函数最值求法及其应用 -毕业论文

函数最值求法及其应用 -毕业论文 【标题】函数最值求法及其应用 【作者】向 清 华 【关键词】 函数最值 求法 应用 【指导老师】刘 祖 望 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 函数是中学数学中最主要的概念之一，函数理论是解决数学问题的重要工具之一，而求函数最值问题是中学数学的一个难点与重点(对于即将走上工作岗位作为一名中学数学教师的我们，有必要对这个问题作一个全面、系统的认识( 求函数最值是研究函数性质的一个极其重要的方面，尽管其严格的理论指导需借助高等数学知识，但由于它涉及的知识面宽、灵活、应用广泛、综合性强、训练思维能力效果显著，且在许多学科领域或实际问题中，经常会提出在一定条件下，怎样用料最省或成本最低、时间最短、效率最高等问题(而这些问题在数学上往往可以归结为某个函数的最值问题(可见函数最值在实际生活中有着广泛的应用(目前对于函数最值已经有很多专家学者写了这方面的文章，例:刘国远等编译 、段春生 、刘康宁 、梁玉霞、王利文 、李玉兰 、郑丽娜 、赵裕民 、秦晓辉 等等，但都没有完整的阐述(没有介绍微分的方法)(而现在导数也是中学的学习内容之一( 因此，本文拟归纳出比较完整的求函数最值的一些常用方法以及函数最值的一些应用实例( 2函数最值求法 函数的最大值或最小值是指在自变量所给范围内函数值的最大者或最小者(中学数学中函数最值的求法具体说来有以下几种: 2.1求导法 关于确定函数的最大值和最小值问题，学习过微分学的人都知道有统一的解决办法——求导法(应用导数求最值是导数的最基本应用( 最值定理 :若函数 在闭区间 上连续，则 在 上一定有最大值和最小值( 连续函数的最大值和最小值只可能在以下几种点处取得: (1) 驻点， (2)导数不存在点(不可导点)， (3)区间端点 因此连续函数 在区间 上最大值、最小值的求法为: (1) 求出 在区间 内的所有驻点和不可导点 (2) 计算出所有可能的极值点(驻点、不可导点)以及区间端点的函数值( 在 内的极值点:设函数 在点 附近有定义，如果对 附近所有的点都有 (或 )，我们就说 是函数 的一个极小值(或极大值)(若 是 的一个极值点，且 是可导函数，则 (如果函数 在 处连续且 在 两侧异号，那么 就是函数 的极值点( (3) 比较以上函数值，它们中最大者为函数在 上的最大值，最小者为函数在 上的最小值( 例1 求函数 在区间 上的最值( 解:因为函数 在间 上是连续函数，求导得: 因为 ，所以 是唯一的驻点( 当 时 ，当 时 (所以 是函数 的极大值点( 由于连续函数 在区间 内只有一个极值，故为最值( 所以当 时， 因为 ， 而 时 ， 所以函数 在区间 上有最大值1，无最小值( 说明:若函数 的最大(小)值点 在区间 内，则 必定是 的极大(小)值点(又若 在 可导，则 还是一个稳定点(驻点)，所以我们只要比较在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值就能找到 在 上的最大值与最小值( 虽然求导法能使最值问题得到解决，但却不一定是最简单的方法，这就要注意灵活运用其他方法( 2.2函数性质法 函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性是求函数最值所常用的性质( 例2 已知 ，求 的最大值( 解:根据正弦函数的有界性，有: 由条件得 两边同乘以 得 即 将 代入上式，整理得 故所求函数的最大值为2( 2.3配方法 配方法是中学数学中最常用的数学方法，利用配方法不仅可以去求函数的最值和取值范围，而且配方法还是对数学式子进行定向变形的一种重要技巧，由于这种“完全平方”的恒等变形，使问题的结构发生了质的变化(从中可以找到已知与未知之间的联系，促成问题的解决，配方法在解题中还可以起到“化繁为简”的作用( 2.3.1关于二次三项式的最大值与最小值 函数 ，配方后有: 如果 ，则函数没有最大值，当 时， ; 如果 ，则函数没有最小值，当 时， ( 注意:在用配方法解决具体问题时，还必须注意题目的隐含条件、题目的转化、换元，因为问题往往成了求函数 在闭区间 或区间 、 上的最值(此时可运用二次函数的单调性确定最值( 如对于闭区间 若 ，又 的单增区间，则 ， ( 若 ，则 ， 例3 是方程 的两个实根，求 的最大值( 解:因 是方程的两个实根，所以 又因方程有实根，故判别式 得到 函数 在 上单调递减( 所以 时 取得最大值8( 注意:此题易忽视题目中的条件(k的取值范围要由方程有实根求得). 说明:对于含有二次三项式的函数，常用配方法来求其最值( 2.3.2关于有两个自变量的二次多项式的最大值和最小值 有两个自变量x和y 的二次多项式的一般形式是: 在许多情况下都可以用配方法来处理其最值问题。 例 4 求多项式 的最小值( 解:应当作两次完全平方: 所求函数的最小值为4，并且当 时得到这个最小值( 2.4判别式法 由实系数二次方程有实根的条件为判别式 (根据 的“极端”情况求得最值的方 法，称为判别式法(用此方法解题时一定要注意这一“极端”情况是否可以实现( 如果函数 可化为 的形式，同时可从 求出 的变化范围(便可考虑用判别式法求此函数的最值( 判别式法多用于求分式函数或无理函数的最值( 例5 求函数 的最大值和最小值( 解:先求出定义域 ，再将原函数化为: 当 时， 当 时，由 得 解得: 故 说明: (1) 注意讨论，由于是对二次函数使用“判别式”，所以必须保证二次项系数不为零，但同时也要考虑二次项系数为零时的 值能否使方程在定义域内有解，若无解则应去掉这一 值( (2) 对于由不等式“ ”解出的 的闭区间的两个端点值，也要考察取得这个 值时的 是否在原函数的定义域内( 例6 求函数 的最值( 解:原函数可化为: 由 ，得 或 故该函数在定义域上无最值( 说明:此函数的定义域为 ，当 时， 有极大值 ， 当 时， 有极小值 ( 要弄清楚函数的最值和极值是两个不同的概念，最值是函数在整个定义域上的一个性质，而极值是函数的一个局部性质( 注意: (1) 如果二次分式函数 有有限个间断点，用判别式只能求出其值域， 的端点值不能判断为最值( (2) 用判别式法通过求函数的值域来确定函数的最值时，若出现下述情况则函数不存在最值问题: 、 或 、 或 、 或 ， 或 (其中 ) 例 7 求函数 的最大值和最小值( 解:原函数的定义域为 ， 将原式变形为 两边平方并整理得 因为有实数解，所以 解之得 经检验，当 时满足原函数，而 时不满足原函数( 因此函数 ，当 时 ，但 不是它的最小值( 由于函数在定义域内 连续，所以函数有最小值，最小值在区间端点处得到，比较两个端点的函数值，其中较小者是函数的最小值( 易验证 时， 判别式法在用来求解二次无理函数(形如 )的最值问题时，由于求解过程中施行了平方运算，所以最后必须进行检验( 2.5均值不等式法 如果 ，„， 且 那么 叫做这n个正数的算术平均数， 叫做这n个正数的几何平均数( n个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数((n是大于1的整数) 即著名的均值不等式: “若 ，„， 则 ，当且仅当 时等号成立” 这是一个应用非常广泛的不等式，许多外形与它截然不同的函数式常常也能利用它巧妙的求出最值( 应用时应注意: (1) 函数式中各项必须都是正数( (2) 函数式中变量的各项和或积必须是常数，且只有当各项相等时才能利用不等式求函数最值，否则会导致结论错误( (3) 不直接满足条件时，可创造条件灵活应用( 例 8 若 求 的最小值( 分析:欲创造积为定值的条件可将 拆分为 ，使 为定值( 解:因为 ，所以 所以，当 即 时 说明:拆项的目的是要使积或者和为定值，并且同时保证等号成立( 我们知道，对于给定的n个正数，其和与积通常有固定的达形式，但是反过来，由于某一给定的正数，把它表示为n个正数的和或积的方式显然有无穷多种(由于均值不等式中涉及n个正数的和或积，因此，能否将所求函数式的某部分式子合理的视为n个正数的和或积，将是能否利用均值不等式完成求最值的关键，这就要求我们在试图利用均值不等式求最值时，善于把所求函数适当变形( 2.6换元法 换元是一种变量代换，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，从而使问题得到简化，换元的实质是转化( 有些函数式的变形是比较困难的，但是经过换元后便可以迅速化为基本函数，换元法是构造型思维的一种形式，在解题中起着重要的桥梁作用(运用换元法的关键在于设计替换式( 应用换元法求最值时，应注意新变量的取值范围( 例 9 求函数 的最大值和最小值( 解法一:先求定义域得 ，令 则 因为 ，所以 当 或 时， 当 时， 解法二:令 两式想加，消去 得 因为 ， ，所以 当 时， 即 当 时， 即 说明:在解法一中，我们由函数的定义域 联想到了三角代换，解法二利用了一种特殊的换元法——自身替换法，它把整个式子都做了代换，事实上，它是基于这样的思想 由 和 的对称性，可令 去掉根号便是解法二的替换式(有些函数采用自身替换法 来做比较容易解决，而用解法一就难以奏效( 2.7数形结合法 数形结合法采用的是数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数的转化，可以培养思想的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体(对于函数最值，经常把满足题设条件的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发解题思路，有时图形上直接提供了(用此方法求最值既可借助直观获得简洁的解法,又可避免因为对限制条件考虑不周造成的失误. 例10 求函数 的最小值. 解:原函数可化为 . 那么上式的几何意义是:动点 到两个定点 的距离之和(如下图). (图2.7——1) 求该函数的最小值就是在x轴上求一点 .使点 到点 和点 的距离之和最小. 由平面几何知识,可知 此时直线 的方程 ,令 得 , 所以当 时 3函数最值的应用 在中学数学解题和实际生活中，函数最值都有着广泛的应用。利用函数最值的方法来解数学题目，有时候会比其他方法更便捷。而实际生活中出现的有些问题(如:怎样用料最省、成本最低、效率最高、利润最大等)用最值的方法往往可以得到很好的解决。 3.1函数最值在不等式中的应用 在高等数学中,证明不等式的方法很多,最常见的是利用微分中值定理,单调性,最小(大)值和凹凸性,其实不等式的证明往往可以计算函数在相应区间的最大值或最小值着手. 例11 证明:当 时, 证:令 则 当 时 ，当 时 所以 在 取得唯一的最小值，从而当 时， 即 ( 引理 :在实数系内,设关于 的函数 (其中 是参数)在定义域内有最大值或最小值,则对定义域内一切 ,不等式 都成立的充要条件是 ，对定义域内一切 ，不等式 的充要条件是 ( 例12 设a，b，c是实数，那么对任何实数 不等式 都成立( 求证: 证明: 等价于 (其中 是辅助角) 因为 的最小值是: 由定理得: 所以 故命题得证( 求解含有参数的恒成立不等式中参数之间的关系或参数的取值范围是中学考试的热点问题,这类问题由于既有变量又有一个或多个参数,干扰较多,不易解答.如果我们借助函数最值来消去变量,就可以把问题转化为较简单的只含参数的不等式问题. 3.,函数最值在生活中的一些应用实例 生活中出现的很多问题都涉及到最值问题，只要我们通过适当的变换，都可以将其转化为函数最值问题来解决。 ,.,.,距离问题 例 13 如图，,,为海岸线，一人划船在海中的,点处，他距海岸最近点,的距离为,公里，设此人划船的速度为每小时,公里，步行速度为每小时,公里(此人欲以最短的时间到达距离最近点,为,公里的,处，那么他登岸的,点距点,的距离是多少, (图3.2——1) 解法一:设 ，则所用的时间为: (此时已经转化为求函数的最值(若用判别是法求解，计算量较大容易出错，一般可以采用求导法来解() 因为函数 在区间 上是连续函数，求导得: 因为 ，所以 是唯一的驻点( 当 时, ( 当 时, . 所以 是 在区间 上的极小值点，由于连续函数 在区间 内只有唯一的极值，故为最小值( 所以当 时, . 此人登岸的,点距点,的距离是 公里时，即以最短的时间 小时到达距离最近点,为,公里的,处. 解法二:设 ，故由,经,到,所用的时间为 (可用求导法进行求解，求解过程略) 答:当 公里时，用时最短( ,.,.,周长问题 例 14 在通过抛物线 的顶点，位于抛物线内部的圆中，求周长最大的圆. (图3.2——2) 分析:设圆的方程是 ，求这个圆与抛物线 除原点外没有其他交点的条件，由此确定b的最大值( 解:设圆的方程是 (3.2.2—1) 只要在与 除原点外没有其他交点的圆中，求b的最大值就可以了( 从圆和抛物线的方程中消去y，得到方程 (3.2.2—2) 此方程的实根就是圆与抛物线的交点的横坐标( 圆与抛物线的交点除了原点外没有其他交点，即除 外，方程(3.2.2—2)没有其他实根(所以 ， 所以当 时((3.2.2—1)是适合题意的圆(所求圆的圆心为 ，半径为 ( ,.,.,面积(体积)问题 例15 周长一定的所有三角形中，什么样的三角形的面积最大, 解:设三角形的三条边长分别为 (用字母s表示面积，并且用 表示固定的周长，根据海伦公式，有 都是正数，并且它们的和是常数p，所以 当 即 时，积 取最大值，因而面积s也取最大( 即周长一定的所有三角形中，等边三角形的面积最大( 例 16 在边长为a的正方形硬纸的四个角上，剪下相同的正方形，把硬纸边缘折起来后，形成一个容积最大的无盖盒子，求每一个被剪下的正方形的边长应当是多少, (图3.2——3) 解:设每一个被剪下的正方形的边长等于x，那么盒子的容积等于 ，这里 ( 显然 根据平均不等式，在 即 时得到容积最大的无盖盒子. 故所求的边长是 ,.,.,经济问题 例17 某商人如果将进货单价为,元的商品按每件10元出售时，每天可以销售100件(现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润(已知这种商品每件提高,元，其销售量就要减少10件(问他将销售价定为多少元时，才能使每天所赚得利润最大, 解:设每件提高x元( )，即每件所获利润为 元，则每天可销售 件，那么每天所获利润为 (问题转化为求二次函数 在区间 上的最大值(用配方法求解)( 所以当 时,即提价4元时，也即是说销售价为14元时，所赚得的利润最大，为360元( 答:当销售价定为14元时，每天所赚得最大利润为360元( ,总结 函数最值作为中学数学的重点与难点之一，求函数最值时，要针对不同类型的函数，采用合适的方法(方法虽多，但要想在短时间内就想到最简便的方法却不太容易，这就要求我们必须熟练的掌握各种方法的适用条件及其注意事项，学会融会贯通，提高解题效率(因为这不仅仅是单纯的最值的理论，在我们的身边有很多的问题，都可以转化为最值问题(尤其是在经济生活中，懂得利用这一理论将会给我们带来巨大的收益(