全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)

加试模拟训练题（10）1、已知凸四边形ABCD，AB,DC交于点P，AD,BC交于点Q，O为四边形ABCD内一点，且有BOPDOQ，证明AOBCOD180。42、已知x,y,z(0,)，且xyz1，证明：x2yy2zz2x成立的条27件.3．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？4．求不定方程xxx3x3x5x21的正整数解的组数．1234562121不等式等号当且仅当x,y,z0或x0,y,z或333312x,y0,z时成立.333．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？解：易见，第k号点能被染红的充要条件是jN*{0}，使得a2jk(mod800)，1≤k≤800①0这里a是最初染的点的号码，为求最大值，不妨令a=1.即2jk(mod25×52).00当j=0,1,2,3,4时，k分别为1,2,4,8,16，又由于2模25的阶(2)20，25因此，当j≥5时2j+202j=2j(2201)0(mod800),而对k<20,kN*，及j≥5,jN*，由于25+(2k1)，所以2j+k2j=2j(2k1)不为800的倍数.所以，共存在5+20=25个k，满足①式。4．（09湖北）求不定方程xxx3x3x5x21的正整数解的组数．123456解令xxxx，xxy，xz，则x3,y2,z1．先考虑不定方程123456x3y5z21满足x3,y2,z1的正整数解．x3,y2,z1，5z21x3y12，1z2．当z1时，有x3y16，此方程满足x3,y2的正整数解为(x,y)(10,2),(7,3),(4,4)．当z2时，有x3y11，此方程满足x3,y2的正整数解为(x,y)(5,2)．所以不定方程x3y5z21满足x3,y2,z1的正整数解为(x,y,z)(10,2,1),(7,3,1),(4,4,1),(5,2,2)．又方程xxxx(xN,x3)的正整数解的组数为C2，方程123x1xxy(yN,x2)的正整数解的组数为C1，故由分步计数原理知，原不定方程45y1的正整数解的组数为C2C1C2C1C2C1C2C136309681．91623341