指对幂函数知识点总结

【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根．当 是奇数时， 的 次方根用符号 示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示；0的 次方根是0；负数 没有 次方根． ②式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．当 为奇数时， 为任意实数；当 为偶数时， ． ③根式的性质： ；当 为奇数时， ；当 为偶数时， ． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是： 且 ．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 且 ．0的负分数指数幂没有意义．  注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①             ② ③ 【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称 指数函数 定义 函数 且 叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点 ，即当 时， ． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图象的影响 在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低．       【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化： ． （2）几个重要的对数恒等式 ， ， ． （3）常用对数与自然对数 常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 …）． （4）对数的运算性质  如果 ，那么 ①加法：       ②减法： ③数乘：       ④ ⑤   ⑥换底公式： 【2.2.2】对数函数及其性质 函数 名称 对数函数 定义 函数 且 叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点 ，即当 时， ． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图象的影响 在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高．       (6)反函数的概念 设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子 ．如果对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 表示 是 的函数，函数 叫做函数 的反函数，记作 ，习惯上改写成 ． （7）反函数的性质 ①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称． ②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域． ③若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上． ④一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数． 〖2.3〗幂函数 （1）幂函数的定义: 一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．  ②过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ． ③单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数．如果 ，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴． ④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当 （其中 互质， 和 ），若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若 为奇数 为偶数时，则 是偶函数，若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线 下方，若 ，其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线 下方．