非线性振动系统的主共振的增量谐波平衡法

非线性振动系统的主共振的增量谐波平衡法 () 文章编号 :1006 - 155X200202 - 080 - 03 非线性振动系统的主共振的增量谐波平衡法 1 2熊铁华,常晓林 ()11 武汉大学土木建筑学院 ,湖北 武汉 430072 ; 21 武汉大学水利水电学院 ,湖北 武汉 430072 摘要 :利用增量谐波平衡法来研究单自由度非线性振动系统的主共振 . 用傅里叶级数展开与时间有关的量 ,然 后应用增量谐波平衡法 ,得到一个非线性的代数方程组 ,并建立了适合于计算机运算的数值模型 ,算例明此方 法是有效的 . 关键词 :非线性振动 ;主共振 ;谐波平衡法 中图分类号 :O 322文献标识码 :A n s cωωf = co s it + f sin it f + f 1 0 方法推导 i i ? i = 1 n 一般地 ,工程结构中非线性振动问题可以归结 s cωωco s it + r sin it rr = r+ i i 0 ? i = 1 为如下的方程 : n ( ) mq ? + c q + k qq = f ()1 c s ωωq = qco s it + qsin itq+ 0 i i ? i = 1 ( ) 式中 : m 为质量 ; c 为阻尼 ; k q为切线刚度矩阵 ; n 1 s cq 为位移 ; f 为荷载. ωωk = k+kco s it + k sin it 0 i i ? 2 i = 1 令 () 代入式 4中并应用谐波平衡法 ,得到 ( ) r = mq ? + c q + k qq - ()2 f ΔΔωφ[ KK { q} +{} + { R} = { 0} ( )5 τ ω变量置换 : = t 其中 则 c c s s T ΔΔΔΔΔΔ= { 2q,q,q, ?,q,q, ?}{q} 0 1 2 1 2 ωωτ) () ( q t = u c c s s T φφφφφ{} = { 0 ,,, ?,,, ?} 2 1 2 1 2 ωωτ)() (q? t= u? c 2 c s φω= - 2 i mq + icq i i i() 2则式 变换为 s 2 s c 2 φω= - 2 i mq - icq i ωω( ) i r = mu? + c u + k uu - f ( )i3 c Δ ω ωΔω令 u = u+u ,= + kk 0 0 0. 5 k 0 cs 1T cc cs () 代入式 3中 ,得 [ KK ] = k k k c 2 2ωΔωΔ( )Δmu ? + c u + k uu + sc ss T 0k k k s Δω( ω)2 mu? + cu + r = 0 c c k k= , k, ?] c1 2 即 s s = k , k , ?] k 1 2 s()ΔΔ)ΔΔω( 4 mq? + cq + k qq ++ r = 0 ø 0而 2 c cc c c 22 其中 = mq ? + qkkωδ ø= + k- 2 im ij ij i + j | i - j| ω ω s cs s1) ( ωδ= + sgn j -k ik + 2 ic k 用傅里叶级数展开与时间有关的各项 ii - j| ij +1 | ij n sc s s ( k ) k + sgn i -jkωδ= - 2 ic i + j | i - j| ij ijc s ΔΔΔωΔωq = q+ qco s it +qsin it0 i i ? 22 ss c c i = 1 ωδ+ kmk - 2 i k = - i + j | i - j|ijij h 上式中 a = 2 1/ 2 c c s s T 3 2 2 2 2 2{ R} = { r, r, r, ?, r, r, ?} 0 1 2 1 2 ω ) βω (ω + c + a- 0 4 c c s s T{ q} = { 2 q, q, q, ?, q, q, ?} 1 2 1 2 0 μω - ψ t g=c c s s T 3 { f } = { f , f , f , ?, f , f , ?} 2 2 2 0 1 s 1 2 ωω β- + a 0 4 到此 ,得到了一个 增 量 形 式 的 非 线 性 代 数 方 程 组 3 ( ) 本文利用弧长法 解方程 5,图 1 ,2 ,3 分别 () (ω) Δω5,如果选择一个初始点 , q, 给定一个 , 通0 β表示非线性系数 , 荷载幅值 h 以及阻尼系数 c 对 Δ过迭代可得到{q} , 逐步进行下去 ,可构造出幅 频 ω幅频曲线的影响. 计算中 , 取 = 1 , 从图 1 可知 , 0 曲线. β当 逐渐增加时 , 非线性的影响逐渐增加 , 非线性 2 数值算例及结果分析 的作用使幅频曲线弯曲 , 形成多值区 ; 图 2 给出了 ω ω在 = 邻域内 , 荷载幅值对幅频特性的影响 , 随 取 Duffing 方程 0 2 3ωβωx +? cx + x + x = hco st着 h 的增大 , 在此区间内 , 幅频曲线没有引起定性 0 的改变 , 只是相应的稳定周期解幅值在增加 ; 从图 () 显然 ,上式与式 1形式上是一致的. 设解为 ωω 3 可知 , 在 = 邻域内 ,阻尼对系统的幅频曲线 0 c s ( )ωω = x+ xco st + x sint x t = 0 1 1 有显著的影响 ,即随着阻尼的增加 ,振幅值显著地 (ωψ)x+ aco s t + 0 减小. 以上数值解与理论解是吻合的. 图 1 非线性的影响 图 2 荷载幅值的影响 3 结 论 用增量谐波平衡法求解非线性振动问题 ,可归 结为求解一个非线性的代数方程组 ,从而避免了其 他摄动法必需求解微分或积分 —微分方程的缺点 . () 对于式 1形式的非线性微分方程 ,只要满足一定 4 () 的条件,就可建立统一的计算格式 5,数值结果 与理论解的比较 ,表明此方法是有效的 . 参考文献 : 1 L EUNG A Y T. Non- linear steady state vibration of frames by finite element methodJ . Journal of Numerical Methods 图 3 阻尼的影响 () in Engineering , 1989 28:1599 - 1618. 82 ()2002 武汉大学学报 工学版 2 Structures , 1981 ,1 :55 - 62. 褚亦清 ,李翠英 . 非线性振动分析 M . 北京 : 北京理 2 4 MICKENS R E. Comments on the method of harmonic bal工大学出版社 ,1996. () 3 ance J . J Sound Vib , 1984 ,94 3:456 - 460. CRISFIELD M A. A fast incremental/ iterative solution pro2 cedure that handles “snap- through ”J . Computers & Study on primary resonance of nonlinear vibration by increment harmonic balance technique 1 2XIONG Tie- hua, CHANG Xiao- lin (1. School of Civil and Architectural Engineering , Wuhan University , Wuhan 430072 , China ; )2. School of Water Resources and Hydropower , Wuhan University , Wuhan 430072 , China Abstract :A method based on the increment harmonic balance technique to determine the primary resonance of nonlin2 ear vibration of single freedom system is studied. The time discretization is achieved by Fourier series expansion of dis2 placements. After applying the harmonic balance technique , a set of nonlinear algebraic equations of Fourier coeffi2 cients is obtained. Numerical examples demonstrate the method is effective . Key words :nonlinear vibration ; primary resonancy ; method of harmonic balance ()上接第 61 页 System analysis f or electricity purcha sing optimal dispatching of Guangxi Electric Po wer Pool 1 1 2 2 2L IN Xiao- cun, LONG Zi- quan, HE Chao- yang, ZHU Gui- lan, L I Zhao- xin (1. School of Business , Wuhan University , Wuhan 430072 ,China ; )2. Dispatching Center , Guangxi Power Company Ltd. , Nanning 530023 ,China Abstract :By means of systems engineering theories and methods , for the Guanxi Power Network the system’s charac2 teristics and its optimal objectives of system’s profit units under the condition of an electric power pool are analyzed. The structure of electricity purchasing optimal dispatching of Guangxi Electric Power Pool is analyzed according to the large- scale system theory. And its large- scale system hierarchical model structure is set up ; and then the forms of all models are given. The structure and the models can well describe the optimal allocation in time and space of electricity purchasing of Guangxi Electric Power Pool . Key words :power network ; optimal dispatching ; system analysis