相似,合同,正交

相似,与等价 1 等价的意思就是秩相等 PA=B 说明行向量组秩相等 AP=B 是列。当A为方阵时候 PAQ=B 秩相等 2正交就是说里面的行(列)全部正交 3相似说明AB 等秩,行列式一样,特征值一样但是特征向量不同,相似能推出合同 实数对称矩阵一定能有N个正定的特征向量(其他矩阵只能推出线性无关)一定有对角矩阵与其对应。 A行列式=0 说明有秩为0 4A合同B (等秩)就是说正负惯性指数一样,其他的都可能不同就是说A秩是正数个数和B一样负的个数也一样, 0 非负非正。 也可以数二次型的平方的系数正负的数量是一样的,用这2种方法解题目。求秩,求二次型系数 5正定(等秩)说明实对称矩阵的特征值全部大于0 ,主子式也大于0 ,相互间的行列式符号一样,对角线上的数全为正 6对于实对称矩阵,相似一定合同,但是合同不一定相似。 考察合同关键看正负惯性指数。所以只要判断出两个秩相等的实对称矩阵的特征值符号就行了。 7矩阵的三种关系: 1等价:s*n矩阵A,B等价<=>存在可逆的s阶P和n阶Q使得B=PAQ. 2合同:A,B,均为数域P上的n阶方阵,若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得PAP=B。3相似:A,B,均为数域P上的n阶方阵,若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得P-1AP=B。(若P正交,则为正交相似矩阵) 4三种关系的联系:a,相似矩阵一定是等价矩阵,反之不然。 b,A,B,均为数域P上的n阶方阵,若存在数域P上的n阶可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B,且PQ=E,则A与B相似。 c,正交矩阵必为合同矩阵,正交合同矩阵比为相似矩阵;相似阵,合同阵必为等价阵,反之不然;相似阵为正交相似,合同阵为正交合同,此时相思和合同一致。 d,相似与合同矩阵之等价TH: 1、A与B都是n阶实对称矩阵,且有相同的特征根,则A与B既 相似又合同。(实对称矩阵可以正交对角化) 2、n阶矩阵A与B中只有一个正交矩阵,则AB与BA相似且合同。 3、A与B相似且合同,C与D相似且合同,则(A O/OC)与(BO/OD) 既相似又合同。