概率论第4章

102 第 4章 随机变量的数字特征和二维正态分布 习 4.1 4.1 某地区一个月内发生重大交通事故次数 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 0.301 0.362 0.218 0.087 0.026 0.006 求该地区这个月内发生交通事故的月平均次数. 解： 0 0.301+1 0.362+2 0.218+3 0.087+4 0.026+5 0.006=1.193EX        4.2 设离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 4 9 P 0.1 x y 0．4 且 5EX  ，求 x 与 y . 解：因为离散型随机变量 X 的分布列满足正则性，有 0.1 0.4 1x y    ，即 0.5x y  . 0 0.1+1 +4 +9 0.4=5EX x y     ，即 +4 =1.4x y 解得 0.2x  ， =0.3y . 4.3 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中 仅装有 3件合格品．从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，试求乙箱中次品数 X 的数学期望. 解 因为乙箱中仅装有 3件合格品，从甲箱中任取 3件产品放入乙箱，故乙箱中次品数 X 取决于从甲箱中任取的 3 件产品有几件次品．X 的所有可能取值为 0，1，2，3，则 X 的分 布律为   3 3 3 3 6 k kC C P X k C    ， 0,1, 2,3k  ， 列成表格为 0 1 2 3 1 9 9 1 20 20 20 20 X P 所以数学期望为 1 9 9 1 3 0 1 2 3 20 20 20 20 2 EX          ． 103 4.4 某工厂生产的一种设备的寿命(以年计)服从指数分布 (4)E ,工厂规定，出售的设 备若在售出一年内损坏可以调换. 若工厂售出一台设备可盈利 100 元，调换一台设备需花费 300 元，求工厂出售一台设备净盈利Y 的数学期望. 解: 一台设备在一年内损坏的概率为 4 1 1 0 4 1 0 4 1 1 4 1 )1(    eedxeXP x x 在一年内没有损坏的概率为 .)1(1)1(1)1( 4 1 4 1   eeXPXP 设Y 表示出售一台设备的净赢利 则 ( 300 100) 200, 1, ( ) 100, 1. X Y f X X          故 1 4( ) ( 200) ( 1) 100 ( 1) 300 200 33.64E Y P X P X e            . 4.5 已知随机变量 1 0 ~ ( ) 2 2 0 x x X f x        其它 cos ， ， ， . 对 X 独立重复观察 4次，Y 表 示观察值大于 / 3 的次数，求EY . 解 因为事件“观察值大于 / 3 ”可用{ } 3 X   表示,从而 3 1 1 ( ) cos 3 2 2 2 x p P X dx        显然， 1 ~ 4, 2 Y B       ，于是 1 4 2 2 EY    . 4.6 某新产品在未来市场上的占有率 34(1 ) 0 1 ~ ( ) 0 x x X f x        其它 ， ， ， . 求该产品的 平均市场占有率. 解 该产品的平均市场占有率就是EX . 1 3 0 1 ( )d 4(1 ) d 5 EX xf x x x x x         . 4.7 已知随机变量 2 0 1 ~ ( ) 0 a bx x X f x        其它 ， ， ， . 且 3 5EX  ，试求 a 和b 的值. 解： 由概率密度的正则性有 1 2 0 ( ) ( ) 1 3 b f x dx a bx dx a         ， 104 对于随机变量 X 已知 3 5EX  ，因此 1 2 0 3 ( ) ( ) 2 4 5 a b EX xf x dx x a bx dx          ， 由此得关于未知系数 a 和b 的方程组 ．， 1 3 1 5 3 3 1 2 1  baba 解得 5 6 5 3  ba ， ． 4.8 设随机变量 X 的分布列为 1 ( ( 1) )P X k k k    ， 1, 2, ,k   求 .EX 解 1 1 1 1 1 1 | | ( ) ( 1) 1 k k k k k k x p kP X k k k k k                    因为该级数发散，即级数 1 | |k k k x p    发散，所以级数 1 k k k x p    不是绝对收敛的，由数学期望 的定义，EX 不存在. 习题 4.2 4.9. 设随机变量 X 的分布列为 X -1 0 1 2 3 p 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2 求: (1)EX ；(2) 2EX ；(3) | 2 1|E X  . 解 (1) ( 1) 0.1+0 0.2+1 0.2+2 0.3+3 0.2=1.3EX        . (2) 2 2 2 2 2 2( 1) 0.1+0 0.2+1 0.2+2 0.3+3 0.2=3.3EX        . (3) | 2 1|E X  | 2 ( 1) 1| 0.1+ | 2 0 1| 0.2        + | 2 1 1| 0.2+ | 2 2 1| 0.3+ | 2 3 1| 0.2=2.6         . 4.10. 设  ,X Y 的联合分布列为 X Y 0 1 2 1 0.2 0.1 0.4 2 0.1 0.2 0 105 求:(1)EX ， EY ；(2) ( )E XY ；(3)  min( , )E X Y . 解(1) 1 0.2 1 0.1 1 0.4 2 0.1 2 0.2 2 0 1.3i i j i j EX x p             = , 0 0.2 0 0.1 1 0.1 1 0.2 2 0.4 2 0 1.1j i j i j EY y p             = , (2)  E XY i i j i j x p 1 0 0.2 1 1 0.1 1 2 0.4+2 0 0.1 2 1 0.2 2 2 0 1.3                  . (3)   min( , ) min( , )i j i j i j E X Y x y p min(1,0) 0.2 min(1,1) 0.1 min(1, 2) 0.4+ min(2,0) 0.1 min(2,1) 0.2 min(2,2) 0           0 0.2 1 0.1 1 0.4+0 0.1 1 0.2 2 0 0.7            . 4.11 设随机变量 23 , 0 2, ~ ( ) 8 0, x x X f x        其它. 求 21/ X 的数学期望. 解： 2 2 2 2 20 1 1 1 3 3 ( ) ( ) . 8 4 x E f x dx dx X x x       4.12 设随机变量 , 0 1, ~ ( ) 2 , 1 2 x x X f x x x          其它 ， 0, . 求 | |E X EX . 解 1 2 2 0 1 ( )d d (2 )d 1EX xf x x x x x x x          | | | 1| | 1| ( )dE X EX E X x f x x        1 2 0 1 | 1| d | 1| (2 )dx x x x x x      1 2 0 1 1 (1 ) d ( 1)(2 )d 3 x x x x x x       . 4.13 若二维随机变量 212 , 0 1, ( , ) ~ ( , ) 0, y y x X Y f x y        其它. 求(1) EX ，EY ； (2) ( )E XY ；(3) 2 2( )E X Y . 解：各数学期望均可按 [ ( , )] ( , ) ( , )d dE h X Y h x y f x y x y        计算.因为 ( , )f x y 在区域 {( , )|0 1}G x y y x    内不为零,故各数学期望均化为G (如图)上相应积分的计算. (1) 1 2 0 0 4 ( , )d d d 12 d 5 x EX xf x y x y x x y y            ， 106 1 2 0 0 3 ( , )d d d 12 d 5 x EY yf x y x y x y y y            . (2) 1 2 0 0 1 ( ) ( , )d d d 12 d 2 x E XY xyf x y x y x xy y y            . (3) 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 16 ( ) ( ) ( , )d d d ( ) 12 d 15 x E X Y x y f x y x y x x y y y               . 4.14. 设 ),( YX 服从在 A上的均匀分布，其中 A为 x 轴， y 轴及直线 01 yx 所 围成的区域. 求:（1） )(XE ；（2） )23( YXE  ；（3） )(XYE . 解:如图, A的面积为 1 2 ,则 ),( YX 的联合概率密度为   2, 1 0, 1 0, , 0, x y f x y          其它. (1) 0 0 1 1 ( , )d d d 2d 1EX xf x y x y x x y               . (2) 0 0 1 1 ( , )d d d 2d 1EY yf x y x y x y y               , ( 3 2 ) 3 2 1E X Y EX EY      . (3) 0 0 1 1 1 ( ) ( , )d d d 2d 2 E XY xyf x y x y x xy y              . 4.15．设随机变量 X 与 Y 同分布，概率密度为   2 12 ,0 0, x x f x         其他 ，且   1 2E a X Y      ，则a 的值为 （A） 1 2 ． （B） 1 3 ． （C） 2 1 2 ． （D） 2 3 ． 解: 1 2 0 2 ( )d 2 d 3 EX xf x x x x x          . 因为随机变量 X 与Y 同分布,所以EX EY .于是 x 4．13 图解 O G y A 4.14 图解 107   2 2 1 2 2 2 3 3 E a X Y aEX EY a              , 解得 1 2 a  . 4.16 某车间生产的圆盘直径在区间[ , ]a b 上服从均匀分布，求圆盘面积的数学期望. 解：设 X 为圆盘的直径，则其概率密度为       .,0 ),(, 1 )( 其它 bax abxf 用 Y 表示圆盘的面积，则 从而, 4 1 2XπY  3 3 2 2 2 21 1 ( )( ) ( ). 4 4 4( ) 3 12 b a b a EY x f x dx x dx a ab b b a b a                  4.17. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和 55 分钟从底层起行，假设一游客在早上八点的第 X 分钟到达底层候梯处，且 X 在[0，60] 上服从均匀分布，试求该游客等候时间的数学期望． 解 X 的概率密度为 1 , 0 60, ( ) 60 0, X x f x       其他. 设Y 表示游客等候的时间，则 5 , 0 5 5 , 0 5, 25 , 5 25 25 , 5 25, 55 , 25 55 55 , 25 55, 60 5, 55 60 65 , 55 60. X X X X X X X X Y X X X X X X X X                                   注意，这里  Y g X ，且   5 , 0 5, 25 , 5 25, 55 , 25 55, 65 , 55 60. x x x x g x x x x x                 由随机变量的函数的期望公式，得Y 的数学期望为         60 0 1 d d 60 XEY Eg X g x f x x g x x               5 25 55 60 0 5 25 55 1 5 d 25 d 55 d 65 d 11.67 60 x x x x x x x x                ． 4.18. 一个醉汉用 n 把钥匙去开门，每把钥匙经试开一次后除去，求试开次数 X 的数 108 学期望(假设恰有一把钥匙能打开门). 解:设 , 0, i i i i X     第 次试开能开门, 第次试开不能开门. ( 1,2, , )i n  , 则试开次数为    n i iXX 1 . 又   1 2 1 1 1 i n n P X i n n n i n          ，     1 0 1 1i iP X P X i n       ， 因此    0i i i i EX i P X i P X i n        ， 所以 1 1 1 2 n n i i i i n EX EX n       . 习题 4.3 4.19 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4 ，则 2( )E X  (A) 18.4. (B) 24. (C) 16. (D) 12. 解: 由题意知, (10,0.4)X B� ,则 10 0.4 4EX    , 10 0.4 (1 0.6) 2.4DX      . 由于 2 2( )DX EX EX  , 因此 2 2 2( ) 2.4 4 18.4EX DX EX     . 4.20 设随机变量 X 服从泊松分布 ( )P  ，且   1 2 2E X X     ，则  (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 解: 由于 ( )X P � ,得 EX  , DX  . 又 2 2( )DX EX EX  , 因此 2 2 2( )EX DX EX      . 于是     2 2 21 2 ( 3 2) 3 2 ( ) 3 2 2E X X E X X EX EX                  , 即 2 2 0   ,又因为泊松分布 ( )P  的参数 0  ,所以 2  . 4.21 设随机变量 1X , 2X , 3X 相互独立，其中 1X 服从均匀分布 (0,6)U ， 2X 服从正态 分布  20, 2N ， 3X 服从泊松分布 (3)P ，记 1 2 32 3Y X X X   ，则 EY 和 DY 分别等于 109 (A) 12, 46EY DY  . (B) 12, 4EY DY  . (C) 9, 4EY DY  . (D) 9, 46EY DY  . 解: 由 1 (0,6)X U� ,得 1 3EX  , 1 3DX  . 由  22 0, 2X N� ,得 2 0EX  , 2 4DX  . 由 3 (3)X P� ,得 3 3EX  , 3 3DX  . 由 1X , 2X , 3X 相互独立,于是有 1 2 3 1 2 3( 2 3 ) 2 3 12EY E X X X EX EX EX       , 1 2 3 1 2 3( 2 3 ) 4 9 46DY D X X X DX DX DX       . 4.22 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各交通岗是否遇到红灯是相 互独立的，其概率均为 0.4，求途中遇到红灯次数的方差. 解 由题意, 途中遇到红灯次数 X 服从二项分布 2 3, 5 B       ，其分布律为   3 3 2 2 1 5 5 k k kP X k C                 ， 0,1,2,3k  ． 因此 X 的方差 0.72DX  ． 4.23 设随机变量 X 在区间  1,2 上服从均匀分布，随机变量 1, 0, 0, 0, 1, 0. X Y X X       求 DY . 解 因为 X 在区间 1,2 上服从均匀分布，所以           0 1 1 1 0 1 0 2 1 3 P Y P X P X               ，    0 0 0P Y P X    ，         2 0 2 1 0 0 2 2 1 3 P Y P X P X            ． 因此   1 2 1 1 0 0 1 3 3 3 EY         ，   22 2 21 21 0 0 1 1 3 3 EY         ， 110 故     22 1 81 9 9 D Y EY EY     ． 4.24 设随机变量   | | 1 ~ 2 xX f x e ，求EX ， DX . 解 因为 ( )xf x 是奇函数，因此 | |1( )d d 0 2 xEX xf x x x e x          . 又因为 2 ( )x f x 是奇函数，因此 2 2 2 | | 2 0 1 ( )d e d e d (3 ) 2 2 x xEX x f x x x x x x                . 于是 2 2( ) 2DX EX EX   . 4.25 设随机变量   2 , 0 1, ~ 0, ax bx c x X f x         其它, 且 0.5EX  ， 0.15DX  ， 求常数 , ,a b c . 解： 由概率密度的正则性有 1 2 0 ( )d ( )d 1 3 2 a b f x x ax bx c x c           ， 对于随机变量 X 已知 0.5EX  ，因此 1 2 0 ( )d ( )d 0.5 4 3 2 a b c EX xf x x x ax bx c x            ， 由 2 2( )DX EX EX  , 得 2 2 2( ) 0.15 0.5 0.4EX DX EX     所以 1 2 2 2 0 ( )d ( )d 0.4 5 4 3 a b c EX x f x x x ax bx c x            ， 由此得关于未知系数 a 、b 和 c 的方程组 1 3 2 a b c   ， 0.5 4 3 2 a b c    ， 0.4 5 4 3 a b c    解得 12 12, 3a b c   ， ． 4.26 设随机变量 , 0 1, ~ ( ) 2 , 1 2, 0, x x X f x x x          其它. 求EX 和 DX . 解 1 2 2 0 1 ( )d d (2 )d 1EX xf x x x x x x x          1 2 2 2 3 2 0 1 7 ( )d d (2 )d 6 EX x f x x x x x x x          ， 2 2 7 1( ) 1 6 6 DX EX EX     ． 111 4.27 设随机变量 1 ( 1) 2 , 0 2 1 ~ ( ) , 0 1, 2 1 1 e , 1. 2 x x e x X F x x x               ， 求EX 和 DX . 解: 设 X 的概率密度为 ( )f x . 当 0x  时, ( ) 2 xe F x  , ( ) ( ) 2 xe f x F x  ; 当 1x  时, 1 ( 1) 2 1 ( ) 1 e 2 x F x     , 1 ( 1) 2 1 ( ) ( ) e 4 x f x F x     ; 当 x 取其他值时, ( ) 0.f x  于是 X 的概率密度为 1 ( 1) 2 , 0 2 ( ) 0, 0 1, 1 e , 1. 4 x x e x f x x x             ， 因此 1 0 ( 1) 2 1 1 1 3 ( )d d e d 1 2 4 2 2 x xe EX xf x x x x x x                , 1 0 ( 1) 2 2 2 2 2 1 1 ( )d d e d 1 6.5 7.5 2 4 x xe EX x f x x x x x x               , 由此得 2 2( ) 6.5DX EX EX   . 4.28 设 1 2,X X 独立同分布，其共同的概率密度为 2 ,0 1, ( ) 0, . x x f x      其它 求  1 2max ,Y X X 的数学期望和方差. 解: 设 1X 的分布函数为 ( )F x , 则当 0x  时 , ( ) 0F x  ;当 1x  时 , ( ) 1F x  ; 当 0 1x  时, 2 0 ( ) ( )d 2 d x x F x f t t t t x      .于是 1X 的分布函数 2 0, 0 ( ) ,0 1, 1, 1. x F x x x x        112 而  1 2max ,Y X X 的分布函数为 2( ) [ ( )]YF y F y ,所以  1 2max ,Y X X 的概率密度 为 34 ,0 1, ( ) [ ( )] 2 ( ) ( ) 0, . Y Y y y f y F y F y f y         其它 因此 1 3 0 4 ( )d 4 d 5 YEY yf y x y y x        , 1 2 2 2 3 0 2 ( )d 4 d 3 YEY y f y x y y x        , 由此得 2 2 2( ) 75 DY EY EY   . 4.29 设随机变量 ( , )X Y 在以点  0,1 ，  1,0 ，  1,1 为顶点的三角形区域上服从均匀 分布，试求随机变量U X Y  的方差． 解 记以  0,1 ， 1,0 ， 1,1 为顶点的三角形区域为G ，易得 1 2 GS  ．于是 ( , )X Y 的联合 概率密度为       2, , , 0, , x y G f x y x y G     ． 由随机变量函数的期望公式，有      , d dEU E X Y x y f x y x y              1 1 0 1 4 2 d d 2 d d 3x G x y x y x x y y         , G       2 22 , d dEU E X Y x y f x y x y              1 12 2 0 1 11 2 d d 2 d d 6x G x y x y x x y y         . 因此   2 22 11 4 1 6 3 18 DU EU EU           ． 4.30 设二维随机变量     1 , 0 1,0 2, , ~ , 2 0, x y X Y f x y         其它. 求(1)EX ，EY ； (2) DX ，DY . 解 (1) 1 2 0 0 1 1 ( , )d d d d , 2 2 EX xf x y x y x x y            113 1 2 0 0 1 ( , )d d d d 1, 2 EY yf x y x y x y y            (2) 1 2 2 2 2 0 0 1 1 ( , )d d d d , 2 3 EX x f x y x y x x y            1 2 2 2 2 0 0 1 4 ( , )d d d d , 2 3 EY y f x y x y x y y            2 2 1( ) 12 DX EX EX   , 2 2 1 ( ) 3 DY EY EY   . 习题 4.4 4.31 设随机变量 X 和Y 的联合概率分布如下， Y X -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 求协方差Cov( , )X Y 和相关系数 ，并判断 X 与Y 是否相互独立. 证：随机变量 X 和Y 关于 X 与关于Y 的边缘分布列分别为 1 0 1 3 2 3 8 8 8 X P  1 0 1 3 2 3 8 8 8 Y P  3 2 3 ( 1) +0 +1 =0 8 8 8 EX      , 3 2 3 ( 1) +0 +1 =0 8 8 8 EY      , o ( , ) ( ) ( )C v X Y E XY EX EY E XY    1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 0 8 8 8 8                  , 于是相关系数 0  ,所以 X 和Y 是不相关的. 注意到 1 ( 0, 1) 8 P X Y   , 2 ( 0) 8 P X   , 3 ( 1) 8 P Y   , 因为 ( 0, 1) ( 0) ( 1)P X Y P X P Y     ,所以 X 和Y 不相互独立. 4.32 设随机变量   , 0 2,0 2 ( , ) ~ , 8 0, x y x y X Y f x y         其它， ，求(1)EX ，EY ； (2) DX ，DY ；(3) ( , )Cov X Y ， XY ；(4) ( )D X Y . 114 解：(1) 2 2 0 0 1 7 ( , )d d d ( )d 8 6 EX xf x y x y x x x y y             , 2 2 0 0 1 7 ( , )d d d ( )d 8 6 EY yf x y x y x y x y y             . (2) 2 2 2 2 7( ) ( , )d d 6 DX EX EX x f x y x y                2 2 2 2 0 0 1 7 11 d ( )d 8 6 36 x x x y y             , 2 2 2 2 7( ) ( , )d d 6 DY EY EY y f x y x y                 2 2 2 2 0 0 1 7 11 ( ) 8 6 36 dx y x y dy             . (3) 7 7 ( , ) [( )( )] [( )( )] 6 6 Cov X Y E X EX Y EY E X Y      7 7 ( )( ) ( , )d d 6 6 x y f x y x y         2 2 0 0 7 7 1 1 d ( )( ) ( )d 6 6 8 36 x x y x y y        . ( , ) 1 11 XY Cov X Y DX DY     (4)     5 2 , 9 D X Y DX DY Cov X Y     . 4.33 设随机变量   1, 0 1, | | , ( , ) ~ , 0, x y x X Y f x y       其它， ,求(1) EX ， EY ， Cov( , )X Y ；(2)判断 X 与Y 是否独立. 解：(1) 因为 , X Y（ ）关于 X 的边缘密度函数 d 2 , 0 1, ( ) ( , ) 0, x x X y x x f x f x y dy            其他. 关于 Y 的边缘密度函数 1 1 d 1 , 1 0, ( ) ( , )d d 1 , 0 1, . y Y y y y y f y f x y x y y y                        0, 其他 115 1 0 2 ( )d 2 d 3 XEX xf x x x x x        , 0 1 1 0 ( )d (1 )d (1 )d 0YEY yf y y y y y y y y              , 1 0 ( ) ( , )d d d d 0 x x E XY xyf x y x y x xy y            , o ( , ) ( ) ( ) ( ) 0C v X Y E XY E X E Y   ,所以 X 与Y 不相关. (2)对任意实数 x，y 均有 ( , ) ( ) ( ),X Yf x y f x f y 故 X 与 Y 不是相互独立的. 4.34 若随机变量 ( , )X Y 具有概率密度分别为 （1）   8 , 0 ,0 1, , 0, xy y x x f x y        其它. （2）   2 , 0 1, 0 1, , 0, y x y f x y        其它. 判断 X 与Y 是否独立以及是否不相关. 解：(1)因为 , X Y（ ）关于 X 的边缘密度函数 3 0 8 d 4 , 0 1 ( ) ( , ) d 0, x X xy y x x f x f x y y            其它. 关于 Y 的边缘密度函数 1 28 d 4 (1 ), 0 1, ( ) ( , )d 0, . y Y xy x y y y f y f x y x             其它 所以，对任意实数 x，y 均有 ( , ) ( ) ( ),X Yf x y f x f y 故 X 与 Y 不是相互独立的. 1 3 0 4 ( )d 4 d 5 XEX xf x x x x x        , 1 2 0 8 ( )d 4 (1 )d 15 YEY yf y y y y y y         , 1 0 0 4 ( ) ( , )d d d 8 d 9 x E XY xyf x y x y x xy xy y            , 4 o ( , ) ( ) 225 C v X Y E XY EX EY    , 所以 X 与Y 不相关. (2)因为 , X Y（ ）关于 X 的边缘密度函数 116 1 0 2 d 1, 0 1 ( ) ( , ) d 0, X y y x f x f x y y            其它. 关于 Y 的边缘密度函数 1 0 2 d 2 , 0 1, ( ) ( , )d 0, . Y y x y y f y f x y x            其它 所以，对任意实数 x，y 均有 ( , ) ( ) ( ),X Yf x y f x f y 故 X 与 Y 相互独立, 因此 X 与 Y 不相 关. 4.35 设 X 和 Y 是随机变量，且有 3EX  ， 1EY  ， 4DX  ， 9DY  ，令 5 15Z X Y   ，分别对以下情况求EZ 和DZ . (1) X 与Y 相互独立；（2） X 与Y 不相关；（3） X 与Y 的相关系数是 0.25. 解 (5 15) 5 15 29.EZ E X Y EX EY       (1) 若 X 与Y 相互独立，则 (5 15) 25 109.DZ D X Y DX DY      (2) 若 X 与Y 不相关，则  , 0Cov X Y  . (5 15) (5 ) (5 ) ( ) 2 (5 , )DZ D X Y D X Y D X D Y Cov X Y         25 10 ( , ) 109DX DY Cov X Y    . (2) 若 X 与Y 的相关系数是 0.25.，则 0.25XY  .由 ( , ) 0.25XY Cov X Y DX DY    知, ( , ) 1.5XYCov X Y DX DY  .于是 (5 15) (5 ) (5 ) ( ) 2 (5 , )DZ D X Y D X Y D X D Y Cov X Y         25 10 ( , ) 94DX DY Cov X Y    . 4.36 设 X 与 Y 的相关系数为 =0.5 ， 0EX EY  ， 2 2 2EX EY  ，求   2 E X Y . 解 由 0EX EY  ， 2 2 2EX EY  得   0E X Y EX EY    ， 117 2 2( ) 2DX EX EX   ， 2 2( ) 2DY EY EY   ． 于是           22 2 ,E X Y D X Y E X Y D X Y DX DY Cov X Y            2 2 2 2 2 0.5 6DX DY DX DY         ． 4.37 设 (10,1/ 2)X B� , (2,10)Y N� ， ( 14E XY ） ，则 X 与 Y 的相关系数 XY 等于 (A) 0.8 . (B) 0.16 . (C) 0.16 . (D) 0.8. 解：由 (10,1/ 2)X B� , (2,10)Y N� ，得 1 10 5 2 EX    , 1 1 10 2.5 2 2 DX     ， 2EY  ， 10DY  。 于是 ( , ) ( ) 4Cov X Y E XY EX EY    ， ( , ) 4 0.8 2.5 10 XY Cov X Y DX DY     . 4.38 将一枚硬币重复掷n 次，以 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 与Y 的相关系数等于 (A) 1. (B) -1. (C) 0. (D)1/2. 解: 应该选(B)．由于 X +Y =n， 因此 XnY  ，即 X 和Y 互为线性函数，成功次数 X 和失败次数Y 的增减方向恰好相反，可见 X 和Y 为负相关，故 1 ． 4.39 设随机变量 X 和Y 的方差存在且不等于 0，则  D X Y DX DY   是 X 和Y （A）不相关的充分条件，但不是必要条件．（B）独立的充分条件，但不是必要条件． （C）不相关的充分必要条件． （D）独立的充分必要条件． 解 因为   2 XYD X Y DX DY DX DY    ，所以       0XYD X Y D X D Y      ． 故应选（C）． 习题 4.5 4.40 设随机变量 , 0 1, ~ ( ) 2 , 1 2, 0, x x X f x x x          其它. 求 X 的 k 阶原点矩. 118 解 1 2 0 1 ( )d d ( 2 ) dk k k kEX x f x x x x x x x x         1 21 2 1( 2 1) ( 2 ) 1 2 1 2 k k k k k          22 2 ( 1)( 2) k k k      . 4.41 设随机变量 ~ ( , )X U a b ，求 X 的 k 阶原点矩. 解   1( )d d b k k k a E X x f x x x x b a       1 1 11 1 ( 1)( ) k k k b a x b a b a k k b a           . 4.42 设随机变量 ~ (10,9)X N ，求 0.1x 和 0.9x . 解 一般正态分布  2,N   的 分位数 x 与正态分布的 分位数u 满足关系式： x u    ，所以 0.1 0.1 0.910 3 10 3 ( ) 10 3 ( 1.29) 6.13x u u           , 0.9 0.910 3 10 3 1.29 13.87x u      . 4.43 设随机变量 X 的概率密度是以下情况，求 X 的中位数. (1) 22 , 0, ( ) 0, xe x f x      其它; (2) 2 1 ( ) ( 1) f x x   . 解 设 X 的分布函数为 ( )F x ， 0.5x 为该分布的中位数，于是 （1）   0.5 0.5 0.522 0.5 0 ( )d 2 d 1 0.5 x x xxF x f x x e x e        ， 解得 0.5 1 ln 2 2 x  . （1）   0.5 0.5 0.5 0.52 1 1 1 ( )d d arctan 0.5 ( 1) 2 x x F x f x x x x x          ， 解得 0.5 0x  . 习题 4.6