清华大学版理论力学课后习题答案大全(免费下载)(第9章动量矩定理及其应用)

清华大学版理论力学课后习题答案大全(免费下载)(第9章动量矩定理及其应用) 第9章 动量矩定理及其应用 9,1 计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以ω的角速度绕O轴转动，质量为m的小球M可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v运动到OM = s处(图a);求小球对O点的动量矩。 r 2. 图示质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A，质心为C，且AC = e;轮子半径为R，对轮心A的转动惯量为J;C、A、B三点在同一铅垂线上(图b)。(1)当轮子只滚不滑A 时，若v已知，求轮子的动量和对B点的动量矩;(2)当轮子又滚又滑时，若v、ω已知，求轮AA子的动量和对B点的动量矩。 v2rω 解:1、(逆) L,m,sOC ω vA M O 2、(1) A R eB (逆) p,mv,m(v，,e),mv(1，)CAAR2(b) (a) vRe(，) 2A LmvReJmvJme,(，)，,,，(,)BCCAARR习题9,1图 (2) p,mv,m(v，,e)CA2 L,mv(R，e)，J,,m(v，,e)(R，e)，(J,me),,m(R，e)v，(J，meR),BCCAAAA 9,2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O轴转动， 其大、小半径分别为R、r，对O轴的转动惯量为J;物块OA、B的质量分别为m和m;试求系统对O轴的动量矩。 ABω O r 解: R 22B L,(J，mR，mr),OOAB A θ 习题9,2图 9,3 图示匀质细杆OA和EC的质量分别为50kg和100kg，并在点A焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O处的约束力。不计铰链摩擦。 解:令m = m= 50 kg，则m= 2m OA EC 质心D位置:(设l = 1 m) F55mgOyd,OD,l,m 662mgDFOx刚体作定轴转动，初瞬时ω=0 d,lJ,,mg,，2mg,l O2 112222J,ml，,2m,(2l)，2ml,3ml O 312 习题20-3解图 523ml,,mgl即习题20-3图 2 52 ,,g,8.17rad/s6l 525t a,l,,,gD636 由质心运动定理: t3m,a,3mg,F DOy 2511N(?) F,3mg,3mg,mg,449Oy3612 nF,0,,0a,0，， OxD 9,4 卷扬机机构如图所示。可绕固定轴转动的轮B、C，其半径分别为R和r，对自身转轴的转动惯量分别为J和J。被提升重物A的质量为m，作用于轮C的主动转矩为M，求重物A的加12速度。 解:对轮C: , R J,,M,FrB 2CTR B 对轮B和重物A: ′ FT2, (J，mR),,FR,mgR1TM F T运动学关系: M a A r A C r a,r,,R,CC 2mg (M,mgr)rR a,2222Jr，JR，mRr 12习题9,4图 题9-4解图 M 9,5 图示电动绞车提升一质量为m的物体，在其主动轴上作用一矩为M的主F′ NJr1 1 动力偶。已知主动轴和从动轴连同安F′ M 装在这两轴上的齿轮以及其它附属零M Jr1 1 Jrr1 2 1 件对各自转动轴的转动惯量分别为JR 1J2 和J;传动比r: r= i;吊索缠绕在22 1 鼓轮上，此轮半径为R。设轴承的摩F r2 擦和吊索的质量忽略不计，求重物的R r2 R J2 F N J加速度。 2 m (a) 解:对轮1(图a): mg J,,M,Fr111m (b) m 对轮2(图b): 习题9,5图 2习题9,5解图 , (J，mR),,Fr,mgR222 ; r,,r,,,i,112212 Mi,mgR, ,222J，mR，Ji21 (Mi,mgR)R重物的加速度: ,a,R,222J，mR，Ji21 9,6 均质细杆长2l，质量为m，放在两个支承A和B上，如图所示。杆的质心C到两支承的距离相等，即AC = CB = e。现在突然移去支承B，求在刚移去支承B瞬时支承A上压力的改变量ΔF。 A 1ACB 22 (ml，me),,mge解:， J,,mgeA 3习题9,6图 ma,mg,F CA, 23gea,e,, ACBC 22 l，3e 23mge mg FF,mg, A A22l，3e习题9,6解图 22233,mgmgemgel,,,,,,FFmg AA22222，322(，3)lele 2 9,7 为了求得连杆的转动惯量，用一细圆杆穿过十字头销A处的衬套管，并使连杆绕这细杆的水平轴线摆动，如图a、b所示。摆动100次所用的时间为100s。另外，如图c所示，为了求得连杆重心到悬挂轴的距离AC = d，将连杆水平放置，在点A处用杆悬挂，点B放置于台秤上，台秤的读数F = 490N。已知连杆质量为80kg，A与B间的距离l=1m，十字头销的半径r = 40mm。试求连杆对于通过质心C并垂直于图面的轴的转动惯量J。 C 习题9,7图 A 解:图(a)，时， ,,,1d，r，， J,,,mg(d，r),A ，， J,，mg(d，r),,0A mgdr(，),，， ,，,,0C..JA, mg(dr)，,, nJABmgJ2πAT,,2π (1) ,mg(d，r)n(a) 2 (2) J,J，m(d，r)AC 由图(b): BCAFl5 ，m dM,0Fd,,,0.625,Amg8 代入(1)、(2)，注意到周期，得 T,2smglmg(d，r)g2J,,m(d，r),m(d，r)[,(d，r)]C22ππ 9.8,80，0.665，(,0.665) 2π(b) 2,17.45kg,m习题9,7解图 9,8 图示圆柱体A的质量为m，在其中部绕以细绳，绳的一端B固定。圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度h时圆柱体中心A的速度υ和绳子的拉 力F。 T 解:法1:图(a) ma,mg,F (1) AT Jα,Fr (2) AT a,rα (3) A 12J,mr A2 1F,mg解得 (拉) T3习题9,8图 2,ag (常量) (4) A3 -3- 2由运动学 (?) v,2ah,3ghAA3 法2:由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心C用动 量矩定理: ，， (5) J,,mgrC 322F JJmrmr ,，,TCA2 aA，，又 ,,aCAr,rAmg2 ,(同式(4)) agA3 再由 ma,mg,FATvA 1F,mg得 (拉) T3(a) 2 v,2ah,3gh(?) AA3 29,9 鼓轮如图，其外、内半径分别为R和r，质量为m，对质心轴O的回转半径为ρ，且ρ = R ?r，鼓轮在拉力F的作用下沿倾角为θ的斜面往上纯滚动，F力与斜面平行，不计滚动摩阻。 F 试求质心O的加速度。 解:鼓轮作平面运动，轴O沿斜面作直线运动: r (1) ma,F,F,mgsin,OfO R 2 m,,,Fr，FR (2) f 纯滚: (3) a,R,O 代入(2) θ a2O习题9,9图 m,,,Fr，FR (4) fRF 解(1)、(4)联立，消去F，得 f2r ,FR(R，r),mgRsinR a, O O22m(R，,)mg Ff θ F N 题9-9解图 9,10 图示重物A的质量为m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B与滚子C固结为一体。已知滑轮B的半径 ,为R，滚子C的半径为r，二者总质量为m′，其对与图面垂直的轴O的回转半径为。求:重物A的加速度。 习题9,10图 4 解:法1:对轮: (1) J,,TR,FrO , (2) ma,F,TO 对A: m′g mg (3) ma,mg,TA, t又: a,a,a绳AHH Fa以O为基点: OE ? tnnt a，a,a，a，aHTHHOHOHOttaH绳 (?) a,a,a,R,,r,,(R,r),F N,THHOO a,(R,r), (?) (4) A2mg,由上四式联立，得(注意到) Jm,,a OA2 mg(R,r)g a,,A22222,,m,(，r)，m(R,r)m(,，r)(a) ,，12m(R,r)a O法2:对瞬心E用动量矩定理(本题质心瞬心之距离为常数) O J,,T(R,r) En aHma,mg,T A nta,(R,r),又 aAHO aH H222,, J,J，mr,m(,，r)EOtg a可解得: a,HOA22,,m(，r)(b) ,，12m(R,r) 9,11 图示匀质圆柱体质量为m，半径为r，在力偶作用下沿水平面作纯滚动。若力偶的力偶矩M为常数，滚动阻碍系数为，求圆柱中心O的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。 , J,,M,M解: (1) Df M,,F ,fN F,mg Na32,Jmr rMD2mgMfaDF,, r 代入(1)，得 FN ,,2(Mmg)习题9,11图 ,a 3mr(a) 又: ma,F 2(M,,mg)F, 3r 9,12 跨过定滑轮D的细绳，一端缠绕在均质圆柱体A上，另一端系在光滑水平面上的物体B上，如图所示。已知圆柱A的半径为r，质量为m;物块B的质量为m。试求物块B和圆柱质12心C的加速度以及绳索的拉力。滑轮D和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。 解:对轮C: J,,FrCTg m2B ma,mg,FD 1C1TF′ TB 对物块B: ma,F2BTT 12F且:; a,a，r,T ,Jmr, CBA 1CC F2N T ，2mmm 121T 解得: ; ,,agagA 习题9,12图 C BC，3，3mmmm1212 mmmg 112 题9-12解图 ,FgT，3mm12 -5- 9,13 图示匀质圆轮的质量为m，半径为r，静止地放置在水平胶带上。若在胶带上作用拉力F，并使胶带与轮子间产生相对滑动。设轮子和胶带间的动滑动摩擦因数为f。试求轮子中心O经过距离s所需的时间和此时轮子的角速度。 解:图(a)，轮O平面运动: ma,F (1) O1 (2) 0,F,mgN (3) J,,FrO1 由(2)， 习题9,13图 F,mgN 动滑动时， (4) F,fF,fmg1N (4)代入(1)，得 ,a (5) a,fgOO 12(4)代入(3)，得(,) JmrO2mg2fg,, (6) F1r 由(5)代入下式: F1N2s,at O 2(a) 2s得 t,fg 2,,,t,2fgs(逆) r 9,14 图示匀质细杆AB质量为m，长为l，在图示位置由静止开始运动。若水平和铅垂面的摩擦均略去不计，试求杆的初始角加速度。 lPC,解:法1:P为AB杆瞬心，，图(a): 2 lJ,,mg,sin, P2 12Jml, P3 3g？,,sin, (1) 习题9,14图 2lBFBP法2:AB杆平面运动 ，，mx,F (2) CB, ，，my,F,mg (3) CAC ll,mgJ,,F,sin,,Fcos, (4) CAB22Allx,sin,y,cos,， CC22FAl,l ，，，，,,,,x,cos,y,sin,， CC22(a) ,lll2，，，，，，，,,,,,,,sin,，cos,,cos,x (5) FCBB222..ylllC2，，，，，,，，,,,,,,,,cos,,sin,,,sin,y (6) C..222xCC，,,0(?初瞬时) ,mg，，,,, (7) xAO将(5)、(6)、(7)代入(2)、(3)、(4)得 FAl mcos,,,,F (8) B2(b) 6 l,msin,,,,F,mg (9) A2 1ll2ml,,,Fsin,,Fcos, (10) AB1222 3gsin,,解得:，与(1)式相同。 ,2l 9,15 圆轮A的半径为R，与其固连的轮轴半径为r，两者的重力共为W，对质心C的回转半径为，缠绕在轮轴上的软绳水平地固定于点D。均质平板BE的重力为Q，可在光滑水平面上, 滑动，板与圆轮间无相对滑动。若在平板上作用一水平力F，试求平板BE的加速度。 r C r C A FA T D RD R W B Ff E B F E F F N 习题9,15图 习题9,15解图 W2解:对轮C:; J,,FR,FrJ,,CfTCg W; a,r,a,F,FCTfCg Q对板BE: ; a,F,Fa,(R,r),BEfBEg 2F(R,r)g求得: a,BE222Q(R,r)，W(,，r) *9,16 图示水枪中水平管长为2l，横截面面积为A，可绕铅直轴z转动。水从铅直管流入，以相对 ,速度υ从水平管喷出。设水的密度为，试求水枪的角速度为时，流体作用在水枪上的转矩。 ,Mrz 解:水平管上各点科氏加速度相同 a,2ω ，v Cr,FICCa,2ω v CrCFIC科氏惯性力均布，其合力(如图): F,,,lA,a,2,v,lA ICCr l 2M,2,F,,2,,lA,v zICr2习题9,16图 (a) *9,17 图示匀质细长杆AB，质量为m，长度为l，在铅垂位置由静止释放，借A端的水滑轮沿倾斜角为的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点A的加速度。 , ,,0解:图(a)，初瞬时，以A为基点，则 ABτa,a，a,a，a CCxCyACA lτ,,cos,,,,cos,aaaa即 (1) CxACAA2 lτ,sin,,,sin,aa (2) CyCA 2 由平面运动微分方程: 习题9,17图 -7- ma,mgsin,CxA? (3) a,gsin,Cx (4) ma,mgcos,,FaCyNA l ,,,sin,JFCN,2FN1l2即 (5) ,sin,ml,F,NC122τaa,3gsin2CACx,解(2,)、(4)、(5)联立，得 (6) 2mgl(1，3sin,)aAla,Cya,cos,,,,gsin,由(1)、(3)，得 AB2 ,4sin,ag(6)代入，得 A21，3sin, (a) ,*9,18 匀质细长杆AB，质量为m，长为l，CD = d，与铅垂墙间的夹角为，D棱是光滑的。在图 示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C的加速度和D处的约束力。 解:初始静止，杆开始运动瞬时，必沿支承处vD 切向，即沿AB方向，所以此时沿AB方向，如图aD (a)，以D为基点: nt由a，a,a，a，a CxCyDCDCD t (1) a,a,d,,CxCD1 由AB作平面运动: 习题9,18图 ma,mgsin,,F (2) CxN ma,mgcos, (3) CyA12,,ml,Fd (4) 1N12aDD,a,gsoc,由(3)， CyaCyFN解(1)、(2)、(4)联立 2amgCx12gdsin,,1Ba, Cx22l，12d2 mglsin,F, N22l，12d(a) 0v9,19 如图所示，足球重力的大小为4.45N,以大小=6.1m/s,方向与水平线夹40角的速度向球员飞10,v来，形成头球。球员以头击球后，球的速度大小为=9.14m/s，并与水平线夹角为20角。若球,头碰撞1 时间为0.15s。试求足球作用在运动员头上的平均力的大小与方向。 ,,p,m(v,v)解:击球前后球的动量改变为 11 4.45oooo,p,[9.14cos20,(,6.1cos40),,9.14sin20,(,6.1sin40)] g =0.454(13.26,0.795)=(6.02,0.361)N?s ,p设与水平夹角, ,py0.361y,tan,,,0.06 ,P ,p6.02x习题9,19图 o,,3.431 ,22xFt,p,,p，,p,6.03 N?s xy ,p6.03 F,,,40.2N (a) t0.15 ,p人头受力F与反向，即向左下方。 8 9,20 边长为a的方形木箱在无摩擦的地板上滑动，并与一小障碍A相碰撞。碰撞后绕A翻转。试求 木箱能完成上述运动的最小初速;木箱碰撞后其质心的瞬时速度与瞬时角速度。 v,v0C ,vC vO ,45A 碰前碰末 习题9,20图 (a) (b) 解:碰前方箱以初速度平移，碰后箱绕A点转动直到翻倒，碰撞中箱只在A点受冲v0 量，重力等其它有限力的冲量可忽略不计，因此碰撞前后箱对A点的动量矩守恒。 设箱的质量为m ,,01222222JmdJmam(a)ma ,，,，,ACv,0C623 a2C2mv,ma,对A动量矩守恒: 023 A3v0 ,, (1) 4a 若箱刚能完成翻转，则转到最高点时，从碰后到,,0转到最高处 最高点机械能守恒，即 (c) a12222mg，ma,,mga 223229v,12120mamg()a,,由(1)得， 23216a 23v0 ,0.207ag 16 v,1.05ag0 a3vg0,,,0.788v,,,0.557ag由此，， (方向如图示) C4aa2 *9,21 台球棍打击台球，使台球不借助摩擦而能作纯滚动。假设棍对球只施加水平力，试求满足上述 运动的球棍位置高度h。 I Cd h 习题9,21图 (a) 解:设杆给球的冲量为I，受击后球心速度 ,为v，球的角速度为，球质量为m。 ,v 动量定理: (1) I,mv 22I(h,r),mr, 对质心动量矩定理:(2) 5rv,r, 纯滚动: (3) (1)、(3)代入(2)，消I、v得 (b) -9- 277h,r,r h,r,d 5105 *9,22 匀质杆长为l，质量为m，在铅垂面内保持水平下降并与固定支点E碰撞。碰撞前杆的质心速 ,度为，恢复因数为e。试求碰撞后杆的质心速度与杆的角速度。 ,vvCC ,解:碰后E点不动， v,evnC 杆只有D点受冲量，故相对D点动量矩守恒 2lmml2 ,,(，),mvlC41216 12vC 由此可解出:, ,7l习题9,22图 ,设碰后C点速度出向上，由图(a)可知 vC l3,,v,v,,,(e,)v CDC47 33,,e,e,由此式知，当时，确实向上，若时，应向下。 vvCC77 ,v,vDC, AB CD (a) 10