加试模拟训练题(10)1、已知凸四边形ABCD,AB,DC交于点P,AD,BC交于点Q,O为四边形ABCD内一点,且有BOPDOQ,证明AOBCOD180。42、已知x,y,z(0,),且xyz1,证明:x2yy2zz2x成立的条27件.3.圆周上有800个点,依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色,然后按如下规则,逐次染红其余的一些点:若第k号点染成了红色,则可依顺时针方向转过k个间隙,将所到达的点染成红色,试求圆周上最多可以得到多少个红点?4.求不定方程xxx3x3x5x21的正整数解的组数.1234562121不等式等号当且仅当x,y,z0或x0,y,z或333312x,y0,z时成立.333.圆周上有800个点,依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色,然后按如下规则,逐次染红其余的一些点:若第k号点染成了红色,则可依顺时针方向转过k个间隙,将所到达的点染成红色,试求圆周上最多可以得到多少个红点?解:易见,第k号点能被染红的充要条件是jN*{0},使得a2jk(mod800),1≤k≤800①0这里a是最初染的点的号码,为求最大值,不妨令a=1.即2jk(mod25×52).00当j=0,1,2,3,4时,k分别为1,2,4,8,16,又由于2模25的阶(2)20,25因此,当j≥5时2j+202j=2j(2201)0(mod800),而对k<20,kN*,及j≥5,jN*,由于25+(2k1),所以2j+k2j=2j(2k1)不为800的倍数.所以,共存在5+20=25个k,满足①式。4.(09湖北)求不定方程xxx3x3x5x21的正整数解的组数.123456解令xxxx,xxy,xz,则x3,y2,z1.先考虑不定方程123456x3y5z21满足x3,y2,z1的正整数解.x3,y2,z1,5z21x3y12,1z2.当z1时,有x3y16,此方程满足x3,y2的正整数解为(x,y)(10,2),(7,3),(4,4).当z2时,有x3y11,此方程满足x3,y2的正整数解为(x,y)(5,2).所以不定方程x3y5z21满足x3,y2,z1的正整数解为(x,y,z)(10,2,1),(7,3,1),(4,4,1),(5,2,2).又方程xxxx(xN,x3)的正整数解的组数为C2,方程123x1xxy(yN,x2)的正整数解的组数为C1,故由分步计数原理知,原不定方程45y1的正整数解的组数为C2C1C2C1C2C1C2C136309681.91623341