设是维向量(),已知向量组,,,,,线性无关且能被n,61212
,,,,,(i,0,1,2),,,,,,向量组线性表出,又向量组可以被向量组线性1,i4,i7,i3678
,,,,?,,表出,试问向量组的秩是多少,为什么, 126
P[x]n6(用表示数域上的次数小于的多项式的全体添上零多项式所组成Pn
P[x]P[x]的线性空间,设的全体线性变换所组成的线性空间为,为的微MDnn
'f(x),P[x]D(f(x)),f(x)商变换(即,对任意的),且设中与可交换的线MDn
N,{T,M|DT,TD}性变换的集合为,即。 N
(1) 证明构成的子空间; MN
(2) 求的维数及其一组基。 N
nV,VdimV,dimV7(设为维欧氏空间的线性子空间,且,证明存在非V1212
33
零向量正交于中的一切向量。 ,,VV21
8(设,是n维线性空间的线性变换,用 V
,1V,,(V),,{,()|,,V},V,,(0),{,,V|,(,),0} 12
,分别表示的值域和核,,,,,?,,是V的一组基,且,,,,?,,是12r12r1
,,,,?,,的原象。令为由,,,,?,,生成的子空间,即W12r12rW,L(,,,,?,,),证明V,W,V。 12r2
n,nn,n9(设均为实对称矩阵,且为正定矩阵,证明存在一个实BA、B
可逆矩阵使得 P
''PAP与PBP 同时为对角形。
2000年
1(计算行列式
2,100?000,,,,,12,10?000,,
,,0,22,1?000,, D,n????????,,
,,0000?,12,1,,,,0000?0,12,,
2(试证明两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
24,3,100,,,,,,,,0x03,x,23(矩阵与是同一个线性变换在两组基下的矩,,,,
,,,,0,71502,,,,
x阵,求。
,,4(欧氏空间,,的线性变换对中任意元素都有 VV
(,(,),,(,)),c(,,,)
c,其中为非零常数。证明在标准正交基下,线性变换的矩阵可逆,且A
1,1'A,A。 c
,,,5(讨论取何值时,线性方程组
34
,,xxx,,2,1,123,,,x,(2,1)x,3x,1 ,123
,xxx,,,,(,,3),2,,1123,
有唯一解,无穷多个解,无解,有解时并求解。
,,,(AB),BA6(设为任意两个矩阵,证明。 A、B
n7(是维线性空间的一个线性变换。已知可分解成子空(n,2)AA,VV间V,V的直和,V的维数是2,且它不能分解为1维子空间之和,证明线性变121
换的矩阵必非对角阵。 A
n8(设为一个级实对称矩阵,若的前个顺序主子式都大于零,而AAn,1
'f(x,x,?,x),XAX,试证明二次型是半正定的,其中|A|,012n
'X,(x,x,?,x)。 n12
1999年
B:,,?,,A:,,?,,1(设行向量组,能被行向量组线性表示为 1r1r
,,,,,,11,,,,?,K? ,,,,
,,,,,,rs,,,,
K,K其中,且组线性无关,证明组线性无关的充分必要条件是秩ABr,s
(K),r。
,,nAP,Q,O2(证明对任一阶实矩阵,必存在可逆矩阵使,其中APTQQ,E。
3(解方程组
9xy,2xz,2yz,0,
,36xy,12xz,5yz,xyz。 ,
,9xy,8xz,3yz,,4xyz,
Tn4(是维线性空间,为上全体线性变换对其加法与数量乘法所成的VVV
,,,,,,L(,,,)线性空间,中线性无关,以的生成子空间为不变子空间的线V
35
T性变换之集是否为的线性子空间,为什么,如是,求其维数;如否,能否TVL
T缩小或扩大而成的子空间, TVL
n5(是数域上的维线性空间上的线性变换,,是的特征向,APAV,,V量,线性无关,。证明 ,,,A,,k,,l,(k,l,P,l,0)
(1) 若所属特征值是,的矩阵必非对角形; ,Ak
,(2) 若的矩阵可成对角形,必可表示为两个属于不同特征值的特征向量A
之和。
120,,,,,,,,,,,,36(三维向量空间依通常内积而成的欧氏空间以为基时,R0,0,1,,,,,,
,,,,,,110,,,,,,,(i,1,2,3),(i,1,2,3)的坐标分别为(2,,1,1),(,5,3,4),(1,0,5),的坐标分别为ii
(3,,1,4),(,2,1,1),(5,,5,0)。
,(i,1,2,3),(i,1,2,3)(1) 从中找出可作为正交变换下的象的向量(指明ii
原象);
(2) 按(1)所找到的原象与象的对应,正交变换把各原象都变为各自的象,A
3(A,,,),(,,A,),,,,,R又是对称变换(即,此(,)表示内积),求 (求一AA解即可,可用矩阵表示)。
1998年
4320,a,2,f(x),3x,4(a,1)x,6(1,3a)x,36x,1891(能有重根吗,有
a则求出,并求相应的值,无则证明。
,,,,?,,m2(已知个向量线性相关,但其中任意个都线性无关,m,112m
证明:
k,,k,,?,k,,0k,k,?,k(1) 如果有等式,则这些或者全为1122mm12m零,或者全不为零;
(2) 如果存在两个等式
36
k,,k,,?,k,,0l,,l,,?,l,,0, 1122mm1122mm
kkkm12其中,则,,?,。 l,01lll12m
m,n3(设是矩阵,是矩阵。试给出有解的充要条件,并ABAX,Bm,p
X证明之。又若秩,及是上述方程的解,试写出其一般解的表达式。 (A),r0
,20,1,,,,,,,,,,A,02,34(线性变换在基下的矩阵,作基变换使其矩阵,,123
,,11,1,,成为Jordan标准形。
5((1) 证明正定且正交矩阵必是单位矩阵。
(2) 欧氏空间中,以某组基的度量矩阵作为过渡矩阵而作基变换。若有一线
,,性变换,基变换前后,其矩阵都恰与度量矩阵相等,证明是正交变换。
37
三 峡 大 学
2006年 1(设, 若, 证明对任意, fxgxPx(),()[],((),())1fxgx,hxPx()[],
。 (()()(),())1fxhxgxgx,,
100010,,,,
,,,,B,1002(设, , 试问(1) 取何值时, 与等价? A,020AB,,,,,,,,,00,001,,,,,
(2) 取何值时, 与合同? AB,
(3) 取何值时, 与相似? AB,
1,1*3(设为3阶矩阵, A,, 求(2)5AA,。 A2
,,,,,,,,,,24(设矩阵, 其中线性无关, , A,,,,,,,2341231234
b,,,,,,,,向量, 求方程的通解。 AXb,1234
nn,T5(设矩阵AR,满足 计算。 AAEA,,,0.AE,
2x6(证明函数集合BaxaxaeaaaR,,,,(),,. 对于通常的函数加法,,210012
及数乘函数构成一个线性空间, 并求它的维数。
mn,nt,7(AP,BP,RARBn()().,,, , , 证明。 AB,0
204,,
,,A,0408(设, 试问(1) 求的特征值及特征向量; A,,,,402,,
,1QAQD,.Q(2) 求正交矩阵及对角矩阵使。 D
nn,AR,9(, 线性方程组有解. 证明有唯一解的充分必要条AXb,AXb,TAA件是为正定矩阵。
10(为正定矩阵, 是实对称矩阵. AB
TTVAVEVBV,,(1) 证明存在可逆矩阵使为对角矩阵. V
(2) 证明的特征值都是实数。 AB
38
陕西师范大学
2005年
211?1
131?1
1(计算行列式 。 114?1
?????
111?n,1
2(证明是不可约多项式的充要条件为对于任意的两个多项式p(x)
,由一定可推出或。 f(x),g(x)p(x)|f(x)g(x)p(x)|f(x)p(x)|g(x)
,,,,,?,,3(设是线性方程组的一个解,是它的导出方程组的一个基础012t解系,令
,,,,,,,,,,?,,,,,, 10210t,1t0证明线性方程组的任意一个解都可以表成 ,
,,,,,,,,?,,, 1122t,1t,1,,,,?,,,1其中。 12t,1
n4(设为级方阵,证明 A、B
,n秩+秩秩min{秩,秩}。 ABAB,AB,
5(
39
深圳大学
2004年
A,,(,r,r,r,r),B,(r,r,r,r,,,,),,,,r,r,r,r1(设5阶方阵,其中123412341234
|2,,r,r,r,r|,?均为5维列向量,并且,求 |A|,,4,|B|,51234n2(计算阶行列式的值:
2,100?000
,12,10?000
0,12,1?000
00,12?000
????????
0000?,12,1
0000?0,12
,3(设为五阶方阵,并且|A|,5,计算(其中A为的伴随矩阵) AA,,,,,1,1,|A|,?|(A)|,?|(A)|,?|3A,2A|,?(1) (2) (3) (4)
,,,,,,,,,,,4(设和是三维线性空间的两组基,上的线性变换在VV123123
2,2,2,,,,,,,,,,,,,,A,,22,2,,,,,基下的矩阵为,而到的过渡矩阵,,123123123
,,,2,22,,
,102,,,,S,01,1为。 ,,
,,2,21,,
,(1) 求的全部特征值和分属于不同特征值的极大线性无关组的特征向量;
,1TAT(2) 求一可逆矩阵使得为对角形; T
'kX,(1,,1,2)AX(3) 设,计算,其中为任意正整数; ko0
,1QAQQ(4) 求一正交矩阵使得为对角线;
,,,,,,(5) 求在基下的矩阵。 123
,,,W,,,W5(求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交与121122
40
和的维数及一组基
,,,(2,0,1,3,,1),(1,1,0,,1,1),,11 ,,,,(0,,2,1,5,,3),,(1,,3,2,9,5)22,,
n6(已知元二次型
f(x,x,?,x),xx,xx,?,xx 12n12342n,12n
f(x,x,?,x)用非退化线性替换将二次型化为标准型,并确定它的秩和符号差。 12n
7(设齐次线性方程组
axax?ax,,,,0,1111221nn,axax?ax,,,,0,21121222nn ,????????????,
,ax,ax,?,ax,0n11n22nnn,
aA,0的系数行列式,而中某一元素的代数余子式,证明这个方DD,0ijij
kA,kA,?,kA程组的解都可以写成的形式,此处是任意数。 ki1i2in
2AA,A8(设矩阵满足,试证: n,n
(1) 秩(A),(A,E),n秩;
(2) 的特征值只能为和1。 A,1
,n,9(设是维欧氏空间的一个变换,试证如果保持内积不变,即对于V
,,,,,V(,(,),,(,)),(,,,)任意的,都有,那么一定是线性的,因而它是正
交变换。
nn10(设A,B均为阶方阵,为阶单位矩阵,并且可逆,证明EE,ABE,BA
也可逆
rrn,m11(设为一正整数,证明如果一级()矩阵有一阶子式Ar,n,r,m
rr不为零,并且的含此阶子式的任一阶子式均为零,则的秩为。 Ar,1A
m,n12(设是一个级实矩阵,证明齐次线性方程组的解空间AAX,0'AAX,0的解空间相同。
41
西安电子科技大学
2004年
1(判断题
,1,1n(1) 若都是阶正交矩阵,则也是正交矩阵。( ) ABA、B
n(2) 设都是阶矩阵,且与等价,若,则。( ) |A|,0|B|,0ABA、B
Tn(3) 设为阶矩阵,则必与它的转置矩阵相似。 ( ) AAA
1,,1(A),An(4) 若阶矩阵可逆,则。( ) A|A|
n(5) 设均为阶矩阵,且可逆,则与相似。( ) AABBAA、B
,,,,?,,,,,,?,,,(6) 设都是方阵的与特征值对应的特征向量,则 A12s12s0
,的任意一个线性组合也是的与对应的特征向量。( ) A0
,,,,,,,(7) 若向量组线性无关,则向量组1234
,,,,,,,,,,,,,,,也线性无关。( ) 12233441
n(8) 若阶实对称矩阵有相同的特征值,则与相似。 ( ) ABA、B
,,,(AB),BAn(9) 设为阶矩阵,则。( ) A、B
,,,,?,,,,,,?,,(10) 向量组与向量组等价的充要条件是秩12s12r
{,,,,?,,}{,,,,?,,},秩。 ( ) 12s12r
nn2(设是元素全为1的阶矩阵,为阶单位矩阵,证明矩阵可逆,AEE,A
1,1,,,且(EA)EA。 ,n1
n3(计算阶行列式
ybb?bb
cxa?aa
cax?aa D,n??????
caa?xa
caa?ax
42
4(三元实二次型
222f(x,x,x),2x,bx,5x,4xx,4xx,2axx(a,0) 123123121323
222f,y,y,10y经正交变换化为标准型,求参数的值及所作的正交x,Tya,b123变换矩阵。 T
n5(设为数域上的两个阶矩阵,已知 PA、B
n(1) 有个互异的特征值; A
(2) 的特征向量也是B的特征向量; A
求证。 AB,BA
r6(设向量组,,,,?,,(r,2)线性相关,试证必存在个不全为零的数12r
k,k,?,k,使得对任意的向量,向量组 ,12r
,,k,,,,k,,?,,,k, 1122rr恒线性相关。
7(全体有理数矩阵构成有理数域上的线性空间,取一固定的有理数矩阵V
ab,,,,在线性空间中定义一个变换为 ,,VA,,,cd,,
,(X),AX,XA
,(1) 证明是一个线性变换;
,(2) 在中取一组基,写出在这组基下的矩阵; V
,(3) 证明一定以零作为它的一个特征值;
a,b,c,d(4) 讨论特征值零的重数与的依赖关系。
2(A,A)nr(A),r(E,A),n8(证明阶矩阵为幂零矩阵的充要条件为。 A
43
西北工业大学
2004年
1(证明实反对称矩阵的特征值的实部为零。
n2(设和都是阶正交矩阵,且,试证不可逆。 A|A|,|B|,0BA,B3(证明线性方程组
ax,ax,?,ax,b,1111221nn1,ax,ax,?,ax,b,2112222nn2 ,????????????,
,ax,ax,?,ax,bm11m22mnnm,
m
ya,0,j,0,1,2,?,nmy,y,?,y有解的充要条件为对任意个数,只要,,iij12mi,1m
yb,0便有。 ,iii,1
2nnAA,A,2I4(设是阶复方阵,证明若,则可对角化,这里为阶AI
单位矩阵。
5(设A、分别是数域上的矩阵,令 BKp,n,n,m
mV,{x|x,K,ABx,0},W,{y|y,Bx,x,V}
nK(B),(AB)证明是向量空间的子空间,且rankrank。 WdimW,
,f(x),g(x)6(设为线性空间上的线性变换,为普通的多项式。 V
(f(x),f(x))(f(,)),(g(,)),(f(,),g(,))(1) 证明kerkerker,这里表示12
f(x),f(x)的首项系数为1的最大公因式; 12
(f(x),g(x)),1ker(f(,)),ker(g(,)),ker(f(,),g(,))(2) 证明:若,则。
f(x),f(x),f(x)7(给定不全为零的多项式,证明存在六个多项式123
h(x),h(x),h(x)g(x),g(x),g(x),,使 123123
44
f(x)f(x)f(x)123
g(x)g(x)g(x),[f(x),f(x),f(x)] 123123
h(x)h(x)h(x)123
8(写出你所知道的齐次线性方程组的基础解系的等价条件,并对它们的正确性予以证明。
9(定义了向量空间内积的实线性空间即为欧氏空间,请说明引入向量内积以及构造标准正交基的目的意义,并简述标准正交基在理论研究与实际应用中的
作用。
2000年(一)
11
122
1033n1(计算阶行列式。 D,n?????
100?n,1n,1
100?0n
1aa01,,,,,,,,a10c0,,,,ac2(设,,讨论与取何值时,线性方程组A,b,Ax,b,,,,a01c0,,,,,,,,0cc11,,,,
有唯一解、无解、无穷多解,在有无穷多解时,求通解。
,100,,,,2000A,,211A3(已知矩阵,求。 ,,
,,,401,,
3R4(已知线性空间的线性变换
3T(a,b,c),(,2b,2c,,2a,3b,c,,2a,b,3c),,(a,b,c),R
3R求的一组基,使在这组基下的矩阵为对角矩阵。 T
10a,,,,A,01a(a,R)5(已知矩阵, ,,
,,aa1,,
Tf,xAxa(1) 取何值时,二次型正定;
45
(2) 时,用正交变换化二次型为标准形。 fa,0
46(设有的两个子空间 R
,{(,,,)|,2,,0}Wxxxxxxx,11234124 ,,(,)WL,,212,
其中,试求与的基与维数。 ,,(1,,1,0,1),,,(1,0,2,3)W,WW,W121212
,,,,?,,,,,,?,,n7(设维欧氏空间中的向量组与向量组满足 V12n12n
nn, (,,,,?,,),(,,,,?,,)C(C,(c),R)12n12nij证明:若条件
,,,,?,,(1) 是的标准正交基; V12n
,,,,?,,(2) 是的标准正交基; V12n
(3) 是正交矩阵; C
中的任意两个成立,则另一个也成立。
nn8(设是阶非零矩阵,且任一维非零列向量都是的特征向量,证明AAA,kE(k,0)。
TnnAP,PA9(设为阶实对称矩阵,求证当可逆时,存在阶方阵,使得AAP为正定矩阵。
D(,)n10(证明阶方阵的充要条件是的阶行列式因子A,aE,E,An,1n,1
是次多项式。 n,1
2000年(二)
1(填空题
1,,A,|A|,2(1) 设是4阶方阵,且,则 。 A2
n,R,(2) 在空间中,向量与任意向量的内积都等于零的充要条件
是 。
46
101212,,,,,,(3) 已知,则 。 ,,,,,,X,X,,,,,,,021011,,,,,,
(4) 已知三阶矩阵的特征值为,则矩阵的特征值1,,1,2AB,2A,E为 。
m,nn(5) 设是阶矩阵,是阶可逆矩阵,则rr 。 (A),(AC),AC
AC,,,1(6) 设矩阵,其中可逆,则M, 。 A,B,,M,,,OB,,
2(选择题
,,,,,,,(1) 由三维列向量构成的行列式123|A|,|,,,|,2,|B|,|,,,|,3,则|A,B|, 。 12312
A(5 B(10 C(15 D(20
n(2) 设矩阵为阶方阵,|A|,0,则 。 A
A(中必有两行(列)的元素对应成比例。 A
B(中至少有一行(列)的元素全为零。 A
C(中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合。 A
D(中任意一行(列) 向量是其余各行(列)向量的线性组合。 A
1022,,,,,,,,,,,,,,,,,1,,1,,3,,2,,,,(3) 向量组的最大无关组,,,,,,,,1234
,,,,,,,,2,154,,,,,,,,为 。
,,,,,,,,,,,,,,,,A( B( C( D( 1312312124
222f(x,x,x),x,2x,x,2txx,2txx(4) 二次型,当 时,它1231231223是正定二次型
A( B( C( D( ,2,t,,1,1,t,11,t,2t,2
Tnn(5) 设是阶矩阵,是阶正交阵,且B,CAC,则结论 不AC
成立。
A(与相似 B(与等价 ABAB
47
C(与有相同的特征值 D(与有相同的特征向量 ABAB
100100,,,,,,,,3(已知矩阵A,001与B,0y0相似。 ,,,,
,,,,01x00,1,,,,
x(1) 求与; y
,1(2) 求一个满足的可逆矩阵。 PAP,BP4(非齐次线性方程组
xxxx3,,2,,,,1234,xxxx2,,,,1 ,1234
,xxxx,2,,2,01234,
讨论取何值时,方程组无解、有解。并求出它的全部解。 ,
25(若方阵A,A,证明的特征值只能是0或1。 A
1999年(一)
TTT,,(1,1,?,1),,,(1,2,?,n)A,,,1(已知,求矩阵的全部特征值。
22(设是三阶实对称矩阵,A,E且rank(A,E),1,求det(A,2E),A
其中rank和det分别表示矩阵的秩和行列式。 AAA
110b,,,,,,,,A,a1,B,b0a3(设,且。讨论与取何值时,矩阵方程a,bb,,,,
,,,,a,1aaa,,,,
有解,在有解时求其解。 AX,B
1,,,,a1,,A,4(已知矩阵, ,,232,,,,23c2,,
ac(1) 讨论与取何值时, 可以对角化? A
a,1,c,0(2) 当时,求的Jordan标准形几相似变换矩阵,使得APJ,1PAP,J。
48
m,nm5(设是实矩阵,是任意的实维列向量,证明 Ab
T(AA),(1) rankrank; A
TT(2) 线性方程组总有解。 AAx,Ab
,,,,,6(设3维线性空间的线性变换在基下的矩阵为 TV123
112,,,,A,011 ,,
,,,10,1,,
,,,,,,,,,,,,,,,,(1) 求在基下的矩阵; T11323312(2) 求的核及其维数。 T
7(已知二次型
222f(x,x,x),x,2x,2x,4xx,4xx,2axx,a,0, 123123121323
222f,2y,by,2y用正交变换化为标准形,求参数及所用的正交变换。 a,b123
,,,,,,,,,,,8(给定6维线性空间的基及线性变换,且 TV123456
T(,),,,2,,i,1,2,3,4,5,6 ii7,i(1) 求的全部特征根与特征向量(利用已知基表示); T
(2) 判断是否存在另一组基,使在该基下的矩阵为对角矩阵,若存在,把T
它构造出来(利用已知基表示)。
,,,,?,,n,,,,V9(给定维实线性空间的基,设在该基下的坐标分V12n(x,x,?,x),(y,y,?,y)别为,定义实数 12n12n
[,,,],xy,xy,?,xy 1122nn
证明
[,,,](1) 实数构成的内积; V
,,,,?,,(2) 在该内积意义下是的标准正交基。 V12n
nn10(设为阶对称正定矩阵,为阶实对称矩阵,证明 AB
2n(1) 存在阶对称正定矩阵,使得A,G; G
49
(2) 的特征值为实数。 AB
11(设与都是n阶实对称矩阵,且半正定,证明 ABA
,trtr (AB),An
,其中tr表示矩阵的迹,是矩阵的最小特征值。 AABn
1999年(二)
1(填空题
(1) 级排列的逆序数 。 13?(2n,1)2n(2n,2)?22n
2n(2) 如果阶行列式中零元素的个数大于个,那么此行列式的值n,n为 。
,,,,,,,,,,,,,,,,(3) 若向量组线性无关,则向量组是线112123123
性 。
Ax,0(4) 齐次线性方程组,若r(A),r,而,则基础解系中含 t,m,nm,n
个解向量。
2(选择题
,,,,?,,(1) 若向量组线性相关,那么向量组内 可由向量组其12n
余向量线性表示。
A(至少有一个向量 B(没有一个向量
C(至多有一个向量 D(任何一个向量
125
13,2,0a,(2) 若行列式,则 。
25a
A( B( C(2 D(3 ,2,3
,1,1,1,1,1A,B,A,B,A,Bn(A,B),(3)设均为阶可逆矩阵,则 。
,1,1,1,1(A,B)A(A,B)BA,BA( B( C( D( A,B
50
1022,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,,,1,,,3,,,2(4) 向量组的最大无关组,,,,,,,,1234
,,,,,,,,2,154,,,,,,,,为 。
,,,,,,,,A( B( C( D( ,,,,,,,,1312312124
3(解矩阵方程,求矩阵。 X
142031,,,,,, ,,,,,,X,,,,,,,,12,110,1,,,,,,
4(非齐次线性方程组
xxx,,3,1,,123,xxx,3,,1 ,123
,xxx,,,1123,
当取何值时有解,并求出它的全部解。 ,
Anx5(设,若对任何维列向量,都有,证明。 Ax,0A,0m,n
,,,,?,,,,,,?,,,,6(已知线性无关,而线性相关,证明能由,12m12m,,,,?,,线性表示,且表示式是唯一的。 12m
,,,,?,,7(证明向量组线性无关的充分必要条件是零向量可由它们唯一12m
地线性表示。
51
厦门大学
2004年
1(填空题
OA,,Tnm(1) 设是阶可逆矩阵,是阶可逆矩阵,。则(的,,CABC,C,,BO,,
,转置矩阵)= ;= ;(的伴随矩阵)= 。 |C|CC
(2) 设3阶方阵的特征值是,则 ;tr= ;1,2,,2|A|,(A)A
,1的特征值是 ;在相似关系下的标准型是 。 A
200,,,,A,020(3) 的Jordan标准型是 。 ,,
,,002,,
30,11,,,,A,,32,53(4) 设,则存在可逆阵 ,Q, ,P,,,
,,01,32,,
1100,,,,PAQ,0100使得。 ,,
,,0000,,
A,,(,,,,,,),B,(,,,,,,,)(5) 由4维列向量构成4阶方阵且234234
|A|,2,|B|,1|A,B|,,则 。
(1,0,1,0),(1,1,0,1)(6) 存在齐次线性方程组 ,以为其基础解系。
f(x),g(x)f(x)2(设是有理数域上的多项式,且在有理数域上不可约。若
,f(,),g(,),0f(x)|g(x)存在复数,使得,则。
n3(写出阶实对称矩阵为正定矩阵的5个充分必要条件(可以包括定义 A
Tn(AA),04((1) 设是阶实矩阵,则tr的充分必要条件是; AA,0
nn(2) 设是阶实反对称矩阵,若存在阶矩阵使得,则。ABAB,BB,05(设是数域所有3维列向量构成的线性空间, FV
52
460,,,,A,,3,50 ,,
,,,3,61,,
定义的映射。 V,:X,AX
,(1) 证明是线性变换;
,,,(2) 求的核Ker和值域Im的维数;
,(3) 求的特征值和对应的特征向量。
,1nn6(设都是阶方阵,是阶单位阵,求证ABA,B的充分必要条EA、B
,n件是秩+秩。 (E,AB)(E,AB)
V,V,V,:V,V,,:V,V7(设是数域上的有限维线性空间,是线性F1231213
,:V,V,,,,,映射。求证存在,使得的分必要条件是KerKer。 ,,23
53
西南大学
2006年 1(指出下列命题是否正确,并简述理由。
2177(1) 整系数多项式整除。 x,x,1x,x,1
px,px,1(2) 若是素数,则是不可约整系数多项式。 p
(3) 存在矩阵使,其中是单位矩阵。 AB,BA,EEA、B
(4) 两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。
(5) 设是一个包含3个元素的有限域,是上的2维向量空间,则恰FFVV
含4个1维子空间。
2(计算
a,ba,b?a,b11121n
a,ba,b?a,b21222n(1) ,求行列式的值 n,3????
a,ba,b?a,bn1n2nn
1,1000,,,,01,100,,
,,(2) 矩阵,求的逆矩阵。 A,A001,10,,
0001,1,,
,,00001,,
rn3(设都是阶方阵,用表示矩阵的秩,证明 A、B
r(A,B),r(A),r(B),n,r(AB) 4(设n(n,2)是一个元素都是1的阶方阵,求它的特征多项式与最小多项A
式。
5(问为何值时,线性方程组 ,
,xxxx,,,,1,1234,,,x,x,x,x,1234, ,2,,x,x,x,x,1234,
3,xxx,x,,,,,1234,
没有解、有唯一解、有无穷多解,
54
n6(设是阶正定矩阵,证明它的行列式的主对角线元素之积,等|A|,AA
式成立当且仅当是对角阵。 A
,,,,?,,7(设是实欧氏空间的一组向量,证明这组向量线性无关当且仅12n
A,(a)a,(a,a)当它们的Gram矩阵可逆,其中。 ijijij
8(假定实方阵的特征值全为正,且主对角线元素全为1,证明的行列AA式。 |A|,1
55
中国科学院
2003年
1(已给如下三阶方阵
10a,,,,A,01b ,,
,,cd1,,
(1) 求det;(2) 求tr;(3) 证明rank;(4) 为使(A)(A)(A),2
rank,求出和应满足的条件。 (A),2a,b,cd
nn2(设是欧氏空间的一个变换,试证如果保持内积不变,即对于中RRAA任意两个向量,都有 ,,
(A,,A,),(,,,) 那么,它一定是线性的,而且是正交的。
rr3(设是2003阶实方阵,且,这里是自然数,问的秩rank(A)A,0AA
最大是多少,
W,W4(给定上线性空间的子空间,证明 RV12
(W,W),(W),(W),(V)dimdimdimdim 1212这里dim表示空间维数。
a,a,?,anf(x)5(给了个不同的数,试求一个次的多项式,使,n,112n
f(a),bbi,1,2,?,n,这里也是给定的值,。 iii
6(给定上二维线性空间的线性变换,在一组基下的矩阵表示为RTTV
01,,,,,,求的不变子空间。 TA,a,0,,1,a0,,
nxnQ7(若为阶对称正定方阵,为维实向量,证明
TT,10,x(Q,xx)x,1
Tx这里x表示的转置。
56
1997年
a,a,?,a1(设是互不相同的数,证明 12n
2n,12n,12n,1,,(1,a,a,?,a),,,(1,a,a,?,a),?,,,(1,a,a,?,a), 11112222nnnnn组成维向量空间中的基向量组。
nP(R)nx,x,?,x2(设是个变数(实的) 的次数的实系数多项式全,kk12n
体。
nP(R)(1) 证明为线性空间; k
nP(R)(2) 求的维数。 k
3(证明在平面上通过具有有理坐标的三点的圆周,其圆心也是有理坐标。
a,a,?,an4(设是个实数,求二次齐式 12n
2222f(x,?,x),(x,ax),(x,ax),?,(x,ax),(x,ax) nn,n,nnn1112223111
为正定的条件。
,,,,0n,n5(设是对称正定矩阵,其最大及最小特征值分别为;Amaxmin
a(1,i,n)并设的对角元素为,试证明 Aii
,aiimax ,max,a1,i,j,njjmin
6(求下述矩阵的逆矩阵 A
aa?ab,,,,aa?ba,,A, ,,?????,,,,ba?aa,,
a(n,1),b,0其中,且。 a,b
1996年
1(在什么条件下,实系数线性代数方程组
57
,x,ay,bz,0,
,,,ax,y,cz,0 ,
,,,bx,cy,z,0,
有非平凡解,
2(求其平方等于零矩阵的所有实二阶矩阵。
EU,,k,,EE3(求矩阵的逆,其中为阶单位阵,为阶单位阵,为A,Uklkl,,OEl,,
行列的长方阵。 kl
a,a,?,a4(设不全为零,试将下面二次型化为标准型,并写出新未知量12n
对于旧未知量的表达式:
n
aaxx ,ijiji,j,1
5(判别下列向量集合是否为向量子空间,并说明理由:
n(1) 维向量空间中,坐标是整数的所有向量。
(2) 平面上位于坐标轴和Oy之一上的所有向量。 Ox
nx,x,?,x,0R(3) 中坐标满足方程的所有向量。 12n
nx,x,?,x,1R(4) 中坐标满足方程的所有向量。 12n
,,,n12x,x,?,x,,,,?,,6(证明函数组线性无关,其中是互不相同的实12n12n数。
,,,n,nAA,AAA||A||7(令为正规矩阵,即(是的共轭转致矩阵),设AA
||Ax||,(A),|,(A)|,,(A)||A||是谱模:,,是的特征值,则AAsupiimax||x||1,,xnx,0
有
||A||,,(A)
n,n8(设为任一非奇复矩阵,证明的特征值满足 AA,
1,|,|,||A|| ,1||A||
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部分试题的答案参见
1(研究生入学考试试题研究组主编,研究生入学考试考点解析与真题详解---高等代数,电子工业出版社,2008年9月。
2(李志慧 李永明编,高等代数中的典型问题与方法,科学出版社,2008年9月。
3(宁波主编,高等代数同步辅导及习题全解,中国矿业大学出版社,2008年3月。
4(刘三阳等编著,各类考研数学全真试题与解答,西安电子科技大学出版社,2001年10月。
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