一阶线性微分方程1

一阶线性微分方程1 广州工程仿真科技有限公司 工程仿真网 第四节 一阶线性微分方程 学习目的:掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法;掌握利用变量代换 解微分方程的方法;了解贝努利方程的形式及解法 学习重点:一阶线性微分方程的形式,及解的形式，利用变量代换解微分方程 学习难点:一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程 学习内容: 一、线性方程 dy1、定义 方程 (1)称为一阶线性微分方程。 ，P(x)y,Q(x)dx yy'特点 关于未知函数及其导数是一次的。 Q(x),0若，称(1)为齐次的; Q(x),0 若，称(1)为非齐次的。 522y,x2y'，2xy,2xe如:(1) (2) y',,(x，1)x，12、解法 Q(x),0当时，方程(1)为可分离变量的微分方程。 Q(x),0Q(x)当时，为求其解首先把换为0，即 dy (2) ，P(x)y,0dx 称为对应于(1)的齐次微分方程，求得其解 ,P(x)dx,yCe, ,P(x)dx,u(x)Cyu(x)e为求(1)的解，利用常数变易法，用代替，即 ,于是， ,P(x)dx,P(x)dxdy,, ,u'e，ue[,P(x)]dx 代入(1)，得 P(x)dx,u,Q(x)edx，C , CAE 有限元 工程仿真 有限元软件 工程分析 广州工程仿真科技有限公司 工程仿真网 ,P(x)dxP(x)dx,,故 。 y,e(Q(x)edx，C),(3) 3、例 求方程 52y2 (4) y',,(x，1)x，1 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解。 dy2y， ,,0dxx，1 dy2dx,， yx，1 lny,2ln(x，1)，lnC， 2y,C(x，1) (5) u(x)C 用常数变易法。把换成，即令 2y,u(x，1)， dy2则有 ， ,u'(x，1)，2u(x，1)dx 代入(1)式中得 1 2u',(x，1)， 322两端积分，得 。 u,(x，1)，C3 再代入(4)式即得所求方程通解 3222。 y,(x，1)[(x，1)，C]3 另解 我们可以直接应用(3)式 CAE 有限元 工程仿真 有限元软件 工程分析 广州工程仿真科技有限公司 工程仿真网 ,P(x)dxP(x)dx,, y,e(Q(x)edx，C), 得到方程的通解，其中， 522P(x),,， Q(x),(x，1)x，1 代入积分同样可得方程通解 3222， y,(x，1)[(x，1)，C]3此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用(3)式求解。 二、贝努力方程 dyn(n,0,1)1、定义 称为贝努力方程。 ，P(x)y,Q(x)ydx n,0,1当时，为一阶线性微分方程。 ny2、解法 两边同除 dy,n1,n y，P(x)y,Q(x)dx dzdy1,n,nz,yny令，则有 ,(1,)dxdx 1dz ，P(x)z,Q(x)1,ndx dz而 ，(1,n)P(x)z,(1,n)Q(x)dx 为一阶线性微分方程，故 ,(1,n)P(x)dx(1,n)P(x)dx,,z,e((1,n)Q(x)edx，C)。 , 贝努力方程的解题步骤 n(1,n)y(1) 两端同 1,nz,y) 代换 (2 (3) 解关于的线性微分方程 z CAE 有限元 工程仿真 有限元软件 工程分析 广州工程仿真科技有限公司 工程仿真网 (4) 还原 36xy'，y,xy例 解方程 5,535解 过程略，通解为 y,x，Cx。 2 三、利用变量代换解微分方程 xy'，y,y(lnx，lny)例 解方程 dudyxy,u,y，x解 令 ，则 ，于是 dxdx duu ,ylnu,lnudxx CxCxxy,eu,e解得 ， 即 dy1, 例 解方程 dxx，y y1，x，y,Ce 解 过程略，通解为 。 小结:本节讲述了一阶线性微分方程，及贝努力方程的解法，利用常数变易法， 和变量代换法来解微分方程。 CAE 有限元 工程仿真 有限元软件 工程分析