第2章 单自由度振动系统(讲)

第2章 单自由度振动系统(讲) 第二章 单自由度系统振动 ?1-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。(1)尽管实际的机械都是弹性体，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。 例如:(1)悬臂锤削镗杆;(2)外圆磨床的砂轮主轴;(3)安装在地上的床身等。 若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。 在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来示。阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。 单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。 所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。 在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。 应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。 (牛顿运动定律) (达伦培尔原理) 现取所有与坐标x方向一致的力、速度和加速度为正，则: ，，，mx,Psin,t,Cx,kx (牛顿运动定律) 0 (达伦培尔原理:在一个振动体上的所有各力的合力必等于零) (动静法分析:作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系) 上式经整理得， ，，，mx，Cx，kx,Psin,t (2.1) 0 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。它可以分为以下几种不同的情况: (1)单自由度无阻尼自由振动 ，，mx，kx,0 (2)单自由度有阻尼自由振动 ，，，mx，Cx，kx,0 (3)单自由度无阻尼受迫振动 ，，mx，kx,Psin,t 0 (4)单自由度有阻尼受迫振动 ，，，mx，Cx，kx,Psin,t 0 ?2-2 单自由度系统无阻尼自由振动 无阻尼自由振动是指振动系统不受外力，也不受阻尼力影响时所作的振动。其去力学模型如图2.3所示。 图2.3 单自由度系统无阻尼自由振动动力学模型 设质量块的质量为m，它所受的重力为W。弹簧刚度为k，它是弹簧每伸长或压缩一个单位长度所施加的力。 弹簧未受力时的原长为l，挂上质量块后，弹簧的静伸长为。,j此时系统处于静平衡状态，平衡位置为O-O，由静平衡条件得: k,,W (2.2) j 当系统受到外界某种初始干扰后，系统的静平衡状态受到破坏，则弹性力不再与重力平衡，而产生弹性恢复力，使系统产生自由振动。若取静平衡位置为坐标原点，以x表示质量块的垂直位移，并作为系统的广义坐标，取向下为正。则当质量块离开平衡位置x时，质量块 ，，k，x,所受的作用力,重力W和弹性力，由于受力不平衡，质量块j 即产生加速运动。 ，，，，？mx,W,k,，x,,kx j ，，mx，kx,0即 (2.3) 上式即为单自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程式。 现求解上列微分方程，先将(2.3)式改写成: k ，，x，x,0 mk 2,,n令 (这里是有用意的) m 2，，x，,x,0则 (2.5) n 这是一个齐次二阶常系数线性微分方程。 st x,e设是方程的解，代入(2.5)式 22st，，s，,e,0 n 22 s，,,0有 n ？S,,i, (两个不相等的实根) n 故方程(2.5)的通解为 ,,,ititnnx,Ce，Ce12 ,,,,，，，，CcostisintCcostisint,，，,nnnn12 ，，,,bcostbsint2.6,，nn12 式中:bCC;,，112 ，，biCC,,212 (2.6)式表明，单自由度系统无阻尼自由振动包含两个频率相同 的简谐振动，而这两个同频率的简谐振动，合成后仍是一个简谐振动， ，，x,Asin,t，,即: n b221,1Abbtg,，,,12式中: b2 ,A和是两个待定常数，取决于振动的初始条件。设振动的初始 条件为: ，，t,0时,x,x,x,x 00代入(2.7)式中得: ，x,Asin,;x,A,cos, 00n解之得: 2，x20Ax,，02 ,n x 1,0,ntg,, ，x0二、振动特性的讨论 1(振动的类型 无阻尼自由振动是简谐振动。其振动特性只决定于系统的弹性和 质量块的惯性。 2(系统的频率和周期 系统振动的圆频率 K ,, nm 系统的振动频率 ,1Knf,,n 2,2,m 系统的振动周期: K1 T,,2, fmn 由此可见，系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质(弹性和惯性)有关。因此,当振动系统的结构确定之后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关。 ,——固有圆频率(natural circlar frequency) n ——固有频率(natural frequency) fn (说明)线性系统自由振动等时性可以用于判断，刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。质量相同的两个系统，刚度小的系统固有频率低，刚度大的系统固有频率高。 换句话说，系统质量增大和刚度减小都会使系统固有频率下降;反之，要提高系统的固有频率，应减小系统质量和增大系统刚度。这一性质在定性研究振动，特别是希望调整系统的固有频率时是极重要的。 3(系统的振幅和初相位 运动微分方程中，A是系统自由振动的振幅，它表示质量块离开 ,静平衡位置的最大位移。则是初相位，表示质量块的初始位置。 ，,,x,x,振幅A和初相位的大小取决于的数值。这就是说，n00 ,振幅A和初相位不仅由系统的惯性和弹性所决定，而且还与运动的初始条件有关。 振幅和初相位都决定于初始条件，这是自由振动的共同特性。 4(常力对振动特性的影响 常力(如重力)作用在系统上，只改变系统的平衡位置，而不影响系统的运动规律、固有频率、振幅和初相位，即不影响系统的振动特性。 因此，在分析振动时，只要以平衡位置作为坐标原点，就可以不考虑常力。 [例1] 一质量块m安放在长度为l 的简支梁的中点，梁的弯曲刚度为EJ，若忽略梁的质量，试求此系统的固有频率。 解:将上述系统简化为一个单自由度自由振动系统，简支梁相当于一 根弹簧。根据材料力学简支梁的挠度公式，在梁的中点作用一个垂直 力P时，该点的挠度为: 3Pl y, 48EJ 故简支梁的弹簧刚度为: P48EJ k,, 3yl 所以系统的固有圆频率即可算出: kEJ ,,,6.93n 3mml 系统的固有频率为: ,EJnf,,1.1 n3,2ml [例2] 试确定图2.6中各个系统的固有频率。 解:在图2.6(a)所示的系统中，质量块m作铅直方向位移(平动)时，引起各分弹簧的等量伸长。设弹簧的静伸长为，则该系统,j静平衡时，质量块的重力W与各分弹簧的弹性力之间存在下列关系: n,, Wk,k,k,K,,，，,,,,123jjjij ,1i,, 所以系统的总弹簧刚度为: nW k,,K,i ,,1ij 因此该系统的固有圆频率为: kkkk，，123,,, nmm 在图2.6(b)所示的系统中，若将质量块m看成是由两个分质量块m和m所组成，即 12 m = m，m 12 两个分质量块分别与弹簧k和k连接，这两个分系统的固有圆频12 率为: kk12,,;,,12nn mm12 由于这两个质量块是牢固地连接在一起的，所以它们的固有频率 ,，即: 必然相等，且等于整个系统的固有频率n ,,,,,12nnn kkk12,, mmm12 kmkm12 m,;m,12kk ,，Kkk12 所以整个系统的固有圆频率为: kkk，12,,,n mm 在图2.6(c)所示的系统中，质量块m的重力W通过弹簧传至固定点。在平衡时，作用在各分弹簧上的力均为W。质量块的位移则等于各分弹簧变形的总和，即: n ,,,,,,，，,,jj1j2j3ji i,1 WWW,,,,,,j1j2j3KKK123 WWWW ,,,，，jKKKK123 n1,,W,Ki,1i n11 ,,即 KK,1ii 因此 KKK1123K,, 111KK，KK，KK231213，， KKK123 所以该系统的固有圆频率为: kkkk123,,,n ，，mkk，kk，kkm231213 由本例可以看出:系统中的弹性环节往往由多个弹簧组成，组成的方式可以是并联，也可以是串联，或串并联同时存在。为了计算固有频率，就需要根据各分弹簧刚度来确定系统总的弹簧刚度。总结一下可以得出以下规则:并联弹簧的等效弹簧刚度等于各分弹簧刚度之和;串联弹簧的等效弹簧刚度的倒数等于各分弹簧刚度倒数之和。 三、扭转振动 以上讨论的是直线振动的情况，但在工程技术上常常碰到另一种 需要用角位移作为广义坐标来表达其振动状态的扭转振动。 , 由牛顿定律的表达式为: ，，,M,I , 式中M——施加于转动物体上的力矩; I——转动物体对于转动轴的转动惯量; ，， ——角加速度。 , 如图2.7所示，在一根垂直轴下端固定着一个圆盘。圆盘转动惯 量为I，轴的扭转刚度为，轴的长度l，直径为d。 K, 当系统受到某种干扰后，即作扭转自由振动。现取为广义坐标，,并以逆时针为正。振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的、与方向相, ,K,反的弹性恢复力矩。 , 可建立上述系统的扭转振动运动微分方程式 ，，,,I,,K, ，，I,，K,,0, k2,,令,nI 2，，,，,,,0n 可见，扭转自由振动的微分方程与直线自由振动的微分方程完全相似。其通解为: ，，,,Asin,t，, 所以单自由度系统扭转自由振动也是一个简谐振动。其固有圆频率、固有频率及周期分别为 k,,,nI kk1,,,,2fT, II2, ,振幅A和初相位也决定于扭转振动的初始条件，若t=0时， ，，,,,,,,,，则: 00 2，,20,A,，02,n ,,,1n0,,tg，,0 四、计算系统固有频率的其它方法 在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义。除用上述方法外，还有以下几种常用的方法，即静变形法、能量法和瑞利法。 1(静变形法(Static Deformation Method) 如前所述，当单振子处于静平衡状态时，弹簧的弹性力与振动质量的重力互相平衡，即存在以下关系式: ,kW,j Wmg K,, ,,jj 故系统的固有频率为: 11Kg ,,fn 2,2,,mj 由此可见，只要知道质量块处的弹簧静变形，就可以计算出系,j 统的固有频率。 [例] 设一悬臂梁长度为l，抗弯刚度为EJ，自由端有一集中质量m。梁本身重量忽略不计。试求这一系统的固有频率(见图2.8)。 解:悬臂梁在自由端由集中力mg所引起的静挠度为: 3mgl,,j3EJ 13EJ？f,n32,ml 注:当不易用计算方法求出静挠度时，也可用实测方法得到静挠度。然后计算系统固有频率。 2(能量法(Energy Method) 在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量的损失，所以振幅始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终不衰减。我们将这样的系统称为保守系统。 在保持系统中，根据机械能守恒定律，在整个振动过程的任一瞬时机械能应保持不变。即 T，U=常数 d，，T，U,0或 dt 式中:T——系统中运动质量所具有的动能; U——系统由于弹性变形而储存的弹性势能，或由于重力作 功而产生的重力势能。 对于单自由度无阻尼自由振动系统来说，系统的动能为: 12，T,mx 2 系统的势能则由以下两部分组成: 1)重力势能 当质量块m低于静平衡位置时，重力势能为,mgx。 2)弹性势能 当质量块m运动至离静平衡位置+x距离时，弹簧的弹性力对质量块所作的功即为系统此时的弹性势能。 系统的弹性势能为: x12mgxkxdxmgxkx，,， ,02 故系统的势能为: 1122U,,mgx，mgx，kx,kx 22 1122，mx，kx,E (常数) (2.28) 22 这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程。无阻尼原由振动系统的能量关系是振动质体的动能与弹簧势能的相互转化过程，而无能量的消耗。 若将无阻尼自由振动的时间历程 x,Asin,t代入系统的能量方程式，可得 n 1122222m,Acos,t，kAsin,t,Ennn 22 ? 当t=0时 1220U,T,m,A,E nmax2 ,? 时 ,t2,n 120T,U,KA,E max2由于势能的最大值相等() T,Umaxmax 11222mAKA,,即 n22根据睛式即可算出系统的固有频率: k,, nm[例1] 一根矩形截面梁，上面承受质量为m的物体，若忽略梁的质 量，试用能量法求该系统的固有频率。 解:梁的刚度可用静变形法求出: mg ,k ,j 而梁的静挠度可根据材料力学公式计算: 22mgab,, j3EJl 3EJlk,故 22ab 可求出该系统的固有圆频率: 3EJl,, (2.30) n22mab [补例2] 图示为一测振仪简图，物块质量为m，由刚度系数为k的1弹簧支持，上面连于直角杠杆AOB的A点，B点用刚度系数为k的水2平弹簧连于仪器壳体上。C为笔尖，D为滚圆，上面裹以纸带，仪器工作时毛尖C可在纸带上指出振动曲线，设杠杆对其转轴O的转动惯量为I。试求系统的固有频率。 解:这是单自由度系统，设杠杆作微振动的摆角为，由于是简, ,,Asin,t谐振动，故，则物块(或A点)和B点的振动位移和速n 度分别为 ,,x,a,x,b12 ,, ，，x,,a,aA,cos,t,x,b,,bA,cos,t12nnnn 系统的动能与势能分别为 1112222，，,,，T,mx，I,ma，I，，100222 11122222U,kx，kx,k，，a，kb,112212222 1222，，,因此T,Ama，Inmax02 1222，，U,Aka，kbmax12 2 由于T,U,得系统固有频率maxmax 22ka，kb12,, n2ma，I0 [例3] 图2.11所示为测量低频振幅用的传感器的一个元件——无 定向摆。已知a=3.54cm，l=4cm，mg=0.856N，k=0.3N/cm，且整个系 ,22统对转动轴O的转动惯量I=17.6×10N?cm?S，试求系统的固有O 频率。 解:取摇杆偏离静平衡位置的角位移为广义坐标，并设 , ,,,,At，sin，，n ，,,,,,At，，，则cosnn ,,A故 max ，,,A,maxn 对简谐振动来说，摇杆E经过平衡位置时速度最大，故此时系统 动能最大，而势能为零。即: 11222，T,I,,IA,n max0max022当摇杆摆到最大角位移处时，速度为零，故此时系统动能为零， 而势能最大，它包括以下两个部分: 1)弹簧变形后储存的弹性势能: 12222U,2,Ka,KaA, 1maxmax2 2)质量块m的重心下降?后的重力势能: U,,mg,,,mgl1,cos，，,2maxmax 1 2,,mglA 2 1222所以U,U，U,KaA,mglAmax1max2max2 ？T,Umaxmax 11,22222？IA,KaA,mglAn022 222aA,mgl,得,nI0 2212aA,mglf,n,2I0 212，0.3，3.54,0.856，4,,0.77Hz,2217.6，10, 3(瑞利法(Rayleigh Method) 在有些系统中，弹簧本身的质量在系统总质量中占有一定的比例，此时若再忽略弹簧的质量，就将会使得计算出来的系统固有频率偏高。瑞利法则将弹簧质量对系统振动频率的影响考虑了进去，从而能得到相当准确的固有频率值。 应用瑞利法时，必须先假定一个系统的振动形式。而且所假定的振动形式越接近实际的振动形式，则计算出来的固有频率的近似值就 越接近准确值。实践证明，以系统的静态变形曲线作为假定的振动形式，则所求得的固有频率的近似值与准确值相比较，一般来说误差是很小的。 现以最简单的弹簧——质量系统为例来说明瑞利法的应用。在图2.12的系统中，若弹簧的质量与质量块的质量相比是很小的，则系统的振动形式就不会显著地受到弹簧质量的影响。在这种情况下，假设弹簧在振动过程中的变形(各截面的瞬时位移)与弹簧在受轴间静载荷作用下的变形相同是足够精确的。 因此，可以假设弹簧上距固定端距离为ξ处的位移x为: , x, x,, l 式中:l——处于平衡位置时弹簧的长度; x——弹簧在联结质量块一端的位移。 ，当质量块在某一瞬时的速度为时，弹簧在ξ处的微段dξ的速度x ，,x应为。令表示弹簧单位长度的质量，则弹簧微段dξ的质量为d,,l ，,1x,,ξ。而其最大的,d,。 ,,2l,, 所以弹簧的全部动能为: 221l，，,xx,,,l,,maxmax,,T,d,,,,, s,0223l,,,, 显然，系统的全部动能应该是质量块m的最大动能与弹簧的最大动能之和，即: ,11l,,22，，,，Tmxx,,maxmaxmax223,, ,l1,,2，xm,，,,max23,, 2kxmax系统的最大势能仍与无质量弹簧的情况相同，即: U,max2 用能量法可得: 1lk,,,22，xm，,x,, maxmax232,, 对于简谐振动来说，上式即成为: 222,A,lkA,,n，,m,, 232,, 由此可以得出系统固有频率的计算公式为: k,,n l,m， 3 ,l一般将上式中的称为“弹簧的等效”(effective mass of 3 spring)，m表示。 s *[例] 如图2.13所示的等截面简支梁上有一集中质量m 将梁本身 的重量W考虑在内，计算此系统的固有频率。 解:假设梁在振动时挠度曲线与梁在图示载荷作用下的静挠度曲 线一致。 梁上物体左侧距A点为ξ处的静挠度为: ,mgb2,,，，y,al，b,, 16EJl 梁上物体右侧距B点为处的静挠度为: , ,mga2,,，，y,al，b,, 26EJl 在物体m处梁的静挠度为: 22mgab y,m 3EJl ，y设物体m在振动状态下的最大速度为，则在物体左右两侧梁m ，，y,y的所有点的最大速度与振动位移y，y之间存在以下关系: 1212 ，，yy,yy,, 11mmn所以梁的左右两部分的最大速度为: ,y21,，，，y,y,y,,al，b,，，1mm2y2abm ,y22，，，,,，，y,y,ybl，b,,mm22y2abm 因而梁的左右两部分的最大动能为: ,22a，wy,,2m,,，，T,,al，b,d1s,420gab24 22,，，wal23a8alwa22，，,y，,,ymm,,2222g3b105b15b2g，， 22, b，wy2m,,,,，，T,,bl，a,d2s24,02g4ab 22，，，，，，,wal，abbl，awb22，，,y，,,y,,mm2222g12a28a10a2g，，式中:W——梁的单位长度的重量; 梁的全部动能为: wawb,，,2，TTTy,，,sssm 122g可算出梁的等效质量为: wawb,，, m,s g所以系统的固有圆频率为: k3EJlg,,, n22，，，，,，,mmmgawbwabs 3EJl式中:，为梁的刚度。 k,22ab 应用瑞利法也可求得无载荷梁的固有频率的相当准确的数值。由 于无载荷梁的变形曲线是对称的，所以首先需将载荷移到梁的中间，然后再令载荷为零(m=0)，即可求出无载荷梁的固有圆频率为: 2EJg, ,,n 40.637wl 可见，近似值与理论精确值之差小于1%。 ?2-3 单自由度系统有阻尼自由振动 一、阻尼的作用与分类 实际上，一切自由振动都是会衰减的，它的振幅随时间的增加而逐渐减小，最后振动便停止了。这是因为系统在振动过程中，要受到各种阻力的影响，这些阻力的方向始终与振动体的运动方向相反，因而对系统作负功，不断消耗系统的能量，从而使振动受到遏制，并逐渐平息，在振动中，这些阻力统称为阻尼。 阻尼大致可分为下列几种: 1(干摩擦阻尼 干摩擦阻尼——两个干燥表面互相压紧并作相对运动时所产生的阻尼。 F,,N ,式中:——摩擦时两接触面之间的摩擦系数; N ——摩擦时两接触面之间的法向压力。 2(粘滞阻尼 粘滞阻尼——物体以中等速度在流体运动时所产生的阻尼。 ，F,Cx G 式中:C——粘性阻尼系数，它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑剂介质的粘性，单位为N?S/cm。 但当物体以较大速度在流体中运动时(如3m/s以上)，阻力将与速度的平方成正比，即: 2，F,bx 式中:b——常数 3(结构阻尼 结构阻尼——材料在变形过程中内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼.其阻力大小决定于材料的性质. 在实际的振动系统中，阻尼往往不止一种。但由于粘滞阻尼在数学处理上最为方便，分析振动问时可使求解大为简化，所以通常都假设系统为粘滞阻尼(粘性阻尼)。这种假设对阻尼较小的振动系统是接近直实情况的。在遇到非粘性阻尼时，则可用等效粘性阻尼的来作近似计算。 二、系统的动力学模型和运动微分方程 单自由度有阻尼自由振动系统的动力学模型如图2.14所示，与无阻尼自由振动系统相比较，只是多了一个油缓冲器。当质量块m静止 ，Cx时，缓冲器不起作用。当质量块运动时，缓冲器就产生阻力，其 方向与质量块的速度方向相反。 当质量块离开静平衡位置O-O的距离为x时，作用于质量块上的 ，力有弹性恢复力kx及阻尼力。现取静平衡位置为坐标原点，质量Cx 块振动位移x为广义坐标，且向下为正，则根据牛顿定律可得: ，，，mx,,Cx,kx ，，，mx，Cx，kx,0即 解微分方程， k2,令,n m C ,, 2m 则上式可改写成: 2，，，x，2,x，,x,0 (2.39) n ——单自由度系统有阻尼自由振动的运动微分方程式。 设其解为: st x,e 代入(2.39)式可求得微分方程式的特征方程: 22S，2,S，,,0 n 这一方程的两个根为 22,,,S,,，,1n 22S,,,,,,,2n 故微分方程的通解为: StSt12,，xcece12 2222,,,,t,,,,,t,,t,,nn eCeCe,，,,12,,——单自由度有阻尼自由振动的运动方程式(时间历程) 其性质取决于根式 22,,, n 为了下面讨论的方便，先引进一个无量纲的量ξ，称为相对阻尼 系数，或阻尼比(damping-ratio) , ,, ,n 现在分以下三种情况来讨论学自由度有阻尼自由振动的运动性 质。 1(强阻尼状态(过量阻尼状态) 22,,,,,,当，或ξ,1时，称为强阻尼状态。此时，,,，nn 22,,,,,是实根。但，通解中两个指数函数的指数S及S均为12n StSt12e和e负值，所以是两根下降的指数曲线。 图2.15 所示是当C,0和C,0的情况。但不管C和C的值是1212多少，运动只是蠕变地返回到平衡位置。因此这种运动已不具有振动的性质。这是因为当,时，阻尼已极为巨大的缘故。实际上并不,,n 需要很长的时间运动就会停止。 2(临界阻尼状态 当,，或ξ=1时，称为临界阻尼状态。此时特征方程有重根，,,n 即 ,S,S,, 12 通解为: ,,t，，x,C，Cte 12 ,,tCe式中等式右边第一项也是一极下降的指数曲线。第二项则1 可应用麦克劳林级数展开成以下形式: CC,,t22Cte,, 2,,t232nn,1e1ttt,,,，，，，？，, tt2!3!n! ,,t从上式即可看出，当时间t增长时，第二项也趋近于零。 Cte2 所表示的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期 运动。这是系统从振动过渡到不振动的临界情况。 C——临界粘性阻尼系数(Critical Visous damping cofficiant) 0 Ck0,,,即,因为 (见2.38) nmm2 kC,2m,2km所以 0m 可见，临界阻尼C之值只决定于系统本身的物理性质。 0 c ,c2m,,,,又 ,,cnn0 所以相对阻尼系数ξ也就是系统的实际阻尼系数与临界阻尼系数 的比值(阻尼比) 3(弱阻尼状态(减幅阻尼状态) ,,当,，或ξ,1时，称为弱阻尼系数。此时特征方程有一n 对共轭复根，即 22,,,S,,，i,1n 22,,,S,,,i,2n i,e,cos,，isin, 通解为: ,t,2222,,,,x,ebsin,t，bcos,t，，nn12 ,t,22,,,,Aesin,t，，，n 22,,,令,,dn ,,t，，则x,Aesin,t，,d ,式中:——有阻尼固有圆频率，或衰减振动的圆频率 d A和则是待定常数，由运动的初始条件决定。设, ，，t,0时,x,x,x,x 00 2 ,,,，，xx200,,,，Ax0则 ,,,d,, ,x1,0d,,tg ，x，,x00 三、振动特性的讨论 1(有阻尼自由振动的运动规律 如前所述，在系统存在阻尼的情况下，自由振动不再是简谐振动。根据阻尼的大小，又可分为下列三种情况: (1)在弱阻尼状态下，系统对于初始条件的响应由 ,,t，，x,Aesin,，,表示。而此式中包含有两个因素，一个是下d 降的指数曲线，一个是正弦曲线。故系统振动已不再是等幅的简谐振 ,,t,Ae动，而是振幅被限制在曲线之内的，且随时间而不断衰减振动，或称“似简谐运动”(Pseudoharmonic motion) (2)在临界阻尼状态下，系统的运动已不是振动，而是一个逐渐回到平衡位置的非周期(nonperiodic motin)运动。 (3)在强阻尼状态下，系统的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。 2(有阻尼自由振动的固有频率及周期。 如前所述，只有在弱阻尼状态下系统才作衰减振动，才存在频率和周期。 22,,,,,固有频率dn 22,,,n,固有频率S2,2 ,,2211,,,,,周期TTd2222,,,,n,,,,,,n,,,,1,1,,,,,,,nn,,,, 可以看出，由于阻尼的存在，使系统的固有频率下降了，振动的 ,周期延长了。但在一般工程问题中，都比小得多，即多属于小,n 阻尼的情况，故对系统的固有频率和周期的影响很小。因此在小阻尼情况下，可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。 3(有阻尼自由振动的振幅 只有系统作衰减振动时才存在振幅，而且振幅是随着时间不断衰减的，其顺次各个振幅是: ,,t1时t,t,A,,Ae11 ,，，,t，T1dt,t，T,A,Ae1d2 ，，,,t，2T1dt,t，2T,A,Ae1d3 „„„„„„„„„„„„„„„„ 可见，相邻两振幅之比是个常数，即: A,Tid,,,e A，1i ,式中，——减幅系数(振幅衰减率) ,——衰减系数(decay cofficient) 在工程上通常取上式的自然对数，以避免取指数值的不便。 AT,id,,ln,lne,,Td A，1i 式中:——对数减幅，或对数衰减率(logarithmic decremeut) , ,2 ,？Td 2,,,n ,,,,22 ,,, (2.54) 22,,,1,,n ,,,,及均表示每隔一个周期T，振幅A衰减的快慢程度。及d 越大，则振幅衰减越快。 从(2.52)式还可以看出，衰减振动的振幅是按几何级数衰减的， ,Tde其公比就是衰减率。 因此即使系统在小阻尼的情况下，其振幅还是衰减得非常快的。例如，当 , ,,,0.05A ,n A,0.7301A时，可以算出。 i，1i 这就是说，经过一次振动，振幅就要减少原来的27%。经过十次振动后，振幅就减少到原来的0.04304倍，即只剩下4%了。所以只要有阻尼存在，自由振动是难以长期维持下去的。 此外，根据对数衰减率，可以应用实测法来求得系统的阻尼系数，因为 Ai,,ln,,Td A，1i AC1i所以,ln,,, TAm2di，1 AC1i即,ln mTA2di，1 Am2i故C,ln(2.55) TAdi，1 A和A所以只要实测得出衰减振动的周期T及相邻两次振幅，dii，1即可根据(2.55)式计算出系统的阻尼系数C。 ?2-4 单自由度系统受迫振动 受迫振动:在外界激振力的持续作用下系统被迫产生的振动。 例如:? 在切削沿轴向开槽的工件时，刀在每一转中都要受到沟槽的冲击;周期冲击力就是激振力。 ? 冲床周期性的冲击力会通过地基传到机床上来。 这些都是生产中常遇到的激振因素。这些因素周期性地不断地给振动系统扰动，而不是象自由振动那样只在振动开始时瞬时给系统扰动。 作用在系统上的激振力，按它们随时间变化的规律可以归纳为三类: (1)简谐激振力(harmonic excitalion fordce) (2)非简谐周期激振力(nonhormonic peniodic) excitalion force) (3)随时间任意变化的激振力(arbritary excitalion force) 对系统的激振则有两种不同的情况: (1)力干扰(force disturbance) (2)位移干扰(displacement disturbance) 响应:外界激振所引起的系统的振动状态。系统的响应一般以位移形式来表达。 一、简谐激振力引起的受迫振动 1(系统的动力学模型及运动微分方程 单自由度有阻尼受迫振动系统的动力学模型如图2.18所示。 ，cx在此系统上除了有弹性恢复力kx及阻尼力作用外，还始终作用着一个简谐振力。 P,Psin,t x0 若以静平衡位置O—O为坐标原点，取质量块m的振动位移x为广义坐标，且向下为正，则可按牛顿运动定律直接写出该系统的运动微分方程式: ，，，mx，cx，kx,Psin,t (2.56) 0 Pkc20q,,,,,,,令 nmmm2 上式可改写成以下形式: 2，，，x，2,x，,x,qsin,t (2.57) n 这是一个非齐次二阶常数线性微分方程式，其通解应为: ，，，，，，xt,xt，xt 12 ，，xt其中，是(2.57)式中右端为零的齐次方程的通解。在弱阻1 尼状态下，这一通解(见2.49)。 t,,，，x,Aesin,t，, d 是方程(2.57)式的一个特发，因为这一方程的非齐次项为，，xt2 正弦函数，故其特解也为简谐函数，且其频率与非齐次项的正弦函数的频率一致。即: ，，，，xt,Bsin,t,, 2 所以方程(2.57)式的通解为: t,,，，，，x,Aesin,t，,，Bsin,t,, d (说明)上式中，等式右边第一项表示有阻尼的自由振动(即衰减振动)，后一项表示有阻尼的受迫振动。因此在开始振动时，运动是衰减振动和受迫振动的叠加，形成振动的暂态过程，这一过程中的振动称为瞬态振动(transient vibration)。如图2.19所示，经过一 段时间后，衰减振动很快就衰减掉了，而受迫振动则持续下去，形成振动的稳态过程，这一过程中的振动称为稳态振动(steady-state vibration)。 一般我们不研究振动的暂态过程，因为它只是一个过渡现象，而只研究振动的稳态过程，即持续的稳态振动。因此我们可以只分析(2.58)式中的第二项，即: ，，x,Bsint,,, 式中:B ——受迫振动的振幅; , ——受迫振动的圆频率; , ——振动体位移x与激振力p之间的相位差。 x ,其中B和是两个特定常数，可用下法求得。 ，，，x,B,cos,t,, (速度) 2，，，，x,,B,sin,t,, (加速度) 将以上两式代入(2.57)式得: 2,,,,,,,Bsint,，2Bcost,，，，， 2,,,,，Bsint,,qsint，，nn ,,,,qsint,qsint,，，，,,？n ，，，，,qcossint,，qsincost,,,,,,, 两式加以整理得: 22,,,,,,,cossin,Bqt,,，，，，n ，2,sincos,,0,,,,,Bqt，，,, 22,,,cos,0,,,Bq，，n, 2,sin,0,B,q,,解上列联立方程式，将两式平方相加得: q,B (2.61) 22222，，,,,，4,,n ,,2,,tg又 (2.62) 22,,,n pq0B,,0令 2，称为静变位， K,n , ,,，称为频率比; ,n ,c ,,,，称为阻尼比 ,cn0 则(2.61)及(2.62)式可改写成下列形式: B0B, (2.63) 222，，，，1,,，2,, ,,21,,,tg (2.64) 21,, 2(振动特性的讨论 (1)受迫振动的运动规律 如前所述，当作用在系统上的干扰力是简谐激振力p,psin,t时，则系统的响应为: x0 B0，，x,Bsin,t,,,sin,t，，,, (2.65) 222，，，，1,，2,,, 而且只要有激振力存在，这一振动就不会被阻尼衰减掉。 (2)受迫振动的频率 ,受迫振动的频率与激振力的频率相同。 (3)受迫振动的振幅 受迫振动的振幅大小，在工程实际问题中具有重要意义。若振幅超过允许的限度，机器零件中会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者会影响机器及仪表的精度。因此,必须搞清楚影响振幅的种种因素。 1)初始条件的影响:自由振动的振幅与初始条件有关，而受迫振动的振幅与初始条件无关。 2)激振力幅p的影响:受迫振动的振幅B与静变位B成正比。而静00 变位B表示在与激振力幅值p相等的静力作用下系统产生的变位。00 所以振幅B与激振力幅p成线性关系，p越大，则B越大。 00 ,,,,3)激振力频率及系统固有频率的影响:为了说明及对nn ,B振幅B的影响，我们从振幅比为纵坐标，以频率比为横坐标，B,0n以阻尼比ξ为参变量，作幅频响应曲线。(amplitude versus frequency response characteristic) 它表明了系统位移对频率的响应特性。 BB0,,, 222B0，，，，1,,，2,, ——振幅的放大因子。 从图和式可以看出: ,,0(说明)?当，或,,1时或B=B即此时的振幅相当于把,0 激振力幅p当作静载荷加于系统上使系统产生的静变位。这说明，激0 振力变化缓慢时，其动力影响不大，故受迫振动的振幅和静变位无多大的差别。 ,,,,,,1?随着的增大，B也迅速增大。当，或时，振n 幅B将急剧增加，并达到最大值，这种现象称为“共振”(resonance)。在共振区附近，振幅的大小主要取决于系统的阻尼大小，阻尼越小，共振就表现得越激烈，共振时的振幅B可由(2.63)式求出。因为共n 振时=1，所以: , Bq0,,Bn (2.63) 2,2,,n ,,,?当继续增加到,1后，振幅便迅速下降。当,,1时，,,0，即振幅越来越小，最后振动趋于消失。这是因为当激振力变化太快时，振动系统由于本身的惯性来不及跟上迅速变化的激振力，故不再振动。 ,,1?,2时，，即系统振动的振幅将小于静变位。这是隔振设, 计的理论基础。有些高速旋转的机器(如汽轮机、离心机等)其振动反而很小，就是上述道理。 (4)阻尼的影响:阻尼增大可以有效地降低共振的振幅。当阻尼为零时，共振振幅B趋于无穷大。增大阻尼将使B相应减小。当ξ,nn 0.5时，将使B,B。这说明:阻尼增大虽不能使受迫振动停息下来，n 但却可使它的振幅减小。若阻尼足够大时，则可使共振现象不再出现，而将受迫振动维持在一个不大的振幅上。 由图2.20中还可以看出，阻尼仅在共振区域附近对降低共振振幅的作用大。在共振区以外，阻尼对降低振幅的作用却很小。此外，阻尼增大时不但使共振振幅降低，而且使最高振幅的位置向左移动。 ,最大振幅B的求法:将(2.61)式中的B对求偏导并令其max ,和B。 等于零，即可求出得到B时的maxmax 3,,B12,,22222222,,,,，，，，，，,q,,,,，4,,,2,,,,2,，8,,,0 ,,nn,,2,, 整理后得 222,,,，2,,0 n 222,,,,,所以,,2,1,2nn qq B,,max2222222222,,,,，，，，,，2，4,2,,,,,,nnn ,,可见，出现最大振幅时的略小于，其值大小取决于系统阻n 尼的大小。由于实际的振动系统中阻尼一般均很小，故可近似地认为 ,,,出现时B时的就等于，从而也可将=1时出现的共振振幅Bmaxnn看作是系统的最大振幅B。 max 受迫振动的振幅B与静变位B之比值称为振幅放大因子0 ,(amplitude magnification factor)也称动力放大系数,当振幅为最大振幅B时，放大因子的数值也最大， max 2,B1nmax,,,,max即 222B2,,,,2,1,,on 22，，,,0.05,,则,,,,20.05,,0.9975,设 nnnn ,故=10.0125 max 这就是说，最大振幅比静变位放大了十倍。由此可见受迫振动之 ,所以引人注意就在于共振。为了避免共振，往往规定在固有频率n前后各20:30%的区域作为禁区，使激振力的频率避免在这一频率区域内出现。 )受迫振动的相位差 (5 ,由(2.64)式得知，受迫振动的位移对激振力的相位差与频率 ,,,比及阻尼比ξ有关。若以为纵坐标，以频率比为横坐标，以阻尼比ξ为参变量，可以绘制相频响应曲线。(phase versus frequancy response chaeratherstic) ,从图中可以看出:始终是正值，故受迫振动的位移总是滞后于 ,,激振力;而且不论阻尼比ξ的大小如何，当=1时，=90?，即当,,=时，振动系统的位移对激振力的相位差总是90?。从图上还n ,,,可以看出，若ξ?0，则当,1时，在0?,90?之间;当,1 ,时，在90?,180?之间。若ξ=0，即系统无阻尼存在时，相位差,,,,,,在=1处有一个突变，即,1时，=0;,1时，=180?。 ,,,,就是说，在,时，受迫振动的位移与激振力同相;在,nn时，受迫振动的位移与激振力反相。若系统有阻尼存在，则这种相位突然变化的规律渐趋平缓。因此，当系统阻尼很小时，我们可以利用上述相位差突然出现的反相现象，作为判断出现共振的一种标志。 [例1] 在刚度k=107N/cm的弹簧上悬挂着一个重W=454N的物 psin,t体。在物体上作用着一个简谐激振力，其力幅p=36.4N，00系统的阻尼系数c=1.176N/cm，试计算该系统的共振频率，共振振幅及共振时的振幅放大因子。 解:系统固有频率为: kg107，980 ,,,,15.2n rad/s W45.4 所以系统的共振频率为: ,,,,15.2 rad/s n 系统的共振振幅为: po pq36.4m0B,,,,,2.04n cm c,,c,21.176，15.2nn2,,nm2 所以共振时的振幅放大因子为: BkB107，2.04nn,,,,,6 Bp36.400 在分析和掌握了单自由度系统受迫振动的特性之后，我们就可以通过振动试验来获得单自由度振动系统的一些极有价值的参数。如系 ,统的质量m、弹簧刚度k，阻尼比ξ以及固有圆频率等。其方法如n下: ,对系统施加力幅为p、频率为激振力，并保持力幅p不变，00 ,,,逐次改变频率，测得对应于不同的振幅B和相位差，即可给出幅频响应曲线和相频响应曲线。在激振试验中出现共振时的频率,,,就近似等于系统的固有频率。在幅频响应曲线上，频率为nn的虚线两侧，曲线可近似地认为是对称的，如图2.22所示。 ,,在图2.22上，=处的曲线高度显然就是共振振幅B。在高度nnBn为处作平行于横坐标的直线和幅频曲线相交于a、b两点，读出a、2 ,,b点对应的激振频率、。则系统的阻尼比ξ可用下式计算: ab ,,,ba,, (2.71) 2,n 证明过程中曾假设ξ,,1，所以这个式子只是小阻尼情况下的近 似表达式，但大多数工程实例中都可以适用。 求出ξ后，即可利用(2.67)式来计算系统的弹簧刚度k，因为 BP00B,,n 2,2k, p0K,所以 (2.72) 2B,n ,在得知和k以后，就可直接计算出系统的质量m: n k ,m (2.73) ,n 3(位移干扰引起的受迫振动 以上分析的受迫振动，其产生的原因是有外界的激振力作用于系统，故称之为力干扰。位移干扰就是支承点的运动。例如:?地基的振动引起机器的振动，机器的振动引起仪器的振动;?汽车驶过不平的路面而产生的振动。 位移干扰的单自由度受迫振动系统的动力学模型设支承点作简谐运动，即 x,asin,t s 若仍取质量块m的位移x为广义坐标，并向下为正。则当质量块离开静平衡位置的距离为x时，弹簧的变形应为x,x，而质量块与s ，，，x,x支承的相对速度则为。从而在质量块上作用有弹性恢复力k(xs ，，，，，cx,x,x)和阻尼力。按牛顿运动定律即可列出系统振动的运动ss 微分方程式: ,,, ，，，,,,,,，，mxkxxcxx,,s s,, , ，，，mx，cx，kx,kx，cxs或 (2.74) s 从(2.74)式可以看出，支承点运动时相当于在系统上作用了两 力，另一个是经过阻尼器个激振力，一个是经过弹簧传递过来的kxs ，，cxcx传递过来的力。两者相位不同，k力则与x力与x力同相，ssss ,，，xcx的相位要比位移x的相位超前，因此力比kx力超前90?。 ssss2 现用复数法解微分方程(2.74)式: ,it设x,ae(已知)s ，，i,t,, x,Be ,it,，则x,iaes ,,，，it,,，x,iBe ，，2i,t,,，，x,,B,e 将以上各式代入(2.74)式得: ,,,,,,,,2it,it,it,tit，，，，，，,,,,mBe，icBe，kBe,kae，icae 2223,,,,ak，ickk,m，c,imc,,，，，，,i, Be,,a22222,,，，k,m，ic，，k,m,，c,t ,i,由于振幅B就是复数矢量的模，故: Be 2222,,,k，c1，2，，B,a,a (2.75) 2222222，，，，，，k,m,，c,1,,，2,, ,i,,Be而相位差就是复数矢量的幅角，故 22,,,mc2,tg,, (2.76) 22222，，,,kk,m，c，，1,,，2,, 因而，振幅放大因子为: 2,,B1，2，，,,, (2.77) 222a，，，，1,,，2,, 若以为横坐标，为纵坐标，ξ为参变量，则可根据(2.77),, ,,2式作出如图2.24所示的幅频特性曲线。?在处，系统的振幅 ,,2B均等于支承运动的振幅a。?当时，振幅B就小于支承运动振幅a，而阻尼大的系统比阻尼小的系统的振幅反而要稍大些。?当 时，受迫振动的振幅B趋向于零。这一特性在研究隔振和测,,,2 振时是很有用的。 4(等效粘性阻尼(Equivalent Viscous Damping) 在通常情况下，我们都假设系统的阻尼为粘性阻尼(线性阻尼)，而在遇到非粘性阻尼时，则用等效粘性阻尼来代替。所谓等效粘性阻尼是指和非粘性阻尼在振动的一个周期中消耗相等能量的粘性阻尼。 在受迫振动中，激振力不断对系统作功，即不断地输入能量。简 P,Psin,t谐激振力在一个振动周期所作的功是: 0 ,2T,,,,,，，，W,Pxdt,PBsintcost,dtP0,,00 ,2 ,,,,，，，，,PBsintcost,dt0,0 (2.78) ,,PBsin,0 ，F,cx在一个周期内所消耗的能量，即一个周期内粘性阻尼力c 所作的功是: ,2T2222,，，，W,Fxdt,,cBcos,,,tdt,,cB, (2.79) Cc,,00 可见，输入的能量W随振幅B成线性增大，而消耗的能量W却按PC振幅的平方而增大。 输入和输出的能量相等时，系统作稳态振动。求受迫振动的稳态振幅B: 令W,W PC ,Psin0B,则 (2.80) c, , ,,,,,系统共振() n2 22,,PPmqBnn000,,,,Bn 2,2,,2,,,ccmnnnn 可见，用能量关系推出的共振振幅计算公式与前面用另一种方法得到的公式(2.67)式是一致的。 根据能量消耗等效的办法，就可以计算出非粘性阻尼的等效粘性阻尼系数。 设We为非粘性阻尼力在一个周期内所作之功;Ce为非粘性阻尼的等效阻尼系数;Wc为等效阻尼力在一个周期内所作之功。并设系统在以等效粘性阻尼代替原来的非粘性阻尼的作简谐振动。 2W,,CB, ce W,W而 ce 2W,,CB,故 ee WeC,所以 (2.81) 2e,,B 因此，只要计算出非粘性阻尼力在振动的一个周期内所作的功，就可以计算出这种非粘性阻尼的等效性阻尼系数。 下面来计算几种典型的非粘性阻尼的等效粘性阻尼系数。 (1)干摩擦阻尼 干摩擦阻尼又称为库伦阻尼，其阻尼力F一般来说是个常力，在系统振动过程中F力大小，但方向始终与运动方向相反。在振动的每一个1/4周期内，阻尼力所作的功为FB。因此在一个周期内阻尼力所作的功为: W,4FB e 代入(2.81)式即得干摩擦阻尼的等效粘性阻尼系数: F4 C,e ,,B (2)流体阻尼 当物体以较大速度(3,15m/s)在粘度较小的流体中运动时，其 2，阻力与物体运动的速度平方成正比。(，方向与速度相反)，流F,bx 体阻尼力在一个振动周期内所作之功是: 44TT23，，44W,Fxdt,bxdte,,00 ,,，3332,,,,,4cos,bBt,dt，，,, , 832,bB, 3 代入(2.81)式得流体阻尼的等效粘性阻尼系数: 8b ,CB,e 3, (3)结构阻尼 结构阻尼是由于不完全弹性的结构材料中内摩擦引起的，这种材料在产生交变应变时，单位体积所消耗的能量可滞后回线所包的阴影面积来表示。结构材料在振动过程中，每一个周期也形成一次滞后回线，因而也消耗系统能量。 许多实验表明，振动一个周期内结构阻尼所消耗的能量与振动频 2W,aB率无关，而与振幅的平方成正比，即: e 式中 a ——常数，随材料不同而变化。 代入(2.81)式即得结构阻尼的等效粘性阻尼系数: a ,Ce (2.84) ,, (4)多阻尼系统 在系统中存在几种性质不同的阻尼时，也可以把它们折算成等效粘性阻尼。 设系统中同时起作用的几种性质不同的阻尼在一个周期中所消 W,W,W耗的能量(或所作的功)分别为，„„，则系统阻尼在一123 周中所消耗的总能量为: W,W，W，W，？,W ,e123i 代入(2.81)式即 W,iC, (2.85) 2e,,B 计算出系统的等效粘性阻尼系数后，就可以将非粘性阻尼系统受迫振动的微分方程写成与粘性阻尼系统受迫振动微分方程相同的形式: ，，，mx，cx，kx,psin,t e0 其特解仍为: ，，x,Bsin,t,, 其振幅和相位差分别为: P10B,, 2k22，，,,,C,,,e,,,,1,，,,,,k,,,,,n,,，， ,Ce,tg,22 ，，m,,,n 二、周期激振力引起的受迫振动 在实际的工程问题中常常遇到的是系统受到非简谐的周期激振 力或支承运动而引起受迫振动。 1(非简谐周期激振力引起的受迫振动 设在一个有阻尼的弹簧——质量系统上作用着一个非简谐周期激振力，如图2.27所示。而 ，，Pt ，，，，，，Pt,pt,jTj,1,2,3,？,n 则系统的运动微分方程式为: ，，，，，mx，cx，kx,Pt (2.89) 应用谐波分析法，可将非简谐周期激振力展开为一系列的不同频率的简谐激振力。即: na0，，，，Pt,，acosj,t，bsinj,t,jj 2,1j na0，，，，，mx，cx，kx,，acosj,t，bsinj,t (2.91) ,jj2,1j a0上式右边第一项表示一个常力，当取静平衡位置为坐标原点2 时，这一项就不出现在微分方程中。 上列微分方程的通解也由两部分组成:一部分是对应于(2.91)式右端为零的齐次方程的通解，它表示一个衰减振动;另一部分则是(2.91)式的一个特解，它表示一个受迫振动。若只考虑稳态振动，则可将第一部分略去。 因为线性系统存在叠加原理，因此可以对(2.91)式右边的每一项分别单独地求方程的特解，然后将所有特解叠加，就可得到系统在非简谐周期激振力作用下的稳态响应。 如前所述，单自由系统在简谐激振力作用下受迫振动的稳态响应为: P0，，，，x,Bsin,t,,,sin,t,, 222，，，，k1,，2,,, 根据上式，再应用叠加原理就可直接写出在非简谐周期激振力作用下系统的稳态响应: n,,,,acosjt,，bsinjt,，，，，jjjjxt,，，, (2.92) 222,1j，，k，，1,，2,,, 当系统阻尼较小时，ξ可忽略不计，此时。则(2.92)式简,,0j 化为: n,,acosjt，bsinjtjjxt,，，, (2.93) 2，，k1,,,1jj ,j,,式中:，为第j个谐波的频率比。 j,n 2(非简谐的周期性支承运动引起的受迫振动 设一个有阻尼的弹簧—质量系统在周期性支承运动作用下而产生 受迫振动。如图2.28所示。而支承运动的规律为: n ，，，，xt,acosj,t，bsinj,t,sjj ,1j 如前所述，单自由度系统在支承运动 x,asin,t的作用下的稳态响应为: s 2,,1，2，，，，x,Bsin,t,,,asin,t，，,, 222，，，，1,，2,,,根据上式，再应用叠加原理，也可以直接写出在非简谐周期性支 承运动作用下系统的稳态响应为: 2n,,1，2，，，，，，，，,,xt,acosj,t,,，bsinj,t,,(2.94) ,jjjj222,1j，，，，1,，2,,, 若忽略阻尼，则，则上式简化为: ,,0,,,0j n,,cos，sinajtbjtjj,，，xt, (2.95) 21,,,1jj (*)三、任意激振力引起的受迫振动 在许多工程实际问题中，振动系统所受的干扰力可能是非周期性的，而是任意的时间函数。这种随时间任意变化的激振力无法用谐波分析法来展开。对于这类干扰力作用下的振动，常用的研究方法是将这些干扰力看成是一系列脉冲的作用，先分别求出系统对每个脉冲的响应，然后将它们叠加起来就得到系统对任意激振的响应。这种方法称为Duhamel积分法。 在任意激振的情况下，系统通常没有稳态振动而只有瞬态振动。在激振作用停止后，系统即按固有频率继续作自由振动。因此，我们把系统在任意激振下所产生的瞬态振动，以及激振作用停止后的自由振动，统称为系统对任意激振的响应。 下面我们先分析系统对脉冲的响应。 1(脉冲响应(Impulse response) 如图2.29所示，在一个有阻尼的弹簧质量系统上，作用有一个任意激振力，其变化曲线如图2.30所示。其中 ，，P,0,,,t 则系统的运动微分方程式为: ，，，，，mx，cx，kx,P, (2.96) 因为是非周期性的，故上述微分方程无法直接求解。因此，，，P, 我们把任意激振力看成是由无限多个脉冲所组成，而每个脉冲的，，P, 宽度均为无限小，各脉冲的大小和作用时间则由决定。先求出每，，P, 个脉冲单独作用时系统所产生的响应，然后叠加起来，就可求出系统对任意激振力的响应。 脉冲的大小用冲量I来表示。若在t=0时的极短的时间间隔内，d,系统m上受到一个冲量I的作用。而 ，，P,d,I, ，则质量m将产生一个初速度。但因为时间很短，系统还来不xd,0 及产生位移。因此，系统将在下列初始条件下作自由振动: ,x0,0, ,IP (2.97) ，x,,d,0,mm, 如前所述，有阻尼自由振动的时间历程(即系统对初始条件的响应)应为: 2,,，,x，xtt,,,,200,,，，，，x,Aesin,t，,,x，esin,t，, dd0,,,d,, 因而，系统对(2.97)式所表示的初始条件的响应可写成: ，x,Pdtt,,,,,0n，，dx,esin,t,esin,t,Iht (2.98) ddm,,dd 1t,,,n，，ht,esin,td式中 (2.99) m,d 若脉冲的冲量I=1，则这样的脉冲称为单位脉冲，记作，又称，，,t函数，它在数学上定义是: , ,当t,0,t,，，, (2.100) ,0当t,0, , ，，,tdt,1 (2.101) ,,, 由(2.98)式可知，系统对单位脉冲的响应为: ，，,t ，，dx,ht (2.102) 所以，可称为单位脉冲响应(unit impulse response)若单，，ht t,,位脉冲不是作用在t=0时，而是作用在时，则相当于把图2-30 ,的坐标原点向右移动。此时(2.102)式应改写成: 1t,,,，，,,n，，，，dx,ht,,,esin,t,,d (2.103) m,d 2(任意激振力的响应 求出系统对单位脉冲的响应后，就可以确定系统对任意激振力的响应。 ，，P, ，，P,如前所述，我们可将任意激振力看成是一系列脉冲的作用，t,,I,Pd,若在时，系统受到冲量的脉冲的作用，则根据(2.98) 和(2.103)式可得系统在时刻t的响应为: ，，dx,Pd,ht,, (2.104) t,,在激振力由=0到的连续作用下，系统的响应应是时刻t，，P,, 以前所有脉冲作用的结果，因此可以通过对上式积分求得: tt x,dx,P,,dht,,，，，，,,00 t (2.105) 1t，，,,,,,n，，,Pesin,t,,d,d,0m,d 上式积分即称为Duhamel积分，或称为卷积(Convolution integral)积分时应注意，t是考察位移响应的时间，是个常量;则,是每一个微小冲量作用的时间，是个变量。 2.105)式就是(2.96)式所表示的系统振动微分方程式的全解，( 它包括了任意激振力作用下的瞬态振动和激振作用停止后的自由振动。 ,,0,,,,若系统阻尼可忽略不计，则。此时(2.105)式可dn 简化为: t1 ，，x,Psin,t,,d,n (2.106) ,0m,n [例1] 一弹簧质量系统受到一个常力P的突然作用，这一个力和时0 间的关系如图2.31(a)所示。试求系统的响应。 解:设系统无阻尼，则根据(2.106)式即可求出系统的响应为: tPP00，，，，x,sin,t,,d,,1,cos,t,B, nn0,0m,kn P0B,式中:，为系统的静变位; 0k ，，,,1,1,cos,t，为位移响应的放大因子。 n ,,2显然，，即系统受常力P突然作用时，其位移响应的峰值0max 等于P为静载荷时系统静位移值的两倍，如图2.31(b)所示。 0 若系统有阻尼，则根据(2.99)式可得，系统对单位脉冲的响应为: 11tt,,,,,,2nn，，ht,esin,t,esin1,,,t dn2m,m,1,,dn 将上式代入(2.105)式得: tP20，，,,,t,,n，，x,esin1,,,t,,d, ,n20m,1,,n 运用分部积分法，可得系统的响应表达式 ，，,,P,t220,,,,,n,,x,1,ecos,1,,t，sin,1,,tnn2,,k,,1,,,,，， t,,,，，nPe20，，,1,cos1,,,t,,,B,,,n02k,,1,,，， P0式中B,;0k ,,1,,tg;2 ,1, ,,,tne2，，,,1,cos1,,,t,,n21,, ,t以为纵坐标，为横坐标，ξ为参变量，其函数关系表示在,n 图2.32中，可以看出，当系统存在阻尼时，系统对突然作用的常力P的位移响应要逐渐衰减，而且阻尼越大，则衰减得越迅速，最后都0 稳定在静位移B上，振动过程中的最大位移也与阻尼系数有关，阻尼0 P0越小，则最大位移越大，但峰值均小于无阻尼时的峰值。 2k [例2] 一无阻尼弹簧—质量系统受到如图2.33(a)所示的矩形 ，，P,,P,0,,,t脉冲的作用。这一矩形脉冲可用表示，试求这一系01 统的响应。 0,,,t解:在阶段，相当于系统在t=0时受到突加常力P的作01 用。此时系统的响应就是(2.107)式 P0，，x,1,cos,tn k t,t在阶段，系统的响应也可根据Duhamel积分(2.106)式求1 出: ttPP1100,,,,,,,x,sint,d,,sint,dt,，，，，，，nnn,,00,mkn P0,,,cost,t,cost，，,,nn1 k ，，,Acos,t,,n ,,,tsin1,n1,,,tg:,;式中,,,tcos,1,,n1 P20,,Att,cos,1，sin，，n1n1 k Pt2,01,sin kT ,2T,其中，，为系统自由振动周期。 ,n 可见，当常力P去除后，系统自由振动的振幅A随着矩形脉冲作0 t1用时间和系统固有周期之比值的改变而改变。 T Pt1210当时，则系统自由振动的振幅，即系统对于作用时间A,,2kT 2PT0的矩形脉冲的响应，在时是以振幅等于作简谐运动，如t,tt,11k2 图2.33(b)所示。 t1时，A=0，即常力P去除后，系统就停止不动，也就是说系,10T 统不再作自由振动，此时系统的响应如图2.33(c)所示。 四、受迫振动理论的应用(自学) 1(振动的隔离 机器设备所产生的振动，一方面会影响机器本身的作精度和使用寿命，甚至引起零部件的损坏;另一方面也会给周围的机器设备，使它们也产生振动。因此必须很好地研究怎样才能有效地进行振动的隔离。 所谓隔振，就是在振源与要防振的设备之间安放具有弹性性能的隔振装置，使振源所产生的大部分振动由隔振装置来吸收，以减小振幅对设备的干扰。 隔振分类:主动隔振，被动隔振。 (a)主动隔振 (b)被动隔振 (1)主动隔振 对于本身是振源的设备，为了减小它们对周围其它设备的影响，将它们与地基隔离开来。这种将振源进行隔离，防止振动传递开去的隔振称为主动隔振。 在主动隔振的情况下，振源是设备本身的激振为，未隔振Psin,t0 时，设备与支承之间为刚性接触，故设备传给地基的最大动载荷即为P，在有弹性元件和阻尼元件隔振时，设备传给支承的最大动载荷P0T应为通过弹簧传到支承上的最大动载荷，与通过阻尼元件传到支Pkmax 承上的最大动载荷的合力。即 Pcmax P,P，P Tkmaxcmax ，PkxPcx,,因为 kc ，，x,Bsin,t,,而 ，，，x,Bcos,t,, P,kB故 kmax P,CB, cmax 由于单自由度系统受迫振动为简谐振动，其振动位移与速度之间的相位角相差90?。因而P力与P力之间也具有90?相位差。故它kc 们的最大合力应为: 222，，P,P，P,kB1，2,,, (2.110) Tkcmaxmax 由(2.63)式知，单自由度系统受迫振动的振幅计算公式为: P0B, 222，，k，，1,,，2,, 代入(2.110)式得: 2,,P1，2，，0P, T222，，，，1,,，2,, 主动隔振的隔振效果用隔振系数来表示。为设备隔振后传给支,, 承的动载荷P与隔振时设备传给支承的动载荷P的比值。 T0 2,,1，2P，，t,,, (2.112) 222P0，，，，1,,，2,, (2)被动隔振 对于需要防振的设备，为了减小周围振源对它的影响，需要将它与整个地基隔离开来。这种将设备进行隔离，防止周围振源传给设备的隔振称为被动隔振。 i,tx,Ue在被动隔振情况下，振源是支承的垂直振动。此时，设S 备也将产生受迫振动。设设备的振动位移为x，则设备与支承之间的 ，，x,x相对位移为x,x，相对速度且 sS ，，i,t,,x,BUe S 式中:——设备位移与支承位移的相位差。 , ，，，，，，kx,x,cx,x作用于设备的弹性恢复力与阻尼力分别为，故被SS 隔振设备的运动微分方程式为: ，，，，，，，，mx,,cx,x,kx,x SS ，，，，mx，cx，kx,kx，cx即 sS kc2,,,,,因为 nm2m 故前式可改写成: 222i,ti,t，，，，，，x，2,x，,x,,x，2,x,U,e，2i,,e nnsSn ，，i,t,,，，，x、x将及的关系式代入上式，经过运算可得出设备振x,Be 幅B的计算公式: 2U1，,,2，，B, (2.113) 222，，，，1,,，2,, 被动隔振的隔振系数用被隔设备的振幅B与振源的振幅U的值, 来表示。 2,,1，2，，B,,, (2.114) 222U，，，，1,,，2,, 可见，当振源是简谐振动时，主动隔振与被动隔振原理及隔振系 数均相同。 (3)幅频响应曲线 以频率比为横坐标，隔振系数为纵坐标，阻尼比ξ为参变量，,, 根据(2.112)或(2.114)式作出如图2.35所示的,曲线，也称,, 为幅频响应曲线。 ,,,1,,,1，从图中可以看出:当。即当隔振器的固有频率远大于 ,,1,,2激振频率时，没有什么隔振效果。在的区域内，。因而不但没有什么隔振效果，反而会将原来的振动放大，而且当时，,,1， ,,1,,2系统还要发生共振。在的区域内，这时才有隔振效果，故称为隔振区。而且随着的增加，隔振效果增大。 , 若以被隔振器所隔离掉的振动的百分率来计算，则: ，，,,1,,，100% ,,2.5~5,,2.5~5,,81~90%当时，。因此在实用中取已 经足够。 在放大区内增大阻尼可减小共振振幅。但在隔振区内增大阻尼却使隔振效果降低。因此隔振器阻尼的选择，应综合考虑放大区和隔振区这两方面的要求。 (4)隔振设计步骤 首先要确定被振设备的原始数据，如设备的质量重心、转动惯 量，以及激振源的大小、方向频率等。 ,,,2.5~5其次，按的要求，来计算隔振系统的固有频率。n ,若设备上作用着几个振源，在计算时应取激振频率的最小值。, 对于多自由度系统，因为有多个固有频率，在计算时，则应取系统, 的最高固有频率。这样才能保证对于各个激振频率和固有频率都能满足隔振效果。 2k,m,然后，计算隔振器的刚度()，并确定隔振器的阻尼大小。 n 在确定了隔振器的参数后，还要进行隔振效率的验算。若不能满足隔振要求，可适当增加设备安装底座的重量，或改变隔振器的参数。 最后，要根据使用要求来选择隔振器的类型，计算隔振呖呖的尺寸和进行结构设计。 [例1] 有一精密仪器在使用时要避免振动的干扰，为此用8个弹簧(每边4个并联)作隔振装置。已知地板振动规律为x,0.1sin,ts 2(cm)，仪器的质量m=800N?s/m。仪器的容许振幅[B]=0.01cm。试 计算每个弹簧应有的刚度。 解:按隔振要求，隔振系数应为 [B]0.011 ,,,, U0.110 在忽略系统阻尼的情况下，隔振系数的计算公式为: 11 ,,, 21,10, ,,11故 ,,,,,而 kn, m 则系统的等效弹簧刚度为: 22m800，3.14,k,,,717Nm 1111 所以每个弹簧的刚度应为: k717 k,,,89.6Nm,0.896Nm 188 (*)2(轴的临界转速 在工程实践中常常发现，当转轴在某个转速或其附近运转时， 会引起剧烈的振动，甚至造成轴承和轴的破坏。而这个转速在数值上 一般非常接近于轴横间振动的固有频率。这些引起剧烈振动的特定转 ,和n速称为轴的临界转速，以表示。 kk 先分析图2.36所示的单盘转子。它是在一根支承在两个轴承上的竖轴中间，安装一个质量为m的圆盘。圆盘的几种中心在S点，而重心在G点，偏心距e,SG，轴承中心连线则穿过圆盘平面的O点。当转子静止时，圆盘的几何中心S和O点重合。转子开始转动后，轴呈弓形变形，轴中心的动挠度为OS′这时转子有两种运动。一是转子在轴线弯曲后的自身转动，一是弯曲了轴和轴承中心连线所组成的平面的转动。我们把后一种运动称为弓状回旋。这里仅讨论最简单的所谓同步弓状回旋。即上述两种运动的转速相等，均为的情况。 , 取xoy坐标系如图2.36所示，以(x，y)表示圆盘几何中心S的 ，，，，x，ecos,t与y，esin,t位置，则圆盘中重心的坐标为。设轴及其轴承的刚度在x和y方向上均为k，系统的阻尼为粘性阻尼，其阻尼系数为c，则在x和y方向的运动微分方程为: 2d ，mx，ecos,t,,kx,cx2，，dt 2 d ，，，my，esin,t,,ky,cy2dt 2,，，，,cos,mx，cx，kx,met, ,或 (2.116) 2,，，，,sin,my，cy，ky,met,求解这一微分方程可得: 22,,,cos,,,cos,,,metet，，，，,,x,222222,,1,,,2,，,，,kmc，，，，，，，， ,22 (2.117) ,sin,,,sin,,,,，，，，metet,,,y22,2222，，，，，，，，,,1,2,,,，,，kmc, 22,,mee22OS,x，y,, (2.118) 222222，，，，，，，，k,m,，c,1,,，2,,(2.117)式中的是线段SG比线段OS所导前的相位角，它可由, 下式计算: ,,,c2 ,tg,, (2.119) 22k,m,1,,, ,可见，相位角大小不仅与系统的阻尼值有关，而且还与转子的 ,转速有关。图2.37表示了在三种不同转速情况下圆盘重心G和几 何中心S之间的相对位置: ,,,若忽略系统阻尼，则,,1时,,,;,,1时,,,;,,1时,,,,,222 (2.118)式可简化为: 2,eOS, (2.120) 21,, 根据上式，可以看出，当转速很低时，动挠度很小。但当=1，,, 即转速等于系统横向振动的固有频率时，即使转子平衡得很好，e很小，动挠度OS也会趋向无穷大。虽然实际上由于轴承产生的阻尼将把挠度限制在一定的有限值，但轴的动挠度仍将比较大而导致破坏。因此，我们将这时的转速称为临界转速。即 k ,,,, (2.121) knm 若以每分钟转数来表示，则临界转速可表达为: ,60k,nrpm (2.122) k2, 当,1时，动挠度OS即为负值，这意味着动挠度与偏心距反相。, 当时，。这时，轴围绕其重心旋转，重心G与O点重合，,,,OS,,e 称为自动空心。这时转子运动平稳，没有振动。所以在工程上有不少轴是设计在临界转速以上工作的，这种轴称为超临界轴或柔性轴。