习题主要考察点:有效数字的计算

习主要考察点:有效数字的计算 信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 ,51 若误差限为,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 0.5，10 2 具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） ,,3.14159？ 3 已知，是经过四舍五入后得到的近似值，问，有几位有a,1.2031b,0.978a，ba，b效数字？（有效数字的计算） 4 设x，的相对误差为，求的误差和相对误差？（误差的计算） x,0,lnx **r5测得某圆柱体高度的值为，底面半径的值为，已知h,20cmr,5cmh 2**v,,rh|h,h|,0.2cm|r,r|,0.1cm，，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算） n6 设xy,x的相对误差为,求的相对误差。（函数误差的计算） a% 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为r，问度量半径时允许的相对误差限为多1% 大？（函数误差的计算） 1,1nx8 设，求证： I,exedxn,0 （1）I,1,nI(n,0,1,2？) nn,1 （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计 算方法的比较选择） 1 信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编 姓名 学号 班级 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插 值余项的计算和应用。 1 已知，求的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） f(,1),2,f(1),1,f(2),1f(x) 2 已知7，用线性插值求的近似值。（拉格朗日线性插值） y,x,x,4,x,901 3 若为互异节点，且有 x(j,0,1,...n)j (x,x)(x,x)？(x,x)(x,x)？(x,x)01j,1j，1nl(x), j(x,x)(x,x)？(x,x)(x,x)？(x,x)j0j1jj,1jj，1jn nkk试。（拉格朗日插值基函数的性质） xl(x),x(k,0,1,...n)jj,j,0 4 已知，用抛物线插值计sin0.32,0.314567,sin0.34,0.333487,sin0.36,0.352274算的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） sin0.3367 ,,5 用余弦函数cosxx,0在，，三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值x,x,01242 ,多项式, 并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗cos6 日二次插值） 6 已知函数值，求函数的四阶均差f(0),6,f(1),10,f(3),46,f(4),82,f(6),212f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]。（均差的计算） 7 设f[xx？x]f(x),(x,x)(x,x)？(x,x)p,n，1求之值，其中，而节点0,1p01n 互异。（均差的计算） x(i,0,1,？n，1)i 8 如下函数值 x0 1 2 4 f(x) 1 9 23 3 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：，，p(x)p(1),2p(2),4 ,，。（插值多项式的构造） p(2),3p(3),12 2 信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编 ,10 构造一个三次多项式，使它满足条件（埃H(x)H(0),1,H(1),0,H(2),1,H(1),1尔米特插值）。 3 211 设。(1)试求在,,上的三次埃尔米1/4,9/4f(x)f(x),x,x,1/4,x,1,x,9/4012 特插值多项式,,H(x),f(x),j,0,1,2,H(x),f(x)，使得，以升幂形式H(x)H(x)jj11给出。(2)写出余项的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。 R(x),f(x),H(x) 212 若f(x),c[a,b],f(a),f(b),0，试证明： 12,,，，（插值余项的应用） max|f (x)|,b,amax|f (x)|a,x,ba,x,b8 13 设p(x),f(x)(i,0,1,2)求使； p(x)f(,2),,1,f(0),1,f(2),2,ii又设 ,,,|f(x)|,M ，则估计余项r(x),f(x),p(x)的大小。（插值误差的估计） 3 信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编 姓名 学号 班级 习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。 1 设，求于上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） f(x),sin,xf(x)[0,1] x2 令p(x),a，axa,af(x),e,,1,x,1，且设,求使得为于 p(x)f(x)[,1,1]0101上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 3证明：切比雪夫多项式序列 T(x),cos(karccosx) k 1在区间,,,,1,1上带权正交。（正交多项式的证明） (x),21,x ，,3xx,12,4求矛盾方程组：的最小二乘解。（最小二乘法） ，2,4xx,12,,,2xx,12 5 已知一组试验数据 x2 2.5 3 4 5 5.5 k y4 4.5 6 8 8.5 9 k 试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近） 26 用最小二乘原理求一个形如y,a，bx的经验公式,使与下列数据相拟合。 x19 25 31 38 44 k y19 32.3 49 73.3 97.8 k （最小二乘二次逼近） 4 信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编 姓名 学号 班级 习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积 的计算，高斯公式的构造。 h1给定求积公式试确定使它的代数精度尽可能f(x)dx,af(,h)，bf(0)，cf(h)a,b,c,,h 高。（代数精度的应用和计算） 12 求积公式,AB，试确定系数,A及，使该求积f(x)dx,Af(0)，Af(1)，Bf(0)001010,0 公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算） 333数值积分公式，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式f(x)dx,[f(1)，f(2)],02 的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征） b4如果,,f(x),0，证明用梯形公式计算积分f(x)dx所得到的结果比准确值大，并说明其,a几何意义。（梯形求积） 215用dx的复化梯形公式计算积分，并估计误差。（复化梯形求积） n,4,1x 6设,则用复化辛甫生公式计算f(,1),1,f(,0.5),4,f(0),6,f(0.5),9,f(1),2 1(4)|f|,Mf(x)dx，若有常数使 ，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复M,,1 化辛甫生公式） 1 7已知高斯求积公式 将区间[0,1]二等分，用复f(x)dx,f(0.57735)，f(,0.57735),1, 1 化高斯求积法求定积分的近似值。（高斯公式） xdx,0 28 试确定常数A，B，C和af(x)dx,Af(,a)，Bf(0)，Cf(a)，使得数值积分公式有尽,,2可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数 精度的应用和计算，高斯点的特征） 9设,,P(x),(x),x是[0,1]区间上带权的最高次幂项系数为1的正交多项式系 n （1）求P(x)。 2 1（2）构造如下的高斯型求积公式。（高斯求积） xf(x)dx,Af(x)，Af(x)0011,0 5 信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编 姓名 学号 班级 习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度 的讨论。 1用二分法求方程2的正根，要求误差小于0.05。（二分法） x,x,1,0 2**2说明方程x，lnx,4,0 在区间[1，2]内有惟一根，并选用适当的迭代法求（精xx 确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法） 23设有解方程,x,R的迭代法 (1)证明均有x,4，cosx12,3x，2cosx,00n，1n3 **x,4（为方程的根）。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。 (3) 取xlimx,x0n,,,n ,3用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值。（和收敛性讨论） 10 ,,4设,x,,(x)n,0,1,？x,,(x)，，试证明：由 ，得到的序max,(x),,,1n，1n ,列,,x收敛于。（收敛性证明） xn 2*5 设方程3,3x,2sinx,0在[0,1]内的根为，若采用迭代公式，试xx,1,sinxn，1n3 **证明：,x,R均有为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。limx,x(x0nn,, （迭代法和收敛性讨论） 326 方程x,1.5在附近有根，把方程写成3种不同的等价形式： x,x,1,00 11(1) 1x,1，，对应迭代格式： x,，n，122xxn 2323(2) x,1，x，对应迭代格式： x,1，xn，1n 112(3) x,，对应迭代格式： x,n，1x,1x,1n 讨论这些迭代格式在x,1.5时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格0 式计算出x,1.5附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较） 0 327设f(x),(x,a) f(x),0(1) 写出解的牛顿迭代格式； (2) 证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度） 6 信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编 18 设计一个计算的牛顿迭代法，且不用除法（其中）。（牛顿迭代法） a,0 a 9 用牛顿法求115x,10的近似值，取或11为初始值，计算过程保留4位小数。（牛顿0 迭代的构造） *10设是非线性方程的m重根，试证明：迭代法 f(x),0x f(x)n x,x,mn，1nf'(x)n 具有至少2阶的收敛速度。（收敛速度证明） **11设是非线性方程的m重根，证明：用牛顿迭代法求只是线性收敛。（收敛f(x),0xx速度证明） '(p,1)12设a,(a),,,,,,(a),0，在附近有直到阶的连续导数，且，,(a),a,(x)p (p)x,,(x),(a),0a，试证：迭代法在附近是阶收敛的。 （收敛速度证明） pn，1n 7 信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编 姓名 学号 班级 习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆 斯方法的构造和讨论。 1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程 2x,,y,y,,y x,[0,1], ,y(0),1, 的数值解（取步长），并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用） h,0.2 ,y，y,1,2用四阶龙格－库塔法求解初值问题，取, 求时的数值解. x,0.2,0.4h,0.2,y(0),0, 要求写出由直接计算的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格－库塔方h,x,yynnn，1 法的应用） n,y，y,0,2,h,,3 用梯形方法解初值问题，证明其近似解为，并证明当y,h,0,,,n2，hy(0),1,,, ,xy,e时，它收敛于原初值问题的准确解。 ,y,,10y,4对于初值问题，证明当时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉公h,0.2,y(0),1, 式的稳定性讨论） h5证明梯形公式y,y，[f(x,y)，f(x,y)]无条件稳定。（稳定性讨论） n，1nnnn，1n，12 ,y,f(x,y),6设有常微分方程的初值问题，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算,y(x)y,00, 公式y,,(y，y)，h(,f，,f)，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差n，1nn,10n1n,1主项。（局部截断误差和主项的计算） 7已知初值问题 ,y,2x,, y(0),0, ,y(0.1),0.01, h取步长，利用阿当姆斯公式，求此微分方程在[0，10]y,y，(3f,f)h,0.1n，1nnn,12上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用） 8 信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编 姓名 学号 班级 习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。 0.901，，，，(k，1)(k)1证明：迭代格式x,Bx，f收敛，其中。（迭代法收敛B,,f,,,,,0.30.82，，，，性判断） ax，ax,b,11112212若用雅可比迭代法求解方程组迭代收敛的充要条件是(aa,0),1122ax，ax,b2112222, aa1221。（雅可比迭代法的收敛性） ,1aa1122 3 用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组 x，2x,3,12 ,xx3，2,412, 是否收敛？为什么？若将方程组改变成为 3x，2x,4,12 ,xx，2,312, 再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？（雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性） 410，，4证明解线性方程组,,的雅可比迭代收敛，其中。（雅可比迭代收敛Ax,bA,121,, ,,011，，性判断） 121，，，，5已知方程组，其中， Ax,bA,b,,,,,0.312，，，， (1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。 (k，1)(k)(k)(2) 若有迭代公式x,x，,(Ax，b),，试确定的取值范围，使该迭代公式收敛。（雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论） 1a,,6给出矩阵，（为实数），试分别求出的取值范围： ,,A,,,2a1,, (1) 使得用雅可比迭代法解方程组时收敛； Ax,b (2) 使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组时收敛。（雅可比、高斯-塞德尔迭代法及Ax,b 9 信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编 收敛性讨论） 211，，，，7设， A,b,,,,,122，，，， (0)T(k)(1) 设x,(1,1)是由雅可比迭代求解方程组所产生的迭代向量，且，试写xAx,b (k)出计算的精确表达式。 x (k)(2) 设是的精确解，写出误差的精确表达式。 x,x*x*Ax,b, (k，1)(k)(k)(3) 如构造如下的迭代公式x,x，,(Ax,b),解方程组，试确定的范Ax,b 围，使迭代收敛。（雅可比迭代及其收敛判断） x，2x,2x,1,123,8对于给定的线性方程组 x，x，x,2,123 ,xxx2，2，,3123, （1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 (0)T(1)(2)(3)（2）对收敛的方法，取初值x,(1,0,0)x,x,x，迭代两次，求出。（雅可比, 高斯-塞德尔迭代法的计算和比较） 9 证明对称矩阵 1,,，， ,,,,1,A ,, ,,,,1，， 111当为正定矩阵，且只有当时，用雅可比迭代法求解方程组,,,,1,,,,Ax,b222 才收敛。（雅可比迭代法的收敛性） 10 信息与计算科学专业计算方法习题 付敏编 姓名 学号 班级 习题主要考察点：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。 234x0，，，，，，1,,,,,,1用高斯消去法解方程组119,x,2（高斯消去法的应用） 。 2,,,,,, ,,,,,,12,6x13，，，，，， 2，，,0xxx,123,2用LU分解法求解线性方程组。（LU分解法的应用） ，，,3xxx,123,，，2,1xxx,123 2,11，， ,,3设，求A的LU分解。（LU分解法的应用） A,4,12,, ,,2,23，， 310,1，，，， ,,,,4试用“追赶法”解方程组，其中：，（追赶法的应用） Ax,bA,241b,7,,,, ,,,,0259，，，，12，， ,,5设cond(A)，求（条件数的计算） A,1,12,, ,,11，， 1,16求证：,，（范数的性质） I,1AA 27求证：A,A,A。（范数的性质） 21, ,2100，， ,,1,2108对矩阵,,cond(A)，求，，和。（范数，条件数AAAA,22,1,,01,21,,001,2，， 的计算） n，n9方程组A,R，其中，是对称的且非奇异。设有误差，则原方程组变AAAx,b,A ,,xA,212化为(A，,A)(x，,x),b,，其中为解的误差向量，试证明：，其,x，,,xxAn22中,,和分别为的按模最大和最小的特征值。（范数的性质，误差的） An1 10证明：若A,(a)为严格对角占优矩阵，则非奇异。（严格对角占优矩阵的性质） Aijn，n 11