复变函数期末复习及答案(90分包过)

一、填空题 1、将复数 化为指数形式为 . 2、方程 . 3、函数 将区域 映射成区域 . 注：也可写为 也可为其它形式正确即可. 4、设解析函数 的实部 则 . 注：也可写为 或 . 5、若 ，则     0    . 6、设C是从 到 的圆弧 ，则 . 7、若 ，则 的收敛半径为__          。 8、 为函数 的  5阶极点  ，(填奇点类型，若为极点指出阶数)， . 9、若幂级数 在 处收敛，则该级数在 处的敛散性为 绝对收敛          . 10、方程 在单位圆 的内部的根的个数为 4个 . 二、判断分析题(要求写出给出充分的理由。) 1、函数 在 平面上有界吗？ 答： 在 平面上无界。                                      这是因为: 于是， 所以， 从而： 在 平面上无界。                                    2、函数 在z平面上解析吗？ 答： 在 平面上处处不解析。                              这是因为：设 ，则 , 于是， ，    所以， 显然，柯西－黎曼方程 在整个 平面上不成立, 从而， 在 平面上处处不可导，进而处处不解析。          三、计算题（40分） 1、计算积分 。 解：被积函数 只有一个3阶极点 且在区域 内由高阶导数公式有： 2、已知函数 ，将 分别在以下的圆环域内展为洛朗级数. （1） ；(2) ;(3) . 解： （1） 在0<|z|<1内 ， 于是， .                (2)在 内， 于是， .                (3)在 内， 于是， 注：以上各小问结果形式不惟一，正确即可. 3、 4、已知解析函数 在正实轴上的数值为纯虚数，且虚部 ，试求 . 解：设 ， 由于 为解析函数，故 满足柯西－黎曼方程 由于： ，由（1）可知 ，所以 ，              于是 而， ，由（2）得： 从而 （其中C为实常数）， 于是， ，所以 因为， 在正实轴上的数值为纯虚数，即当 时，f(z)为纯虚数，而此时 ，所以，C=0. 所以:                               5、判别级数 是否绝对收敛，是否收敛. 解：因为： 发散， 故级数 不绝对收敛.                                      由于                             而 ， 都为收敛级数，所以原级数收敛， 故原级数条件收敛。                                            6、运用留数计算积分 。 解：设 ，则 的所有的奇点为： 为一阶极点， 为一阶极点， 为10阶极点，其中 ， 在 的内部，故 而 ， 所以， .        7、 解：由于 为偶函数，故 而，函数 在上半平面内的奇点只有 两个一阶极点，且符合课本中定理6.7的条件. 故， 从而，                                 四、证明题 若 在周线 内部除有一个一阶极点外解析，且连续到 ，在 上 证明： 在 内部恰好有一个根. 证明：令 则沿C有 即此变换将z平面上的C变为 平面上－以a为心以1为半径的圆 。 不包含原点 从而 不会绕原点转一周，于是                   5分 因为 在周线 内部除有一个一阶极点外解析，且连续到 ， 所以f(z) - a在 内部具有同样的性质，且在C上 ，从而满足辐角原理及其推论的条件， 于是 即 在 内部恰好有一个根。                      五、探讨题 设 ， 。 1、求出函数 在区域 内的所有零点，并判断其是否有无限个？ 2、若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？ 解：（1） 在区域D内的零点有： 有无穷多个。                                                    （2） 这与解析函数零点的孤立性是不矛盾的。                    这是因为：这里 在D内解析， 在D内虽有无穷多个零点，但这无穷多个零点的惟一聚点为0，所以除零外的这些零点全部为f(z)的孤立零点，而0不在D内，且0为 本质奇点而不是解析点它可为 的非孤立零点.故上述结论不与解析函数零点的孤立性相矛盾.