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关于一类矩阵型条件投入产出方程的可解性定理的一些基础研究（可编辑） 南京航空航天大学 硕士学位 关于一类矩阵型条件投入产出方程的可解性定理的一些基础研 究 姓名:陈富军 申请学位级别:硕士 专业:计算数学 指导教师:刘颖范 2002.3.1摘 要 本文在经典模型的基础上,结合企业的生产经营实际.引入了一类比 经典模型更切合企业经营实际的矩阵条件模型,,;?及相应的条 件投入产出方程.同时,本文提出了相应投入产出方程的互鲤蛙囹壁.通过运用非线性 中的重要结果,获得了这类方程在适当条件下的可解性结果??解的存在性、 解集的连续相依性以及满射性定理. 本文共分为五章。 第一章引入了矩阵型条件模型及相应的条件投入产出方程;从第二章 到第四章,本文分别研究了矩阵型条件投入产出方程解的存在 性、连续相依性和满 射性问;最后一章则在引入连续集值消耗型模型及相应投入产出方程的 的基础上,初步探讨了该类方程解的存在性和连续相依性问题。 关键词?矩阵型条件投入产出方程,存在性,连续相依性,近似满射性,. , .时. . . .. : , , ,南京航空航天大学硕士论文 第一章绪言 .概述 数学发展到今天这一步,已经不再是独立的学科,它早己和其它学科领域 紧密地融合在一起,数学在社会科学和自然科学中都大有用武之地.世纪末期,以 、 和为代表的经济学家创立了数理经济学派.世纪,以 和为首的数理经济学家都为此奠定了理论基础.随之,数理经济学逐渐 成为独立的学科,数学在经济中的巨大作用得以体现. 在经济现象中,到处存在着投入产出问题及与之相应的投入产出模型.美国哈佛 大学教授在汲取、改进和发展前人研究成果的基础上,于本世纪年代 发表了《美国经济中投入产出的数量关系》,阐述了投入产出理论和相应的数学 模型,研究并创立了投入产出分析.自从提出投入产出分析以来,该方 法得到了公众的重视和认可,而且在实践中起到了巨大的指导作用.并由此 获得经济学诺贝尔奖.有些西方经济学家甚至把投入产出分析在经济学中的作用比作 牛顿的万有引力在物理学中的地位,说它是经济学中的一场革命. 提出的经济模型是投入产出模型中的重要模型,其核心问题是方程解 的存在性问题.本文便是在此基础上,对投入产出模型作了进一步的研究和探讨. .投入产出方程的传统处理方法 定义..:设一%。嘞?,,,?,一是企业的非负直接消耗系数矩 阵,,是阶单位方阵, ?戤是市场对企业的产出向量丛的最终需求向量.则称 』一,』为模型. 口如下的问题 ? 、 薹卜:。 』一 为经典投入产出方程. ..的经典处理方法是估计非负矩阵』的最大特征值,且当时,..关于一类矩阵型条件投入产出方程的可解性定理的一些基础研究 的解可以表示为工一』。‘,因此,对于经典投入产出方程,估计的 篇 最大特征值是常用的处理方法. 特征值的估计和计算在理论和实践中都很重要,用矩阵的元素或者矩阵元素的 简单函数来确定矩阵的特征值一直是数值分析学者研究的重要课题.在特征值界的估 计方面,已经有丰硕成果.、、、、 等都取得了有意义的结果,作出了重要贡献:在特征值所在区域的确定 方面,于年首先给出了著名的盖尔圆盘定理.紧接其后.经过 、和.等人的工作,盖尔圆盘定理得到了进一步的 推广和深入;另外,、、和等人则专门对非负 矩阵的特征值的计算和估计问题作了研究,取得了很好的结果.继.之后的进 一步结果有黎罗罗【对 定理的推广.在文【】中,刘秀红在定理的 基础上,利用定理【】,研究了一类具有的特殊形式的矩阵的特征 值问题并且讨论了其最大特征值的范围. 总之,对于投入产出方程..,传统的处理方法便是应用如上的结果对矩阵 的最大特征值进行估计. .经典模型的缺陷 尽管经典的模型在理论和实践中都有巨大作用,但是其与对应的投入 产出方程有如下重要的缺陷: ,用雕来描述允许产出向量集是不切合企业生产经营实际的.通常情况下, 允许产出向量集应该与企业的生产能力、生存条件以及市场对企业产品的需求密切 相关,它不可能是一个无界集合.因此,用戤来描述允许产出向量集是不合适的. 口,只要企业的允许产出向量集胄:,?矗:,我们就很难保证用特征值 方法求出的解恰在中.因此,传统的特征值估计方法在本质上是不能解决这一个问 题的. 本文便是由此出发,结合企业的生产能力、生存条件以及市场对企业产品的需 求,引入了一类比经典模型更切合企业经营实际的矩阵型条件模 型,;及相应的条件投入产出方程.并提出了包含存在性问题在内的可解性问 南京航空航天大学硕士论文 题,通过运用非线性分析中的重要结果与方法.获得了这类方程在适当条件下的可 解性结果??解的存在性、对应解集的连续相依性以及近似刻画预期最终需求向量 的满射性定理. .矩阵型条件模型 在如上经典模型的基础上,首先引入本文中将要考虑的矩阵型条件 模型与对应的条件投入产出方程如下: ,,,?,刀是企业的非负直接消耗系数矩 定义..设~~嘞 阵,,是阶单位方阵,彤是企业的非空允许产出向量集, ?群是市场对 企业生产产品丛的最终需求向量.则称 ,,,;为企业的矩阵型条件模型. 打,如下的问题 ‘ ?‘.. ? ”譬卜:。 ,一 为矩阵型条件投入产出方程. 注:在以上定义中,若取雕,仍然保持 ,?,功是非负矩阵,则一,,;工』,,..就成为经典 口?口口 的模型和相应的投入产出方程. ,使之与消耗 注:..的经济意义十分明确,即求一个允许产出向量 血之差?恰为预先确定的最终需求向量.其关键之处是满足..的解,必 须满足?.特别注意,?’. 对..,我们有如下三个基本问题我们合称为可解性问题,本文中将对此 可解性问题进行初步的尝试. ,存在性问题:对于何种?群,..式必定有解即存在?,使得 ,一. 仃连续相依性问题:若对于使..可解的?彤作微小的扰动,那么从集 值映射的角度,对应的.的解集将作何种变动关一类矩阵型条件投入产出方程的可解性定理的一些基础研究 满射性问题:既然是允许产出向量集,那么是否中的每一个元,都 可以作为或者是近似的作为是..有解的最终需求向量 先对以上可解性问题作以下说明: 注:第一个问题是经典投入产出方程存在性问题的延伸,对于它的解不仅要 求非负.而且还要求符合企业的生产能力与市场的需求,这是条件投入产出方程的 关键所在.由于的限制,及实际上我们处理存在性结果的方法不局限于矩阵,故经 典特征值估计方法已经失效. 注:第二个问题则是在使..可解的最终需求向量存在的前提下,研究当 作微小的扰动时,对应的..的解集是否平稳变动的问题.如果在某种意义下解 集的变化平稳,则可在可解的最终需求向量的附近,寻找适合企业自身利益的其他 最终需求. 注:满射性问题则试图用产出向量集来确定最终需求向量的近似范围.事实 上,若企业运作良好,则在“的范数意义下,?整体范数很小,则当 彤,使..可解时,存在,使得工一.这表明非常接近工,也就是 说,只要?雕使..可解,则必产生于工中某个元的小扰动之中.南京航空航天大学硕士论文 第二章矩阵型条件投入产出方程的存在性定理 .引言 在..给出的矩阵型模型,;中,允许产出向量集丑的形式很 多,比如可取如下的各种形式: 置?口』。】 ,工 ??:??? , ?一 【 耻卜砷。?喜一筠,,叫 更进一步,可以是联中具有有限顶点的凸多面体.一般地,可以是 胄:中的凸紧 集.要想对一般的?”作出处理还为时尚早.作为初步尝试,我们 对如上矩阵型 模型,,;作如下基本假定: .. 基本假定:【口。,巩】 , 其中。。,??行,而或可以理解为市场对企业生产的第衍十 产品的最低或最大需求,也可以理解为维持企业生存所必需的对 第拜中产品的最 小生产量或企业的最大生产能力,很明显,这是允许产出向量集 最基本而且是最 常见的形式之一. 基本假定:所考虑的最终需求向量?雕满足 .. 作出这一个假定的理由有如下两条: ,若?是..的解,则血?.于是作为初步尝试,我们可以设 想在..成立的前提下尽管不适充分必要来求解... 口,..具有实际意义:企业的正常运作意味着高效,即在上整体消 耗很小,设是“上的一个范数,‰是的?【,以】中心,即 ‰;华,?,半关于一类矩阵型条件投入产出方程的可解性定理的 一些基础研究 令 仁咧彗协”洲 其中甜是的边界, 则当‖时,对任意的 一‖ 。,~卢 必有.换言之,企业高效自然导出式.. .主要定理及证明 本节将在基本假定..,..成立的前提下,来处理..的可解性问题. 首 先在”上引入范数?,在特殊的情形下要用。,,即对任意的工?胄”, 定义 , 、 删。.,,。,/:?蚓】.为叙述并证明定理,尚需给出如下的定义: 定义..对于非负矩阵口口~屯?,,,?,刀,如下不等式 ? .. “舞” .. ?; 均被称为彳的压缩性条件:而称 .. ?口; 为非扩张性条件. 定义..设?胄:固定,对任意的‰?工,称 .. ‘:,一,瑚舯一,? 为从。?出发的迭代序列;而称 .. 。:.。?。 为从属于迭代序列的扛。的,一平均序列. 南京航空航天大学硕士论文 下面我们叙述本节的主要定理如下: 定理..矩阵型条件投入产出方程的存在性定理 设基本假定..、..成立,则: ,..必定有解‘,它也是代数方程组,一的解空间含于中的 元; 口若..或..成立.则..必存在唯一的解,它也是代数方程组 ,一在月”中的唯一解.此外,解’也可用从?出发的迭代序列近 似的求 出: 口若成立,则 .. ,?马,卜。一’。? 一口 舞 若..成立,则 ,。。 . ?? 靠呻,? 蛙忙。咱扎 ? ?一荆 ?若..成立,则..必有解工’,它可以作为//,中的,一平 均序列?,的:极限. 我们先对以上可解性定理作一些说明,而其证明则放在下一节 注:结论,表明:只要基本假定..,..成立,则即可断言..有解 而无须考虑的特征值.因为企业的高效意味着消耗爿整体很小, 即口,,,?,一 很小,那么口,表明,只要满足压缩性条件,..必存在唯一解,而且 可由 关于一类矩阵型条件投入产出方程的可解性定理的一些基碹壅 两种方法求得.结论脚表明,若..成立.则..至少有一个解,它是 迭代序 列。的《,平均序列在恍范数下的极限 为证明定理,先给出以下引理: 引理..压缩映照原理【设,是从完备度量空间到其自身的 算子,如果对于任意的?,都有厂’,?膨“,,七,则存在唯一 一点。?,使得,。,其中,是之间的距离. 引理..不动点定理】设是“中的有界闭凸集且映射 :斗连续,则在中存在不动点. 引理.【】设是空间,则范数拓扑与弱拓扑一致的充要条件 是是有限维的. 引理..】设是/空间的有界闭凸子集,且映射:?是非扩 张映射,既对于任意的,?,都有厂力,,,则从任一初始点? 出发的序列的,一平均序列弱收敛于的一个不动点. 引理..】若迭代矩阵的范数,则迭代格式‘“’仕’的 第次迭代对于准确解工’的误差估计式为忙?一’ 踽?。’. 证明: ,设..、..成立.因为“上赋予范数帆.帅:,所以。,岛】是范 数意义下的凸紧闭集,作映射如下: :呻”:卜?&出 .. 则由..知. 工故是从?【口,,包到自身的映射并可以验证: 在。范数下,对于任意的善,?,有:堕塞堕窒塾垂盔兰堡主堡 塞??????????????一 . 。啾?玑哩黔融卜川。 工,有 在?:范数下,对于任意的 . 陋一印:::?主日;忙一: 事实上,对于任意的工’...,。,有: ?。,‖一,? 所以 ‘翻 』’ 血唧陲%,?理擎陲%四。 ,王 故..成立...同理可证. 故由引理..可知,当”上赋予范数眦圳:时,在中都存在不动点? 即存 在’?,使得。’’. 又因为为阶矩阵,一』?的解空间可以通过基础解系给出,这是线 性 必在解空间中. 方程组的所有解集,从而‘ //对于如上定义的: ,有: ?当压缩性条件..成立时,对于任意的, .. 陪酬。卜,。沪主.乃卜乩 ?. ?当压缩性条件..成立时,对于任意的,?,有: .. 陪酬:小私卜刊: ; 口 一 ; .?州 、???, ,,...... 关于一类矩阵型条件投入产出方程的可解性定理的一些基础研究 故在.汕:的范数意义下,是从完备度量空间到自身的压缩映照.故由引理 ..可知在这两种情形下均存在唯一的不动点,设在』:范数下的不动点分别 为’,’. 又因为是矩阵也定义于”上,故由压缩性条件可知: 口在四。范数下,由压缩性条件..可以导出 :月“丰”:&是压缩映照. ?在?:范数下,由压缩性条件..可以导出 :”斗”:工卜?&血也是压缩映照. 因为,.。,“,四:均为空间,故均为完各的.所以由引理..可知, 在”中存在不动点,设在四“:范数下的不动点分别为’,. 于是由唯一性,可知’’.,. 另外,当压缩性条件..或压缩性条件..成立时,..的解即为代数方 程组的唯一解,故可以由线性方程组求出,也可以由..或.的迭 代方法求出.由数值分析中的引理..可知..、..成立. 当月”上引入范数时,胄“,四是空间,而由基本假设..可导 出如上定义的是从完备度量空间到自身的映照.由压缩性条件.. 可知: .. 陋一酬::』一川:主《?: \?,司 / 故是从完备度量空间到自身的非扩张映照.于是由引理..,由..定义的 ,一平均序列扣,,当寸时弱收敛于在中的不动点,‘?.因为“是有 限维空间,所以由引理..知 .. ‘?且 ’可以由,近似求出. 南京航空航天大学硕士论文 在以上定理..,当一满足压缩性条件时,实际上是一个从到自身的 压缩映照.压缩映照原理有很多推广,下面的定理就是应用压缩映照原理的推广结论 导出的.为此.先引入一些定义和已知结果. , 定义..称完备度量空间,是一可链的,若对于任意的 存在有限点集,‘,?,‘而且置,‘一占,?,. 定义..映射:斗称为是局部压缩映照,若对于任意的工?,存在 占,,丑,使得若对于任意的口,?茹,力?‘,‘,五;刮:,,有 ,口’,?, 定义..映射,:斗称为是一致局部压缩的,若,是局部压缩映照,且 占,不依赖于工. 定义..对完备度量空间【,,,映射:呻连续,则映射,称为 是局部幂压缩的,若存在一个常数,对于任意的?,存在整数,使 得对于任意的?,有 ”砷,”力?,力. 下面给出本节的第二个定理 定理..在条件模型..中,若基本假定..、..成立 :?:是一个映射不必为矩阵,且如下任一条件成立: 口是一个从到自身的一致局部压缩映照. 爿是一个从到自身的局部压缩映照. 爿是一个从到自身的局部幂压缩映照. 则在中有唯一的不动点.即条件投入产出方程有唯一解. 证明之前,先给出几个已知结果. 引理..【 】若,是占一可链空间,映射:呻是一致局部压 缩映射,则映射,存在唯一不动点. 荚一类矩阵掣条件投入产出方程的可解性定理的‘些基础研究 引理..【】若,是紧的和连通的度量空间.映射:斗“足局 部压缩映射,则映射厂存在唯~不动点 引理..【若,是完备度量空间,映射,:,斗是局部幂压缩 映射,则映射厂存在唯一不动点. 证明:本定理以一是从到自身的局部压缩映照为例来证明. 令占:呻:工卜?出,则由爿是从?到自身的局部压缩映照知占也 是一个从到自身的局部压缩映照.故由引理. 知存在唯一的??.使得 ’’’.证毕. 当是一致压缩映射或者是局部幂压缩映射时,证明与前相同,在此从略. 注:一般来说,定理.的结果要比定理..强,因而构造满足定理中三个 条件之~的非负消耗映射是一颇有意义的问题.但是目前尚未取得任何进展,有待于 今后进~步探讨.南京航空航天人学硕十论文 第三章矩阵型条件投入产出方程的 .连续相依性定理 . 引言 在前面的.节中,我们提出了三个基本问题.本节开始着手讨论第二个问题, 即在使..可解的最终需求向量存在的前提下,研究当作微小的扰动时,对应 的..的解集是否平稳变动的问题. .主要定理及证明 为证明定理.先给出如下定义.设,是拓扑空间,:斗?是严 格的集值映射其中严格性是指对于任意的?.:?. 定义..称在点?是上半连续的,若对。的任意一个邻域 ,存在‰的邻域,使得??‰.如果在 简称 中的每一个点上半连续,则称是上半连续的集值映射 为.... 定义..称在点?是下半连续的.若对任意的。 及的任意 一个邻域。,存在‰的邻域,使得: ,?? 如果在中的每一个点下半连续,则称是下半连续的集值映射 简称为.. 注:当是单值映射时,连续概念与上半连续、下半连续等价. 定义..如果在点?既是下半连续的,又是上半连续的,则称在 ?是连续的;若在中的每~个点连续,则称是连续的. 定义..又设是拓扑空间,是局部凸空间,’是 其对偶空间,且:斗”是严格集值映射,这儿严格是指,对任意的 ?,简称为..,若对任 ?,??,称为上半连续芙一类矩阵型条件投入,“?方程的可解 性定理的一些基础研究 卷的,,?’,如下的函数 . 斗??,?】:工 ’;, ,, 是上半连续函数. 本章中,恒设”上赋予任意范数九,令膏?:删??庐,而且定 义集值映射如下: .. :岩斗。:卜??一』 .成立.则: 定理..:设基本侣?、 .、 如上定义的是严格是.,..集值映射,且在中的连续点全体 是岩的子集.即在中的不连续点的全体在中岩无非空内部. ,,如果如下条件之一成立: 矩阵满足压缩性条件..; 不必为矩阵是局部压缩映照、一致局部压缩映照或局部幂压缩映 照; 则为单值连续映射. 为证明定理,先引入几个已知结论如. 引理..【】设是从拓扑空间到紧拓扑空间的闭集值 映射,则是.集值映射. 引理..【】设是拓扑空间,是局部凸空间且赋予 弱拓扑盯,矿’.若:寸”是...集值映射,则也是..映射. 引理..【】设是完备度量空间,是紧度量空间,:是闭集值 映射,则在中的连续点全体是的子集. 证明: ,门首先可证岩是”中的闭集:设。 ..。斗。,要证。?,等价 于证明 .由于%满足。.,即??,血.?.这等价于 ?,。一删.因为紧闭,故一出也为紧闭集.于是由。知, ?,??,故 其次,由定理..可知,是严格的集值映射,而且是闭的集值映射. 事实 南京航空航天人学硕十碱文 上,令 。,。?,.,.。,‰ 因为闭、紧,敞。?牙,。?,而且当??时 ,一。。 令斗?,可得 ,一 再由“是有限维空间,所以弱拓扑与一,一致.结合名是闭集.爿是 紧集,由引 理. 、..、.可知,如上定义的,是上半连续和上半连续集值映射,且 在中的连续点全体是膏的子集,即在中的不连续点的全体在中 无非空内部 ,,在基本假设..、..下: 当矩阵满足压缩性条件.,时,是严格的单值映射,故由,可知, 是单值连续映射. 当不必为矩阵是局部压缩映照、一致局部压缩映照或局部幂压缩映照时, 由定理 可知为单值连续映射. 注:由上定理可知.,是上半连续、上半连续映射,且在中的连续点全 体是膏的子集.也就是说,是随着最终需求向量在岩中的小扰动平稳 变化的.特别的,由于单值映射的连续性等价于上半连续,故当矩阵满足压缩性条 件或者当不必为矩阵是局部压缩映照、一致局部压缩映照或局部幂压缩映照时, 为单值连续映射.条件投入产出方程的解集随着最终需求向量的小扰动平稳变化的 性质,对实际应用是重要的.荚一类矩阵型条件投入产出力群的可解性定理的一些基础研究 第四章矩阵型条件投入产出方程的满射性定理 .引言 至今,我们考虑了.可解性问题中的存在性和连续相依性问题,本 章将讨论第三 个问题??满射性问题,即中的每个元素是否可以作为或者近似的作为使条件投 入产出方程..有解的最终需求向量 在本章中,恒设”上赋予范数?,,记。’一,吒,则由是非负矩阵以 及?:立即可知: .. :: .主要定理及证明 定理..对于..定义的矩阵型条件投入产出方程爿,,;工,若基本假定 ..成立,则 对任意的占,?,存在?,?”使得 .. 。~‘ 六叫忙川:。 ?:?。: 如下定义的集值映射: :斗。: ?工 ‖,“?,。: 是...和.集值映射,而且在中的连续点全体是的子集. 注:企业高效意味着整体小消耗,即的元素均非常小,所以慨:也很小.以 上的结论 表明:对任意的?,不管..是否可解,总存在对于的? 一 个其?:范数不超过慨:占的扰动,使得一』沁必在中有解.在 。:很小时,这个方程的解即可以作为与最终需求向量对应的近似允许产出南京航空航天人学硕七论文 向量 往:上定理结沦,/,表明,当最终需求向量?作小扰动时,对应投入产 出方程的近似解集也是平稳变化的. 为证明定理.须给如下的两个重要引理. 引理...满射性定理【】设是局部凸空间, ’是其拓扑对偶空间是的凸紧子集,:呻,为取值为非空凸闭集的连续映 射,而且满足对于任意的 ’, ,;?,孵, 有: ., ,五?,石 则?.即对任意的一?,存在王?,使得一? 定理..的证明: 证明过程分为四步,先证明如下的引理. 引理..设一.?,??,:】,?,,,】一”是四下的连 . 续映射,且 .即?,,则,一 由以上引理.定理可知,要证结论只需证明对任意的,?”, ?;,恒有: . ,?,? 等价的 .. ,? 实际上,我们能够证明在剖。,这个条件下,..恒成为等式. ,若,则..成为等式. 口若见,?,。?令;.,;?.】则,;?驴,不妨设 耳?妒,?矿,于是工烈;尸等价于 .. ?。毛,?,。一? . ?‘,; ,』 其中: ?【口。,】,?? 由日。,?知,上不等式等价于 芙卜一类矩阵型条什投入产方程的可解性定理的一些基础研究 当?,:时,.:口. .. 当?,:时,., 当 ,;,:时,.在【口,,,】中可以任取 汜一,。,于是由上式及。,知 .. ?。,?,,??..?,包,? ,; ,坛 故,一 第二步,欲证明对任意占。,存在氏一。。,使得 硝、。。?: 其中 品。,,一 因为在从而在上连续,所以对于任意的?船,存在的一个邻域, 占,,使 得爿‘, ,占.所以口,甜是紧集硝的一个开覆盖,由有 限覆盖定理可知存在%‘??也覆盖秘,故存在民?。。。?, 使得一\“匕,占,所以对任意的?\矗,存在,使得 ?。,,故??.,,即 . 所以咖:?出,:占,也即: .. ,景‰四:剁俐:占 第三步,证明对于任意的占,.万?民,存在:斗:满足南京航空航 火人学硕十沧文 。非负且连续 .. 。?。 ,一? 由方程的截断技巧【,】,可知,存在”上的非负连续函数。:”斗: 满足 ?工?,?” .. “ “ 限制。在上,仍然记作。,且令 ;。.,?,&。 即对于任意的, ‰石凰.,?? 则由是非负矩阵以及..可知: 日以非负连续 .. 以扎 以。 于是由目理..与式..有,一一。. 最后证明?当?矗时,对任意?,存在??,?”,使得..成 立.由第三步知道,对于任意?,存在?,使得』一以. 令 』一爿 即 ??一.. 口款?,贝立即由..可知,一一工,即. 若?\。.,贝由. 、..与. 矾: ,一 .. ?: 彳爿:?: 定理证毕. 口由以上结论可知,对任意的?,有?庐.故集值映射:彳斗。是 严格的.由前面引理..,..以及..,只须证明是闭集值映射即可. 令 荚一类矩阵犁条什投入产出方程的可解陀定理的。些基础研究 ‘?,‘“’?,且 ‘川,‘’寸‘?,工‘’,显然四?,‘’? 则对任意的?,存在?‘”’满足 口,一一‘”’‘”’‘ .. 。: 【血汩’: 因为?【’是有界序列,所以不妨设血斗?,令??,可知: ?? .. 占 ?” ‰ 』叫 怯 矿卜 ,????.?,、???【 所以‘?,‘?,故为闭集值映射南航空航大人学顿:论文 第五章连续集值消耗型条件投入产出方程的 可解性定理 .引言 在前面一章中,我们的研究对象是矩阵型条件投入产出方程,消 耗映射的作用 是单值的.但在实际中,对每个允许产出向量,不同的技术因素可 对应不同的消耗. 从而将消耗映射改为集值消耗映射似乎更为合理.但是一旦涉及集值映射,则遇到的 问题完全是非线性的,其处理的难度大为增加,作为初步尝试,本章里将对连续集 值消耗型条件模型及其对应的投入产出方程作一初步的探索.为此,首先给 出连续集值消耗型模型的定义. 定义..设?【,如前定义,』是其上的恒等算子,设集值消耗映射 , :?,一斗肆是取值为非空凸闭集的集值映射,即对于任意的 是联中的非空凸闭集合.?月:是一个定点,而且满足如下的 删 基本假定 .. 即对于任意的?,亡,则称 口,;为连续集值消耗型条件模型. 如下的问题 . 、 ’ 惯甜一 .. ?,一 为连续集值消耗型条件投入产出方程. 注:在集值消耗映射的意义之下,企业高效仍然意味着是:范数意 义下 的“小”集合,故满足条件..的最终需求向量一般是存在的. 注:因为凸紧,故基本假设..导出是取值非空紧凸集的. .主要定理及证明 首先叙述本节的主要定理如下芙。一类矩阵型条件投八产出方程 的可解性定理的一些基础研究 定理..:发,,;如上定义,则: ,..必定有解. ,,如果令膏仁? .则如下定义的集值映射: .. :牙斗。:卜?扛??,一爿? 是严格是 ,..集值映射,且在中的连续点全体是岩的子集,即 在牙中的不连续点的全体在中无非空内部. 为证明定理.先给出如下引理. 引理..不动点定理设足是”中的紧凸子集,是从到 自身的取值紧凸值的连续映射,则在足中存在不动点. 下面便应用上述引理给出定理的证明 证明: :斗“::卜? ,令 ,故映凸紧集到自身.又由彳为非空凸 由基本假设..可知: 闭,故由&及紧,又可知&是的非空凸紧子集.进一步,由一连 续可知也连续.综上所述,是从凸紧集到自身的取值为非空凸紧 集的连续映 射,故由引理..可知,存在一不动点.即存在’?,使得 ?&‘’ ?首先证明牙??删是闭集.令。?膏,札%寸。,则对于任 血凸闭,故 意的?,有』, ,即%??.因为紧闭, ?,??,所以闭. 由前面引理..,..以及..,结合有限维空间的弱拓扑与?:拓扑一 致 只须证明是严格的闭集值映射即可严格性由结论,可知. 令‘?,‘”’?,且 南京航宅航天人学硕’仑史 ‘”’,工‘”’呻‘’、。’.显然工‘’?,‘’?雪 .. 山连续可知,对于任意的,存在,当?时,有 ‘”’。血‘”,占 . 时,有: 由..及.知,当 茁‘”’一‘“’?‘“ ‘,占 令 ?,可得 石‘’一‘’?一‘’,占 .. 令,?,?.则由.可知,存在 ?。一’,:,使得 .. ‖心: 又由叶’?‘”,?可知存在四?‘”,使得 庀 .. 眇’一划: 故由..、..知 町 ?舭 .. 一 一 蔓 一 曲? 七 ,???????,、????? 令斗。.则由上式以及彳’为凸紧集,知: 而且‘叭一‘’?‘ ‘‘?‘’一‘’, 朗 ? ? 置血 ?????.【关:一类矩阵型条件投入产出方程的可解性定理的一些基础研究 结束语 一本文的主要工作: 本文首先引入了一类比经典模型更为切合企业生产经营实际的条件 模型及相应的条件投入产出方程,然后给出了其在相应条件下的可解性定 理,具体为: .矩阵型条件投入产出方程的可解性定理 在经典模型的基础上,结合企业的生产实际,本文首先引入了条件 模型及条件投入产出方程,然后运用压缩映象原理、不动 点定理、?满射’陛定理等结论解决了文中所提出的关于条件投入产出 方程的可解性问题. .连续集值消耗型条件投入产出方程的可解性定理 在引入连续集值映射型条件投入产出方程的基础上,本文给出了该类方程解的 存在性和连续相依性定理. 二后继研究工作展望 .矩阵型条件模型中,若产出向量集取为前面提到的 。?【,】 ???一? ?:??粪,。?: 或者扎. .那么是否有类似的可解性定理呢 .连续集值消耗型条件模型中,本文只是探讨了可解性问题中的存在 性和连续相依性问题,对于剩下的满射性问题还可以继续进行深入的研究和讨论.南京航空航大人学硕十论文 致谢 本论文是在导师刘颖范教授精心细致的指导之下而完成的.从阅读文献、搜集资 料、论文选题、开题直至各个阶段的研究工作,作者都得到刘老师极其耐心细致的 指导与帮助.可以说没有刘老师的指导,本文就不能顺利圆满地写作完成?也那种对学 术问题严谨求实、一丝不苟、诲人不倦的精神与态度让我深受感动,受益匪浅.在此, 作者向刘老师表示衷心的感谢并致以崇高的敬意. 在研究生阶段各门课程的学习过程中,作者也得到了刘教授等许多老师的悉心 授课和指导,学到了许多新知识.拓宽了知识面,从而能顺利完成学业.他们那种对 科学严谨认真、求实创新的精神值得我去学习,而且各位老师的循循善诱与谆谆教 导对我日后的学习与工作将起到不可估量的启迪和指导作用. 在本论文的写作与打印过程中,作者得到了金瑾老师以及其他许多同学耐心与 热情的帮助与支持.在此,作者一并向他们致以衷心的感谢与祝福.