全矢量有限差分法及其在光子器件中的应用研究（可编辑）

全矢量有限差分法及其在光子器件中的应用研究（可编辑） 全矢量有限差分法及其在光子器件中的应用研究 东南大学 硕士学位论文 全矢量有限差分法及其在光子器件中的应用研究 姓名:缪小兵 申请学位级别:硕士 专业:物理电子学 指导教师:肖金标;孙小菡 20070331 摘要 摘要 随着通信系统与网络的不断发展，对各类光集成器件的要求日益激增。光子器件的研 制成本高、研制周期长，在实际制作之前对其进行理论分析与优化设计，便可达到降低制作 成本、缩短研发周期的目的。传统的解析法已经不适合分析结构复杂的光子器件，数值方法 是分析各类光子器件的有力工具。其中，有限差分法具有简单方便、精度高等优点，在光子 器件的模拟分析中发挥巨大作用。 从well方程出发，本文首先推导了分析光波导全矢量本征模的电场与磁场波方程 及分析光子器件光波传输特性的三维全矢量束传播法基本方程。之后建立了全矢量有限差法 的电场与磁场差分，交叉项采用六点差分法，计算精度高，能够揭示电磁场全矢量本征 模的混合特性。 基于Crank-Nicolson差分格式及交替方向隐式算法，建立了三维全矢量有限差分束传播 法的数理模型，分析光子器件的光波传输特性，无须对交叉求逆，计算速度快、精度高及无 条件稳定。详细讨论了透明边界条件和完全匹配层边界条件，并讨论了其对计算精度的影响。 在此基础上，本文首先利用了全矢量有限差分法分析了阶跃光纤、脊形光波导、光子晶 体光纤和双脊耦合波导，给出了归一化传播常数及其模场分布，揭示了全矢量本征模场的混 合特性，分析结果明该方法具有很高的计算精度;其次分别使用基于透明边界条件和完全 匹配层边界条件的三维全矢量有限差分束传播法分析了典型光波导，给出了光场在光子器件 中的传输演变，验证了本方法的有效性。 本文建立的全矢量有限差分光波导本征模分析模型，三维全矢量有限差分束传播法分析 模型，是模拟分析光子器件的有力工具。 关键词: 光子器件，光波导;有限差分;全矢量本征模柬传播法集成光学 摘要 ABSTRACT Withthe networkand ofvarious rapiddevelopmentofoptical opticalsystem， therequirement is increased(It kindsof devices isessentialthatnmericalsimulationoftheses greatly photonic devicesinorderto theirstructuresand the sincethe optimize improveperformance photonic be traditional Cannot the slructm'es(Asa analytical appliedto咖dy result, approaches complicated inthis full??vectorialfinite is indetailand thesis，the difference FD methodinvestigated to the andthe devices( successfullyappliedanalyzeopticalwaveguidescorresponding photonic electrical Fromwell and full―vectoiralwave for equations,the magnetic equations of ale basic for analyzingguided-modesopticalwaveguidesderived(Moreover,theequations three-dimensionalfull-vectorialbeam method FV-BPM a? also propagation presented(The stern t'mite-difference(schemeis todescribethe termsand six-point developed cross-coupling schemeis todiseretizethesemi-vectorialformations(ThestandardCrank-Nicbolson applied alternate schemecombinedwiththe direction methodisconstructedtodiscrefize implicit ADD theFV-BPM(In conditionsand matched addition,the boundary transparent perfectly layer conditionsaninU'oducedanddiscussedin detail( boundary The noIlllalizod constantsand fielddistributionsfora propagation guided-mode step-index rib fib mobtained FV-FDM,and opticalfiber,typicalwaveguide(coupledwaveguides byusing the theresultsm with FDschemefor compared method,traditional analytical foal-point moderesonallce the indicates cross-couplingterms，U'an四'sc method,respectively,whichpresent the methodis FD-FV-BPMwithTBCandPMLisutilizedtod?onstrate highaecmte(Then,the evolution mode the results oftbe叩6calalongpropagationdistance sayz-direction (Thewove and method( the ofthe efficiencyaccuracypresent method;beam Keywords:photonicsdevices;opticalwaveguides;finite-differencepropagation method;full-vectoiralguided-modes;integrateoptics ? 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果(尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 日 研究生签名: ;鉴!:笠 期:速芦翌(一一 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布 包括刊登 论文的全部或部分内容。论文的公布 包 括刊登 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名:―堑琴址导师签名: 碰’ 日期5叶3司 第一章绪论 第一章绪论 1(1光通信网络与光集成器件 从20世纪70年代到现在，在全球范围内的高度信息化的潮流中，光通信作为信息通信网 络的基础技术不断发展，引领新世纪信息产业的发展，在过去短短的30年间，已经发展成为 最有潜力的技术之一。光通信系统及网络发展的同时，需要的光器件种类和性能也陆续变化。 光通信系统的进展以全球化的急剧扩大的信息传递需求为背景，努力实现了通信主干线系统 的高速化、大容量化为开端，继续开展主干系统的长距离传输方面的工作。最近为适应互联 网的飞速发展与普及的办公室和家庭信息化的需要存取系统的 “光化”倾向正在加速，促进 了将光技术应用于信息网络各领域，研究开发高可靠性的全光化网络,光子网络。各种新技 术层出不穷，密集波分复用技术 DWDM 已取得突破性进展并得到广泛的应用。由于波 分复用技术和掺铒光纤放大器技术的快速发展，一种全新的、无需进行任何光电变换的光波 通信―_“全光通信”，也日趋成熟，将为全球的通信业带来蓬勃生机，为此提供支撑的就是 半导体光电子器件，它们是光通信设备和系统的基础。 寡庭同络 图1(1光通信网络的基本构成和主要器件 随着光集成技术的不断进步，光集成变得多元化。光集成的方向包括功能集成和器件个 数的集成。功能集成就是把不同功能的元件集成在一起，制造出高功能、高性能的器件，目 的是减少连接点，其典型例子是在半导体激光器上集成了光调制器的调制器集成光源。除了 “功能集成”外，还把多个同样的光器件集成的所谓。个数集成”，其最大优点是把多个同 样的器件集成在同一个半导体基片上，实现了大幅度的小型化，譬如垂直腔面发射激光器 VCSEL 。 光集成的方式包括光一光集成、光一电集成。光一光集成可以追溯到1969年s(E(Miller 光器件和电子器件的构想[21，称为光一电集成电路 OEIC 。 东南大学硕士毕业论文 图1(2集成光路 PIC 示意图 图1(3光电集成电路示意图 光集成的形式有单片集成，混合集成。单片集成，以PIC和OEIC为典型的例子，所有的 光，电子器件，电路，经晶体生长、光刻、刻蚀及成膜等制作工艺而制成。一旦技术确立，可 批量生产，因而能实现低成本，是很有前途的形式。混合集成，下图是典型的例子，这是在 硅村底上形成的石英系光波导回路上安装芯片的双向光通信用收发机的光器件单元。半导体 激光器和光接收机等有源器件和搭载它的光波导基础电路完全用不同的工艺制作，因而，可 以分别自由选择各自最合适的材料、最合适的器件，这也是混合集成的最大特征。 光接收嚣 图1(4半导体单片集成型光集成器件 图1(5混合集成光器件 光电器件包括有源光器件、无源光器件、光电端机等。其中有源光器件指具有光电能量 转换功能的器件，包括激光器、探测器和光纤放大器等;无源光器件指不存在光电能量转换 的器件 其中，连接器、耦合器、衰减器等常规光器件已经普遍采用，隔离器、高速调制器 和光开关、波长变换器、滤光器等，技术含量高，是光通信更新换代的必要条件 ;光电端 机包括光发射机、光接收机等( 在光电集成芯片 OEIC 的设计过程中，通常使用计算机辅助设计软件 cAD 对器件 进行数值模拟，以优化设计、缩短研制周期、节约成本以及评估新型器件的性能。CAD的 应用有利于保持产品的新颖性，提高它的市场生存能力，CAD的应用对集成光电子领域的 贡献功不可没，在光学器件的设计过程中扮演着重要角色，已经成为整个集成光电子领域的 ，各类设计软件的实现都离不开数值计算技术的发展。 1(2光波导模式分析 随着制造技术的进步，新型结构器件的出现和集成器件的快速发展，对器件的性能和可 靠性都提出了很高的要求。传统的解析法不能够求解结构日益复杂的器件，因此涌现出许多 数值计算方法。利用高性能计算机对研究对象进行数值模拟和动态显示，能够获得实验很难 得到的精确结果。 2 第一章绪论 数值计算方法p’就是用高性能的计算机直接以数值的、程序的形式来描述电磁场问题。 在纯数值法中常以差分代替微分，以有限求和代替积分，把所求问题转化为求解差分方程或 代数方程的问题。例如用有限元法、时域有限差分、和传输线矩阵法来编写仿真程序，借助 数学方法求解出器件中的场分布。数值计算方法在设计光学器件中必不可少，它能够优化器 件结构、降低制造成本、缩短研发周期等。 与解析法相比，数值计算方法在很多方面具有独特的优点: 1 普适性强，用户拥有的 弹性大; 2 用户不必具有高度专业化的电磁场理论、数学及数值技术方面的知识也能够解 决实际需要的问题。 纯数值计算方法使电磁场的研究从经典的解析方法进入离散系统的数值分析方法，解决 了很多难题。理论上数值法可以计算各种形状和材料的电磁场的问题，但是在工程应用中由 于计算机存储容量、执行时间、及数值误差等的影响而受到限制。 常用数值计算方法主要包括:直线法 MethodofLine。MoL [41、模匹配法 ModeMatching FEM 161、有限差分法 Finite-Difference Method,FDM 【7J、谱或离散谱折射率法 D,SIM 、 Index 配点法 cM 、伽辽金法 GM 删、有效折射率法 EffectiveMethod,ElM 19]、束传输法 DifferenceTime BeamPropagationMethod,BPM [101时域有限差分法 Finite Domain,FDTD 111]等。 1，有限元法 有限元法是基于变分原理和剖分插值求解数理边值问题的一种数值方法。与经典里兹方 法和伽略金方法不同，有限元法的试探函数是由定义在全域的子 域上的一组基函数构成。因 为子域很小，所以基函数可以变得非常简单。有限元法可用于任何微分方程描述的各类物理 场，同样适合于时变场、非线性场，及复杂介质中的电磁场求解。 有限元法具有强大的生命力和广阔的应用前景，它具有如下的优点: 1 采用物理上离散和分片多项式插值，具有对材料、边界、激励的广泛适应性: 2 基于变分原理，将数理方程求解变成代数方程组求解，非常简易; 3 采用矩阵形式和单元 组装方法，各种环节易于实现标准化，程序通用性强，具有较高的计算精度，便于编制程序 和维护，适宜于制成商用软件: 4 国际学术界对有限元法的理论、计算技术及各方面应用 做了大量工作，理论比较成熟。 随着工程实际应用的深入，也逐渐出现了如下的缺点: 1 所解问题的复杂性和经费、 时间及计算机能力有限之间的矛盾; 2 此法属于区域性解法，因此分割的元素数和节点数 较多，导致初始数据复杂，使用不便; 3 随着网格细分，单元尺寸变小，有限元法产生的 代数矩阵方程的条件数变坏导致计算结果很差; 4 对于无限区域中的求解问题，由于边界 条件难以妥善处理，使求得的结果误差较大( 2，有限差分法 有限差分法是以差分原理为基础，把差分法和近似数值分析结合起来的一种数值方法( 它实质上是将电磁场连续域内的问题变为离散域的问题来求解， 即通过网格状离散化模型上 各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实解。 有限差分法应用范围很广，不仅能求解均匀或非均匀线性媒质中的场，还能求解非线性 媒质中的场;不仅能求解恒定场或似稳场，还能求解时变场。在边值问题的数值解法中相当 简单，在计算机存储容量允许的情况下可以采用较精细的网格，使离散化模型能更精确的逼 近真实问题，获得足够精度的数值解。 与FEM相比，FDM更简单和易于实行，是求解波动方程更直接的方法。只要给定控制 方程和边界条件就可以直接利用FDM求解由有限差分近似得到的电磁场本征矩阵方程。具 体步骤是: 1 采用一定的网格划分方式离散化场域; 2 应用差 分原理，对场域内偏微分方 3 东南大学硕士毕业论文 程以及场域边界条件进行离散化处理，给出相应的差分方程; 3 结合选定的代数方程组的 解法，编制计算程序，求解差分方程组，即得到该边值问题的数值解。 3、谱或离散谱折射率法 D,SIM 谱或离散谱折射法是针对脊形光波导而提出的一种模解方法，已应用于脊形光波导的标 量及矢量本征模分析，在双脊及三脊耦合光波导中也有广泛的应用。与谱折射率法相比，离 散谱折射率法采用离散傅立叶变换，因此有更高的计算效率。 4、配点法 cM 配点法选取一些特殊点 即所谓配点 的折射率来反映整个光波导截面的折射率分布，不 需要通过积分法获取矩阵本征值方程的矩阵元，因此有较高的计算效率。配点法对求解一些 折射率连续变化光波导的本征模精度较高，求解阶跃型光波导时需要通过变化法来提高计算 精度。由于采用Hennite-Gauss基函数展开。满足电场的自然边界条件 5’伽辽金法 G^D 伽辽金法 也即傅立叶分解法 将待求电磁场展成一组正交完备基函数 全域基 的和，导 出矩阵小，计算效率高。Henry与Verbeek首先用基于正，余弦基函数展开的GM分析光波导的 标量本征值问题，其后Marguse用同样方法分析了光波导的矢量本征值问题。为了保证边界 上的电磁场近似为零，这种GM必须选取有限计算窗口，从而引起边界截断，影响计算精度。 虽然选择Hermite-Gauss函数代替正，余弦函数作为展开基可以满足电磁场的自然边界条件， 从而避免边界截断问题，但只适用于芯包层边界均匀的光波导，对于芯包层边界非均匀的光 波导如脊形光波导，将导致包层截断，带来计算误差。另一种避免边界截断的方法是仍选择 正，余弦函数作为展开基而引入变量变换，即通过适当的正切函数变换，将无限?砰面转换 成单位平面，使该单位平面边界上的电磁场自然为零，等效于自然边界条件。适用于任意芯 包层边界的光波导，称该方法为变量变换伽辽金法 VTOM 。 1(3束传播法 束传播法 BeamPropagationMethod,8PM “”是最有力也是应用最广泛的集成光学器件 数值模拟技术。它成为大多数商业软件基础的原因大致有如下几点: a 物理和数学概念简 单明了，即使是普通的用户也可以在较短的时间内利用BPM进行器件的模拟计算; b 效 率高，计算量与计算空间的离散点数有关，可以根据精度要求通过优化程序减少计算量; c 适用范围广，可以用来模拟计算各种结构的波导器件，而不需要为不同的结构重新编写程序; d 原理上不仅包含了导波和辐射现象，也包含了模式耦合和能量守恒定律，对场的分布， 传输和畸变具有直观可知的特点; e 作为一种灵活、可扩展的 数值模拟技术，可以根据用 户需要开发出相应的仿真程序(BPM已经在模拟各种光学器件上发挥了巨大作用，被成功 用来分析光集成器件，极大地促进了光学器件的发展。 FourierTransform 根据所用的数学方法，束传播法可分为快速傅立叶变换束传播法 Fast BPM,FFT-BPM [101有限差分束传播法 Finite―Difference 8PM,FD-BPM 112]、有限元束 传播法 Finite-ElementBPM,FE-BPM ll”、时域束传播法 Tone-Domain BPM,TD-BPM 1141双向束传播法 Bi-direetional(BPM 和广角束传播法 Wide 束传播法最早是由Feit和Fleck等人在1978年研究光场及大气激光束传输时提出的【101， 以快速傅里叶变换 FFD为数学手段实现的。称为FFT-BPM。它的优点是方法简单，在处 理平板波导和弱导结构的器件时速度非常快，被成功地用来分析光栅、非均匀介质以及二阶 非线性波导。它的缺点是: a 由于傅立叶基函数周期性的限制不能处理显著辐射: b 源 于标量波方程，只能得到标量场，即只能处理一个极化分量，不能处理场之间的耦合; c 4 第一章绪论 采用了等间距的网格，不适合处理劈形和弯曲波导。在处理复杂波导结构时效率低、精度差， 当网格步长很小时才能达到预设的精度要求，只适合计算弱导结构的器件。 为了解决上述问题，1989年YevickD等人提出了基于有限差分的束传输法FD-BPM[’21。 与FFT-BPM相比，FD-BPM具有更好的实用性、数值离散格式上更灵活、计算更稳定。配 合使用合适的边界条件IJoJ，可以使模拟过程更加精确和高效。具体过程是将波导在横截面 分成很多矩形网格，选择合适的差分格式进行离散，用差分方程表示出网格内的波动方程， 然后引入边界条件，就可得到整个横截面上的场分布，重复前面的步骤最后可求解出整个波 导中的场分布。网格划分时，FD-BPM并不要求均匀网格1”儿”J[191，在处理楔形波导时选用 非均匀网格比FFT-BPM更为有效。在传输方向上也可以采用非均匀的网格，用正投影映射 法 Conformal MappingMethod，又称等效波导法 120]将非均匀网格空间映射成均匀网格空 间，再用FD-BPM进行求解。因此它的精度及计算效率都比FFT-BPM高。在处理其它形状 的波导时，在芯层中采用细网格，在远离芯层处采用粗网格，从而提高计算精度和计算效率。 有限元束传播法 FE-BPM [131，是在横截面上采用了有限元的基本方法，因此具有有 限元方法的优点和缺点，本文不再赘述。 BPM方法是一种频域方法，它几乎可以真实模拟光波的传输过程，只要知道初始输入 光场，便可以通过BPM获得整个传输路径上的场分布。BPM有很多形式，包括标量束传播 BPM 法、半矢量束传播法和全矢量束传播法;针对不同偏角的问题可分为傍轴 Paraxial ?1和广角 WideangleBPM ””等;根据实现形式的不同又分为显格式方法田J和隐格式方法， 显格式方法计算效率高，容易实现，但会导致不稳定，而隐式方法计算效率较低，但是非常 稳定，适用于绝大部分结构的数值模拟。经过近20年的发展，BPM方法已经成为一个完整 的体系( Finite-DifferenceBeam Method， 全矢量有限差分束传播法 Full(vectorial Propagation FD-VBPM 1231是很多商用软件的理论基础，它具有直观简便、计算速度快、结果精度高的 优点，能够揭示电磁场矢量特性以及耦合特性，可以用来分析各类光纤、光波导耦合器件以 及更加复杂的光波导器件。影响计算精度的重要因素包括: a 离散时所选用的差分格式， 包括横向差分格式和纵向差分格式。对自耦合项通常采用Stem差分格式川或者其它差分格 式洲1251 差分格式[2111; b 步长的大小，步长越小精度就越高，但是也相应地增加了计算量; c 边 界条件会因为存在反射等情况而影响结果的精度。限制FD-VBPM发展的重要原因是对交叉 项的差分格式可能会导致收敛性较差，另外对应的大型矩阵求逆也很难以实现。为了解决这 129]速度快，稳定性好，能保证结果的精度，与传统的束传播法相比，纵向步长可以选取更 大。 在对光波导进行数值计算时，由于矩阵很大，为了能够得到模场分布特性，激励场必须 沿着z轴长距离传输，这样会导致大量的计算，耗时比较长，故引入虚位移全矢量有限差分 束传播法p哪!311[321133l[341。基本原理是把相位上的正弦变 化转换为幅度上的P指数增长。由 于本征模式具有最大的传播常数，沿实轴传播时相位上具有最快的振荡速度，在足够长的传 播距离中都占主要地位，利用这个特性快速得到本征模式分布。 计算窗口的边界问题可以选用吸收边界条件嘲哪】、透明边界条件13711”1或者完全匹配层 Pgl边界条件(吸收边界条件和完全匹配层边界条件都需要增加额外的计算点，为了减少计 算量可以采用简单的透明边界条件。本文将采用透明边界条件和完全匹配层边界条件。 东南大学硕士毕业论文 1(4时域有限差分法 时域有限差分法直接从麦克斯韦 well 旋度方程组出发，利用二阶精度的中心差分 近似把旋度方程中的微分算符直接转换为差分格式，在一定体积内和一段时间上对连续电磁 场的数据取样压缩。实际上就是在计算机所能提供的离散数值时空中仿真再现电磁现象的物 理过程，具有简单直观的优点。它是对电磁场问题的最原始、最本质和晟完备的数值模拟， 所得结果是相当。精确”、“完备”的矢量场。基于FDTD设计的程序对电磁场问题具有通用 性。FDTD使得电磁场的计算从处理稳态问题发展到瞬态问题，从处理标量场问题发展到直 接处理矢量场，可以分析在自由区域或封闭结构中的很多电磁现象。近年来由于非正弦电磁 场理论与技术的迅猛发展，吸收边界条件的不断完善尤其是完全匹配层的提出与应用，以及 对各种非均匀网格划分技术、计算量压缩技术、抗误差积累技术的深入研究，使FDTD越来 越受到重视。 时域有限差分法是一种时域、矢量的方法，所以计算量很大，需要计算时间比较长。它 要求同时求解多个变量的的偏微分方程，为了准确地描述光波的传播特性，网格的划分必须 很细，这就大大地提高了对计算机的要求，因此FDTD的应用受到限制。 其它的数值计算方法还包括有效折射率EIM法等。纵观上述所有的数值方法，它们都 具有各自的优点，同时也存在着自身的缺点，都不是最好的方法，因此提出了束传播法。柬 传播法具有概念简单、计算效率高、适用范围广等显著优点，在大部分商业设计软件中得到 应用。 1(5本文工作 高性能计算机的快速发展促进了数值计算的广泛应用，数值模拟计算分析已成为一项重 要课题。分析光波导承载的导波模及分析光波在光子器件中的传输特性都是基于电磁场理 论。需要求解well方程组。 本文从well方程出发，首先推导分析光波导全矢量本征模的电场与磁场波方程及分 析光子器件光波传输特性的三维全矢量束传播法基本方程，建立全矢量有限差法的电场与磁 场差分格式，交叉项采用精度高的六点差分法。基于Crank-Nieolson差分格式及交替方向隐 式算法，建立三维全矢量有限差分束传播法的数理模型，无须对交叉求逆，计算速度快、精 度高及无条件稳定。详细介绍透明边界条件和完全匹配层边界条件，并讨论分析对计算精度 的影响。通过设计程对典型的光波导结构进行模拟计算和分析，模拟分析光纤、脊波导，光 子晶体光纤和双脊耦合波导。得出归一化传播常数和模场分布;其次分别使用基于透明边界 条件和完全匹配层边界条件的全矢量有限差分束传播法分析典型光波导。通过程序设计和计 算，与国外权威期刊发表的结果进行比较，验证本文方法的有效性，从而为器件的设计提供 有力的依据。 6 第二章基本方程 第二章基本方程 本章从well方程出发，推导分析光波导全矢量本征模的电场与磁场波方程及分析 光子器件光波传输特性的三维全矢量束传播法基本方程。 2(1全矢量本征值波方程 假定单色光的角频率为?，与时间有关的因子为exp jo,t ，所考虑的区域各向同性且 没有自Eh电荷及电流，wellTY程组可以写成 旺，， V厩啪詈 2(2 Vx面 601'12丝， a 硒、岛分别为真空磁导率及真空介电常数，疗 工，Y，: 为折射率分布。 将电场和磁场写成如下的形式: 2(3 E x,y，z，f Re[E x，Y，z exlX,a口t 】 2(4 H x,y，z，f Re[H x，Y，z exp jo t ] 将 2(4 ’ 2(5 带入well方程组，消去时间项，得到如下表 达式: 2(5 VxE -jaYtoH 2(6 V×H ,eaton2E 对方程 2(5 求旋度， 2(7 Vx尽XD 一j?? VxH、 利用方程 2(6 ，方程 2(8 可写为: 2(8 Vx Vx西 一2毛2罾 其中b 缈?岛硒?? 2(9 利用已知矢量公式:Vx VxE v v??司一V2E 那么可以得到: 2(10 V V??菅1一V2面一一2知2罾 o 2(11 因为满足V(-b V(n2吾 p o， 7 得到，V(n2罾 "2v(Z+云(v玎2 0 2(12 2(13 、‘??Ij， 眠VI豇一孚甩’ 将方程 2(13 代入方程 2(10 ，得到: 泣„ V讯V[爿硝榷 。 方程 2(14 左边第二项可以重新写为: V[爿卸p陪一+》警i]1 QJ5’ 一v?1 L O缸n2毋誓E+警 1 假设力2沿着传输方向 z向 变化可以忽略不计。于是电场E，E的方程可以写为: 泣? 俨E+硒a[1:0缸1'12。巨R陆等弓卜硌。 c:肿， V2易+万ca防[-1可On2弓Jl+号降警t]+如2髟:。 磊a?[1瓦a c忸，]-昙陪 誓曩耐等]1 碲0[1 t3蠡n2昏刳碲0[1 c'M良2(巨愕QJ8’ 眨? f而f „qo o心 ] 尜芳寸篝 等+等+丢陪知E ]+昙陪号鸭 ]一等“如一oc:刎 等+等+昙B昙鸭 ]+参陆扣E ]一篝拼如叭:埘， 同理。对磁场公式进行推导， Vz面+:Vnr2× v。耳 +打z七0:耳:o 2，，、 8 第二章基本方程 泣z， V2帅2姐--1 i3砂n2 IO砂H,一警] 。 眩M， V2髟材讯 芸 警一等] 。 晟后得到 晓zs， 等衍号皓刳+等锄2皿+吉等等 。 晓拍， ic4n2可OH;, 。 矛筘引+等+等锄吣孑1 此处只考虑二维平面，电场和磁场沿z方向的导数是常数， 2(27 晏;川 院 其中‖是传播常数。可以分别得到r分量和y分量方程， 电场波动方程: 孤a[1:扩a 2E ]+等彬卅巨+瓦olF孑l万o‖计器„:瑚， 眩，。， iE:气E 丢陪静巨 ]+等耐托 泣，-， 厶髟 等+船弘B k2B 旺，:， 明 旦[?弘讣鼍 c:?， &E 昙[砉昙 疗2E ]一篝 cz34， 乏乏] 乏] ‖ 乏 磁场波动方程: 9 眩，，， 等膏昙皓刳啪^纠皿+器彳高浯警 1 o 。:四 矿昙陆割+等啪杠纠q+器彳降皓等 ] o 旺，，， 记Q皿2等材参[砉等k2以 。:瑚， 鲰髟钏2昙 砉警]+等+盯:露q 岛q 汜，，， 2器。[参皓刳1 泣删 眦2鼍。降皓刳1 2(41 巨戋心‖五 通常交叉项弓弓、&巨、线q、鲰皿都比较小。如果忽略其 影响便可以得到半 矢量的波动方程。 假设沿 ，方向的电场分量B为零，沿z方向的电场分量置 是主分量 2(42 昙皓知丘 ]+等+ 拶卅纠 磁场沿x方向的分量只假设为零，沿，方向的磁场分量矾是主分量 2(43 一2昙 孝警]+等+ 搿‖ q:。 B??Q?as"M模 假设沿x方向的电场分量E为零，沿 ，方向的电场分量E是主分量， 2(44 争+韶?动?:卅删 10 第二章基本方程 磁场沿y方向的分量以假设为零，沿x方向的磁场分量皿是主分量 。 2(45 ’ 2 孕‖参f丢等?^‖2 ,-t(ax 勿 2砂J、” tn 如果波导是弱导结构，那么 2(46 篓:o和墨乩 劣 咖 半矢量的波动方程简化为标量的波动方程 2(47 警芬+ 耵卅倒 2(2束传播法基本方程 2(48 将电场表示为:亏 宣麟p 一jflz 其中‖ ??，嘞表示参考折射率a 这样得到电场的基本波动方程: 249 产上2kono旦az 1堡Oz 厶或+厶匆 晓s。， 产去昙]鲁 如匆+厶宝 F t 旺s。 1:秽a 记:如息 去 等+孤a 2丘 ?吲姚 眩s:， r嘞,a 如匆 去 誓埘a Ft匆 卜卅叫 旺s，， 冉去协弘句 ]-茜 眨s??， 厶龟 去 旦陆知毫 ](篆 东南大学硕士毕业论文 2(55 阱 2??俐 I 得到傍轴近似的全矢量Fresnel方程: 2(56 j鼍吐b蝣y 2(57 j鼍咆睁啦l ? 如果不考虑电场丘，或之间的相互耦合时，那么得到半矢量的波动方程 2(58 2风,譬 等+瓦ali-了I瓦a?丘枷 ,12--,,102 丘 2(59 碱?鲁 兽+舡?讣?2 n2--,7(02 匆 2(60 j孚:A。龟| 出 2(61 j鼍喝宅， m 假设波导是弱导结构，不考虑场之问的耦合以及偏振方向， 得到标量方程为: 2(62 z风,警 害+多wcn2--,,02渺 2(63 j皇当 HIf， 四 2(64 日 去悟等协2叫 2(2(2基于磁场的基本方程 2(65 将磁场表示为:I-I, Eexp 一jpz 可以得到磁场的基本波动方程: 2(66?? 产去刳誓 疋丘+,岛 第二章基本方程 Q卯， [，一去割警2,也+,丘 汜ss， 其中玩峨训l_j_IO‖',7。胛2[参降剀小2卅叫 旺s，， 擗去黟悄gtz四-g-、1jj小2吲叫 眨加， 冉去降MgtT旧-夏--、1 ] 晓，?? 晦2-,l『a77 i,-a„-&-彳„gtT嗽-&-j、1_I 一般情况下假设磁场膏在光波导中沿 轴是缓慢变化的，对上述两式采用慢变包络近 包记， “2,?I刮 UJ得到臂钿逝似即芏失重Fresnel万程: 2(73 J(_allx:B。Ax+B‖Ax’ 磁 ( 、 aH。j 2(74 y枷FHl ji硼HH ? 如果忽略偏振模之间的相互耦合，可以得到半矢量磁场方 程 2(75 j攀:B。AI 2(76 y j鼍吨A UD对于弱导结构的器件，不考虑耦合和偏振方向，可以得到 标量磁场方程 2(77 2风,警 害芬wcl,12--n02渺 2(78 j辈 H咿 龙 东南大学硕士毕业论文 2(79 H 去悟号w‖砘2 2(3本章 本章从well方程组出发，进行了电场和磁场基本方程的推导，首先是本征方程的推 导，其次是束传播法方程的推导。如果忽略相互耦合问题，可以得到半矢量的波动方程，如 果不考虑偏振方向，那么可以得到标量的波动方程。 标量波动方程既没有考虑偏振相关性，也没有考虑耦合效应，适用于偏振不敏感且耦合 比较弱的场合;半矢量波动方程包含了偏振相关的信息，但是忽略了偏振模问的耦合，不适 合模拟强耦台结构的器件;全矢量波动方程既考虑了偏振相关性，也包含了偏振模之间的耦 合，被认为是最精确的方法( 14 第三章差分格式 第三章差分格式 全矢量有限差分法适合计算分析光波导器件的本征模场分布特性，全矢量有限差分束传 播法适合于计算分析光波导器件的传输特性。它们具有简单方便、计算精度高的优点。差分 格式的选取极大程度地影响了计算量的大小、结果的精度以及计算的效率等。 3(1本征方程差分格式 具体步骤如下: 1 对计算区域进行网格划分，写出折射率分布函数"似一; 2 选取合适的差分格式对波动方程进行数值离散，写成矩阵方程的形式; 3 对矩阵方程进行数值求解，并对结果进行分析，防止出现伪解的情况。 3(1(1电场本征方程 I 白耦合项足E和厶E，的差分 针对可能出现折射率跃变而影响结果的精度，差分格式应该 誓:!土弛„答_:童((0蚶，件1 能够反映折射率分布??本文在横截面采用Stem差分格式‘”进行数 i ; ; 值离散，当Ax Ay时具有二阶精度。图3(1表示采用Stem差分 ; ; ; 格式进行网格划分的示意图，采用正方形网格，横向表示x方向， 6 j，i+1 ;„40„,i„-D„’?磊:;;(„“ii 纵向表不Y方向，其中周围的点袭不的与差分格式的相关点??首 ; ; i 先在x方向进行离散，包括点 4，5，6 ，使用stern中心差分格 ; ; i ?„„„„?„„„„‘? 式进行离散，得出如下表达公式: 丢[?丢 聍2E ] 刍坐生! !丛生二三刍乞善?芝d逝图，(。网格点的示意图 3(1 '计2 o? 舯,门2梳 3(3 ?，以肼1瓦+赤] 3(4 c 埘 瓦2蕊n2 2:+i 3(5 等 鱼《?血 这样可以得到匕E的差分格式: 15 孤all吲a1啦 ]+塑D2y州E @。， 2拳,矿 一静一斋怖。， ?+等,咖 +历矛占饥，+击q栅， 同理沿着y方向‘包括点2，5，8 进行差分，可得到名目 的差分格式: 3(7 暴扣耳 J-螳盘萼憋 3(8 舯”?竞 3(9 ?，叫埘?+剥 3(10 ,坤2畿2t12(( 办‘ 缸12 誓 纽嚆?坠 3(11 这样可以得到易E的差分格式: 孤afl:矿af 2E ]+等‖鹳 @? ’ 一a竺oj, Ey一 一等一丽2嵋川岛2^，+等?力 +静+静 ‘? 交叉项弓B和巴置的差分 ?譬弓芝宅絮鬈,警0?， 或者六点差分格式 ，方鹾分包括点 芸磊羹嘉警耋爵嚣鬻:翥姿矗至薹i亭磊苗霍震篇 16 第三章差分格式 鹳 志×《翥端?一|(Ey j+l,i+l， 一Lr。:?2n2 +1 j_崭l,i+ 1, 五一1卜 川，f+1 一Lr。: 2工n2， 一j，+ +l,。i_: 1(， " 万 一1]‘弓 ，+1’f― 1 。，(。， +2n2 j_l,i_1 五一1卜 川'j-1 E ,蝴7” i +"2n2 j+l,, 历一而2，n―Z 1J ++l。,:i ，， 玎]n2^f 玎。 ,，一1 +玎。 ，，OJ 7” i 一(2n2 j-l,i 历一而2，n-1 2 J-材l,i 剧]n2:，，f J，2 ，，一1 +以2 ，，f J吲川，f 。J 巴巨 历面1×Ilr。:?2n+'1 ，j研+ +l,。i+: 1。 丙。1l??E j+l,i+1 一L。: 2川n2 j，f +崭l,i_丽1 一1卜 川，? 一2n2 j_l,i+1 五一1卜 川，川 ‘3。14’ +[二i;端一t](tc，一??，，一-， 1“ +[若鬻?一而2^n2 卅J,i+。?1 别]蜥川 L疗2 (，+l，O+玎2 ，，f 疗2 ,一l，f +?2 ,，， J „ U 一F 川2n2m j,i_。l: 丽一而2州n2 Jm,,-:1 ，]1L?2 ，+l，D+n。 ，，D玎。U一，f +月。，oJ吲‖-1 J 或采用四点差分格式对交叉项进行差分， 纷志 [篙等十cj+l,i+l， 7 l"2 J，“1 4j’、 一[糯等十cj-l,i+i， 3(15 E _，+l，i-1 ，，一 一[糯,12等i【 1。]1j 一 ?f 一 k ，L 、J 影 +[鼍等一??] 、???L，??，， 7 巴E +l，i+11 3(】6 3(1??2磁场本征方程 菠一 ‘。’对自耦合项级只和锡q用stem格式进行差分，在，方向的差分表示为: 3(17 矿,剀 逆进警逝 其中q”，2』n2 j_la亟 +tt22 j,O- 3(18 3(19 皇，?。行2f”， ;艺:i 瓦+剥 ?2若? 3(20 3(21 这样得到线月:的差分形式， 等‖陪皓剀耐抛 -ca7。s