的左右焦点分别为与,点P在直线l:上. 当取最大值时,比的...
欢迎光临《中学数学信息网》 zxsx127@163.com
2014年全国高中数学联合竞赛一试模拟
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.
21,x21(已知A={x|x,4x+3<0,x?R},B={x|2+a?0,x,2(a+7)x+5?0,x?R} 若A,B,则实数a的取值范围是 (
22xy2(已知椭圆的左右焦点分别为与,点P在直线l:,,1FFxy,,,,3823012164
PF1上. 当取最大值时,比的值为 . ,FPF12PF2
44 3(设,则的值域是 。 f(x)f(x),sinx,sinxcosx,cosx
4(一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________.
25(函数的值域为____________. y,x,x,3x,2
6(已知正整数n不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和,那么,这样的n的个数是___________.
2 7(用[x]表示不大于实数x的最大整数, 方程lgx,[lgx],2=0的实根个数是 (
8(各项均为实数的等比数列{a }前n项之和记为S ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于nn
__________.
二、解答题:本大题共3小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9((本题满分16分)如图,有一列曲线P, P, P, ……,已知P所围成的图形是面积为1的0120
等边三角形,P是对P进行如下操作得到的:将P的每条边三等分,以每边中间部分的线段为k+1kk
边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…),记S为曲线P所围成图形面积。 nk
limS?求数列{S}的通项公式;?求。 nn,,n
P0
PP2 1
《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
欢迎光临《中学数学信息网》 zxsx127@163.com
210((本题满分20分)如题10图,是抛物线上的动点,点在轴上,圆BC,Pyx,2y
22内切于,求面积的最小值, ,PBC,PBC(1)1xy,,,
[解] 设,不妨设, bc,PxyBbCc(,),(0,),(0,)00
yb,0直线的方程:, PBybx,,x0
化简得 , ()0ybxxyxb,,,,000
又圆心到的距离为1, (1,0)PB
ybxb,,00 , …5分 ,122()ybx,,00
22222故, ()()2()ybxybxbybxb,,,,,,,000000
2易知,上式化简得, x,2(2)20xbybx,,,,0000
2同理有, …10分 (2)20xcycx,,,,000
22,x,2y448xyx,,200000所以,,则, bc,bc,,()bc,,2x,2x,2(2)x,000
2是抛物线上的点,有,则 因Pxy(,)yx,20000
22x4x200,, …15分 bc,,()bc,,2x,2(2)x,00
x140所以, ,,,2448,,,,,,,,,Sbcxxx()(2)4,PBC000,,222xx00
2当时,上式取等号,此时, (2)4x,,xy,,,4,22000
因此S的最小值为8, …20分 ,PBC
1nn,1211((本题满分20分)设 . 记,,fxfx()(),fxffx()(()),,n,2,3,?fxxa(),,
nManf,,,R (0)2对所有正整数 ,. ,,
1,,证明:. M,,2, ,,4,,
《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
欢迎光临《中学数学信息网》 zxsx127@163.com 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.
1、【解】A=(1,3);
2+51x,1x又,a?,2?(,1,,),当x?(1,3)时,a? ,7?(5,7,,4)( 42x
? ,4?a?,1(
2、【解】 由平面几何知,要使最大,则过,P三点的圆必定和直线,FPFFF,1212
l相切于P点。设直线l交x轴于A,则,即,,,,APFAFP,,APFAFP (823,0),,1212PFAP21APAFAF,,即(1),又由圆幂定理,(2),而,,F(23,0),F(23,0),1212PFAF22
A,从而有,。代入(1),(2)得AF,8AF,,843(823,0),,12
PFAF811。 ,,,,,,42331PFAF843,22
11442tx,sin2。令,则 3、【解】fxxxxxxx()sinsincoscos1sin2sin2,,,,,,22
1191191922gtg,,,, 。因此min()(1)0, fxgtttt()()1(),,,,,,,,,,11t82422822
19199gtg,,,,, 0(),,fxmax()()0。 即得。 ,,,11t82828
h 4、【解】设球半径为R,其内接圆锥的底半径为r,高为h,作轴截面,
r2则r=h(2R,h)(
31πππ4R84,,223,, V=πrh=h(2R,h)=h?h(4R,2h)?=?πR( 锥,,33663273
? 所求比为8?27(
1313135、【解】 等价于或( ,2,,,,22,,log2xlogx2log2x111222
1117即或( ,,,,logx2logx21122
2logx,,2logx,0此时或或( ,,logx,01112227
272?解为x >4或0