均匀弱电磁场中荷电空间转子的能级与波函数

均匀弱电磁场中荷电空间转子的能级与波函数 ( )Mar1 , 2006 重庆文理学院学报 自然科学版 年 3 月 2006 ()第 5 卷 第 1 期 Journal of Chongqing University of Arts and Sciences Nature Sciences Edition Vol15 No11 Ξ 均匀弱电磁场中荷电空间转子的能级与波函数 肖绪洋 ,邓闻天 ( )重庆文理学院 物理与信息系 ,重庆 永川 402160 ( )[ 摘 要 ]利用微扰理论 ,计算了弱均匀电磁场中荷电空间转子系统处于基态时 非简并情况 能量的二级近似和一级近似波函数 ;在简并情况下 ,以转子系统处于第一激发态为例 ,求解并 给出了其能量的一级近似值和零级近似波函数 1 所得结论对揭示处于给定球面的带电粒子的 运动规律有一定的启示 1 [ 关键词 ]微扰论 ;哈密顿量 ;空间荷电转子 ;能量 ;波函数 () [ 中图分类号 ]O413 . 1 [ 文献标识码 ]A [ 文章编号 ]1671 - 7538 200601 - 0009 - 051 引言 () 对于处于弱场 电场 、磁场中的氢原子 ,已经有不少文献对其能级及波函数的各级近似进行了讨4 - 9论 1 本文采用微扰理论讨论了弱均匀电磁场中荷电空间转子的能级及波函数 ,研究了微扰对荷电 空间转子系统的能级和波函数的影响 . 建立这样一个模型 :质量为 m 、带电量为 q 、到原点距离为 r 、转动惯量为 J 的一个空间荷电转子 , ( ) ( α π) αα π同时受到均匀弱电场 E 和均匀弱磁场 B 的作用 微扰, 电场和磁场之间的夹角为 0 ??,? / 2 1 在非简并情况下 , 以转子系统处于基态为例 , 求解其能量的二级近似以及一级近似波函数 ; 在简 并情况下 , 以转子系统处于第一激发态为例 , 求解它的能量近似值和近似波函数 . θ 建立 O - xyz , 如图 1. 令空间荷电转子的位置矢量为 r , 与 z 方向的夹角为; 电场方向在 z 轴上 ,? α 磁场在 O - xz 平面且与电场方向的夹角为, 由经典情形出发 , 采用过渡方式推导系统的哈密顿函数 12 转子系统处于基态时能量的二级近似 经典情形下的能量2. 1 ? ? 2 )( 1 r ×m v 2 经典情形下 , 自由转子的动能为 T =mv= = 22 2 m r ? 2 ( ) l , 过渡到量子情况中 , 动能算符为 : 2 J ? 2 ( ) ?l ()1 ^T = , 2 J ( J 是物理量 , 不是变化的力学量 , 所以其算符仍然为它本 图 1 弱电磁场中的荷电空间转子 ) 身. 荷电 转 子 处 于 电 磁 场 中 , 在 经 典 情 形 下 , 其 电 势 能 为 Ue ? ? ? ? ? ? ? qv qmvr q l θμμμ = - q Erco s; 磁势为 U= - ?B , 式中的磁矩为 = I s = = s = ^e= , 所以 U= - ?m s m π2r 2 m 2 m ? ? ? q B = - l ?B 1 2 m 量子情形下的能量2. 2 Ξ [ 收稿日期 ] 2005 - 11 - 15 () [ 作者简介 ] 肖绪洋 1976 - , 男 , 重庆市人 , 讲师 , 硕士 , 主要从事物理教学及凝聚态物理研究 1 ( ) [ 基金项目 ] 重庆文理学院资助科研项目 Z2004WX091 2. 2 . 1 能量算符 由经典情形过渡到量子情形下 , 能量变成的算符是 : θU^ = - q E^rco s, e ? ()2 q U^ = - l ?B1??m 2 m 实际上 , ^r = r1 2. 2 . 2 哈密顿算符 ? ? 5 Ψ ( ) Ψ ( ) ( )薛定谔方程为 : i h r , t 3 = ^H r , t ,5 t ? ?2 ? ( ) q ?l θ ()此处的哈密顿算符为 : ^ H =4 - q Erco s- ?l ?B , 2 J 2 m ? 2( ( )) 5 令 H^ = ?l / 2 J , 0 ? ? q ()θ 6 H^ = - q Erco s- l ?B 1?2 m ( ) 很明显 , 当 E 、B 较弱时 , 第 6式可以当成微扰 1 2. 2 . 3 能量的二级近似和一级近似波函数 ()() () [12 - 14 ] 000 ΨΨ现在使用微扰理论来求解问题 . 首先求解 H^ 的本征方程 H^ ( )= E ,7 0 0 ( )得到的结果应该是球谐函数 因空间荷电转子的 r 不变 , 因此不考虑波函数的径向函数部分 ()0 Ψ(θφ) ()= Y,;8 lm lm 2 ( ) l l + 1h()0 ()9 1 能级E = l 2 J 上面两式中 , l 、m 的取值情况是 : l= 0 , 1 , 2 , ; m = - l , - l + 1 , , l - 1 , l . () 0在基态时 , l = 0 , E = 0 , 此时 m 的取值只能为 0 , 因此无简并 . 0 2 H | | lm , 00 ()0 ( )1 10 能量二级的表达式为 : E=+ H E + 0 00 , 00 0 ()()0 0 ? - E E l , m l0 上式中第 3 项中的 l 、m 的取值不能是零 1 (θφ) Ω(θφ) H = Y3 ,H^Y,d 00 00 , 0000 ? ? ? q θ (θφ) θθφ( )(θφ)- q Erco s- ?l ?B Y,sindd111 = Y3 ,00 00 ? 2 m ? ? ? 2 () ( α α) 第 9式中 , ?l ?B = B ^l sin+ ^l co s, 由于 ?l 与 ^l 、^l 、^l 都对易 , 存在共同的本征态 , 故只需求出 ^l 、 x z x y z x 1 利用狄拉克符号表示波函数的正交归一 , 有 : z δδ〈 l, m | ^l | l , m〉= m ;h z l lm m h() ( ) 1 + m1 - m + 1} 1 〈 lδδ( ) ( ) δδ, m | ^l | l , m〉= { l - ml + m + 1+ x m m +1 m m - 1 l ll l 2 ()12 [15 ] 再把球谐函数代入 , 利用计算软件 Mathematica , 可计算出各微扰项为 : ? ? q 3 (θφ) θ (θφ) θθφ= Y,- q Erco s- ?l ?B Y,sinddH 00 00 00 , 00?2 m 3 (θφ) θ(θφ) θθφ= - q ErY,co sY,sindd00 00 ? qB 3 ( αα)(θφ) (θφ) θθφ - sin^l + co s^l Y ,Y ,sindd= 01x z 00 00 ? 2 m ()从上式可以看出 , 能量的一级修正值为零 , 所以必须计算能量的二级修正 1 由第 10 式第 3 项 , 有 : ? ? q 3 (θφ) θ (θφ) θθφ= Y,- q Erco s- ?l ?B Y,sinddH lm 00 lm , 00?2 m 3 (θφ) ( θ) (θφ) θθφ= Y,- q Erco sY,sinddlm 00 ? qB 3 (θφ) ( αα) (θφ) θθφ()- Y,sin^l + co s^l Y,sindd113 lm x z 00 ?2 m () () l 取值不能是零 , 故可取 l = 1 , 则 m = 0 , ?1 . 根据 13并利用 12, 可以算得 : qB 3 3 (θφ) θθφ (θφ)θ ( αα)H - ,sindd= - 1/ 3 q Er , Y= Y,q Erco s- sin^l + co s^l 10 , 0000 10 x z ?2 m 3 qB 3 (θφ)θ ( αα)(θφ) θθφ H = Y,q Erco s- sin^l + co s^l - Y,sindd= 0 , 11 x z 00 11 , 00?2 m qB 3 3 (θφ)(θφ) θθφ θ ( αα)H = Y,Y,sindd= 01 - q Erco s- sin^l + co s^l 1 - 1 , 001 - 1 00 x z ?2 m 当 l = 2 , m = 0 , ?1 , ?2 , 则有 : qB 3 3(θφ) (θφ) θθφ = Y,θ ( αα),sindd= 0 , Y H co s- sin^l + co s^l q Er- 20 00 20 , 00x z ?2 m qB 3 3 (θφ) θθφ (θφ)θ αα)Y,sindd= 0 , ( = Y,q Erco s- sin^l + co s^l H - 00 21 x z 21 , 00 ?2 m qB 3 3 (θφ)(θφ) θθφ θ ( αα)H = Y, Y ,sindd= 0 , - q Erco s- sin^l + co s^l 2 - 1 , 00 2 - 100 x z ?2 m qB 3 3 (θφ) θθφ (θφ)θ ( αα)Y,sindd= 0 , = Y,q Erco s- sin^l + co s^l - H 00 x z 22 22 , 00 ?2 m qB 3 3 (θφ)(θφ) θθφ θ ( αα)H = Y, Y ,sindd= 01 - q Erco s- sin^l + co s^l 2 - 2 , 00 2 - 200 x z ?2 m 当 l 取大于 2 的整数时 , 各矩阵元全部为零 1 根据以上各微扰项 , 近似到二级的能量表达式为 : 2H | | lm , 00 ()0 E= E + H + 0 0 00 , 00 ()()0 0 ? E l , m - E 0l2 H | | 10 , 00 2 2 2 J q E r + 0 + 0 + + 0 2 ()114 = 0 + 0 + = - ()1 ?1 + 1 h 23 h 0 - 2 J 由前所述 , 将各微扰项代入波函数的一级修正式 , 得到一级近似波函数为 : | H | lm , 00 ()()0 0 ΨΨ Ψ= + 00 lm 0()()00 ? E l , m - E 0 l | H | | H | | H | 10 , 00 11 , 00 2 - 2 , 00 ()()()0 0 0 (θφ)ΨΨΨ()15 = Y, + + + + 00 10 11 2 2 () ()()()() ()- 00 0 0 00 E - E E- E E- E 0 l0l0 l 3 - q Er J q Er1 3 3 1 θ θ 1 + co s 1 = + ? co s=2 2 π4 h( ) 1 ? 1 + 1h ππ4 4 - 2 J 转子系统处于第一激发态时的能量和波函数近似3 微扰矩阵元和能级修正3. 1 2()0 () 系统处于第一激发态时 , l = 1 , 此时= / 2 J , m 的取值为 - 1 、0 、1 , 因此能级是三重简并 hE 1 ( ) (θφ) (θφ) (θφ) 的 . 能级本征态波函数 球谐函数为 Y,、Y,、Y,, 所以系统的波函数为它们的线 1 - 1 10 11 () 0Ψ(θφ) (θφ) (θφ) ( )性叠加 , 即 := aY,+ aY,+ aY,1 16 1 11 2 10 3 1 1 - 3 (θφ) (θφ) θθφ=〈 l m | H^ | lm〉= Y ,H^ Y,sindd计算各个矩阵元 , 计算过程利用 H l m lm l m , lm? () 中要使用到 12式 . 非零矩阵元是 : α qB h qB hsi n α1 = - H H = H = H = - H = - co s, H = 11 , 10 11 , 111 - 1 , 1 - 110 , 11 10 , 1 - 1 1 - 1 , 10 2 m 2 2 m 关于波函数线性组合系数的矩阵方程为 : ()1 H -H H Ea 11 , 11 11 , 10 11 , 1 - 1 11 ()1 a EH H H -2110 , 1 - 1 10 , 11 10 , 10 ()1 a 3H -H H E 1 - 1 , 1 - 1 1 - 1 , 11 1 - 1 , 10 1 α qB h qB hsi n ()1 α - 0 - co s-E 1 2 m 2 2 m a 1αα qB si n qB si n hh()1 - 0 - E- 1 a ( ) = = 0 17 2 2 2 m 2 2 m a 3α qB si n qB hh()1 α 0 - co s- E 12 m 2 2 m ( )要使上述方程有非零解 , 必有 久期方程 α qB () qB si n hh1 α - co s-- 0 E 1 2 m 2 2 m αα qB si n () qB si n hh1 E- 0 - - ( )1 18 = 0 2 2 m 2 2 m αqB h qB si n h()1 α 0 - co s- E1 2 m 2 2 m () 1解方程可得 E有 3 个根 , 它们是 : 1 qB h qB h ()(1)1 (1) = 0 , E ( )E= E, = - 119 12 11 13 2 m 2 m 这说明在均匀弱电磁场中 , 空间荷电转子第一激发态的三重简并能级全部分裂 , 简并解除 . 波函数修正3. 2 () () 将 第 19式的 3 个解分别代入第 17式中 , 可以求得 3 组不同的 a、a、a, 3 个中只有 2 个是独立 1 2 3 的 . 求解可得 : 2 qB h 2 qB h ααsin sin 2 2 m 2 2 m )(20 ?a, a=?a1a= 1 2 3 2 qB h qB h ()()1 1 α α - co s- Eco s-E 11 2 m 2 m 关于 a、a、a的列矩阵写为 : 1 2 3 αA sin ()1 α A co s+ E a 11 a 1 2= N 2 aα A sin 3()1 α A co s- E1 3 aa 11 qB h aa 式中令 A= 1. ( )= N 为归一化因子 , 把上式归一化 , 即 : 21 22, 2 m aa 332 2 ααA sin A sin 2代入可得 : | N | + 2 + = 1. ()()1 1 α Eα EA co s+ A co s- 1 1 () 1() 将 E的 3 个解即第 19式代入上面的式子 , 可以解得 : 1 (1) (0) 20 2 () () 1当 E时 , 对应于能级 E+ E= / 2 J , 解得归一化因子为 N h11 111 α = co s, 其零级近似2 3 () 0(θα θφα) Ψ波函数为 = co sco s+ sinco ssin1 11 π4 2 2 qB h h ()() ()1 00 () 2当EB qh/ 2 m 时 , 对应于能级EE ,解得归一化因子为 N =+= + = 12 1 12 2 J 2 m 2 1 . 其零级近似波函数为 : α1 - tg 1 1 ()0 αΨ( α) α(α) = - csc[ 1 - co sY- 2sinY+ 2 1 + co sY]1 12 11 10 1 1 - α2 1 - tg 2 qB h2 h ()()1 ()0 0 () 3当- E= - B q/ 2 m 时 , 对应于能级 E = 解得归一化因子为 N =h,+ E13 13 1 2 J 2 m 2 α α 1 1 1 ()0 1 ΨY, 其零级近似波函数为 =2ctg Y+ 2 Y+ tg 13 11 10 1 - 1 αα1 - 2 1 - tg tg2 2 [ 参考文献 ] () () 1 吴强 , 周亚非 , 邓于 . 氢原子状态的 SO 4 ,2群的解析思考 J . 渝西学院学报 , 2004 , 3 1:10 - 13. () 2 朱家富 . 傅立叶变换的复奇偶性 J . 渝西学院学报 ,2004 , 3 3:8 - 10. () 3 刘群英 . Matlab 在大学物理电磁学中的应用 J . 渝西学院学报 , 2005 , 4 2:19 - 27. 4 () 邵彬 , 王荣瑶 . 二维氢原子的斯塔克效应 J . 大学物理 , 1995 , 4 2: 9. 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Energy- Level and Wav- eF unctiono f the Charged Space Roint otrh e Weak Uniform Electromagnetic Field XIAO Xu - yang ,DENG Wen - tian ( )Dept. of Physi cs and Informati no Engineerin, g Cho ngqing Universiotyf Art s and Scienc es , Yo ngchuan C hngoqing 40216, 0C hina Abstract :The second - order approximate energy and the first - order approximate wave function of the charged ( ) space rotor in the ground state nondegenerate satein the weak uniform electromagnetic field are calculated by perturbation theory. In the degeneration situation ,take the rotor system in the first excited state as example , the first - order approximate values of energy level of and the zero - order approximate wave functions are solved and produced. The conclusions are useful to promulgate motion law of the charged particle in a spherical surface . Key words :Perturbation theory ; Hamiltonian ;charged space rotor ;energy ;wave - function